Schulinternes Curriculum ARG Fachschaft Mathematik 11/12. Jahrgang Unterrichtsvorhaben 1 Kurvenanpassung Lineare Gleichungssyst eme Fachliche Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler - finden in inner- und Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache (P2); - vereinfachen durch Abstrahieren und Idealisieren Realsituationen, um sie einer mathematischen Beschreibung zugänglich zu machen und reflektieren die Vereinfachungsschritte wie z.b. durch Funktionen aus Modellrechungen in Modell - vertreten eigene Problemlösungen und Überfachliche Kompetenzen Die Schülerin bzw. der Schüler - beteiligt sich an Gesprächen und geht angemessen auf Gesprächspartner ein; - erfasst und stellt Zusammenhänge her; UE 1 Inhalte Methoden / Material Leistungsüberprüfung Die Schülerinnen und Schüler - Wdh. Klasse 10; - Operatoren erläutern; - geben die maximale Definitionsmenge Kriterien zur Funktionsuntersuchung von Funktionen auch in (insbes. Sachsituationen an (I4); Wendepunkte), Tangente, - kennen abschnittsweise definierte Normale, Extremwertaufgaben, Funktionen (I4); Umgang mit dem GeoGebra; - nutzen die Stetigkeit, Scharen an die Wiederholung Differenzierbarkeit und das anschließen und in das CAS Krümmungsverhalten zur Analyse einführen; definierten Funktionen (I4); - Gauss-Algorithmus an einfachen - nutzen bei Funktionen und Scharen Beispielen (3 bis 4 Unbekannte) ganzrationaler Funktionen ohne Hilfsmittel durchführen, charakteristische Merkmale wie dann LGS mit CAS/GeoGebra (ea: Extremstellen, Wendestellen und auch Lösungsmengen mit Krümmungsverhalten zum Lösen inner- Parameter); und außermathematischer Probleme - Stetigkeit und (I4); Differenzierbarkeit anschaulich - führen Parametervariationen zur im Zusammenhang von Anpassung von Funktionen an Daten Trassierungen behandeln. durch (I4); - kennen den Gauss-Algorithmus als ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme (I1); - lösen lineare Gleichungssysteme mit der eingeführten Technologie (I1). 1 Anzahl der Unterrichtseinheiten
Modellierungen (P1); - verwenden verschiedene Darstellungsformen von Funktionen und wechseln zwischen diesen (P4); - arbeiten mit Funktionstermen, mit Gleichungen und Gleichungssystemen (P5). 2 Integralrechnung - finden in inner- und Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache (P2); - überprüfen die Plausibilität der Ergebnisse (P2);, vergleichen undbewerten Lösungswege (P2); - wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an (P2); - reflektieren und bewerten die benutzten Strategien (P2); - setzen die eingeführte Technologie in allen Themenfeldern als sinnvolles Werkzeug zum Lösen mathematischer Probleme ein (P5); - belegen ihr Grundverständnis für elementare algorithmische Verfahren, indem sie diese - schätzt eigene Fähigkeiten realistisch ein; - geht mit widersprüchlichen Informationen angemessen um und zeigt Toleranz und Respekt gegenüber anderen; entnimmt Informationen aus Medien, wählt sie kritisch aus - berechnen Bestände aus Änderungsraten (I2); - berechnen Flächeninhalte begrenzter Flächen (I2); - deuten das bestimmte Integral als aus Änderungen rekonstruierter Bestand und als Flächeninhalt (I4); - kenne Stammfunktionen für die Funktionen(I4); - kennen den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren (I4); - nutzen den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral zur Bestätigung von Stammfunktionen (I4); - berechnen unbestimmte Integrale mithilfe der Summen- und Faktorregel (I4); - wenden Rechengesetze für bestimmte Integrale an (I4); - interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwert sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten (I4); - begründen geometrisch anschaulich den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (I4); - begründen die Volumenformel für Körper, die durch Rotation um die x- Achse entstehen (I4). - Einstieg: DAX, Wasserverbrauch, Grundverständnis vom Integrieren als Rekonstruieren anlegen; - Der Zusammenhang zwischen Bestandsfunktionen (Integralfunktion) und