4 Die freie Schwingung

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1 Einassenschwinger Teil I. ie freie Schwingng 5 ie freie Schwingng Nachde die Bewegngsgleichngen in Teil I. hergeleitet wrden nd in Teil I. die Belastngen lassifiziert wrden, werden in diesen folgenden Abschnitten die Lösngen dargestellt. ie Lösng ist hierbei die Fntion der Verschiebng in Abhängigeit von der Zeit. Znächst wird die freie Schwingng betrachtet. Sie ist dadrch geennzeichnet, dass die Belastng p(t) nd der Gewichtsanteil af der rechten Seite der Bewegngsgleichng (.) verschwindet. ie Bewegngsgleichng latet dait für diesen Fall c 0. ie freie ngedäpfte Schwingng I Fall der freien ngedäpften Schwingng redziert sich die Bewegngsgleichng drch das Wegfallen der äpfngsraft einen weiteren Ter. ait redziert sich die Gleichng (.) af 0 oder 0 (.) a i technischen Alltag nr positive Steifigeiten nd assen z betrachten sind (also > 0 nd > 0 sind), ann gesetzt werden. ait erhält an 0 Für ifferentialgleichngen dieses Typs ann ein Lösngsansatz nach Eler verwendet werden. er Ansatz verwendet eine Exponentialfntion für die Verschiebng rt rt Ce, r Ce rt rt r Ce Ce 0 r 0 r i it it ait ergibt sich als Gesatlösng t C e C e (.) Unter Berücsichtigng von e i t cost i sint erhält an t C C cost ic C sint t Acost Bsint (.) ie Kreisfreqenz ω ist dabei nr von den Systewerten der assen nd Steifigeiten abhängig nd wird daher als Eigenreisfreqenz bezeichnet. ie Schwingng wird als Eigenschwingng des Systes bezeichnet. iese Schwingng wird drch drei aßgebende Größen charaterisiert:

2 6 Teil I. ie freie Schwingng Einassenschwinger die Eigenreisfreqenz die Periode der Schwingng nd die Eigenfreqenz (.) T (.5) f T (.6) ie Eigenfreqenz f bzw. die Eigenreisfreqenz ω sind nr vo Bateil bzw. de echanischen Syste abhängig. Sie spielen in der Strtrdynai eine ganz wesentliche Rolle. 0 p 0 ax rch Veränderng der Systewerte ann die Eigenfreqenz beeinflsst werden. Sie wird vergrößert, wenn * die Steifigeit erhöht wird nd * die asse verringert wird. Abb. - T Freie Eigenschwingng ie Konstanten A nd B richten sich nach den Anfangsbedingngen. Wenn z Beispiel die Anfangsaslenng nd die Anfangsgeschwindigeit beannt sind (also wenn die Bedingngen gelten: (t=0) = O, (t=0) = 0 ), dann ergibt sich o A O, B oder o t O cost sint (.7) ie Schwingngsgleichng (.) wird oft ach in folgender For angegeben. t cos t ax arin ergibt sich für die Aplitde 0 ax 0 nd für die Phasenverschiebng 0 tan 0 (.8) (.9) (.0)

3 Einassenschwinger Teil I. ie freie Schwingng 7.. Näherngslösng er Steifigeitswert eines Einassenschwingers ann ach as der statischen Verschiebng δ des Einassenschwingers nter de Eigengewicht G = g erittelt werden. ie rchsenng δ infolge des Eigengewichts ergibt sich it G g ait gilt für die Steifigeit g Für die Eigenfreqenz gilt g g f it g = 9,8 /s² Für den Einassenschwinger ist diese Forel für die Eigenfreqenz exat. Als Näherngslösng ann sie für andere schwingende Systee verwendet werden, z. B. für die Berechnng der niedrigsten Eigenfreqenz eines Balens it ontinierlich verteilter asse. q g G Abb. - Statische Verschiebng des Einassenschwingers t EI, L L Abb. -a Schwingngsfor für die niedrigste Eigenfreqenz Abb. -b rchbiegng nter Eigengewicht ie exate Lösng latet it = asse je Längeneinheit EI EI 9, 87 L L ie axiale rchbiegng nter Eigengewicht ann dait bestit werden z q L / 76,8 EI ; g g g L / 76, 8EI ie Näherng für die Eigenfreqenz ergibt danach g 76,8EI 8, 76 L EI L

