Differenzialgleichungen

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1 Jürgen Müller Differenzialgleichngen Skriptm zr Vorlesng Sommersemester 2018 Universität Trier Fachbereich IV Mathematik/Analysis

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition nd Beispiele 3 2 Lösngstheorie für allgemeine gewöhnliche DGLn 10 3 Allgemeine lineare Differenzialgleichngen 20 4 Lineare Differenzialgleichngen n-ter Ordnng 33 5 Stabilität nd Abhängigkeit von Anfangswerten 43 6 Mannigfaltigkeiten 50 7 Integrale af Untermannigfaltigkeiten 56

3 1 DEFINITION UND BEISPIELE 3 1 Gewöhnliche Differenzialgleichngen: Definition nd Beispiele Differenzialgleichngen sind Gleichngen, in denen eine nabhängige Variable, Fnktionen nd Ableitngen der Fnktionen aftachen Dabei bezeichnen wir die nabhängige Variable meist mit t (Zeit Bevor wir ns mit der allgemeinen Theorie beschäftigen, betrachten wir einige einfache Spezialfälle mit Anwendngsbeispielen Beispiel 11 Wir betrachten ein sehr einfaches Keynesianisches Modell des Wachstms einer Volkswirtschaft Ist Y das (Volkseinkommen (etwa gemessen als Brttosozialprodkt, so besagt der Keynesianische Ansatz, dass das die Veränderng Y proportional zr Differenz von Nachfrage D nd Einkommen ist, dh Y (t = k(d(t Y (t oder krz Y = k(d Y, wobei k eine positive Konstante ist Weiter nimmt man an, dass die Nachfrage D sich als Smme as privatem Konsm C, Investitionen I nd Staatsasgaben G ergibt (geschlossene Volkswirtschaft; ohne Asland Ein weiter vereinfachtes Modell geht davon as, dass I nd G konstant sind (man schreibt I = Ī, G = Ḡ, nd dass C(t von der Form C(t = c 0+cY (t mit Konstanten c 0 > 0 nd c (0, 1 ist Damit erhalten wir Y (t = k(c 0 + cy (t + Ī + Ḡ Y (t = = k(1 cy (t + k(c 0 + Ī + Ḡ =: λy (t + β mit Konstanten λ > 0 nd β > 0 Gescht ist nn eine Fnktion Y, die die Gleichng nter der Anfangsbedingng Y (0 = Y 0 löst Definition 12 Es sei D R K d offen, nd es sei f : D K d stetig Wir schreiben ein Element as R K d meist in der Form (t, x, wobei t R nd x K d ist 1 Eine (gewöhnliche Differenzialgleichng (1 Ordnng ist eine Gleichng der Form x (t = f(t, x(t (11 oder krz x = f(t, x, wobei x (t = (x 1(t,, x d (t Ist d = 1, so spricht man ach von einer skalaren Differenzialgleichng, im Falle d > 1 dagegen ach von einem System gewöhnlicher Differenzialgleichngen (1 Ordnng 2 Ist T R, so heißt eine Fnktion ϕ : T K d bzw das Paar (ϕ, T eine Lösng der Differenzialgleichng (11 falls ϕ differenzierbar af T ist, falls graph(ϕ = {(t, ϕ(t : t T } D

4 1 DEFINITION UND BEISPIELE 4 gilt, nd falls (11 für alle t T erfüllt ist, d h ϕ (t = f(t, ϕ(t für alle t T 3 Ist (, v D, so heißt ein Gleichngssystem der Form x = f(t, x x( = v (12 ein Anfangswertproblem (für die Differenzialgleichng (11 (krz: AWP Ist I ein Intervall mit I nd ist (ϕ, I eine Lösng von (11 mit ϕ( = v, so heißt ϕ bzw (ϕ, I Lösng des Anfangswertproblems (12 Eine Klasse von Differenzialgleichngen, bei denen man die Lösngen mittels Integration bestimmen kann, sind (skalare lineare Differenzialgleichngen 1 Ordnng: Ist T R offen, so heißt eine Gleichng der Form x = f(t, x = a(tx + b(t mit stetigen Fnktionen a : T K nd b : T K eine (skalare lineare Differenzialgleichng 1 Ordnng Ist b = 0, so spricht man von einer homogenen Gleichng Es gilt dafür Satz 13 Es seien T R offen nd a, b : T K stetig Sind T nd v K, so hat für jedes Intervall I T mit I das Anfangswertproblem x = a(tx + b(t, x( = v hat gena eine Lösng ϕ af I, die mit α(t := a(sds für t I gegeben ist drch ϕ(t = e α(t( v + e α(s b(sds (t I Beweis Es gilt ϕ( = e α( v = v nd ( ϕ (t = e α(t a(t v + e α(s b(sds + } e α(t {{ e α(t } b(t = a(tϕ(t + b(t =1 Also ist ϕ Lösng des Anfangswertproblems af I Ist (ψ, I eine weitere Lösng af I nd ist δ(t := (ϕ ψ(te α(t, so gilt (t I δ (t = (ϕ (t ψ (t e α(t (ϕ(t ψ(te α(t a(t = 0 (t I, }{{} =a(t(ϕ(t ψ(t Da I ein Intervall ist, folgt δ(t = δ( = 0 für t I nd (da exp nllstellenfrei ist ach ϕ = ψ af I

5 1 DEFINITION UND BEISPIELE 5 Beispiel 14 Wir betrachten noch einmal das Anfangswertproblem as B 11 Nach S 13 (mit a(t λ nd b(t β ist drch ϕ(t = e λt( Y 0 + β 0 e λs ds = e λt( Y 0 + β λ eλs t = β 0 λ e λt( β λ Y 0 (t R die (eindetig bestimmte Lösng af R gegeben Wir betrachten einen zweiten Typ skalarer Gleichngen, bei denen ggfs Lösngen per Integration berechnet werden können: Ist D = T X mit T, X R offen, nd ist f von der Form f(t, x = h(tg(x mit h : T R nd g : X R, so spricht man von einer Differenzialgleichng mit getrennten Veränderlichen (oder von einer separierbaren Differenzialgleichng Ist g(v = 0 für ein v X, so ist offenbar ϕ(t v eine Lösng von x = h(tg(x af T, eine sogenannte triviale oder stationäre Lösng Interessanter ist der Fall g(v 0: Satz 15 Es seien T, X R offen nd h : T R, g : X R stetig Sind T, v X nd ist J X ein Intervall mit g(x 0 (x J, so hat das Anfangswertproblem x = h(tg(x, x( = v af jedem Intervall I T mit I nd H(I G(J gena eine Lösng ϕ : I J, nd diese ergibt sich mit H(t := h(sds (t I, G(x := x v ds g(s (x J drch Aflösen der Gleichng G(x = H(t nach x, also ϕ(t = G 1 (H(t für t I Beweis 1 Da G (x = 1/g(x 0 für alle x J gilt, ist nach dem Zwischenwertsatz G > 0 oder G < 0 drchgehend af J (da G stetig af J nd damit G streng monoton (wachsend oder fallend af J Also besitzt G eine Umkehrfnktion G 1 : G(J J Ist I T ein Intervall mit I nd H(I G(J, so betrachten wir ϕ : I J mit ϕ(t := G 1 (H(t (t I

6 1 DEFINITION UND BEISPIELE 6 Dann gilt h = H = (G ϕ = ((1/g ϕϕ, also ϕ = (g ϕh nd ϕ( = G 1 (H( = G 1 (0 = v, d h ϕ löst das Anfangswertproblem 2 Ist ψ : I J eine weitere Lösng des Anfangswertproblems, so gilt ψ = (g ψh af I nd damit nach der Sbstittionsregel G(ψ(t = ψ(t v=ψ( 1/g = ((1/g ψψ = h = H(t (t I d h ψ(t = G 1 (H(t = ϕ(t (t I Satz 15 erweist sich als äßerst nützlich, da die Assage ein Verfahren zr Berechnng der Lösng enthält Im Wesentlichen hat man zwei Stammfnktionen (H nd G z berechnen nd die Umkehrfnktion von G anzwenden Oft geht man lokal vor: Ist nr g(v 0, so existert ein offenes Intervall J X mit g(x 0 af J S 15 liefert dann die Existenz nd Eindetigkeit einer Lösng des Anfangswertproblems für t genügend klein (für solche t ist jedenfalls H(t G(J Bemerkng 16 Ein wichtiger Spezialfall sind atonome Differenzialgleichngen, also Gleichngen der Form x = g(x mit stetiger Fnktion g : X R nd X R offen Hier ist h 1 nd damit die Lösng mit Anfangsbedingng x( = v gegeben drch ϕ(t = G 1 (t (t + G(J Beispiel 17 1 Wir betrachten mit X = R das Anfangswertproblem Die Lösng ergibt sich nach B 16 as x = g(x = 1 + x 2, x(0 = 0 G(x = x 0 ds 1 + s 2 = arctan(x nd G(R = ( π/2, π/2 als ϕ(t = tan(t für t ( π/2, π/2 Man sieht, dass die Lösng nr af einem echten Teilintervall von R existiert Man spricht hier von einer endlichen Entweichzeit 2 Wir betrachten die in der Poplationsdynamik zr Modellierng von Tier- oder Pflanzenpoplationen oft verwendete logistische Gleichng x = g(x := x(1 x

