Numerische Methoden in der Strömungstechnik

Nmrsch Mthod dr Strömgstch WS 004/05 Dr.-Ig. Irs Patl/Dr.-Ig. Fraco Magagato Fachgbt Strömgsmasch I. führg d Nmrsch Mthod CFD II. Grdglchg dr Strömgsmcha III. Dsrtsrg: Ft-Dffrz Mthod IV. Ft-Volm Mthod V. Lösgsalgorthm für statoär d statoär Strömg VI. Vrfahr dr omprssbl Navr-Stos Glchg VII. Vrfahr dr omprssbl Navr-Stos Glchg VIII. Fallbspl für tchsch wdg IX. Trblzmodllrg

Ltratr: Jol H. Frzgr, Mlova Prc Comptatoal Mthods for Fld Dyamcs Sprgr-Vrlag, Brl Hdlbrg 999 d dto Ds Vorlsg.ppt: http://www-sm.-arlsrh.d/ Lhr Vorlsg Nmrsch Mthod dr Strömgstch Scroll dow zm d dr St

I. führg d Nmrsch Mthod CFD I. Was st CFD? I. Möglcht d Grz vo CFD I.3 Modllbldg I.3. Gomtrschs Modll I.3. Mathmatschs Modll I.3.3 Nmrsch Mthod I.3.4 Gttrtyp I.4 Dsrtsrgsmthod I.4. gschaft vo mrsch Mthod I.4. Ft-Dffrz Mthod I.4.3 Ft-Volm Mthod I.4.4 Ft-lmt Mthod

Istatoär Strömg m Trbgttr Zströmg Zströmg Zströmg Isol dr Gschwdgtsompot Zströmgsrchtg

I. Was st CFD Comptatoal Fld Dyamcs? Idalsrg ds Strömgsprozsss Gomtr, Thrmodyam, Strömgsphys, Strömgsgbt, Radbdgg Nährg ds physalsch Prozsss drch mrsch ppromato ftlg ds Strömgsgbts drch dlch groß Zll ahm s mst ost. Strömgszstads,,T,p sw. r Zll Dsrtsrg ds mathmatsch Modlls Dffrtalglchg Glchgssystm Vorgab vo ggt Rad- d fagsbdgg Lös ds Glchgssystms mt r mrsch Mthod Übrprüfg dr Lösg af Plasbltät swrtg dr rgbss

I. Möglcht d Grz vo CFD Utrschg vo schwr mssbar Strömg Brchg vor dr Prototypfrtgg Brchg vo gfährlch Strömg ploso, Chmsch Rato Varato vo Strömgsparamtr R-, Ma-Zahl, Tmpratr sw. Gomtrvarato ö rlatv schll drchgführt wrd dtallrt blc das Strömgsgschh Lösg sd ppromato! thalt Idalsrg z.b. gomtrsch Phys dr Trblz, ral Chm, Zwphasströmg, st sw. mß modllrt wrd Lösg wrd tratv rzgt, d.h. s thalt Kovrgzfhlr Sorgfältg Übrprüfg dr rgbss

I.3. Gomtrschs Modll Idalsrg dr ral Gomtr drch Bschräg af d wstlch, strömgsmchasch Mrmal ffüll vo schmal Spalt Glätt vo Sc, bsätz, Stf lmr vo Gomtrdtals z.b. Spgl bm tomobl Vrlr ds Strömgsgbts af Mmm Frfldrad b ßströmg ca. 0-0 Fahrzgläg Bschräg b Iströmg af adäqat Größ

fwad I.3. Mathmatschs Modll Komprssbl Navr-Stos-Glchg Iomprssbl Navr-Stos-Glchg Statoär Strömg Rbgsfr Strömg lr Pottalströmg Drhgsfrht r 0 Schlchd Strömg Stos-Strömg Zwdmsoal Grzschchtströmg

I.3.3 Nmrsch Mthod Ft-Dffrz Mthod Ft-Volm Mthod Ft-lmt Mthod Wrd dsr Vorlsg tsvr bsproch Lattc Gas Gttr-Gas Mthod Sptralmthod Bodary lmt Rad-lmt Mthod Pal Mthod