4 8 Teil I. ie freie Schwingng Einassenschwinger er Fehler beträgt,7 % nd liegt i Bereich der Genaigeit, die für eine Überschlagsberechnng bei der Aslegng eines Bateils üblicherweise zgrndegelegt wird... rehschwingngen Während einige der Freiheitsgrade der ecplatte in Abb.- translatorische Verschiebngen waren, stellte ein Freiheitsgrad eine Verdrehng (rotatorischer Freiheitsgrad) dar. ieser Verdrehng zgeordnet ist ein rehträgheitsoent (vgl. Gleichng (.)) nd eine Steifigeit gegen Verdrehen. rehachse Entsprechend der Idealisierng für die lineare Schwingng in For eines Feder - asse - Systes ann der Einassen- rehschwinger ebenfalls idealisiert werden. Als ifferentialgleichng ergibt sich analog t I I I Abb. - rehschwingng it I (t) als äßere oentenbelastng [SI-Einheit N]. Für die zgehörige Eigenreisfreqenz erhält an I, I, I r d.. Beispiele An einigen einfachen Beispielen soll die Anwendng dieser arstellngen gezeigt werden. Beispiel as z berechnende Syste ist ein asseloser Kragträger. A freien Ende ist eine pntförige große asse (Gewicht G) angebracht, vergl. Abb.-5a. Gescht sind. die Eigenreisfreqenz, Periode nd Eigenfreqenz nd. die Gleichng für die freie Schwingng, wenn die asse as der Asgangslage losgelassen wird. ie Asgangslage ist die Anordnng, bei der der Kragträger nicht verfort bzw. gebogen ist. as Eigengewicht als diejenige Last, die die Biegng hervorrft, ist noch nicht wirsa geworden.

5 Einassenschwinger Teil I. ie freie Schwingng 9 0 EI Abb. -5a Kragträger it Pntasse l G t G t Abb. -5b Äqivalenter Einassenschwinger Für die Lösng stehen folgende Gleichngen zr Verfügng, T, f T it P = ist = Kraft für die Verschiebng = EI G, l g EIg Gl, T, f Gl EIg T Als Zahlenwerte sind folgende aten gegeben: * Elastizitätsodl E =. 0 8 N/ (Stahl), * Flächenträgheitsoent I = 5700 c (IPB00), E I =,97 0 N * Länge l =, * Last G = 0 N, * Erdbeschlenigng g = 9,8 s - Für die Eigenreisfreqenz, die Schwingngsdaer (Periode) nd die Freqenz ergeben sich 97, 0 9, s, 0 T 0, s 0, 9 0 f, Hz 0, ie statische Aslenng berechnet sich z Gl 0 st 0, 0 EI 97, 0 iese Lage ist die Rhelage für die Schwingng. ait ergibt sich gleichzeitig als Anfangsbedingng 0 = - st, ů = 0.