7 1 DEFINITION UND BEISPIELE 7 nd schen die Lösng des Anfangswertproblems x = x(1 x, x(0 = v 0 Ist v = 1 oder v = 0, so ist g(v = 0 nd damit sind ϕ(t 1 nd ϕ(t 0 triviale Lösngen Es sei nn 0 < v < 1 Dann ist ach 0 < x < 1 für x v genügend klein Nach S 15 erhalten wir eine Lösng lokal (also af einer genügend kleinen Umgebng von = 0 as also t = 0 nd damit ds = x v ds x s(1 s = v e t ds x s + v ds = ln(x ln(1 x + ln(1 v ln(v, 1 s v 1 v = x 1 x = 1 1 x 1 ϕ(t = x = et v 1 v 1 + e t v 1 v = v (1 ve t + v Nachrechnen zeigt, dass dadrch eine Lösng af ganz R gegeben ist Eine entsprechende Rechnng gilt für v > 1 Man beachte, dass nn v ϕ(t = (1 ve t + v nr af (ln(1 1/v, definiert nd Lösng ist Man spricht in diesem Fall von einer endlichen Entweichzeit Das folgende Beispiel zeigt, dass nter Umständen ach lokal mehrere Lösngen z einem Anfangswertproblem existieren können Beispiel 18 Wir betrachten die atonome Gleichng { x, falls x 0 x = g(x := 0, falls x < 0 Für v 0 ist ψ(t v triviale Lösng af R Löst man das Anfangswertproblem mit x(0 = v > 0 (znächst lokal nach S 15, so ergibt sich x = (t/2 + v 2 als Lösng af einer Umgebng von 0 Man rechnet leicht nach, dass drch { (t/2 + v 2, t 2 v ϕ(t := 0, t < 2 v eine Lösng der Differenzialgleichng af R gegeben ist Also haben wir zwei af jeder Umgebng von = 2 v nterschiedliche Lösngen des Anfangswertproblems mit x( 2 v = 0 (nämlich ϕ nd ψ = 0 Man nennt in einem solchen Fall eine Verzweigngsstelle

8 1 DEFINITION UND BEISPIELE 8 Zm Abschlss wollen wir ns noch mit einer Klasse von Differenzialgleichngen beschäftigen, in denen höhere Ableitngen aftreten Znächst wieder ein Beispiel as der Ökonomie Beispiel 19 Wir betrachten wieder ein dynamisches Modell einer Volkswirtschaft: Das Einkommen Y verändere sich proportional zr Differenz as Nachfrage D nd Einkommen, dh Y (t = k(d(t Y (t Weiter betrachten wir das Zinsnivea r, dessen Veränderng proportional zr Differenz as Geldnachfrage nd Geldangebot ist Geht man weiter davon as, dass die Geldnachfrage proportional z Y nd das Geldangebot konstant (M = M sind, so erhalten wir r (t = m(ly (t M Schließlich ergibt sich nach dem Modell die Nachfrage D als Smme von privatem Konstm C, der als proportional z Y angenommen wird (C = cy, nd Investitionen I, die ihrerseits als I = a 0 ar mit positiven Konstanten a, a 0 angesetzt sind Insgesamt ergibt sich Y (t = k(1 cy (t + ka 0 kar(t r (t = mly (t m M (also ein System von Differenzialgleichngen 1 Ordnng Differenziert man die erste Gleichng nd setzt die zweite ein, so folgt Y (t = k(1 cy (t kar (t = k(1 cy (t kamly (t + kam M Dies ist eine sogenannte Differenzialgleichng 2 Ordnng, in der erste nd zweite Ableitngen aftachen Allgemeiner betrachten wir nn Gleichngen n-ter Ordnng: Definition 110 Es sei D R K n offen, nd es sei f C(D, K Eine Gleichng der Gestalt x (n (t = f ( t, x(t, x (t,, x (n 1 (t (13 oder krz x (n = f ( t, x, x,, x (n 1 heißt (gewöhnliche Differenzialgleichng n-ter Ordnng Eine Fnktion ϕ : T K (bzw das Paar (ϕ, T heißt Lösng von (13, falls ϕ n-mal differenzierbar af T ist mit (t, ϕ(t,, ϕ (n 1 (t D nd ϕ (n (t = f ( t, ϕ(t,, ϕ (n 1 (t (t T Ist (, v 0,, v n 1 D, so heißt ein Gleichngssystem der Form x (n = f ( t, x,, x (n 1, x( = v 0,, x (n 1 ( = v n 1 (14

9 1 DEFINITION UND BEISPIELE 9 ein Anfangswertproblem (AWP für (13 Schließlich heißt eine Lösng (ϕ, I von (13 Lösng des Anfangswertproblems (14, falls I ein Intervall ist nd gilt ϕ( = v 0,, ϕ (n 1 ( = v n 1 Beispiel 111 Das Anfangswertproblem hat die Lösng ϕ(t = cos t af R x = x, x(0 = 1, x (0 = 0 Bemerkng 112 Man kann eine Differenzialgleichng n-ter Ordnng stets af ein System von Differenzialgleichngen 1 Ordnng wie as D 12 mschreiben: Betrachten wir F : D K n mit F 1 (t, x 1,, x n = x 2 F n 1 (t, x 1,, x n = x n F n (t, x 1,, x n = f(t, x 1,, x n so sieht man sofort: Ist ϕ : T K eine Lösng von (13, so ist Φ 1 (t ϕ(t Φ 2 (t ϕ (t Φ(t = := Φ n (t ϕ (n 1 (t, (t T, eine Lösng von x = F (t, x Ist mgekehrt Φ : T K n eine Lösng von x = F (t, x, so ist ϕ := Φ 1 : T K (also die erste Komponente von Φ eine Lösng von (13 Aßerdem löst (ϕ, I das Anfangswertproblem (14 gena dann, wenn Φ das Anfangswertproblem x = F (t, x, x( = (v 0,, v n 1 af I löst Dies zeigt, dass man sich bei einer allgemeinen Lösngstheorie af Gleichngen 1 Ordnng beschränken kann Einer solchen allgemeinen Lösngstheorie wenden wir ns als nächstes z

10 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 10 2 Lösngstheorie für allgemeine gewöhnliche Differenzialgleichngen Sind (E, ein normierter Ram, a E nd δ > 0, so schreiben wir U δ (a := {e E : e a < δ} nd B δ (a := {e E : e a δ} Im Weiteren betrachten wir stets die eklidsche Norm af K d (nd schreiben dafür krz nd af R K d die Norm (t, x := (t, x max := max{ t, x } Für (, v R K d gilt dann B δ (, v = B δ ( B δ (v Wir nterschen nn allgemeine Anfangswertprobleme (12, d h für eine gegebene Fnktion f C(D, K d, wobei D R K d offen ist, nd für (, v D betrachten wir das Anfangswertproblem x = f(t, x x( = v In B 18 hatten wir gesehen, dass Verzweigngstellen existieren können Im Folgenden wollen wir zeigen, dass nter stärkeren Vorassetzngen an f stets Lösngen af geeigneten Intervallen existieren diese ach eindetig sind Definition 21 Es sei D R K d offen Eine Fnktion f : D K d heißt lokal Lipschitzstetig bezüglich der zweiten Variablen (oder krz bezüglich x, wenn z jedem (, v D eine Umgebng W von (, v nd eine Konstante L = L(W existieren mit f(t, x f(t, y L x y für alle (t, x, (t, y W Wir schreiben C + (D, K d für die Menge aller f C(D, K d, die lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen sind Bemerkng 22 Gena dann ist f lokal Lipschitz-stetig bezüglich x, wenn für alle K D, K kompakt, eine Konstante L = L(K mit für alle (t, x nd (t, y K existiert f(t, x f(t, y L x y Denn: : Es genügt z zeigen: Jeder Pnkt in D enthält eine kompakte Umgebng in D Ist (, v D, so existiert ein δ > 0 mit K := B δ (, v D Dabei ist K kompakt nach dem Satz von Heine-Borel : Es sei K D kompakt Angenommen, es existiert keine Konstante L wie gewünscht Dann existieren Folgen (t n, x n, (t n, y n in K mit f(t n, x n f(t n, y n n x n y n (n N