Änderungsratenfunktion ist auch ohne Hauptsatz erkennbar (EXCEL einsetzen); - Erste Vermutung/Ent-decken, dass hier eine Umkehrung der Fragestellung vorliegt: eventuell sind zu dieser Erkenntnis erst noch weitere Bsp. nötig; - Rekonstruktion über Produktsummen veranschaulicht durch Flächen (z.b Fahrtenschreiber); - Vorzeichen der Bestandsänderungen interpretiert als Orientierung der Flächen; - Standardverfahr-en: Bestimmung einer Näherung für den Bestand; - Ober- und Untersumme nehmen den gleichen Grenzwert an; Vermutung des Hauptsatzes für Flächeninhaltsfunktionen an weiteren Funktionen bestätigen; - Beweis Hauptsatz
auch ohne die eingeführte Technologie in überschaubaren Situationen ausführen (P5) DERIVE-GeoGebra-Einsatz; - Uneigentliche Integrale. Rotationskörper 3 Wachstumsmodelle - vereinfachen durch Abstrahieren und Idealisieren Realsituationen, um sie einer mathematischen Beschreibung zugänglich zu machen und reflektieren die Vereinfachungsschritte wie z.b. durch Funktionen - verwenden Regressionen zur Ermittlung eines mathematischen Modells der Infinitesimalrechnung Berechnungen im Modell durch und interpretieren die Verfahren ggf. hinsichtlich der Realsituation aus Modellrechnungen in Modell - reflektieren die Grenzen von Modellen und der mathematischen Beschreibung von Realsituationen - ordnen einem - traut sich zu, gestellte/ schulische Anforderungen bewältigen zu können; - hält vereinbarte Regeln ein - merkt sich Neues und erinnert Gelerntes - verwenden das Modell des begrenzten und des logistischen Wachstums (I4); - untersuchen das Grenzverhalten von Funktionen unter Berücksichtigung von Polstellen und waagerechten Asymptoten der zugehörigen Graphen (I4); - erkennen Symmetrien von Graphen und weisen vorhandene Punktsymmetrie zum Urprung bzw. Achsensymmetrie zur y-achse nach (I4); - erkennen Monotonie- und Krümmungsverhalten von Graphen und nutzen dies zur Begründung der Existenz von Extrem- und Wendepunkten (I4); - nutzen notwendige Bedingungen sowie inhaltliche Begründungen zur Bestimmung von lokalen Extrem- und Wendestellen (I4); - kennen Verknüpfungen und Verkettungen der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen zur Beschreibung von inner- und Problemen (I4); - verwenden Produkt-, Quotienten- und Kettenregel beim Ableiten von Funktionen (I4); - nutzen bei Scharen von Funktionen, die durch Verknüpfungen und Verkettungen der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen entstehen, charakteristische Merkmale zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme (I4); - erkennen den Zusammenhang - Einstiege über Wachstum/Zerfall: Änderungsraten, e-funktion über die Ableitung und Annäherung an die Bedingung bzw. über die stetige Verzinsung; - Ableitungs-, Stammfunktionsübungen; - (bekannte) exponentielle Wachstum mit e-funktionen beschreiben; Halbwert- u. Verdopplungszeit, radioaktiver Zerfall bei gegebenen Datenpaaren (Regression); - Differentialgleichung exponentieller Prozesse: Exponentielles Wachstum: Zuwachs und Bestand sind proportional. Differentialgleichung für alle, weitere DGLs nur für ea; - Das (bekannte) begrenzte Wachstum mit e-funktion beschreiben. Herausstellen (ea): Zuwachs und Restbestand sind proportional; - Facetten des Wachstums; - Logistisches Wachstum: Es enthält Teile des exponentiellen und begrenzten Wachstums; - Herausstellen (ea): Zuwachs und Bestand sowie Zuwachs und Restbestand sind proportional; - Wendepunkteigenschaft (ggf. Wendepunkt einführen; - Vermischte Übungen: Bevölkerungswachstum;