6 0 Teil I. ie freie Schwingng Einassenschwinger it Gleichng (.5) nd (.7) ergibt sich für die Bewegng t st cost bei cos t ax st ie axiale dynaische Aslenng nd Beansprchng ist doppelt so groß wie diejenige des statischen Belastngsfalles. ies entspricht eine Asschlagen des Trägers in die Gegenrichtng der Asgangslage. iese beiden Positionen sind gleichzeitig die Grenzzstände (Aplitden) der Schwingng, die sich einstellt. er statische Belastngsfall ist der ittelwert der Schwingng. Beispiel aschine Träger 6,00 Abb. -6a Trägerbalen, drch eine aschine belastet Abb. -6b Qerschnitt des Trägerbalens Es ist ein beidseitig afgelagerter Träger it einer daraf ontierten aschine z berechnen, vergl. Abb. -6. er Qerträger ist as zwei Balen zsaengesetzt. ie Angaben des aschinenherstellers enthalten folgende aten: Gewicht des otors: 0 N Betriebsdrehzahl: n = 9 /in Eigengewicht jedes Balens: g B = 0,5 * 0,7 * 5 =,8 N/n Last je Balen as otorengewicht: G = 0/ = 0 N E-odl der Balen: E = 0 7 N/ Trägheitsoente je Balen: I = 0, 50, 7 = 7,5 0 - ie Aflagerng soll i aerwer sein. a die Aflagerngsbedingngen dait nicht lar bestibar sind, ss it Grenzbetrachtngen gearbeitet werden. ie Grenzfälle für die Aflagerngsbedingngen sind eine feste Einspannng an beiden Enden (vergl. Abb. -7a) nd eine oentenfreie Festhaltng an beiden Enden (vergl. Abb. -7b). ie Erregng erfolgt in vertialer Richtng, es soll daher in erster Näherng nr af Vertialschwingngen eingegangen werden. Unter dieser vereinfachenden Annahe ann das Bateil als Einassenschwinger behandelt nd berechnet werden.

7 Einassenschwinger Teil I. ie freie Schwingng 6,00 6,00 Abb. -7a Grenzfall: feste Einspannnng Abb. -7b Grenzfall: oentenfreie Festhaltng Beispiel Fall In diese Fall wird der Grenzfall it der festen Einspannng an den Enden betrachtet. Znächst wird die Steifigeit der Balenonstrtion bestit. ie Berechnng der Steifigeit erfolgt it Hilfe der Verschiebngsethode (Verdrehngen brachen wegen Syetrie nicht beachtet z werden) E I z 7 0 7, 50 9, 070 N/ Eine Zsaenfassng der itschwingenden asse z Einzelassen in Balenitte nd in den Aflagern ergibt otor Balen G gb L / g g Ns ( 0, 8 ), 8 9, 8 Abb. -8a Berechnng der Steifigeit Abb. -8b Afteilng der assen ie Eigenreisfreqenz ergibt sich z K 9, 070, 8 7, 5 s Für die Eigenfreqenz erhält an f 7, 8s 68 in

8 Teil I. ie freie Schwingng Einassenschwinger Beispiel Fall In diese Fall wird der Grenzfall it der oentenfreien Aflagerng an den Enden betrachtet. ie Berechnng der Steifigeit erfolgt analog z Fall (Verdrehngen brachen ach hier wegen Syetrie nicht beachtet z werden) EI 7 0 7, 50 z, 770 N/ 0, 5 Fall ie Zsaenfassng der itschwingenden asse z Einzelassen in Balenitte nd in den Aflagern erfolgt identisch z Fall ie Eigenreisfreqenz ergibt sich z K 0, 5 7, 5 8, 8s Für die Eigenfreqenz erhält an f 8, 9s in Abb. -8c Berechnng der Steifigeit ie Eigenfreqenz des Balens liegt zwischen 8,9 s - nd 7,8 s -. ie Erregerfreqenz von n 960 6s 60 liegt nahe bei der öglichen Eigenfreqenz des Balens. adrch ann die dynaische Beansprchng infolge einer öglichen Unwcht sehr groß werden (Resonanzbereich). U dies z vereiden, sollte die Eigenfreqenz ~ 0 % über der Erregerfreqenz liegen, d. h. hier sollte die Steifigeit des Balens vergrößert werden. Beispiel Es sollen die Eigenfreqenz einer rotierenden Scheibe an eine Torsionsstab (einer Welle) bestit werden. er Torsionsstab hat einen Wellenabsatz nd dait zwei nterschiedliche Qerschnitte über der Länge, vergl. Abb.-9. Für dieses Beispiel werden die beiden Fälle vorgestellt, bei denen die Scheibe a Ende des Torsionsstabes angebracht ist (Fall, Abb.- 9) nd die Scheibe i ittleren Bereich des Torsionsstabes ontiert ist (Fall, Abb.-0).