11 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 11 Da K kompakt ist, besitzt (t n, x n eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert (, v in K Ohne Einschränkng können wir annehmen, dass die Folge (t n, x n selbst konvergiert As f(t n, x n f(t n, y n 2 max f (n N K folgt x n y n 0 Dann gilt ach (t n, y n (, v Nach Vorassetzng existieren eine Umgebng U von (, v nd ein L > 0 mit f(t, x f(t, y L x y für alle (t, x, (t, y U Da (t n, x n nd (t n, y n für n genügend groß in U liegen, steht dies im Widersprch z L n Satz 23 Es seien D R R d offen nd f : D R d Existieren für j, k = 1,, d die partiellen Ableitngen f j / x k af D nd sind die Fnktionen f j / x k : D R stetig, so ist f lokal Lipschitz-stetig bezüglich x Beweis Mit 2 f(t, x := f 1 f 1 x d (t, x x 1 (t, x f d x 1 (t, x f d x d (t, x für (t, x D folgt as Eigenschaften der Operatornorm 1 leicht, dass 2 f : D R d d stetig ist Ist (, v D, so ist K := B δ (, v D für genügend kleines δ > 0 eine Umgebng von (, v Da K kompakt ist, existiert L := max 2f K Für (t, ξ K ist 2 f(t, ξ die Jacobi-Matrix von f(t, an der Stelle ξ Sind (t, x, (t, y K, so gilt damit nach dem Schrankensatz f(t, x f(t, y L x y Beispiel 24 1 Es sei f(t, x := tx 2 (t, x R Dann gilt 2 f(t, x = 2tx für t, x R Insbesondere ist 2 f stetig af R 2 Nach S 23 ist f af R 2 lokal Lipschitz-stetig bezüglich x 2 Für t, x R sei { x, x 0 f(t, x := g(x := 0, x < 0 (vgl B 18 Af D = {(t, x R 2 : x 0} ist 2 f stetig Also ist f D lokal Lipschitz-stetig bzgl x Andererseits gilt für alle x > 0 g(x g(0 = x = x 0 x 1 Im Weiteren soll K d d stets mit der Operatornorm, also A := sp x B1 (0 Ax für A Kd d versehen sein

12 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 12 As 1/ x für x 0 + folgt, dass f af keiner offenen Menge D, die R {0} trifft, lokal Lipschitz-setig bezüglich x ist Wir zeigen nn, dass das Anfangswertproblem (12 äqivalent ist z einer gewissen Integralgleichng Um dies für K d -wertige Fnktionen formlieren z können, definieren wir für Intervalle I nd f = (f 1,, f d C(I, K d f := f(sds := ( f 1,, f d (, t I Dann ist f f linear Aßerdem gilt f max(,t min(,t f für f C(I, Kd Denn: Ohne Einschränkng können wir < t annehmen Mit v := f(sds K d gilt nach der Cachy-Schwarzschen Ungleichng d d v 2 = v v = f j (sds = v j f j (s ds = also v f(s ds j=1 v j v f(sds = Re v f(s ds v f(sds = v f(s ds, j=1 Re(v f(sds Satz 25 Es seien D R K d offen nd f C(D, K d Weiter seien (, v D nd I R ein Intervall mit I Dann sind für ϕ C(I, K d folgende Assagen äqivalent: a (ϕ, I ist eine Lösng von (12, dh ϕ( = v nd ϕ (t = f(t, ϕ(t (t I b Es ist graph(ϕ D nd für alle t I gilt ϕ(t = v + f(s, ϕ(sds Beweis a b: Es sei ϕ = (ϕ 1,, ϕ d, v = (v 1,, v d As ϕ j (s = f j(s, ϕ(s für s I folgt insbesondere, dass ϕ j stetig ist Mit ϕ j( = v j ergibt sich drch Anwendng des Haptsatzes der Differenzial- nd Integralrechnng für alle t I nd j = 1,, d ϕ j (t v j = ϕ j(sds = f j (s, ϕ(sds

13 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 13 b a: Da ϕ stetig af I nd f stetig af D sind, ist s f(s, ϕ(s stetig af I Also ergibt sich a drch Anwendng des Haptsatzes über Integralfnktionen Damit können wir folgende erste Version eines Existenz- nd Eindetigkeitssatzes für Anfangswertprobleme beweisen Satz 26 (Picard-Lindelöf; lokale Version Es seien D R K d offen nd f C + (D, K d Dann existiert z jeder kompakten Menge K D ein α = α(k > 0 so, dass das Anfangswertproblem x = f(t, x, x( = v für jedes (, v K nd jedes Intervall I [ α, + α] mit I gena eine Lösng af I besitzt Unser Beweis berht af einer geeigneten Anwendng des Banachschen Fixpnktsatzes Wir erinnern znächst an zwei wichtige Fakten as der Topologie: Ist (X, d ein metrischer Ram, so ist für A, B X (mit inf := dist(a, B := inf{d(a, b : a A, b B} der Abstand von A nd B Dabei gilt: Sind A abgeschlossen nd B kompakt mit A B =, so ist dist(a, B > 0 Ist (E, ein normierter Ram nd sind A, B E kompakt, so ist ach die Minkowski-Smme A + B := {a + b : a A, b B} kompakt Beweis 1 Es sei K D kompakt Da dist(k, D > 0 ist, existieren γ > 0, β > 0 so, dass mit Q γ,β := {(t, x : t γ, x β} die Menge K + Q γ,β Teilmenge von D ist Nach der Vorbemerkng ist aßerdem K + Q γ,β kompakt Wir setzen M := max f K+Q γ,β nd mit L = L(K + Q γ,β wie in B 22 (nd ρ/0 := für ρ > 0 ( α := min γ, β M, 1 2L 2 Es sei (, v K fest, nd es sei I ein Intervall mit I nd Wir setzen I [ α, + α] C := {ϕ C(I, K d : ϕ(t v β für alle t I} B(I, K d Der normierte Ram (B(I, K d, ist ein Banachram (siehe Analysis Weiter ist C B(I, K d abgeschlossen

14 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 14 Denn: Es sei (ϕ n n eine Folge in C mit ϕ n ϕ für ein ϕ B(I, K d Dann ist (siehe Analysis ϕ stetig af I, d h ϕ C(I, K d Aßerdem gilt für alle t I nd n N ϕ(t v ϕ n (t v + ϕ n (t ϕ(t, }{{}}{{} β 0 (n also ach ϕ(t v β nd damit ϕ C Als abgeschlossene Teilmenge des vollständigen Rames (B(I, K d, d ist (C, d ebenfalls vollständig 3 Ist ϕ C, so folgt (s, ϕ(s K + Q γ,β D für alle s I Da s f(s, ϕ(s stetig af I ist, definiert T ϕ(t := v + f(s, ϕ(sds (t I nach dem Haptsatz über Integralfnktionen eine af I stetige Fnktion T ϕ (tatsächlich ist T ϕ sogar differenzierbar Weiter gilt für t I T ϕ(t v = f(s, ϕ(sds max(,t min(,t f(s, ϕ(s ds M t M α β, }{{} M also ist T ϕ C Damit ist T eine Selbstabbildng af C Aßerdem gilt für ϕ, ψ C nd t I T ϕ(t T ψ(t max(,t min(,t f(s, ϕ(s f(s, ψ(s ds max(,t L ϕ(s ψ(s ds L ϕ ψ t min(,t L ϕ ψ α 1 2 ϕ ψ = 1 2 d (ϕ, ψ Also ist d (T ϕ, T ψ (1/2d (ϕ, ψ nd damit T : C C eine 1/2-Kontraktion 4 Nach dem Banachschen Fixpnktsatz hat T gena einen Fixpnkt ϕ C, dh es existiert gena eine Fnktion ϕ C mit ϕ(t = T ϕ(t = v + f(s, ϕ(sds (t I Da jede Fnktion, die das Anfangswertproblem x = f(t, x, x( = v af I löst, notwendigerweise in C liegt ([Ü], ist ϕ nach S 25 die eindetig bestimmte Lösng des Anfangswertproblems x = f(t, x, x( = v af I

