Schulinternes Curriculum Mathematik Klasse 11und 12 in Übereinstimmung mit dem Lehrbuch Elemente der Mathematik und dem neuen Kerncurriculum (KC)

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1 Stand: Januar 2016 Schulinternes Curriculum Mathematik Klasse 11und 12 in Übereinstimmung mit dem Lehrbuch Elemente der Mathematik und dem neuen Kerncurriculum (KC) I. Prozessbezogene Kompetenzbereiche (in Klammern Kapitel im KC) MA: Mathematisch argumentieren PL: MM: Mathematisch modellieren MD: Mathematisch Darstellungen verwenden SF: technischen Elementen der Mathematik umgehen Ko:. Kommunizieren II. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Laut dem KC gibt es fünf inhaltsbezogene Kompetenzbereiche dargestellt im Kapitel 3.2 des KC (in Klammern Kapitelnummern des KC) 1. Zahlen und Operationen (3.2.1) 4. Funktionaler Zusammenhang (3.2.4) 2. Größen und Messen (3.2.2) 5. Daten und Zufall (3.2.5) 3. Raum und Form (3.2.3) Semester 11.1: Analysis Buchkapitel Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Analysis: Kurvenanpassung Wachstumsmodelle- Integralrechnung (ca. 28 Wochen) Prozessbezogene Kompetenzen Methodische Hinweise Bleib fit in Differenzialrechnung Bleib fit in Funktionsuntersuchungen 1 Kurvenanpassung Lineare Gleichungssysteme (ca. 7 Wochen) Lernfeld: Krumm aber doch passend glatt Anwenden von Verfahren zur Lösung linearer und quadratischer Gleichungen mit einfachen Koeffizienten. Lernbereich: Kurvenanpassung Interpolation 1.1 Krümmung Wendepunkte Leitidee Funktionaler Zusammenhang erkennen Monotonie- und Krümmungsverhalten von Graphen und nutzen dies zur Begründung der Existenz von Extrem- und MA: Existenzbegründungen von Wende- und Extremstellen. Ko: Erfassen und interpretieren mathematikhaltige authentische Texte, z.b. S.28 Nr. 12. Binomische Formeln pq-formel bzw. quadr. Erg.

2 Wendepunkten. nutzen notwendige Bedingungen sowie inhaltliche Begründungen zur Bestimmung von lokalen Extrem- und Wendestellen. Bestimmung von Funktionen aus gegebenen Eigenschaften - lösen lineare Gleichungssysteme mit der eingeführten Technologie GAUSS-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme 1.2 Stoffgebiet 1.3 im 2. Halbjahr Bestimmen ganzrationaler Funktionen lineare Gleichungssysteme 1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme GAUSS-Algorithmus Ko: SuS dokumentieren Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse auch im Hinblick auf die verwendete Technologie und stellen jene verständlich dar. SF: Die SuS setzen die eingeführte Technologie (GTR) als sinnvolles Werkzeug zum Lösen mathematischer Probleme ein. SF: Die SuS belegen ihr Grundverständnis für elementare algorithmische Verfahren, in dem sie diese auch ohne die eingeführte Technologie in überschaubaren Situationen ausführen. MM: SuS vereinfachen durch Abstrahieren und Idealisieren Realsituationen, um sie einer mathematischen Beschreibung zugänglich zu machen und reflektieren die Vereinfachungsschritte. MM: Die SuS interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. das Modell MM: Die SuS reflektieren die Grenzen von Modellen und der mathematischen Beschreibung von Realsituationen. Ko: Die SuS erläutern eigene Problembearbeitungen und Einsichten sowie mathematische Zusammenhänge mit eigenen Worten und unter Verwendung geeigneter Fachsprache. GTR- Einsatz: Matrizenrechnung Verschiedene Verfahren der Anpassung von Funktionen an vorgegebene Bedingungen Trassierung selbst lernen Interpolation Spline- Interpolation Stoffgebiet 1.5 im 4. Halbjahr Stetigkeit und Differenzierbarkeit Stetigkeit Differenzierbarkeit Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit Ausgehend von Beispielen aus dem Bereich Trassierung werden ganzrationale Funktionen zu vorgegebenen Datenpunkten und/oder Eigenschaften bestimmt. Bei Modellierungen mit abschnittsweise definierten Funktionen sind darüber hinaus an den Übergängen Eigenschaften wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Übereinstimmung der zweiten Ableitungen als Bedingungen zu nutzen und im Kontext zu interpretieren. Die Zugänge zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit werden auf intuitivem Weg gefunden. Durch Regression gewonnene Funktionen werden zum Vergleich herangezogen. Stetigkeit, Differenzierbarkeit Abschnittsweise definierte Funktionen (ohne Grenzbetrachtung an Polstellen) Eigenständiges Lernen GTR: Regression nutzen, abschnittsweise definierte Funktionen darstellen 1.6 Funktionenscharen Funktionenscharen PL: Probleme in inner-