I.3.4 Gttrtyp Kartssch Koordat Zyldroordat Kgloordat Orthogoal Rchgttr Krmmlg orthogoal Rchgttr Krmmlg cht-orthogoal Rchgttr Blocstrtrrt Rchgttr Ustrtrrt Rchgttr Hybrd Rchgttr

I.3.4. Blocstrtrrts Gttr Rchgttr m d ONR M6 Tragflügl

I.3.4. Ustrtrrts Gttr Rchgttr m das Kdctr dr Volswag G

I.4. gschaft vo mrsch Mthod Kosstz Stabltät Kovrgz La: KosstzStabltätKovrgz rhaltg Bschrätht Gagt bschrät drch: Modllfhlr Dsrtsrgsfhlr Kovrgzfhlr

I.4. Ft-Volm Mthod Basrt af dr tgral Form dr Trasportglchg typschs Kotrollvolm d d Notato für artsschs Ntz zw Dmso

I.4.3 Ft-Dffrz Mthod Basrt af dr dffrtll Form dr Trasportglchg typschs Kartsschs Gttr dr Ft-Dffrz Mthod für -D ob d -D t

I.4.4 Ft-lmt Mthod Basrt af dr gwchtt tgral Form dr Trasportglchg typschs Rchgttr für d Ft-lmt Mthod -D

II. Grdglchg dr Strömgsmcha II. II. II.3 II.4 II.5 II.6 Komprssbl Navr-Stos-Glchg Iomprssbl Navr-Stos-Glchg Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg mt chmsch Rato Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg für Mhrphasströmg Klassfato dr Trasportglchg

II.. Komprssbl Navr-Stos-Glchg tgralr Form 0 S V ds dv t r r S V S V dv g ds T ds dv t r r r S S S V ds q T ds ds dv t r rr r r..-4. 5.

II.. Komprssbl Navr-Stos-Glchg tgralr Form - Nomlatr. Kottätsglchg cotty.-4. 3 Implsglchg für 3 Ramrchtg momtm 5. rgglchg rgy Ncht tratv z lös, abr zm bglch ötg: Zstadsglchg qato of stat

T p t T p q t T δ µ 3 T q λ γ p 0 t II.. Komprssbl Navr-Stos-Glchg dffrtllr Form. 5..-4.

g T p t µ ν ν T 0 II. Iomprssbl Navr-Stos-Glchg..-4.

T p t τ T p q t θ T δ µ 3 T q λ γ p 0 t II.3 Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg..-4. 5.

II.4 Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg mt chmsch Rato T p t τ T p q t θ M D Y t Y ω & T δ µ 3 Y D Γ K g h D T q λ K g h Y p 0 t..-4. 5.

II.5 Ryolds-gmttlt Navr-Stos-Glchg für Mhrphasströmg M T,,, τ α α g p t α α α α,,, p q t,,, α α α α S t, α α T,,, θ α α 0 S σ M M, σ..-4. 5.

II.6 Klassfato dr Trasportglchg llgm Form dr Dffrtalglchg zwtr Ordg: a Φ b Φ y c y Φ d Φ Φ y fφ g 0 Hyprbolschr Charatr dr Strömg w b -4ac > 0 Parabolschr Charatr dr Strömg w b -4ac 0 llptschr Charatr dr Strömg b -4ac < 0 Gmschtr Charatr w zw odr mhr Typ m Strömgsgbt voromm llptsch hyprbolsch parabolsch

III. Ft Dffrz Mthod III. führg III. Grdozpt III.3 ppromato dr bltg rst Grads III.4 ppromato dr bltg zwt Grads III.5 Implmtrg dr Radbdgg III.6 Das lgbrasch Glchgssystm III.7 Dsrtsrgsfhlr III.8 Bspl

III. führg d Ft Dffrz Mthod Trasportglchg hab all d glch Strtr Hr: grsch Trasportglchg mt ostat Koffzt r m artssch Koordatsystm btrachtt t Γ q Istatoärr Trm Kovtostrm Dffsos- Trm Qlltrm

III. Grdozpt typschs Kartsschs Gttr dr Ft-Dffrz Mthod für -D ob d -D t lm 0

III. Grdozpt Rücwärts at Ztral Vorwärts Dfto dr rst bltg d dr ppromato

III.3 ppromato dr bltg rst Grads twclg r sttg d dffrzrbar Fto r Taylor-Rh: H! 3!! 3 3 3 rstz vo drch odr - H 3 3 3!