15 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 15 Bemerkng 27 Es seien D R K d offen nd f C(D, K d 1 Man sagt, dass Anfangswertproblem x = f(t, x, x( = v sei lokal eindetig lösbar, falls eine Umgebng U von so existert, dass das Anfangswertproblem jedem Intervall I U mit I gena eine Lösng hat Insbesondere ergibt sich as S 26, dass für f C + (D, K d das Anfangswertproblem in jedem Pnkt (, v D lokal eindetig lösbar ist (man wähle K = {(, v} nd U := [ α, + α] Man kann zeigen, dass ach ohne die Vorassetzng der lokalen Lipschitz-Stetigkeit die Existenz einer Lösng des Anfangswertproblems af einer Umgebng von gesichert ist (Existenzsatz von Peano Wie etwa B 18 zeigt, sind die Lösngen in diesem Fall allerdings im Allgemeinen nicht mehr lokal eindetig Af den Beweis des Satzes von Peano, der weitergehende Hilfsmittel der Analysis erfordert, wollen wir nicht eingehen 2 Mit den Bezeichnngen as dem Beweis z S 26 ergibt sich für f C + (D, K d mit dem Banachschen Fixpnktsatz folgendes iterative Verfahren zr näherngsweisen Berechnng der Lösng des Anfangswertproblems (12 af einer Umgebng von : Ist ϕ 0 C (etwa ϕ 0 (t v, so konvergiert die Folge (ϕ n in C mit ϕ n+1 (t := T ϕ n (t = v + f(s, ϕ n (sds für t I (gleichmäßig gegen die Lösng ϕ Aßerdem ergibt sich as dem Banachschen Fixpnktsatz eine Abschätzng für den Fehler ϕ ϕ n Dieses Näherngsverfahren zr Bestimmng der Lösng heißt Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren oder ach Methode der skzessiven Approximationen Für das einfache Beispiel x = x, x(0 = 1 erhalten wir etwa mit ϕ 0 1 n t ν ϕ n (t = ν!, ν=0 also ϕ(t = lim n ϕ n(t = e t (hier sogar für alle t R Definition 28 1 Es seien (ϕ, I nd (ψ, J Lösngen des Anfangswertproblems (12 Dann heißt (ψ, J Fortsetzng von (ϕ, I bzw (ϕ, I Einschränkng von (ψ, J, falls J I nd ψ I = ϕ gilt Dabei nennt man im Falle J I die Fortsetzng bzw die Einschränkng echt Die Lösng (ϕ, I heißt maximal, falls (ϕ, I keine echte Fortsetzng hat Das Intervall I heißt dann ein maximales Lösngsintervall des Anfangswertproblems 2 Das Anfangswertproblem (12 heißt global eindetig lösbar, falls gena eine maximale Lösng (ϕ max, I max existiert nd jede Lösng Einschränkng von (ϕ max, I max ist Wenn wir die Abhängigkeit von den Anfangswerten (, v betonen möchten, schreiben wir im Falle der global eindetigen Lösbarkeit ach ϕ(,, v für die maximale Lösng nd I(, v für das maximale Lösngsintervall Beispiel 29 1 Es seien D = R C nd λ C Dann ist das Anfangswertproblem x (t = λx(t, x( = v

16 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 16 für (, v R C nach S 13 global eindetig lösbar nd es gilt ϕ(t,, v = ve λ(t af I(, v = R 2 Wir betrachten wieder B 18 Hier sind die Fnktionen ψ(t 0 af R nd ϕ : R R mit { t 2 /4, t 0 ϕ(t = 0, t < 0 maximale Lösngen des Anfangswertproblems mit x(0 = 0 Es können also mehrere maximale Lösngen existieren B 18 zeigt ach, dass das Anfangswerproblem mit x(0 = v > 0 zwar lokal eindetig, aber nicht global eindetig lösbar ist Satz 210 Es seien D R K d offen nd f C(D, K d Ist das Anfangswertproblem (12 für jedes (, v D lokal eindetig lösbar, so ist es ach für jedes (, v D global eindetig lösbar Beweis 1 Wir zeigen znächst: Sind (ϕ, I nd (ψ, J Lösngen von (12, so gilt ϕ I J = ψ I J Angenommen, es existiert ein t I J mit ϕ(t ψ(t Ohne Einschränkng betrachten wir den Fall t > nd setzen t := inf{t I J : t >, ϕ(t ψ(t} Nach Vorassetzng ist < t nd nach Definition von t ϕ [,t = ψ [,t Da ϕ nd ψ stetig af [, t ] I J sind, gilt ach ϕ(t = ψ(t nd damit insbesondere t < t Also ist t kein Randpnkt von I J nd ϕ nd ψ sind Lösngen von x = f(t, x, x(t = ψ(t (= ϕ(t af I J Nach Vorassetzng existiert eine Umgebng U von t mit ϕ U = ψ U, im Widersprch zr Definition von t 2 Es sei I max die Vereinigng aller Intervalle I mit I nd so, dass af I eine Lösng ϕ I existiert (solche Intervalle existieren nach Vorassetzng Für t I max setzen wir ϕ max (t := ϕ I (t falls t I Dann ist ϕ max nach 1 wohldefiniert, denn sind ϕ I nd ψ J zwei Lösngen mit t I J, so gilt ψ(t = ϕ(t Aßerdem ergibt sich as der Definition, dass (ϕ max, I max maximale Lösng von (12 ist nd dass jede Lösng Einschränkng davon ist Es gilt damit

17 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 17 Satz 211 (Picard-Lindelöf, globale Version Es seien D R K d offen nd f C + (D, K d Dann ist für jedes (, v D das Anfangswertproblem (12 global eindetig lösbar Weiter gilt: I(, v ist offen nd z jeder kompakten Menge K D existieren 1, 2 I(, v mit (t, ϕ(t,, v K für alle t > 1 nd t < 2 Beweis Nach B 271 ist das Anfangswertproblem (12 für jedes (, v lokal eindetig lösbar As S 210 folgt dann die global eindetige Lösbarkeit Es seien K D kompakt nd (, v D Angenommen, es existiert kein 1 wie gefordert Ist b (, ] der rechte Randpnkt von I(, v, so existiert damit eine Folge (t n in I(, v mit < t n b nd (t n, ϕ(t n,, v K (n N Dann ist insbesondere b < Es sei nn α = α(k wie in S 26 Wir wählen ein N N mit t N > b α nd betrachten das Anfangswertproblems x = f(t, x, x(t N = w := ϕ(t N,, v Nach S 26 gilt [t N α, t N + α] I(t N, w für die maximale Lösng ϕ(, t N, w Da t N + α > b gilt nd da ϕ(, t N, w als Fortsetzng von ϕ(,, v ach Lösng von (12 ist, ergibt sich ein Widersprch zr Maximalität von ϕ(,, v Also existiert ein 1 wie gefordert Zdem ist dabei b I(, v, denn sonst wäre [, b] ϕ([, b],, v kompakt in D als Bild der stetigen Fnktion t (t, ϕ(t,, v nter der kompakten Menge [, b] Dies widerspricht aber dem eben Bewiesenen Eine entsprechende Argmentation für den linken Randpnkt a von I(, v zeigt die Existenz eines 2 wie gefordert nd damit insbesondere ach a I(, v Bemerkng 212 Unter den Vorassetzngen von S 211 existiert z jedem Pnkt (, v D eine eindetig bestimmte maximale Lösng ϕ(,, v, die zdem jede kompakte Teilmenge verlässt, sowohl bei Annäherng an den rechten Randpnkt von I(, v, als ach bei Annäherng an den linken Die dadrch definierte Fnktion ϕ : Ω K d mit Ω := {(t,, v R R K d : t I(, v, (, v D} nennen wir die allgemeine Lösng der Differenzialgleichng x = f(t, x Beispiel Es sei D = R R Wir betrachten das Anfangswertproblem x = tx 2, x( = v

18 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 18 für (, v R R Ist v = 0, so ist ϕ(,, 0 = 0 af R die maximale Lösng Nach S 15 ergibt sich für v 0 eine Lösng jedenfalls lokal drch Aflösen von nach x Man erhält dann 1 t 2 (t2 2 = x = s ds = x v 2v 2 v(t 2 2 ds s 2 = 1 x + 1 v, für t genügend klein Genaer ist dadrch eine Lösng des Anfangswertproblems af jedem Intervall gegeben, das, aber nicht die im Falle c := c(, v := 2 + 2/v 0 aftretenden Nllstellen des Nenners ± c, enthält Nach passenden Fallnterscheidngen ergibt sich (mit viel Konzentration R, falls c < 0 ϕ(t,, v = 2v 2 v(t 2 2 ( c, c, falls c 0, v > 0 für t I(, v = ( c,, falls c 0, v < 0, > 0 (, c, falls c 0, v < 0, < 0 Obwohl D = R R ist, sind die maximalen Lösngsintervalle nicht stets ganz R Man sieht aber: Alle Lösngen verlassen jede kompakte Teilmenge von R 2 Genaer gilt für c 0 für t ± c, falls v > 0 ϕ(t,, v für t c, falls v < 0, > 0 für t c, falls v < 0, < 0 2 Es sei D = (0, C nd Dann ist z = 2πiz/t 2, z(1 = v C ϕ(t, 1, v = ve 2πi/t (t (0, nach S 13 die maximale Lösng des Anfangswertproblems Hier existiert im Falle v 0 nicht! lim ϕ(t, 1, v t 0 + Unter zsätzlichen Vorassetzngen an f kann man eine Assage über die Größe der maximalen Lösngsintervalle machen Vorbereitend beweisen wir das äßerst nützliche Lemma von Gronwall: Satz 214 Es seien J = [, β R ein (halboffenes Intervall nd ψ C(J, R Existieren Konstanten A R nd B 0 mit so ist ψ(t Ae B(t für t J ψ(t A + B ψ (t J,