3 mathematischen Zusammenhängen finden, formulieren und die Ergebnisse auf Plausibilität prüfen. Wachstumsmodelle Ausgehend von Beispielen aus den Bereichen Bevölkerungswachstum, stetige Verzinsung, radioaktiver Zerfall werden die bereits bekannten Wachstumsmodelle lineares, exponentielles und begrenztes Wachstum durch das Modell des logistischen Wachstums ergänzt. Der Vergleich und die Interpretation verschiedener Modelle eines Wachstumsprozesses lassen sich besonders einfach mit der Exponentialfunktion zur Basis e durchführen. Buch- Kapitel Themen (mit Kapitelbezeichnungen aus dem Buch) Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche 3 Wachstumsmodelle (ca. 10 Wochen) Schwerpunkt: Exponentielles Wachstum (Funktionaler Zusammenhang) Exponentielles Wachstum Wachstumsgeschwindigkeit e-funktion Ableitung von Exponentialfunktionen Natürlicher Logarithmus Beschreibung von exponentiellem Wachstum mithilfe der e-funktion en: Differenzialgleichung exponentieller Prozesse e-funktion Asymptotisches Verhalten Definitionsbereich Verwenden von ln, um einfache Exponentialgleichungen aufzulösen en Differenzialgleichungen ohne Lösungsverfahren 3.2 Begrenztes Wachstum Begrenztes Wachstum Angleichung an Daten durch Parametervariation 3.3 Logistisches Wachstum Die e-funktion ermöglicht eine funktionale Beschreibung des logistischen Wachstums. Logistisches Wachstum Bedeutung des Wendepunktes und des Krümmungsverhaltens 3.4 Vermischte Aufgaben Ableitungsregeln Kettenregel Prozessbezogene Kompetenzbereiche Schwerpunkt: Mathematisch modellieren Darstellungen verwenden Mathematisch modellieren Mathematisch modellieren/ Math. Darstellungen verwenden Mathematisch modellieren technischen Elementen der Methodische Hinweise Einführung der e-funktion über die kennzeichnende Eigenschaft der Ableitungsregel. e als Basis für Exponentialfunktionen zur Beschreibung der exponentiellen Prozesse f(t)=a*b t en: Deuten Differenzialgleichung im Sachkontext. Einführung durch Verschiebung des Graphen exponentieller Prozesse. Definition über Bedingung für momentane Wachstumsgeschw. Einführung über beide exponentiellen Teile. Definition über Wachstumsgeschwindigkeit. Der Term wird eingeführt über die logistische Regression des GTR. Der Zusammenhang von den Parametern der Differentialgleichung und denen der logistischen Lösungsfunktion wird hergeleitet. Gebrochenrationale Funktionen laut KC nicht mehr behandeln.