Fortstzg III.3 rstz vo drch - : H 3 3 3! Vrwdg vo d - : H 3 3 3 3 3!

Fortstzg III.3 Utr Vrachlässgg dr bat bltg höhrr Ordg rgb sch: Rücwärtsdffrz Vorwärtsdffrz Ztraldffrz

Dr bbrchfhlr rgbt sch: Fortstzg III.3 ε τ m m α m α m... α wob α m höhr bltg vo mt r ε τ r Φ Ztral Dffrz ε τ Φ Vorwärts- d Rücwärtsdffrz

Fortstzg III.3 Vrschd ppromato dr rst bltg: O O O Rücwärtsdffrz.Ord Vorwärtsdffrz.Ord Ztral Dffrz.Ord 3 6 6 3 O 3 6 3 6 O 4 8 8 O Rücwärtsdffrz 3.Ord Vorwärtsdffrz 3.Ord Ztral Dffrz 4.Ord

III.4 ppromato dr bltg zwt Grads ppromato dr bltg zwt Grads für äqdstat Gttr: O 4 6 30 6 O Ztral.Ord Ztral 4.Ord ppromato ds Dffsostrms drch Ztral Dffrz: / / / / Γ Γ Γ Γ Γ

III.5 Implmtrg dr Radbdgg Drchlt d Nma-Radbdgg wrd mst vrwdt: RB Drchlt Cost. Vorwärtsdffrz.Ord RB Nma Cost. 0 0 3 3 4 O Vorwärtsdffrz.Ord 3 3 4 6 8 9 O Vorwärtsdffrz 3.Ord

III.6 Das lgbrasch Glchgssystm D Ft-Dffrz Mthod lfrt lars bzw. chtlars algbraschs Glchgssystm für lar chtlar PDGl: p p l l l Q p l Koffzt, thalt gomtrsch Größ, Strömgsgschaft d, b chtlar Glchg, Lösgsvarabl p Lösgsvarabl Q p Qlltrm Rchgttr -D

III.6 Fortstzg FDM lfrt schwach bstzt Badmatr Strtr dr Koffztmatr für Füf-Pt-Rchmolül

III.7 Dsrtsrgsfhlr rstz dr Dffrtalglchg drch Dffrz-Glchg lfrt bbrchfhlr τ h LΦ L h Φ τ h 0 D at Lösg h dr dsrtsrt Glchg af dm Gttr h gügt dr folgd Glchg: L h h -Q h 0 Ds Lösg wcht vo dr at Lösg dr Dffrtalglchg m d Dsrtsrgsfhlr ε d h ab: Φ d h ε h

III.7 Fortstzg ε d h p h α H Wob H dr tl dr höhr bltg st. α hägt vo dr bltg a dm tsprchd Pt d st abhägg vo dr Ntzwt h. p st d Ordg ds Schmas. p p Φ h αh H h αh H D Ordg d d Dsrtsrgsfhlr a ma mt folgd Forml abschätz: p h log h log 4h h ε d h h p h

III.8 Bspl Statoär -D Kovto-Dffsosglchg Γ Radbd.: 0 b 0, l b L Drchlt!! D at Lösg latt: P / L 0 L P 0 P L Γ

III.8 Fortstzg L P<0 P0 P>0 0 0 L RB ds -D Problms d Lösg als Fto dr Pclt-Zahl

III.8 Fortstzg Lösg für P50 mt ztral Dffrz d Gttrpt Lösg für P50 mt Upwd-Dffrz d Gttrpt Ztral Dffrz g z Oszllato, w d Zll-P-Zahl z groß st Upwd-Dffrz sd z dffsv w d Zll-P-Zahl z groß st