mathematischen Modell verschiedene passende Realsituationen zu und reflektieren die Universalität von Modellen zwischen Funktion und Ableitungsfunktion und deuten die resultierende Differentialgleichung im Sachkontext der Wachstumsmodelle (I4); - Funktionsuntersuchungen mit e- Funktionen als Bestandteil, Asymptoten (auch senkrechte); Verkettungen; Flächeninhalte. - Funktionenscharen (ea) mit GeoGebra (auch Ortskurven); - Abiturrelevanz: e-fkt. und Modellierung; - Zusätze: Lösungsverfahren einfacher Differenzialgleichungen Untersuchungen von Logarithmusfunktionen. 4 Analytische Geometrie - verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen (P4); wie z.b. durch Koordinaten und Vektoren der Koordinaten- und Vektorgeometrie Berechnungen im Modell durch und interpretieren die Verfahren ggf. hinsichtlich der Realsituation aus Modellrechnungen in Modell (P3). ist motiviert, etwas zu schaffen oder zu leisten und zielstrebig; - übernimmt Verantwortung für sich und für andere; - beschäftigt sich konzentriert mit einer Sache. - nutzen die bildliche Darstellung und Koordinatisierung zur Beschreibung und Lösung von in ner- und Problemen in Ebene und Raum (I3); - wenden die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren an und veranschaulichen sie geometrisch (I3); - erkennen die Kollinearität zweier Vektoren (I3); - wenden Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig begrenzten geometrischen Objekten an (I3); Geraden und Ebenen durch Gleichungen in Parameterform (I3); - erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Geraden sowie von Gerade und Ebene und lösen Schnittprobleme (I3); - deuten das Skalarprodukt geometrisch (I3); - nutzen das Skalarprodukt zur Bestimmung der Winkelgröße zwischen Vektoren (I2); - bestimmen Streckenlängen im Raum (I2); - erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen - Beschreibung einfacher Objekte durch Koordinatengleichungen; - Vektor als Pfeilklasse bzw. als 3x1-Matrix; linear unabh. Vektoren; - Veranschaulichung der Lage, Gauß-Verfahren zeichnerisch und mit CAS; - LGS Lösungsmengen-Typen und ihre geometrische Interpretation.
von Ebenen und lösen Schnittprobleme (I3). 5 Matrizen - vereinfachen durch Abstrahieren und Idealisieren Realsituationen, um sie einer mathematischen Beschreibung zugänglich zu machen und reflektieren die Vereinfachungsschritte wie z.b. durch Matrizen der Matrizenrechnung Berechnungen im Modell durch und interpretieren die Verfahren ggf. hinsichtlich der Realsituation aus Modellrechnungen in Modell - Reflektieren die Grenzen von Modellen und der mathematischen Beschreibung von Realsituationen - verwenden Matrizen und Diagramme zur Darstellung von Prozessen und wechseln zwischen diesen Darstellungsformen (P4). - zeigt Eigeninitiative und Engagement - hält vereinbarte Regeln ein; -wendet Lernstrategien an, plant und reflektiert Lernprozesse; - erfasst und stellt Zusammenhänge her - beherrschen die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Matrizen (I1); - nutzen die Matrizenmultiplikation und inverse Matrizen (I1); - wenden Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen an und interpretieren Grenzmatrizen sowie Fixvektoren (I1); - erkennen zyklisches Verhalten und interpretieren dies im Sachzusammenhang (I1). - Rechenoperationen lasse sich gut anhand ein- bzw. zweistufiger Produktionsprozesse einführen; - - CAS für Rechenoperationen nutzen, Fixvektor; - Inverse Matrizen bei (stochastischen) Prozessen nutzen;
6 Häufigkeitsvert eilungen Beschreibende Statistik - erläutern in inner- und Situationen Strukturen und Zusammenhänge und stellen Vermutungen darüber auf (P1); - variieren Situationen, stellen Vermutungen auf und untersuchen diese (P1). - traut sich zu, gestellte / schulische Anforderungen bewältigen zu können; - geht mit widersprüchlichen Informationen angemessen um und zeigt Toleranz und Respekt gegenüber anderen; - entnimmt Informationen aus Medien, wählt sie kritisch aus. - stellen Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Histogrammen dar, interpretieren und nutzen diese Darstellungen - charakterisieren und interpretieren Datenmaterial mithilfe der Kenngrößen arithmetisches Mittel, Standardabweichung sn und Stichprobenumfang und setzen die eingeführte Technologie sinnvoll ein - kennen und bestimmen das arithmetische Mittel als Lagemaß und die empirische Standardabweichung als Streumaß einer Stichprobe (I2). - Einstieg über die Standardabweichung, darin Wiederholung der Grundbegriffe (relative/absolute Häufigkeit; - Histogramm; arithm. Mittelwert); - Einstiegsaufgaben. 