19 2 LÖSUNGSTHEORIE FÜR ALLGEMEINE GEWÖHNLICHE DGLN 19 Beweis Für δ 0 setzen wir Dann gilt g δ (t = (A + δe B(t (t J g δ (t = A + δ + B g δ (t J Wir zeigen: ψ < g δ für alle δ > 0 Dann ist ψ g 0 nd damit gilt die Behaptng Für δ > 0 ist nach Vorassetzng ψ( = A < A + δ = g δ ( Angenommen, es existiet ein t J mit ψ(t g δ (t Für t := inf{t J : ψ(t g δ (t} (> gilt ψ(t = g δ (t nd ψ g δ af [, t ], nach Vorassetzng aber dann ach Widersprch! ψ(t A + B ψ < A + δ + B g δ = g(t Satz 215 Es seien I R ein offenes Intervall nd D = I K d Weiter sei f C + (D, K d so, dass z jedem kompakten Intervall I 0 I Konstanten L, M 0 exitieren mit f(t, x L x + M für alle (t, x I 0 K d, Dann ist I(, v = I für alle (, v I K d Beweis Angenommen, I(, v I Ohne Einschränkng sei dann β := sp I(, v < sp I nd J := [, β Dann ist I 0 := [, β] I kompakt nd damit existieren L, M 0 mit f(t, x L x + M für alle (t, x I 0 K d Für t J gilt nach S 25 nd mit δ := β daher ψ(t := ϕ(t, v v + As dem Lemma von Gronwall folgt ϕ(t,, v = v + f(s, ϕ(s, vds f(s, ϕ(s, v ds v + Mδ + L ϕ(t,, v = ψ(t ( v + Mδe L(t ( v + Mδe Lδ (t J, ψ (t J also ist ϕ(, v beschränkt af J Das widerspricht aber der Tatsache, dass ϕ(,, v nach S 211 jede kompakte Teilmenge von D = I K d verlässt

20 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 20 3 Allgemeine lineare Differenzialgleichngen Bereits in Abschnitt 1 hatten wir ns krz mit (skalaren linearen Differenzialgleichngen beschäftigt Wir nterschen jetzt den wesentlich allgemeineren Fall von Systemen linearer Differenzialgleichngen Es seien im Folgenden stets I R ein offenes Intervall nd A = (a jk C(I, K d d sowie b C(I, K d Mit D := I K d nd f : D K d, definiert drch f(t, x := A(tx + b(t, nennt man die Differenzialgleichng x = f(t, x = A(tx + b(t (31 ein lineares System (von Differenzialgleichngen oder krz lineare Differenzialgleichng (man beachte dabei: f : D K d ist stetig Die Gleichng x = A(tx (32 heißt zgehörige homogene Gleichng Ist b = 0, so heißt (31 homogen Meist betrachten wir ach jetzt wieder Anfangswertprobleme der Form für I, v K d x = A(tx + b(t, x( = v (33 As den Ergebnissen des vorigen Abschnittes erhalten wir nmittelbar Satz 31 Es seien I R ein offenes Intervall nd A : I K d d, b : I K d stetig Dann ist für jedes (, v I K d das Anfangswertproblem (33 global eindetig lösbar mit I(, v = I Beweis Wir betrachten wieder f : D = I K d K d mit f(t, x := A(tx + b(t Dann gilt f(t, x f(t, y = A(t(x y A(t x y (t I, x, y K d Ist I 0 I kompakt, so existiert Also gilt L := max t I 0 A(t f(t, x f(t, y L x y (t I 0, x, y K d Insbesondere ist damit f C + (D, K d, also nach der globalen Version des Satzes von Picard-Lindelöf (S 211 jedes Anfangswertproblem (33 global eindetig lösbar Für t I 0, x K d ergibt sich mit f(t, 0 = b(t zdem f(t, x f(t, x f(t, 0 + f(t, 0 L x + max I 0 b Setzt man M := max I 0 b, so folgt I(, v = I as S 215

21 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 21 Wir wollen ns nn die Strktr der Lösngsmenge von (31 genaer anschaen Daz betonen wir die Abhängigkeit von der Inhomogenität b nd schreiben ϕ b (,, v für die maximale Lösng von (33 Aßerdem setzen wir L b := {ψ : ψ löst (31 af I}, also insbesondere L 0 = {ψ : ψ löst (32 af I} Dann gilt für I fest (beachte ψ = ϕ b (,, ψ( für alle ψ L b L b = {ϕ b (,, v : v K d } nd insbesondere L 0 := {ϕ 0 (,, v : v K d } Weiter erhalten wir Satz 32 Es seien I R ein offenes Intervall nd A : I K d d, b : I K d stetig 1 Für jedes I ist T : K d C(I, K d mit T v := ϕ 0 (,, v linear nd injektiv 2 L 0 ein d-dimensionaler Unterram von C(I, K d nd für ψ b L b gilt L b = ψ b + L 0, d h L b ist ein d-dimensionaler affiner Unterram von C(I, K d Beweis 1 Wir schreiben krz T = T Für v, w K d nd λ K gilt (λt v + T w (t = λ(t v (t + (T w (t = λa(tt v(t + A(tT w(t = A(t(λT v + T w(t (t I nd (λt v + T w( = λϕ 0 (,, v + ϕ 0 (,, w = λv + w Wegen der Eindetigkeit der maximalen Lösng von (33 ist folglich λt v + T w = ϕ 0 (,, λv + w, d h λt v + T w = T (λv + w Also ist T linear Ist T v = 0, so gilt 0 = T v( = ϕ 0 (,, v = v Damit ist Kern(T = {0}, also T injektiv

22 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 22 2 As 1 folgt, dass L 0 = Bild(T isomorph z K d ist Damit ist L 0 ein d-dimensionaler Unterram von C(I, K d Es bleibt z zeigen L b = ψ b + L 0 : Es sei ψ ψ b + L 0, d h ψ = ψ b + ψ 0 für ein ψ 0 L 0 Dann gilt ψ (t = A(tψ b(t + b(t + A(tψ 0 (t = A(tψ(t + b(t af I Also ist ψ Lösng von (31 af I nd damit ψ L b : Es sei ψ L b, d h ψ = A(tψ + b(t af I Dann gilt (ψ ψ b = A(t(ψ ψ b, also ψ ψ b L 0 Damit ist ψ = ψ b + (ψ ψ b ψ b + L 0 Bemerkng nd Definition 33 Da nach S 32 der Lösngsram L 0 der homogenen Gleichng x = A(tx ein d-dimensionaler linearer Ram ist, reicht es, zr Bestimmng einer beliebigen Lösng eine Basis von L 0 z kennen (jede Lösng ist dann Linearkombination der Basiselemente Eine solche Basis heißt ein Fndamentalsystem Die lineare Unabhängigkeit von Lösngen ist dabei äqivalent zr linearen Unabhängigkeit der Anfangswerte Genaer folgt für M K d as der Tatsache, dass T für alle I ein Isomorphisms af L 0 ist, die Äqivalenz folgender Assagen: a M ist linear nabhängig in K d b Für alle I ist T (M = {ϕ 0 (,, v : v M} linear nabhängig in L 0 c Es existiert ein I so, dass T (M linear nabhängig in L 0 ist S 32 zeigt zdem, dass sich die Bestimmng einer beliebigen Lösng des inhomogenen Systems x = A(tx + b(t af die Bestimmng einer speziellen Lösng des inhomogenen Systems nd einer Basis des Lösngsrames L 0 der zgehörigen inhomogenen Gleichng redziert Wir befassen ns znächst mit homogenen Gleichngen (nd schreiben wieder ϕ statt ϕ 0 Beispiel 34 (vgl B 2132 Wir betrachten I = (0,, K = R nd ( 0 1/t 2 A(t := (t (0, 1/t 2 0 nd damit das homogene System ( ( x x = 1 0 1/t 2 = 1/t 2 0 x 2 ( x1 x 2 = A(t x Man rechnet leicht nach, dass ( 1 T 1/π 0 ( = ϕ t, 1/π, ( 1 = 0 ( cos(1/t sin(1/t (t (0,