III.8 Fortstzg Lösg für P50 mt ztral Dffrz d 4 Gttrpt Lösg für P50 mt Upwd-Dffrz d 4 Gttrpt Ztral Dffrz zg Oszllato mhr, w d Zll-P-Zahl l gg st P< Upwd-Dffrz sd mmr och dffsv, ach w d Zll-P-Zahl lr gwählt wrd

III.8 Fortstzg Mttlrr Fhlr für -D Bspl für P50 als Fto ds mttlr Gttrabstads

IV. Ft Volm Mthod IV. IV. IV.3 IV.4 IV.5 IV.6 IV.7 führg ppromato dr Obrflächtgral ppromato dr Volmtgral Itrpolato dr Kovto- d Dffsosflüss Implmtrg dr Radbdgg Das lgbrasch Glchgssystm Bspl

r r ds IV. führg sgagspt für FVM st d Itgralform dr rhaltgsglchg S S Γ r ds Ω q dω Zllmttlptschma: Rchtz dfrt Rädr dr Kotrollvolma, Mttlpt dfr sch mplzt wrd am mst vrwdt Zllcptschma: Ntz dfrt Zllmttlpt dr Kotrollvolma, Rädr wrd mplzt dfrt

IV. ppromato dr Obrflächtgral Dr Nttoflss drch d KV-Rädr st d Smm dr Itgral übr d vr m -D bzw. schs m 3-D KV-Fläch: fds fds S S Kotrollvolm d d tsprchd Notato für D-artsschs Gttr

IV. Fortstzg Kotrollvolm d d tsprchd Notato für 3-D-artsschs Gttr Um dr rhaltgsform z güg, dürf d Kotrollvolma sch cht übrlapp odr Hohlräm thalt D ppromato dr Obrflächtgral mfasst zw Stf: - Das Itgral wrd mt dm Varablwrt a r odr mhrr Stll af dr Radfläch appromrt - Zvor: Radflächwrt wrd drch d Wrt dr Zllmtt appromrt, d as Volmtgral/rhaltg stamm

IV. Fortstzg fachst ppromato st d Itgrato mt dr Mttlptsrgl: F S fds f S f S.Ordg ga wtr ppromato st d Itgrato mt dr Trapzrgl: F S fds S f f s.ordg ga ppromato 4. Ordg rhält ma mt dr Smpso-Rgl: F fds 4 S S 6 f f f s 4.Ordg ga

IV.3 ppromato dr Volmtgral D Qlltrm rfordr d Itgrato übr das Volm D fachst ppromato rhält ma wdr mt dr Mttlptsrgl: Q P qdω q Ω qp Ω Ω.Ordg ga ppromato höhrr Ordg rhält ma tr Vrwdg mhrrr Pt rhalb ds Kotrollvolms. Im -D z.b.: y Q P P s w 4 s sw 36 6q 4q 4q 4q q q q q q 4.Ordg ga w

IV.4 Itrpolato dr Kovtos- d Dffsosflüss Um d Flüss a d Radfläch brch z ö, müss d Brchgsgröß drch d Kotptwrt agährt wrd Vrwdt ma r Pt, so t ma ds Upwd-Schma Vrwdt ma zw Pt, so t ma ds Ztral-Dffrz-Schma Vrwdt ma dr Pt, so t ma ds Qadratschs Upwd-Schma Vrwdt ma mhr als dr Pt, so t ma ds Schma höhrr Ordg IV.4. Upwd-Schma Das Upwd-Schma st.ordg ga. s st dm Vorwärts- bzw. Rücwärts-Dffrz-Vrfahr.Ordg dr FDM äqvalt. P r r r r > < 0 0.Ordg ga