7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen - vergleichen und bewerten verschiedene Begründungen für einen mathematischen Sachverhalt (P1); - stellen Zufallsexperimente auf verschiedene Weise dar und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten (P4); - verwenden mathematische Symbole zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und zum Problemlösen (P5); - reflektieren dern Verwendung und übersetzen zwischen symbolischer und natürlicher Sprache (P5); - entwickelt eine eigene Meinung, trifft Entscheidungen und ver- tritt diese gegenüber anderen; - beteiligt sich an Gesprächen und geht angemessen auf Gesprächspartner ein; - hat kreative Ideen. - verwenden die Grundbegriffe Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten - nutzen Zufallsgrößen zur sachgerechten Strukturierung der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments Zufallsgrößen als Funktionen und stellen diese tabellarisch und graphisch dar (I4); - charakterisieren Wahrscheinlichkeitsverteilungen anhand der Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung, berechnen diese auch unter Verwendung der eingeführten Technologie und nutzen sie für Interpretationen - kennen das Modell der Bernoulli- Kette, können in diesem Modell rechnen und es zum Modellieren sachgerecht anwenden - Wiederholung der Mittelstufenstochastik (Grundbegriffe, Laplace, Pfadregeln); - Definition Zufallsgröße X, Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße vor Binomialverteilung behandeln; - Glücksspiele, evt. Lottoformel als weitere Verteilung ergänzen; - Angepasste Reihenfolge: Formel von Bernoulli, Binomialverteilung, kumulierte Binomialverteilung, Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung, Sigma- Regeln; - Anwendungen ohne Auslastungsmodell und Kugel- Fächer- Modell;
wie z.b. durch Funktionen, Zufallsversuche, Wahrscheinlichkeitsverteilu ngen der Infinitesimalrechnung sowie mit denen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Berechnungen im Modelle durch und interpretieren die Verfahren ggf. hinsichtlich der Realsituation (P3). - finden in inner- und Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Sprache (P2); - wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an (P2); - variieren vorgegebene mathematische Probleme und untersuchen die Auswirkung auf die Problemlösung (P2) - können Erwartungswert und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnen (I2) und für Interpretationen nutzen - stellen Binomialverteilungen auch unter Verwendung der eingeführten Technologie graphisch dar (I4); - können für große n auf der Grundlage der σ-umgebungen um den Erwartungswert für binomialverteilte Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen - verwenden die Normalverteilung als Näherung für die Binomialverteilung (I5): grenzen diskrete von stetigen Zufallsgrößen ab (I4); - verwenden die Normalverteilung als spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung (I4) - unterscheiden zwischen Grundgesamtheit und repräsentativer Stichprobe - schließen von der Stichprobe auf die Gesamtheit, indem sie für binomialverteilte Zufallsgrößen, ausgehend von einer Stichprobe, Schätzwerte für den unbekannten Parameter p der zugrunde liegenden Gesamtheit bestimmen (I5) - bestimmen Vertrauensintervalle zu vorgegebener Vertrauenswahrscheinlichkeit (90%, 95%, 99%) unter Nutzung der σ-umgebungen - bestimmen Vertrauensintervalle zu beliebig vorgegebener Vertrauenswahrscheinlichkeit - Binomialtabellen; - Sigma-Regeln z.b. durch arbeitsteilige Gruppenarbeit (Berechnungen für verschiedene Parameter) verdeutlichen; - Hypothesentests (z.b. in welchem Intervall liegt die Anzahl der Sechsen bei 100 Würfen eines Spielwürfels?); - Normalverteilung (ea) am Ende bahandeln, zuvor Konfidenzintervalle; - Normalverteilung (ea) als spezielle stetige Verteilung behandeln, stetige Verteilungen allgemein definieren über die Eigenschaften der Dichtefunktion; mögliches anderes Beispiel: Exponentialverteilung.