9 Einassenschwinger Teil I. ie freie Schwingng Beispiel Fall Scheibe a Stabende I d d L = 6 c Länge L = 0 c Länge Θ I = 0 Ns c Rotationsträgheitsoent der Scheibe G = 7,5 * 0 6 N/c Schbodl L L ie Abschnitte des Torsionsstabes (Welle) werden als asse- bzw. trägheitslos los betrachtet. Abb. -9 Scheibe a Stabende Für die Torsionssteifigeit eines reiszylindrischen Bateils gilt I T = π d /. ait ergibt sich die Steifigeit der beiden Abschnitte des Torsionsstabes (Welle) z 6 GIT 7, K 88, 5 0 Nc L 6 6 GIT 7, K 87, 0 Nc L 0 Verdrehngen a Stabende infolge T = : K K K K K 6 K 6, K K 0 N Eigenreisfreqenz: K I Eigenfreqenz: f 6, s in 05, s Beispiel Fall Scheibe in Stabitte ie Abessngen sind gegenüber Fall ngeändert d I d L = 6 c Länge L = 0 c Länge Θ I = 0 Ns c Rotationsträgheitsoent der Scheibe G = 7,5 0 6 N/c Schbodl Abb. -0 L L Scheibe a Stabitte Wie in Fall werden die Abschnitte des Torsionsstabes (Welle) als asse- bzw. trägheitslos

10 Teil I. ie freie Schwingng Einassenschwinger betrachtet. ie insgesat wirende Torsionssteifigeit der Welle ist hier as den Steifigeiten der beiden Abschnitte der Welle additiv zsaenzsetzen. ait ergibt sich die Gesatsteifigeit der beiden Abschnitte des Torsionsstabes (Welle) z K K K 88, 50 87, 0 570, 0 Nc Eigenreisfreqenz: K I Eigenfreqenz: f 6, 9s 6 570, , s 0856, in.. Foreln für Eigenfreqenzen ie in Gleichng (.6) dargestellte Forel ergibt die Eigenfreqenz eines Einassenschwingers. Bei ehrassenschwingern oder Systeen, die Biegeschwingngen asführen, sind z Teil ach rze Foreln verfügbar, die i Alltag zr schnellen Plasibilitätsontrolle verwendet werden önnen. Hier werden einige solcher Foreln genannt. Es bedeten: f = Eigenfreqenz, = asse, = Federsteifigeit, E = Elastizitätsodl, I = Flächenträgheitsoent, L = Länge, x,y = Verschiebng Fall ist ein translatorischer -assenschwinger it Eigenfreqenzen / / / 5 / / / / 5 / x x Fall ist ein translatorischer -assenschwinger it ngleichen assen x / x

11 Einassenschwinger Teil I. ie freie Schwingng 5 Fall ist ein translatorischer -assenschwinger it ngleichen assen nd Aflagern an beiden Enden x / x Fall ist ein translatorischer Schwinger ohne Aflager. ieser Schwinger enthält zwei assen nd dait zwei Freiheitsgrade. ie erste Eigenfreqenz ergibt sich z Nll, sie ergibt sich as der Starrörperverschiebng beider assen, ohne dass die Feder verfort wird. aher bleibt eine technisch signifiante Eigenfreqenz, obwohl assen vorhanden sind. 0, Fall 5 ist die translatorische Schwingng einer asse a Ende eines Biegebalens, der einseitig eingespannt ist. EI L y x L x Fall 6 ist die translatorische Schwingng einer asse in der itte eines beidseitig gelagerten Balens. EI L y L L. ie freie gedäpfte Schwingng Jetzt wird der Fall nterscht, bei de das Syste nbelastet ist (p(t) = 0), aber eine äpfng it c vorhanden ist. ie Bewegngsgleichng hat dait die For ü c c 0 oder gefort 0 (.) Ein Lösngsansatz nach Eler verwendet rt e