IV.4. Upwd-Schma Upwd-Schma st mrsch dffsv. D Taylor-Rhtwclg m d Pt p für : H P P P P P 0 > r r bbrchfhlr st proportoal zr. bltg. Ma t h dahr mrsch, üstlch odr falsch Dffso. D mrsch Dffso st b mhrdmsoal Problm och größr, wl zsätzlch zr Dffso Strömgsrchtg och dg Normalrchtg hzommt Das Upwd-Schma rfordrt shr f Gttr, m arat Lösg z rhalt d f Γ m Γ

IV.4. Ztral-Dffrz-Schma Bm Ztral-Dffrz-Schma appromrt ma d Wrt a dr Zllfläch drch lar Itrpolato dr bd ächst Nachbar: P λ λ bbrchfhlr st. Ordg ga. P P λ H P P P λ λ D ahm r lar Vrtlg dr Wrt zwsch P d führt z r fachr ppromato dr bltg d Dffsosflüss: P P.Ordg ga

IV.4.3 Qadratschs Upwd-Schma QUICK Für qadratsch Itrpolato ds Radwrts bötgt ma dr Pt. Ds wrd so gwählt, dass Stromafrchtg zw Pt d wtrr Pt stromab gwählt wrd: < > 0 0 4 3 P W P P P g g g g H P W P 3 3 3 48 3 8 8 3 8 6 Das Schma st 3.Ordg ga für äqdstat d cht-äqdstat Gttr: W P W P g W W P P g 3 P P g 4 P P g

IV.5 Implmtrg dr Radbdgg d physalsch Rädr mss ma b dr FVM Flüss vorgb. drt Vorgab, w bat z.b. Mass- bzw. Wärmflüss Brchg as Kombato vo Radwrt d r Strömgswrt Üblchrws gbt ma folgd Radbdgg vor: d Wäd: Massflüss z Nll stz, Wärmflüss vorgb adabat Wad: Wärmflss Nll vorgb strömrädr: Gschwdgt, Tmpratr d Drüc stz sströmrädr: Gschwdgt d Tmpratr mst trapolr, Drc stz Symmtrrädr: all Flüss ormal zm Rad Nll stz

IV.6 Das lgbrasch Glchgssystm Das rsltrd algbrasch Glchgssystm glcht dm dr Ft Dffrz Mthod.

IV.7 Bspl -D Kovtos- d Dffsosproblm mt ggbm Gschwdgtsfld d y -y: r r r ds Γ ds S Mt folgd Radbdgg: S 0 am strömrad Nord Lar Varato vo 0 b y bs b y0 am wstlch Rad Symmtrbdgg am südlch Rad? 0 am östlch strttsrad D ovtv Flüss wrd mt dm Upwd- d dm Ztral- Dffrz-Vrfahr dsrtsrt

IV.7 Fortstzg Dr ovtvr Flss stzt sch zsamm as dm Massflss d dm mttlr Wrt vo hr am Rad dsrtsrt: S c m ds F & r r Dsr Flss wrd w folgt dsrtsrt: CDS m m UDS m m F P P c λ λ & & & &,0 m,0 ma Dr dffsv Flss wrd mt dr Mttlptsrgl d ztral Dffrz appromrt: y y ds F P P S d Γ Γ Γ r

IV.7 Fortstzg D Lösg für vrschd Wrt vo Γ sh w folgt as: Isol vo für Γ0.0 ls d Γ0.00 rchts:

IV.7 Fortstzg Kovrgz ds Totalflsss drch d wstlch Wad ls d ds Fhlrs dm brcht Flss als Fto dr Ntzwt rchts:

V. Lösgsalgorthm für lar Glchgssystm V. Drt Mthod V. Itratv Mthod V.. Uvollstädg LU-Zrlgg V.. DI-Mthod V..3 Rg-Ktta-Mthod V..4 Mhrgttr-Mthod V.3 Gopplt Glchgssystm V.4 Nchtlar Glchg V.5 Mthod für statoär Problm V.5. Zwschrtt-Vrfahr V.5. Mhrschrtt-Vrfahr V.5.3 Implzt Vrfahr

V. Drt Mthod LGS mt Koffztmatr : Q Gaßschs lmatosvrfahr LU-Zrlgg Thomas lgorthms Drt Mthod ö für blbg, vollbstzt Matrz vrwdt wrd d lfr at Lösg. Sd abr cht ffzt: Oprato z Lösg ds LGS ~ 3 /3 Gaß schs Vrfahr bzw. ~ / LU-Zrlgg.