23 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 23 nd ( 0 ( ( 0 ( sin(1/t T 1/π = ϕ t, 1/π, = (t > cos(1/t gilt Da ( ( 1 0 nd 0 ( 1 in R 2 linear nabhängig sind, sind ach T 1 ( 1/π 0, 0 T1/π 1 linear nabhängig nd damit eine Basis von L 0, also ein Fndamentalsystem der linearen Gleichng Bemerkng nd Definition 35 1 Sind ψ 1,, ψ d beliebige Lösngen von x = A(tx af I nd ist ψ 1,1 (t ψ 1,d (t Φ(t := (ψ 1,, ψ d (t =, ψ d,1 (t ψ d,d (t wobei ψ j,k die j-te Komponentenfnktion von ψ k bezeichnet, so heißt für t I die Determinante W (t := W (ψ 1,, ψ d ; t := det Φ(t, die Wronski-Determinante von ψ 1,, ψ d an der Stelle t Nach B 33 gilt: ψ 1,, ψ d ist ein Fndamentalsystem gena dann, wenn W ( 0 für ein I ist (man beachte: ψ k = ϕ 0 (,, ψ k ( Aßerdem ist in diesem Falle schon W ( 0 für alle I Also: Entweder ist W ( 0 für alle I oder W ( 0 af I 2 Bilden ψ 1,, ψ d ein Fndamentalsystem, so heißt die Fnktion Φ : I K d d eine Fndamentalmatrix der Gleichng x = A(tx Satz 36 Ist Φ eine Fndamentalmatrix von x = A(tx, so gilt für alle (, v I K d ϕ(t,, v = Φ(t Φ 1 ( v (t I d h die allgemeine Lösng der Gleichng ergibt sich als Prodkt der matrixwertigen Fnktion Φ mit dem Vektor Φ 1 (v Beweis Nach B/D 35 ist Φ( für alle I invertierbar (da W ( = det Φ( 0 Für jedes v K d ist ψ := ΦΦ 1 (v eine Linearkombination der Fnktionen ψ 1,, ψ d, also eine Lösng von x = A(tx Aßerdem gilt ψ( = Φ(Φ 1 (v = v, d h ach die Anfangsbedingng ist erfüllt Folglich ist ψ = ϕ(,, v ( Beispiel 37 Es sei A wie in B 34 Dann ist mit ψ 1 := T 1 ( 1/π 0 nd ψ2 := T 0 1/π 1 ( ( ψ1,1 ψ 1,2 cos(1/ sin(1/ Φ = (ψ 1, ψ 2 = = ψ 2,1 ψ 2,2 sin(1/ cos(1/

24 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 24 eine Fndamentalmatrix Speziell gilt ( 1 0 Φ(1/π = 0 1 nd damit ach Φ 1 (1/π = ( Also ist die Lösng des Anfangswertproblems x = A(tx, x(1/π = (v 1, v 2 gegeben drch ( v1 ϕ(t, 1/π, v = Φ(t = v 1 cos(1/t + v 2 sin(1/t = v 1 ψ 1 (t v 2 ψ 2 (t v 2 v 1 sin(1/t v 2 cos(1/t Wir betrachten nn sehr spezielle lineare Systeme, für die wir in gewisser Weise explizite Fndamentalsystme angeben können Es sei x (t = Ax(t, (34 wobei A K d d eine feste Matrix ist (also nabhängig von t Eine solche Gleichng heißt lineares System mit konstanten Koeffizienten Wir erweitern znächst einige zentrale Begriffe der Analysis in für das Weitere geeigneter Weise Daz sei (E, ein Banachram (über K Sind U K nd f : U E, so heißt f differenzierbar an a U, falls a Häfngspnkt von U ist nd 1 lim h 0 h (f(a + h f(a =: f (a existiert Aßerdem definiert man Differenzierbarkeit af einer Teilmenge nd höhere Ableitngen wie im skalaren Fall Ist (c k eine Folge in E so, dass die Folge (s n mit s n := so spricht man von Konvergenz der Reihe c k nd setzt Dabei gilt: Ist impliziert Konvergenz c k <, so ist c k := lim s n = lim n n n c k Denn: Es sei ε > 0 Dann existiert ein N ε N so, dass m k=n+1 n c k konvergent in E ist, c k konvergent, d h absolte Konvergenz c k < ε (m > n N ε

25 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 25 Also folgt für m > n N ε s m s n = m k=n+1 c k m k=n+1 c k < ε Damit ist (s n eine Cachy-Folge in E Da (E, d vollständig ist, konvergiert (s n Ist (c k eine Folge in E, so heißt R := sp{ h : h K so, dass h k c k konvergiert} Konvergenzradis der Potenzreihe h k c k Die Reihe ist dann absolt konvergent für alle h mit h < R Ist a K nd ist f : U R (a E definiert drch f(x := (x a k c k, so ist f (sogar beliebig oft differenzierbar af U R (a mit f (x = (x a k (k + 1c k+1 Es sei nn (E, spezieller eine (nitäre Banachalgebra, d h es existiert zsätzlich eine Abbildng : E E E so, dass (E, +, ein Ring ist nd dass zdem für λ K nd A, B E gilt λ(a B = λa B = A λb nd A B A B Dann ist für jede konvergente Reihe C k in E nd A E Denn: also A A C k = A n C k C k nd ( C k A = C k A, n A C k A C k A C k A C k n C k 0 (n, Entsprechend argmentiert man im Falle der zweiten Gleichheit In Banachalgebren ist A k (mit A 0 := 1 E für A E nd k N 0 definiert Ist C k = A k /k!, so folgt as A k A k, dass die Potenzreihe hk C k den Konvergenzradis hat Definiert man e A A k := exp(a := (A E, k!

26 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 26 so gilt für festes A E nd R nach obigen Bemerkngen (e ( A = A e ( A = e ( A A Vertaschen A, B E, gilt also AB = BA, so sieht man wie im skalaren Fall: As der Gültigkeit der binomischen Formel n ( n (A + B n = A ν B n ν ν ergibt sich (drch Cachy-Prodktbildng die Fnktionalgleichng ν=0 e A e B = e A+B Insbesondere gilt damit e (x+ya = e xa e ya für alle x, y K nd e A e A = e 0 = 1 E, d h e A ist stets invertierbar mit (e A 1 = e A Wichtig z beachten: Die Gleichng e A e B = e A+B gilt nicht für beliebige A, B E ([Ü] Wir betrachten im Weiteren meist E = K d d versehen mit der Operatornorm Man kann leicht zeigen (siehe Analysis nd Lineare Algebra, dass (K d d, eine Banachalgebra ist Dabei ist das Einselement 1 E die d-dimensionale Einheitsmatrix I = I d Die Nützlichkeit der obigen Betrachtngen belegt folgender Satz 38 Es seien A K d d nd R Dann ist für alle v K d die maximale Lösng des Anfangswertproblems x (t = Ax(t, x( = v gegeben drch ϕ(t,, v = e (t A v (t R Aßerdem ist t e (t A eine Fndamentalmatrix für (34 Beweis Es gilt (e ( A v = (e ( A v = Ae ( A v, af R, d h t e (t A v ist Lösng von (34 Aßerdem ist e ( A v = e 0A v = I d v = v Also ist ϕ(,, v = e ( A v Wählt man speziell v = e k, wobei e k den k-ten Einheitsvektor bezeichnet, so ist e (t A e k die k-te Spalte von e (t A, d h jede Spalte ist Lösng von (34 Da e 0A = I d gilt, sind die Spalten nach B 33 linear nabhängig Folglich ist e ( A e 1,, e ( A e d ein Fndamentalsystem, dh e ( A eine Fndamentalmatrix

27 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 27 Im Prinzip haben wir also Fndamentalmatrizen für (34 gefnden (nämlich etwa e ta Es stellt sich allerdings dabei die Frage, wie man e A konkret berechnen kann Daz verscht man, die Berechnng von e A für allgemeines A af die Berechnng von e B für gewisse einfache Matrizen B zrück z führen Wir zeigen daz znächst: Satz 39 Es seien A, B K d d 1 Sind A nd B ähnlich, so sind ach e A nd e B ähnlich Genaer gilt: Ist C invertierbar mit A = CBC 1, so ist e A = e CBC 1 = Ce B C 1 2 Hat A Blockdiagonalform A = diag(a 1,, A m = A 1 O O A m, mit A k K d k d k für k = 1,, m, so gilt e A = diag(e A1,, e Am Beweis 1 Per Indktion sieht man, dass gilt Also erhalten wir Ce B C 1 = C (CBC 1 ν = CB ν C 1 (ν N 0 ( ν=0 1 ν! Bν C 1 = ν=0 1 ν! CBν C = e CBC 1 2 Ist A = diag(a 1,, A m, so ist nach Definition der Matrixmltiplikation ach A ν = diag(a ν 1,, A ν m für ν N 0 Damit ergibt sich 2 as der Tatsache, dass für beliebige Matrizen A ν = (a (ν jk Konvergenz von A ν in K d d gleichbedetend mit der Konvergenz aller Reihen ν=0 ( in K ist, nd dass dann A ν = ν=0 a (ν jk ν=0 gilt ν=0 a (ν jk