12 6 Teil I. ie freie Schwingng Einassenschwinger iese Ansatzfntion in die Bewegngsgleichng eingesetzt ergibt c rt r r e 0 c r r 0 (.) r, c c ait erhält an für die allgeeine Lösng c c t c t t t e G e G e iese Bewegng wird als gedäpfte Eigenschwingng eines Systes bezeichnet. (.) Geennzeichnet wird sie drch den Wert der isriinante c an nterscheidet drei Fälle isriinante = 0 = ritische äpfng isriinante > 0 = überritische äpfng isriinante < 0 = nterritische äpfng.. Kritische äpfng, c = c r I Fall der ritischen äpfng gilt für die äpfng c r c r Cr (.) ait erhält an für den Eler-Ansatz as (.) r. nd für die allgeeine Bewegngsgleichng t t G Gt e (.5) oder it den Anfangswerten 0, 0 t t t e (.6)

13 Einassenschwinger Teil I. ie freie Schwingng 7 ie Gleichng besagt, dass die Bewegng eine Schwingng it ehreren rchgängen drch die Rhelage ist, sondern es ist eine aperiodische Bewegng. In Abb. - ist eine solche Bewegng dargestellt. ie Schwingng wird in ürzest öglicher Zeit zr Rhe gedäpft. Für viele pratische Afgabenstellngen ist dieser Fall ninteressant, da die üblichen äpfngsoeffizienten c<<c r sind. Bei essinstrenten oder Flüssigeitsopassen wird dieser Wert dagegen angestrebt. 0 t 0 t Abb. - Schwingng bei ritischer äpfng Zr Berteilng der Schwingng eines Bateils wird allerdings die ritische äpfng als Vergleichswert herangezogen. Es wird der äpfngsgrad (bisher das sogenannte Lehrsche äpfngsaß) als Qotient der wirlichen nd der ritischen äpfng gebildet. C C äpfngsgrad (.7) C r Erfahrngswerte für den äpfngsgrad i pratischen Alltag: Bateile i linear-elastischen Bereich 0, , 05 Bateile i nicht linearen Bereich (plastische Verforngen) 0, 0 ritische äpfng.. Überritische äpfng I Fall der überritischen äpfng ist die isriinante positiv C it ξ ergibt sich für as de Eler-Ansatz r, ˆ nd als Lösng für die Bewegngsgleichng t t G sinh ˆ t G cosh ˆ t e (.8) Es handelt sich hier wie i Fall der ritischen äpfng ebenfalls eine aperiodische Bewegng. Sie ist nr für wenige technische Fälle von Bedetng... Unterritische äpfng Bei nterritischer äpfng ist die isriinante negativ c,

14 8 Teil I. ie freie Schwingng Einassenschwinger it ξ ergibt sich für die Lösng des Eleransatzes nach (.) r, r, i Es wird nn eine von ξ abhängige Kreisfreqenz ω eingeführt. (.9) ait erhält an als Lösngsfntion für die Bewegngsgleichng t it it t e G e Ge oder t t e Asin t Bcos t it den Anfangswerten 0 nd ů ergibt sich t t e 0 0 sint 0 cost (.0) (.) Wie bei der ngedäpften Schwingng ann an die Bewegngsgleichng it der Aplitde ax nd der Phasenverschiebng θ angeben. t t e cos t ax ax tan (.) ie Schwingng eines gedäpften Systes ist also eine ablingende Schwingng it einer Freqenz, die von der äpfng abhängt. er Zsaenhang zwischen ω nd ω ergibt sich über Gleichng (.9) z eine Viertelsreis, sofern, wie in Abb. - dargestellt, ω /ω über ξ afgetragen wird. a für viele Afgabenstellngen ξ sehr lein ist (ξ i Bereich 0,00-0,), nterscheiden sich die Freqenzen der gedäpften nd der ngedäpften Schwingng nr sehr wenig. Bereich des Technischen Alltages 0, Abb. - äpfngsgrad nd Eigenreisfreqenz Für ξ = 0, ergibt sich z. B. ω = 0,98 ω, also eine Abweichng %. aher wird eist von der Näherng ω ω asgegangen.