V. Fortstzg 5.. Gaßschs lmatosvrfahr: lmrg dr tr Drcslmt drch Mltplato dr rst Zl dr Matr mt / d Sbtrato mt dr zwt Zl. L M O M M M L L 3 3 3 U L M O M M M L L 0 0 0 0 3 3 Schmatsch Darstllg dr Koffztmatr:

V.. LU-Zrlgg B dr LU-Zrlgg wrd d voll Matr tr lowr Drcsmatr L d obr ppr Drcsmatr U zrlgt LU. U LY Y Q Vortl: ggübr Gaß schm lmatosvrfahr a d Fatorsrg oh d Kts ds Vtors Q drchgführt wrd. Dr fwad st proportoal /. Nachtlg: dss Vrfahr st, ga w das Gaß sch lmatosvrfahr, cht paralllsrbar odr vtorsrbar. br: Varat dr LU-Zrlgg g sch gt für tratv Vrfahr

V..3 Thomas lgorthms W d Matr d Form r trdagoal Badmatr hat strg gomm r b -D Problm, da st das Gaß sch lmatosvrfahr shr ffzt ~ d fach. P W P P * * P W Q Q Q P Q * Dss Vrfahr wrd m aglsächssch Sprachram ach Trdagoal Matr lgorthm TDM gat. g tratv Lösgsvrfahr tz ds Vortl ds Vrfahrs drch Rdto ds Problms s mt Trdagoalstrtr. P W Q

V. Itratv Mthod - D Matr st b Strömgsproblm ldr cht schwach bstzt: drt Lösgsmthod g sch am. - Dr Dsrtsrgsfhlr st üblchrws vl größr als dr Rdgsfhlr drch d Comptrarchttr: Lösg vo Strömgsproblm drch Itratv Mthod svoll. Itratv Mthod: agährt fagslösg wrd szssv drch vrbssrt Zwschlösg rstzt, bs sch d Lösg cht mhr ädrt. Q hrb Rsdm Dr Kovrgzfhlr f-f ε Gg d ds Itratosprozsss: das Rsdm mss gg Nll gh. Daz a ma tratvs Schma folgdrmaß schrb: M N B

V. Fortstzg Da b Kovrgz st, folgt daras: M N d B Q M B M N tratvs Schma wrd fftv, w d Ivrtrg dr Matr M d d Brchg vo Nf fach st. Das bdtt: d Matr M sollt dagoal, trdagoal, bloc-trdagoal odr Drcsform hab. Für gt Kovrgzgschaft sollt M gt ppromato vo s d N vrhältsmäßg l.

V. Fortstzg Kovrgz: B Kovrgz f f f: M N B Sbtrato dsr Glchg vo dr Glchg b dr -t Itrato lfrt: M ε Nε odr ε M Nε Itratvs Vrfahr ovrgrt w lm ε 0. Ds hägt b d LGS vo d gwrt d d gvtor dr Itratosmatr M - N ab. S sd w folgt dfrt: M NΨ λ Ψ,...,K mt K Zahl dr Glchg

V. Fortstzg Dr fagsfhlr s: Dr Itratosprozss lfrt da: K a 0 ψ ε Drch vollstädg Idto a ma da lcht zg, dass dr Kovrgzfhlr : Ψ K K a a N M N M 0 λ ψ ε ε K a ψ λ ε Damt das tratv Vrfahr ovrgrt, müss all gwrt lr s? < s.

V. Fortstzg Dr Kovrgzfhlr wrd ach r zahl vo Itrato drch d größt gwrt domrt, d Sptralrads λ : Df. Kovrgz: D Rdto ds Kovrgzfhlrs bs tr Schra δ. ε ~ a λ Ψ a λ δ flös ach dr bötgt zahl vo Itrato: δ l a l λ Ma rt, dass d Kovrgzrat ~ / lr wrd wrd größr für λ.