28 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 28 Bemerkng 310 Es sei A K d d diagonalisierbar, d h es existieren (nicht notwendig paarweise verschiedene Eigenwerte λ 1,, λ d von A nd eine Basis c 1,, c d as zgehörigen Eigenvektoren Dann ist mit Λ := diag(λ 1,, λ d nd C := (c 1,, c d Also ist mit S 39 Dann ist aber ach ([Ü] eine Fndamentalmatrix A = CΛC 1 e ta = Ce tλ C 1 = C diag(e λ1t,, e λ dt C 1 e ta C = C diag(e λ1t,, e λ dt = ( e λ1t c 1,, e λ dt c d Beispiel Wir betrachten das lineare System x = x = Ax Es gilt det(a λi = λ 3 + 3λ 2 = (λ 1 2 (λ + 2, also haben wir die Eigenwerte λ 1 = λ 2 = 1 nd λ 3 = 2 Weiter rechnet man nach, dass c 1 = (1, 0, 1 nd c 2 = (0, 1, 1 (linear nabhängige Eigenvektoren z 1 sind, nd dass c 3 = ( 1, 1, 1 Eigenvektor z 2 ist Also ist mit C = (c 1, c 2, c 3 nach B 310 e t 1 0 1, et 0 1 1, ein Fndamentalystem Aßerdem folgt as C 1 = = 1 3 e 2t damit e ta = Ce tλ C 1 = e t e t e t e t 2e t e t e 2t e 2t e 2t = 1 3 2e t + e 2t e t + e 2t e t e 2t e t + e 2t 2e t + e 2t e t e 2t e t e 2t e t e 2t 2e t + e 2t

29 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 29 2 Wir betrachten das lineare System x = x = Ax Es gilt det(a λi = (1 λ((1 λ 2 + 1, also haben wir (in C die Eigenwerte λ 1 = 1 nd λ 2,3 = 1 ± i Zgehörige Eigenvektoren sind c 1 = (1, 0, 0, c 2 = (3 4i, i, 1 nd c 3 = c 2 Damit bilden etwa 1 3 4i 3 + 4i e t 0, e(1+it i, e(1 it i ein Fndamentalsystem von x = Ax (als Gleichng in C betrachtet Ein reelles Fndamentalsystem erhält man, indem man die zweite nd dritte Lösng e (1±it c 2 nd e (1 it c 2 drch Re(e (1+it c 2 nd Im(e (1+it c 2 ersetzt ([Ü] Aßerdem folgt as C 1 = 1 3 4i 3 + 4i 0 i = i/2 1/2 0 i/2 1/2 hier e ta = = 1 3 4i 3 + 4i e t i i 0 e (1+it 0 0 i/2 1/ e (1 it 0 i/2 1/2 e t 4e t 4e t cos t + 3e t sin t 3e t + 3e t cos t + 4e t sin t 0 e t cos t e t sin t 0 e t sin t e t cos t Schwieriger wird die Berechnng eines Fndamentalsystems natürlich dann, wenn A nicht diagonalisierbar ist Wir definieren für λ K nd r N die Jordan-Matrix J(λ K r r drch λ J(λ := J r (λ := O λ λ K r r

30 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 30 falls r > 1 nd J(λ := J 1 (λ := (λ für r = 1 As der Linearen Algebra verwenden wir, dass jede Matrix A C d d (die natürlich ach rein reelle Einträge haben kann ähnlich z einer Blockdiagonalmatrix der Form B = diag(j r1 (λ 1,, J rm (λ m ist, also A = CBC 1 für eine Matrix C mit det(c 0 gilt Dabei ist die Darstellng eindetig bis af die Reihenfolge der Jordanblöcke Nach S 39 redziert sich die Berechnng der Matrix e ta af die Berechnng der Matrizen C, C 1 sowie e tjr k (λ k für k = 1,, m As Sicht der Analysis stellt sich damit insbesondere die Frage nach der Berechnng von e tj(λ für λ K Wir schreiben krz Dann ist J(λ = λi + N N := N r := J r (0 Satz 312 Ist λ K, so ist e tj(λ = e λt e tn mit e tn = r 1 ν=0 1 ν! tν N ν = 1 t t 2 2! t r 1 (r 1! 1 t t r 2 (r 2! O t 1 Beweis Man rechnet nach, dass N 2 = O ,, N r 1 = O 0, nd N ν = 0 für ν r gilt Hieras folgt e tn = r 1 ν=0 1 ν! tν N ν = 1 t t 2 2! t r 1 (r 1! t 1

31 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 31 Da λi nd N vertaschen, gilt zdem e tj(λ = e tλi e tn = e tλ Ie tn = e tλ e tn Beispiel 313 Es sei A = also A = diag(j 2 ( 1, J 1 (2 Dann ist , e ta = diag(e tj2( 1, e tj1(2 = diag(e t e tn2, e 2t e tn1 = e t te t 0 0 e t e 2t Mit S 312 nd den vorangegangenen Überlegngen ergibt sich folgendes Ergebnis über die Strktr des Lösngsrames von x (t = Ax(t Satz 314 Es sei A C d d mit A = Cdiag ( J r1 (λ 1,, J rm (λ m C 1 Dann ist für k = 1,, m nd l = 1,, r k mit s k := k 1 r j die (l + s k -te Spalte e ta Ce l+sk der j=1 Fndamentalmatrix e ta C von der Form e ta Ce l+sk = e λkt P (k,l (t, wobei die Fnktionen P (k,l Polynome vom Grad l 1 mit Koeffizienten in C d sind 2 Beweis Da e ta eine Fndamentalmatrix ist, ist ach e ta C eine Fndamentalmatrix ([Ü] Mit C = (c 1,, c d ist e ta C = (c 1,, c r1, c 1+r1,, c r2+r 1,, c d diag(e λ1t e tnr 1,, e λ mt e tnrm Die ersten r 1 Spalten haben die Form e λ1t c 1, e λ1t (tc 1 + c 2,, e λ1t( t r1 1 (r 1 1! c 1 + tr1 2 (r 1 2! c c r1 nd (falls m > 1 für k = 2,, m die Spalten 1 + s k,, r k + s k entsprechend mit e λ kt nd c 1+sk,, c rk +s k Wir kommen zm Abschlss des Abschnitts zrück zm inhomogenen System (31 Für v K d gilt ϕ b (,, v = ϕ 0 (,, v + ϕ b (,, 0 2 Genaer ist P (k,l (t = l µ=1 t l µ (l µ! Ce µ+s k

32 3 ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 32 nd nach S 36 ist dabei ϕ 0 (,, v = Φ( Φ 1 (v, wobei Φ( eine beliebige Fndamentalmatrix ist Ach die spezielle Lösng ϕ b (,, 0 der inhomogenen Gleichng lässt sich as Φ( per Integration bestimmen: Satz 315 (Variation der Konstanten Es sei Φ( eine Fndamentalmatrix von (32 Dann ist für I ϕ b (t,, 0 = Φ(t Φ 1 (sb(sds (t I Beweis Da Φ eine Fndamentalmatirix ist, gilt Φ (t = A(tΦ(t für t I ([Ü] Mit ψ(t := Φ(t Φ 1 (sb(sds ergibt sich nach der Prodktregel für matrixwertige Fnktionen ([Ü] dem Haptsatz über Integralfnktionen ψ (t = Φ (t Φ 1 (sb(sds + Φ(tΦ 1 (tb(t = A(tΦ(t Φ 1 (sb(sds + b(t für t I Also ist ψ Lösng von (31 af I mit ψ( = 0, d h ψ = ϕ b (,, 0 Beispiel 316 Wir betrachten wieder A as B 37 Ferner sei ( 1/t 2 b(t = (t > 0 0 Dann ist für = 1/π mit Φ as B 37 nach S 315 Weiter gilt also nd damit ist Φ(t 1/π 1/π ϕ b (t, t 1/π, 0 = Φ(t Φ 1 (t = Φ 1 (sb(sds = Φ 1 (sb(sds = 1/π 1/π Φ 1 (sb(sds ( cos(1/t sin(1/t sin(1/t ( cos(1/s/s 2 sin(1/s/s 2 ( cos(1/t sin(1/t sin(1/t cos(1/t cos(1/t ds =, ( sin(1/t cos(1/t + 1 ( ( sin(1/t sin(1/t = cos(1/t cos(1/t