4 Produktregel Quotientenregel Mathematik umgehen Ableitungsregeln im Zusammenhangmit e-funktionen behandeln. Die Funktionsuntersuchungen folgen in (en) en: Lösen von Differenzialgleichungen Richtungsfeld EULER-Verfahren Lösen durch Separation der Variablen Funktionsuntersuchungen Summe, Differenz und Produkt von Funktionen Quotient von Funktionen Verkettung von Funktionen Zusammenfassung: Aspekte von Funktionsuntersuchungen optional: Lösungsverfahren einfacher Differenzialgleichungen Wachstum modellieren. Verknüpfungen/Verkettung mit ganzrationalen Funktionen en: Funktionenscharen, die durch Verknüpfung und Verkettung der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen entstehen. technischen Elementen der Mathematik umgehen Mathematisch argumentieren technischen Elementen der Mathematik umgehen Konsequent die Verknüpfung von Funktionen in den Vordergrund stellen und thematisieren, welche Eigenschaften des Graphen aus den einzelnen Bestand-teilen auch ohne Ableitungen ermittelt werden können. Exakte Werte (z.b. von Extrema) mit Ableitungen berechnen. (en?) Asymptotische Näherungsfunktionen, Pole und stetige Ergänzungen in Verbindung mit e-funktionen behandeln.

5 Integralrechnung Je nach Länge des 1. Semesters kann die Integralrechnung ganz oder teilweise im 4. Semester unterrichtet werden. Buch- Kapitel Themen (mit Kapitelbezeichnungen aus dem Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche Methodische Hinweise Buch) 2 Integralrechnung Lernbereich: Von der Änderung zum Bestand Integralrechnung Der Begriff des Integrals Orientierte Flächeninhalte Geometrische Definition des Integrals Näherungsweises Berechnen von Integralen Analytische Definition des Integrals Leitideen: Messen, Funktionaler Zusammenhang - erläutern das Integral (geometrische Definition) als Summe orientierter Flächeninhalte - erläutern die Berechnung von Integralen über den Grenzwert von Obersumme und Untersumme an einem Beispiel (analytische Definition) Schwerpunkt: Mathematisch argumentieren technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren Mathematisch argumentieren Kommunizieren technischen Elementen der Mathematik umgehen (auch GTR-Einsatz) u.a. an folgenden Beispielen: Zu- und Ablauf, Geschwindigkeit-Weg geeignetes Beispiel: f(x) = x² 2.2 Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand Integralfunktionen - erläutern den Begriff der Integralfunktion - deuten das Integral als aus Änderungen rekonstruierter Bestand technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren Zusammenhang über den Einsatz einer GeoGebra-Animation erkunden 2.3 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung - erläutern den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren - en: begründen den Hauptsatz geometrisch Mathematisch argumentieren Integration mithilfe von Stammfunktion Berechnen von Integralen mithilfe von Stammfunktionen Integration durch lineare Substitution - kennen die Stammfunktionen spezieller Funktionen: e x ; sin(x), x, x n ( n Z ) - wenden die Summen- und Faktorregel für Integrale an - wenden Rechengesetze für bestimmte Integrale an - berechnen unbestimmte Integrale - erläutern die Integration durch lineare Substitution - nutzen den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral zur Bestätigung von technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren ergänzend kann der Mittelwertsatz behandelt werden en: evtl. partielle Integration und Substitution (in Hinblick auf Stochastik)

6 Berechnen von Flächeninhalten Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-achse Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen en: Uneigentliche Integrale en: Volumina von Rotationskörpern Stammfunktionen - erläutern die Flächeninhaltsberechnung begrenzter Flächen - erläutern die Berechnung uneigentlicher Integrale - interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten - erläutern die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers über die Integralformel Mathematisch argumentieren technischen Elementen der Mathematik umgehen (auch GTR-Einsatz) - zu gegebenem Flächeninhalt eine Grenze berechnen bzw. Scharparameter berechnen