V. Fortstzg fachs Bspl für Glchg zgt: a b Löst ma ds Glchg mt m tratv Vrfahr pitratoszählr: m p p b Da rhält ma für d Kovrgzfhlr : ε p ε m p Ma rt, dass dr Kovrgzfhlr schllr lr wrd lr das Vrhälts /m wrd.

V. Fortstzg D fachst Mthod für tratvs Vrfahr: d Jacob-Mthod. - ppromato dr Matr M drch Dagoalmatr mt d Dagoallmt vo. - Bspl hr: d Laplac-Glchg mt ztral Dffrz. P N N W W S S p P Q Ds Mthod st shr lagsam d wrd dahr dsr Form cht vrwdt. Varat davo wrd als SOR-Vrfahr sccssv ovr-rlaato bzcht. Ds st vl ffztr. Dr Rlaatosfator w bstmmt d Kovrgzrat. s gbt mmr optmals w wlchs für ggbs Problm d Kovrgzrat mmrt. Ldr a ma s cht a pror bstmm. P P N N W W S S p P Q ω ω

V.. Uvollstädg LU-Zrlgg SIP D LU-Zrlgg st allgmgültg Mthod, abr s tzt d schwach Bstzg dr Matrz cht as. W ma abr gt ppromato M dr Matr fdt, da rhält ma gts tratvs Vrfahr: M LU D Mthod ach Sto, gat Strogly Implct Procdr SIP zrlgt d Matr vollstädg L- d U-Matr: all lmt vo, wlch Nll sd, wrd ach a d tsprchd Stll dr L- d U-Matr Nll gstzt. N Schmatsch Darstllg dr Matrz L d U d das Prodt M: Dagoallmt, wlch cht dr Matr voromm, sd gptt dargstllt.

V.. DI ltratg Drcto Implct-Mthod wt vrbrtt Vorghsws zr Lösg vo statoär, llptsch odr hyprbolsch Problm st d rwtrg dr Glchg mt m statoär Trm. B dsm da parabolsch Problm fällt dr Zsatztrm m asovrgrt Zstad hras 0. Ma rhält d Lösg ds sgagsproblms. Bspl: Laplac-Glchg: D Ztabltg mss z.b. mt r Vorwärtsdffrz dr Zt dsrtsrt wrd. Btzt ma das Cra-Ncolso-Vrfahr Trapzrgl b PDs, so rgbt sch: Γ y t Γ y y t δ δ δ δ δ δ δ δ,,, δ δ Wob folgd bürzg vrwdt wrd:,,, y y δ δ

V.. Fortstzg Stllt ma ds Glchg m, so sht ma, dass folgds Glchgssystm glöst wrd mss: Γ Γ Γ Γ Γ 4 y t y t t y t t δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ y t t δ δ δ δ Γ Γ * Da glt, st dr ltzt Trm proportoal t 3 d a vrachlässgt wrd. Dr Rst a da zw fachr Glchg fatorsrt wrd d drch d ffzt Thomas-Mthod brcht wrd. t t / * δ δ δ δ Γ Γ t y t

V..3 Rg-Ktta-Mthod D lasssch Rg-Ktta-Mthod st Mhrschrtt-Mthod für statoär Problm. Jamso t al. hab s dahghd modfzrt, m s ach für statoär Problm vrwd z ö. Daz hab s d Stabltät ds Vrfahrs af Kost dr Gagt rhöht. Für d Laplac-Glchg: R y t Γ m m m m R t R t R t,,, 0,,, 0,, 0, 0,,, 0, α α α Ω Ω Ω M : m m R R wob Kosstz R t β β } {

V..3 Fortstzg Drch stz s Kompl satzs d Lösgsvarabl d Forr- alys a ma d Stabltät ds Vrfahrs trsch: ω t D Stabltät hägt vo d Koffzt a d dr zahl dr Itratosschrtt m ab. D Stabltät st m so größr, größr dr Imagärtl sch b R 0 rstrct. Ω ω p Ordg Z Stabltätsbrch dr ompl Zahlb für d lasssch, plzt RK- Mthod.