33 4 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN N-TER ORDNUNG 33 4 Lineare Differenzialgleichngen n-ter Ordnng Wir wollen nn die Ergebnisse des letzten Abschnitts af lineare Differenzialgleichngen n-ter Ordnng anwenden: Sind a 0, a 1,, a n 1 : I K nd b : I K stetig, so heißt eine Gleichng der Form n 1 x (n = a k (tx (k + b(t (41 eine (skalare lineare Differenzialgleichng n-ter Ordnng Die Gleichng n 1 x (n = a k (tx (k (42 heißt zgehörige homogene Gleichng Entsprechende Anfangswertprobleme sind von der Form n 1 x (n = a k (tx (k + b(t, x (k ( = v k (k = 0,, n 1 (43 mit I, v := (v 0,, v n 1 K n In B 112 hatten wir gesehen, dass man solche Gleichngen bzw Anfangswertprobleme in Systeme 1 Ordnng mschreiben kann Hier ist das entsprechende System x x 1 0 x x 2 = + (44 x n x n 1 0 x n a 0 (t a 1 (t a n 1 (t x n b(t linear Bemerkng 41 Nach B 112 lassen sich sämliche Ergebnisse über Lösngen des Systems (44 in Ergebnisse über die Lösngen von (41 übertragen Insbesondere erhalten wir as S 31: Für jedes (, v I K n hat das Anfangswertproblem (43 gena eine Lösng af I nd jede weitere Lösng ist Einschränkng dieser Lösng Wir schreiben für diese (maximale Lösng wieder ϕ( ; ; v 0,, v n 1 = ϕ(,, v nd ach ϕ b statt ϕ, falls die Abhängigkeit von b hervorgehoben werden soll Damit gilt ϕ b (,, v = ϕ b (,, 0 + ϕ 0 (,, v für (, v I K n Um eine S 32, B/D 35 nd S 315 entsprechende Assage über die Lösngsgesamtheit machen z können, nterscheiden wir ach wieder M 0 := {ψ : ψ löst (42 af I} nd M b := {ψ : ψ löst (41 af I} Die wesentlichen Ergebnisse sind im folgenden Satz zsammengefasst

34 4 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN N-TER ORDNUNG 34 Satz 42 Es seien I R ein offenes Intervall nd a 0, a 1,, a n 1 : I K nd b : I K stetig 1 M 0 ist ein n-dimensionaler Unterram von C(I, K nd für I gilt M 0 = {ϕ 0 (,, v : v = (v 0,, v n 1 K n } Eine Basis von M 0 heißt wieder ein Fndamentalsystem der homogenen Gleichng 2 Für jedes ψ b M b ist M b = ψ b + M 0 3 Sind ψ 1,, ψ n M 0, so sind ψ 1,, ψ n gena dann ein Fndamentalsystem, wenn die Wronski-Determinante W ( := det Φ(, wobei ψ 1 (t ψ n (t ψ 1(t ψ n(t Φ(t := K n n, ψ (n 1 1 (t ψ n (n 1 (t für ein I nicht verschwindet In diesem Fall ist schon W ( 0 für alle I 4 (Variation der Konstanten Ist ψ 1,, ψ n ein Fndamentalsystem der homogenen Gleichng, so ist mit ψ 1 ψ j 1 ψ j+1 ψ n ψ 1 ψ j 1 ψ j+1 ψ n W j (s := det (s ψ (n 2 1 ψ (n 2 j 1 ψ (n 2 j+1 ψ n (n 2 für jedes I 3 n ϕ b (t,, 0 = ψ j (t( 1 n+j j=1 b(sw j (s ds (t I (45 W (s Beweis Wir bezeichnen die Lösngsmenge des linearen Systems(44 wieder mit L b Die ersten drei Assagen ergeben sich alle as den entsprechenden Ergebnissen für (44 drch Anwendng der bijektiven (! nd im Falle b = 0 linearen Abbildng j = j b : M b L b mit j(ψ = (ψ, ψ,, ψ (n 1 (ψ M b 3 Diese Darstellng erklärt den Namen Variation der Konstanten : Während jede Lösng der homogenen Gleichng von der Form n j=1 λ jψ j (t ist (also Linearkombination der ψ 1,, ψ n, ist hier ϕ b (t,, 0 = n λ j (tψ j (t, also Linearkombination der ψ 1 (t,, ψ n(t mit Koeffizienten λ 1 (t,, λ n(t, die mit t variieren j=1

35 4 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN N-TER ORDNUNG 35 Zr 4 Assage: Da (ψ 1 (t,, ψ n (t die erste Zeile von Φ(t nd die Inhomogenität hier b(te n ist, folgt as S 315 ϕ b (t,, 0 = ( ψ 1 (t,, ψ n (t b(sφ 1 (se n ds (t I Um die letzte Spalte Φ 1 (se n von Φ 1 (s z bestimmen hat man hat das lineare Gleichngssystem 0 c 1 (s Φ(s = 0 c n (s 1 z lösen Man erhält hier as der Cramerschen Regel ψ 1 ψ j 1 0 ψ j+1 ψ n 1 c j (s = det Φ(s det ψ 1 ψ j 1 0 ψ j+1 ψ n (s ψ (n 1 1 ψ (n 1 j 1 1 ψ (n 1 j+1 ψ n (n 1 1 = W (s ( 1n+j W j (s Beispiel 43 (harmonischer Oszillator Für b : R C nennt man die lineare Differenzialgleichng 2 Ordnng x + x = b(t Gleichng des harmonischen Oszillators mit Anregng b Man rechnet sofort nach, dass ψ 1 (t = e it, ψ 2 (t = e it (t R ein Fndamentalsystem der homogenen Gleichng x + x = 0 ist Also erhalten wir mit ( e it e it W (t = det = 2i e it e it W 1 (t = det(e it = e it, W 2 (t = det(e it = e it für den Resonanzfall b(t := e it nach (45 die spezielle Lösng ψ b := ϕ b ( ; 0; 0, 0 als ψ b (t = e it 0 e is e is ds + e it 2i 0 e is e is 2i ds = 1 (e it t e 2i Damit ergibt sich für cos(t = Re(e it = Re(b(t ach it e2is 2i ϕ Re(b (t; 0; 0, 0 = Re ψ b (t = 1 2 Im(teit sin t = t sin t 2 = 1 2i (teit sin t t 0

36 4 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN N-TER ORDNUNG 36 Wieder zeigen die obigen Ergebnisse, dass es von zentraler Bedetng ist, Fndamentalsysteme z finden Wie bei linearen Systemen stößt man hier sehr schnell an Grenzen Kennt man woher ach immer bereits eine nichtverschwindende Lösng einer linearen Differenzialgleichng der Ordnng n, so lässt sich dies ntzen, m weitere Lösngen as einer linearen Differenzialgleichng (n 1-ter Ordnng z bestimmen Man spricht dann von Redktion der Ordnng Wir beschränken ns bei der Darstellng dieses Ansatzes af den Fall n = 2 Satz 44 (Redktion der Ordnng Es sei I R ein offenes Intervall, nd es seien a 0, a 1 : I K stetig Weiter seien J I ein offenes Intervall nd (ϕ, J eine Lösng der Differenzialgleichng x = a 1 (tx + a 0 (tx mit ϕ(t 0 für alle t J Ist ψ : J K eine nichtkonstante Stammfnktion einer Lösng der linearen Differenzialgleichng 1 Ordnng x = a(tx mit a(t := a 1 (t 2 ϕ (t ϕ(t (t J, so bilden ϕ, ψϕ ein Fndamentalsytem der Asgangsgleichng af J Beweis Mit ϕ = a 1 ϕ + a 0 ϕ nd ψ = (a 1 2ϕ /ϕψ erhält man (ψϕ a 1 (ψϕ a 0 ψϕ = ψ ϕ + 2ψ ϕ + ϕ ψ a 1 ψ ϕ a 1 ψϕ a 0 ψϕ = 0, d h ψϕ ist ebenfalls Lösng (af J Da ψ nicht konstant af J ist sind ϕ nd ψϕ linear nabhängig Beispiel 45 Wir betrachten die lineare Differenzialgleichng 2 Ordnng x = 2t 1 t 2 x 2 1 t 2 x af I = ( 1, 1 Man sieht sofort, dass drch ϕ(t := t eine Lösng af ( 1, 1 gegeben ist Also erhalten wir nach S 44 eine zweite, linear nabhängige Lösng ψϕ etwa af J = (0, 1, falls ψ 0 eine Lösng von x = a(tx mit a(t = a 1 (t 2 ϕ (t ϕ(t = 2t 1 t 2 2 t ist Da drch α(t := ln((1 t 2 2 ln(t = ln ( 1 ( 1 1 t ln t (t (0, 1