7 ENTWURF 11 Schulinternes Curriculum Mathematik Jahrgang 11 in Übereinstimmung mit dem Lehrbuch Elemente der Mathematik und dem neuen Kerncurriculum (KC) Semester 11.2: Lineare Algebra und Analytische Geometrie Ausgehend von der zeichnerischen Darstellung von Körpern werden der Nutzen und die Bedeutung des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems für die Orientierung im Raum erkannt. Buch- Kapitel Themen (mit Kapitelbezeichnungen aus dem Buch) 4 Analytische Geometrie Leitidee: Räumliches Strukturieren/Koordinatisierung Punkte und Vektoren im Raum Punkte im räumlichen Koordinatensystem Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche Methodische Hinweise nutzen die bildliche Darstellung und Koordinatisierung zur Beschreibung und Lösung von inner- und außermathematischen Problemen in Ebene und Raum Schwerpunkt: Mathematische Darstellungen verwenden technischen Elementen der Mathematik umgehen MD: verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen Vektoren Wenden Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig begrenzten geometrischen Objekten an SF: arbeiten mit Vektoren Addition und Subtraktion von Vektoren Wenden die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren an und veranschaulichen sie geometrisch SF: arbeiten mit Vektoren Vervielfachen von Vektoren Geraden im Raum Parameterdarstellung einer Geraden Lagebeziehungen zwischen Geraden Erkennen die Kollinearität zweier Vektoren. Beschreiben Geraden durch Gleichungen in Parameterform. Erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Geraden und lösen Schnittprobleme Bestimmen des Winkels zwischen zwei Geraden. Ko: erläutern mathematische Zusammenhänge mit eigenen Worten MD: verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen MM: beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch Koordinaten und Vektoren PL: wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an Einsatz des GTR bei der Lösung der entsprechenden Gleichungssysteme 4.3 Winkel im Raum

8 Orthogonalität zweier Vektoren Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren Ebenen im Raum Parameterdarstellung einer Ebene Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene en: Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen Analytische Geometrie II Normalenvektor einer Ebene Deuten das Skalarprodukt geometrisch. Berechnen Längen von Strecken und Größen von Winkeln zwischen Vektoren Beschreiben Geraden und Ebenen durch Gleichungen in Parameterform. erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Gerade und Ebene und lösen Schnittprobleme. en: erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Ebenen und lösen Schnittprobleme. Leitidee: Räumliches Strukturieren/Koordinatisieren Bestimmen den Normalenvektor. SF: arbeiten mit Vektoren SF: verwenden mathematische Symbole zum Problemlösen MD: verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen MM: beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch Koordinaten und Vektoren PL: wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an Schwerpunkte: MA: Mathematisch argumentieren Kommunizieren Einsatz des GTR bei der Lösung der entsprechenden Gleichungssysteme Normalenvektor und Koordinatengleichung Abstandsberechnungen Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Beschreiben von Ebenen durch Gleichungen in Normalenform und in allgemeiner Koordinatenform. Nutzen den Zusammenhang zwischen Normalenform und allgemeiner Koordinatenform. Bestimmen Abstände zwischen Punkten, zwischen Punkte und Ebenen, zwischen Gerade und Ebenen sowie zwischen Ebenen. ea: Bestimmen Abstände zwischen Punkt und Gerade sowie zwischen Geraden. Bestimmen des Winkels zwischen Gerade und Ebene MD: Verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen. MM: Nutzen die bildliche Darstellung und Koordinatisierung zur Beschreibung und Lösung von inner- und außermathematischen Problemen in Ebene und Raum. MM: Beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch mathematische Modelle wie durch Koordinaten und Vektoren Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen zwei Ebenen Vektorprodukt deuten das Vektorprodukt geometrisch und wenden es in Sachzusammenhängen an. Rauminhalte von Pyramide, Spat, u.a. bestimmen Rauminhalte ausgewählter Körper. nutzen Abstandsbestimmungen zur Ermittlung von Flächen- und Rauminhalten 1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme GAUSS-Algorithmus GAUSS-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme nutzen eine handelsübliche Formelsammlung. MD: Arbeiten mit Gleichungen und Gleichungssystemen. Gut geeignet als Referat