15 Einassenschwinger Teil I. ie freie Schwingng 9 Für die gedäpfte Eigenschwingng ergibt sich folgender Verlaf i Vergleich zr ngedäpften Eigenschwingng. 0 Zr Kennzeichnng des Ablingverhaltens wird das logarithische ereent Λ verwendet. Es ann as de Verhältnis der Aplitden zweier afeinanderfolgender Schwingngsdrchgänge bestit werden. e t ie Zeitpnte der zwei afeinanderfolgenden Aplitden sind t t T n n T T Abb. - Schwingng n bei nterritischer äpfng Af der Grndlage der Lösng der Bewegngsgleichng ergeben sich die Aplitden für diese Zeitpnte z n n e e t n n t T e T e e rch Logarithieren dieser Beziehng ergibt sich das logarithische ereent Λ: n ln ; n n ln (.a) n Für leine ξ gilt näherngsweise n ln (.b) n Über das logarithische ereent ann drch essng zweier afeinanderfolgender Schwingngsaplitden die äpfng des Systes (z. B. der äpfngsgrad) erhalten werden. Für leine ξ erhält an drch Uforen der Gleichng (.b) nd einer Entwiclng in die Potenzreihe n e...! n Abb. - Vergleich des exaten nd Als weitere Näherng wird für leine ξ die Reihe des genäherten äpfngsaßes nach de zweiten Glied abgebrochen, nd an erhält: n n (.) n,0 0,75 0,5 ex 0 0,05 0, 0,5 0,

16 0 Teil I. ie freie Schwingng Einassenschwinger er Vergleich der Werte des exaten ξ ex gegenüber de genäherten ξ as Gleichng ergibt den Verlaf, der in Abb.. dargestellt ist. Bei schwächer gedäpften Systeen ann die Genaigeit erhöht werden, wenn an ehrere afeinanderfolgende Schwingngsaplitden beobachtet nd die erste it der letzten verglichen wird. n ln n Für leine ξ erhält an näherngsweise n n n 0, 0,5 0, 0,05 n n Abb. -5 äpfngsgrad nd Redtion der Schwingngsaplitde (.5) (.6) n Eine Korretr ann wieder it Abb.-5 vorgenoen werden. Bei essngen der äpfng ist die Anzahl der Schwingngen, bis z der die Schwingng af 50 % der Anfangsaplitde zrücgegangen ist, ein aß für die äpfng. Einen gten Vergleichswert erhält an dadrch, dass bei einer äpfng von 0 % der ritischen äpfng (ξ = 0,) bei eine Zyls die Aplitde gerade af 50 % zrücgegangen ist. en allgeeinen Zsaenhang zeigt Abb.-5. In der Praxis wird die äpfng oft nterschiedlich angegeben. Es ss jeweils geprüft werden, ob es sich c, ξ oder Λ handelt. Für das logarithische ereent sind in Abschnitt.5 einige Anhaltswerte angegeben. Beispiel Es liegen die Verschsergebnisse eines Systes vor, das znächst drch eine Anfangsaslenng belastet wrde. ie afgebrachte Kraft nd die dadrch hervorgerfene Aslenng wrden geessen. Anschließend wrden die Lasten entfernt, so dass das Syste frei asschwingt. Bei diese Asschwingen wrde die Aslenng nach einer Schwingng nd die Schwingngszeit (Periode) geessen. ie geessenen Werte sind: P = 0, N Kraft 0 =,0 c Anfangsaslenng = 0,8 c Aslenng nach einer Schwingng T = 0,889 s Schwingngszeit G g, p Für dieses Syste ergeben sich folgende Werte. Abb. -6 Freie EI Schwingng, Beispiel c

17 Einassenschwinger Teil I. ie freie Schwingng Steifigeit p 0, 5N/ 0 0, 0 Freqenz f, Hz T 0, Kreisfreqenz f 7, 07 rad / s log. ereent 0, 0 ln 0, 88 0, 008 äpfngsgrad 0. % äpfngsonstante c cr 0, Ns/ Kreisfreqenz der gedäpften Schwingng 7, 07 0, 7, 070, 99 7, 00