V..4 Mhrgttr-Mthod - Vrwdg trschdlch star vrfrtr Gttr zr Kovrgzbschlgg -- Kovrgzbschlgg bschlgt bahm ds Kovrgzfhlrs/Rsdms ε Vorasstzg: mt ε - Kovrgzfhlr st sttg Fto dr Ntzwt; z.b. SIP-Vrfahr

V..4 Fortstzg - Das Updat d Korrtr/ppromato ds Kovrgzfhlrs wrd af gröbr Ntz brcht -- M st d Nährgsmatr ds sgagsglchgssystms: Mδ -M LU N SIP-Vrfahr? f mt δ? X I grob Notwdg: Bzhg zwsch d Rsd/Fhlr ds grob d ds f Ntzs Bgrff: Rstrto d Prologato

V..4 Fortstzg I I I I X f f d d ε ε ε ε ε ε sgags-dgl: Lösg dr -t Itrato Fhlrglchg f: Fhlrglchg grob:

V..4 Fortstzg I I I I X ε ε ε ε ε ε 4 4 Rstrto f: rgbt Lösg grob: - Vo grobr Lösg Prologato af f Lösg -- fachst Prologato: lar Itrpolato - Vrwdg vo Lösgsappromato astll vo Fhlr/Rsd Fll-ppromato-Schma FS

V..4 Fortstzg Vortl dr Mhrgttrmthod? wgr Rchoprato m grob Ntz - Hrasahm dr. L - D: /4 Rchoprato - 3D: /8 Rchoprato Fll Mltgrd FMG-Mthod grob Mltgrd f f

V.3 Gopplt Glchgssystm Mhrr domat Varabl sd gopplt J Glchg pro domatr Varabl Domat Varabl rscht ach Glchg adrr domatr Varabl T p t T p q t 0 t?:? :?:

V.3 Fortstzg Lösgsvrfahr: smlta Lösg allr Varabl sqtll: d Glchg wrd ach dr domat Varabl glöst, all adr sd tmporär bat ; daach Itrato drch d Glchg. Smlta ll Glchg LGS prss Problm dr Flddyam: blocgbd Matrzstrtr Shr tr 3D d b cht-lar tl

V.3 Fortstzg. Sqtll b cht-lar tl bsodrs ggt Lösg dr zl Glchg ach r Varabl - ltmatv Gagt cht agstrbt da fftv - r Itrato Lösg agstrbt, d all Glchg hrchd rfüllt - pdat dr Koffztmatrz d dr Qllvtor ach dm Zyls - Zyls ght mal übr all Glchg - Zyls: äßr Itrato - Mltgrd-Mthod für r d äßr Itrato awdbar

V.3 Fortstzg. Sqtll - Fortstzg Problm: Lösg ovrgr cht, sodr schal sch af, d Brchg wrd stabl satz: Jd Varabl darf sch pro äßrr Itrato r m bstmmt Fator ädr Udr-Rlaato Mthod: p P wob l l l Q w α p Fator : 0 < α <

V.4 Nchtlar Glchg Nchtlar Glchg thalt chtlar Trm: z.b.? Typsch Mthod: Nwto-Itrato aalog zr Nllstllsch r cht-lar Fto r Varabl wrd b mhrr Varabl vorggag Taylor-Rh mhrrr Varabl: f f f,...,,,...,, 0,...,,

V.4 Nchtlar Glchg Jacob-Matr ds Systms: a f,,..., -Komplzrt Brchg, w -- groß Systm w b Strömgsproblm -- mplzt Brchgsmthod vrwdt wrd valato vo lmt, Dffrtato schwrg

V.4 Nchtlar Glchg dr Mthod: Pcard Itrato 0 -Bspl ovtv Trm dr Navr-Stos-Glchg: Massflss as äßrr Itrato bat

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