9 - Anwenden von Verfahrung zur Lösung einfacher linearer Gleichungssysteme - Bestimmen der Lösungsmenge sowohl eindeutig als auch nicht eindeutig lösbarer LGS 3) Lineare Algebra - Matrizen Lernbereich: Mehrstufige Prozesse Matrizenrechnung Ausgehend von Problemstellungen aus dem Bereich der Materialverflechtung werden mehrstufige Prozesse durch Darstellung in Matrizenform strukturiert. In diesem Zusammenhang werden die Rechengesetze für Matrizen einschließlich inverser Matrizen behandelt. Die Behandlung von Problemen zum Käufer- und Wahlverhalten eröffnet eine weitere Sichtweise auf Matrizen, indem sich wiederholende Prozesse hinsichtlich einer Langzeitprognose analysiert werden. Leitidee: Algorithmus 5.1 Matrizen Addieren und Vervielfachen Beschreiben einfache Sachverhalte mit Tupeln oder Matrizen. Beherrschen die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Matrizen. Schwerpunkt: Mathematische Darstellungen verwenden Mathematisch argumentieren technischen Elementen der Mathematik umgehen Mathematisch modellieren SF: Arbeiten mit Vektoren und Matrizen. kennen algorithmische Verfahren und können sie anhand von Beispielen erläutern. 5.2 Multiplikation von Matrizen nutzen die Matrizenmultiplikation 5.3 Materialverflechtung lösen lineare Gleichungssysteme mit der eingeführten Technologie. finden in inner- und außermathematischen Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache. überprüfen die Plausibilität der Ergebnisse. wenden die eingeführten Technologien an. reflektieren und bewerten die benutzten Strategien. variieren vorgegebene mathematische Probleme und untersuchen die Auswirkungen auf die Problemlösung.

10 5.4 Chiffrieren und Dechiffrieren Inverse Matrix nutzen inverse Matrizen beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch mathematische Modelle durch Matrizen. interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. dasmodell. finden in inner- und außermathematischen Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache. überprüfen die Ergebnisse. Nutzung der eingeführten Technologie. reflektieren deren Verwendung und übersetzen zwischen symbolischer und natürlicher Sprache Beschreiben von Zustandsänderungen durch Matrizen Übergangsmatrizen Matrixpotenzen Fixvektor Grenzmatrix (en) Populationsentwicklungen Zyklische Prozesse wenden Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen an und interpretieren Grenzmatrizen sowie Fixvektoren. erkennen zyklisches Verhalten und interpretieren dies im Sachzusammenhang. (en) kennen algorithmische Verfahren und können sie anhand von Beispielen erläutern. finden in inner- und außermathematischen Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache. interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. das Modell. reflektieren die Grenzen von Modellen und der mathematischen Beschreibung von Realsituationen. ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Realsituationen zu und reflektieren so die Universalität von Modellen.

11 Klasse 12 Kapitel 6: Häufigkeitsverteilungen Beschreibende Statistik (ca. 3 Wochen) BuchKap. Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Methodische Hinweise 6.1 Merkmale Relative Häufigkeit : Die SuS kennen und nutzen die Begriffe der absoluten und der relativen Häufigkeit zur analytischen und graphischen Darstellung von Datenmaterial. MD und SF: Analytische und graphische Darstellungen der Daten ineinander überführen und analysieren Ko: Präsentation von Problembearbeitungen unter Verwendung geeigneter Medien Arithmetisches Mittel einer Häufigkeitsverteilung Leitidee: Messen Die SuS kennen und bestimmen das arithmetische Mittel als Lagemaß einer Stichprobe. SF: Die SuS verwenden mathematische Symbole und Schreibweisen sachgerecht und wählen geeignete Verfahren zur Lösung. Ko: Präsentation von Problembearbeitungen unter Verwendung geeigneter Medien. GTR-Einsatz zur Berechnung des arithmetischen Mittels über Listen mit absoluten oder relativen Häufigkeiten Die SuS charakterisieren und interpretieren Datenmaterial mithilfe der Kenngrößen arithmetisches Mittel und Zentralwert Klassieren von Daten Histogramm Die SuS stellen Häufigkeitsverteilungen nach sinnvoller Klassierung in Histogrammen dar, interpretieren und nutzen diese Darstellungen. Sie kennen und bestimmen das arithmetische Mittel klassierter Daten. 6.2 Streuung Empirische Standardabweichung Die SuS kennen das Simpsonsche Paradoxon und können Daten gezielt daraufhin untersuchen. Die SuS kennen und bestimmen das arithmetische Mittel als Lagemaß und die empirische Standardabweichung s als Streumaß einer Stichprobe. Die SuS charakterisieren und interpretieren Datenmaterial mithilfe der Kenngrößen arithmetisches Mittel, Standardabweichung s und Stichprobenumfang MA: Die SuS erkennen in Sachsituationen kausale Zusammenhänge, geben Begründungen an, überprüfen und bewerten diese. PL: Die SuS wählen geeignete heuristische Strategien wie Systematisieren und Strukturieren zum Problemlösen aus und wenden diese an. MA: Die SuS erkennen in Sachsituationen kausale Zusammenhänge, geben Begründungen an, überprüfen und bewerten diese. MA: Die SuS erkennen in Sachsituationen kausale Zusammenhänge, geben Begründungen an, überprüfen und bewerten diese. MM: Die SuS analysieren und bewerten verschiedene Modelle im Hinblick auf Anwendungsbezüge. SF: Die SuS verwenden mathematische Symbole und Schreibweisen sachgerecht und wählen geeignete Verfahren zur Lösung. MA: Die SuS erkennen in Sachsituationen kausale Zusammenhänge, geben Begründungen an, überprüfen und bewerten diese. GTR-Einsatz zur Darstellung von Daten in Histogrammen und Boxplot Graphische Darstellung von Daten in Excel

12 und setzen die eingeführte Technologie sinnvoll ein. PL: Sie nutzen die eingeführte Technologie beim Problemlösen zielgerichtet. 6.3 Zusatz: Regression und Korrelation Regressionsgerade Die SuS kennen den Begriff der Regression und interpretieren Daten mit Hilfe dieser. Sie kennen und erstellen Regressionsgeraden. Ko: Die SuS präsentieren Problembearbeitungen unter Verwendung geeigneter Medien, gehen auf Überlegungen anderer zu mathematischen Inhalten ein und überprüfen diese auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit. MM: Die SuS wählen, variieren und verknüpfen Modelle zur Beschreibung von Anwendungsbezügen. Sie analysieren und bewerten verschiedene Modelle im Hinblick auf diese. GTR-Einsatz zur Erstellung von Regressionsgeraden und Berechnung des Korrelationskoeffizienten Korrelationskoeffizient Bleib fit im Umgang mit Wahrscheinlichkeiten : Die SuS kennen und bestimmen den Korrelationskoeffizienten. Sie bewerten Daten durch die Betrachtung des Korrelationskoeffizienten unter Berücksichtigung der Kausalität. Die SuS verwenden die Grundbegriffe Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge zur Beschreibung von Zufallsexperimenten. Sie kennen das empirische Gesetz der großen Zahlen. Die SuS nutzen Zufallsgrößen zur sachgerechten Strukturierung der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Sie bestimmen Wahrscheinlichkeiten in ein- und mehrstufigen Zufallsexperimenten und nutzen dafür die Laplace- und die Pfadregeln. Ko: Die SuS präsentieren Problembearbeitungen unter Verwendung geeigneter Medien, gehen auf Überlegungen anderer zu mathematischen Inhalten ein und überprüfen diese auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit. Ko: Die SuS teilen ihre Überlegungen unter Verwendung der Fachsprache anderen verständlich mit. MA: Die SuS erläutern präzise mathematische Zusammenhänge und Einsichten unter Verwendung der Fachsprache. MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und Terme zur Darstellung von Daten, insbesondere unter Verwendung der eingeführten Technologie. SF: Die SuS verwenden mathematische Symbole und Schreibweisen sachgerecht. MA: Die SuS kombinieren mathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten und nutzen dabei auch formale und symbolische Elemente und Verfahren. Wiederholung aus der Sekundarstufe I

13 Kapitel 7: Wahrscheinlichkeitsverteilungen (ca. 5 Wochen) BuchKap. Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Methodische Hinweise 7.1 Zufallsgröße Erwartungswert einer Vom Mittelwert zum Zufallsgröße Erwartungswert Leitidee: Funktionaler Zusammenhang Die SuS beschreiben Zufallsgrößen als Funktionen und stellen diese tabellarisch und grafisch dar. (gn) Die SuS grenzen diskrete von stetigen Zufallsgrößen ab. (en) Die SuS nutzen Zufallsgrößen zur sachgerechten Strukturierung der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. 7.2 Binomialverteilung Leitidee: Funktionaler Zushg. Die SuS stellen Binomialverteilungen auch unter Verwendung der eingeführten Technologie grafisch dar BERNOULLI-Ketten Die SuS kennen das Modell der BERNOULLI- Kette, können in diesem Modell rechnen und es zum Modellieren sachgerecht anwenden Binomialkoeffizienten Bernoulli- Formel Rekursive Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei BERNOULLI- Ketten Die SuS können Binomialkoeffizienten mithilfe von Fakultäten berechnen und als Anzahl möglicher Pfade am Baumdiagramm interpretieren. Die SuS kennen das Modell der BERNOULLI-Kette und können in diesem Modell rechnen und es zum Modellieren sachgerecht anwenden. MA: Die SuS erläutern präzise mathematische Zusammenhänge und Einsichten unter Verwendung der Fachsprache. MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und Terme zur Darstellung von Daten, insbesondere unter Verwendung der eingeführten Technologie. MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und Terme zur Darstellung von Daten, insbesondere unter Verwendung der eingeführten Technologie. Alle Facetten sind möglich: MA: Mathematisch argumentieren PL: MM: Mathematisch modellieren MD: Mathematisch Darstellungen verwenden SF: technischen Elementen der Mathematik umgehen Ko:. Kommunizieren Ko: Die SuS teilen ihre Überlegungen unter Verwendung der Fachsprache anderen verständlich mit. SF: Die SuS verwenden mathematische Symbole und Schreibweisen sachgerecht. MA: Die SuS kombinieren mathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten und nutzen dabei auch formale und symbolische Elemente und Verfahren. MA: Die SuS erläutern präzise mathematische Zusammenhänge und Einsichten unter Verwendung der Fachsprache. MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und Terme zur Darstellung von Daten, insbesondere unter Verwendung der In jedem siebten Ei Besonderheit der Bernoulii- Experimente (in Abgrenzung zu allgemeinen Zufallsversuchen) ist deutlich herauszustellen. - Binomialkoeffizienten auch als Anzahl der Pfade im Baumdiagramm interpretieren, die - Bernoulliformel für HMfT- Abitur auswendig können. Thema ist im KC nicht verankert, bietet aber Möglichkeit der Modellbildung. Kann also in längeren Semestern erarbeitet werden.

14 7.3 Erwartungswert einer Binomialverteilung 7.4 Anwendungen der Binomialverteilung Kumulierte Binomialverteilung Auslastungsmodell Das Kugel-Fächer-Modell Die SuS charakterisieren Wahrscheinlichkeitsverteilungen anhand der Kenngrößen Erwartungswert, n und p und nutzen sie für Interpretationen. Die SuS charakterisieren Wahrscheinlichkeitsverteilungen anhand der Kenngrößen Erwartungswert, n und p und nutzen sie für Interpretationen. Weiterhin erkennen Sie den Zusammenhang on berechnen Sie eingeführten Technologie. MD: Besonders bei der Herleitung nutzen die SuS Tabellen, Graphen und Terme zur Darstellung und Berechnung von Daten am GTR. MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und Terme zur Darstellung von Daten, insbesondere unter Verwendung der eingeführten Technologie. SF: Die SuS verwenden mathematische Symbole und Schreibweisen sachgerecht. Herleitung der Formel E(X)=np gelingt exemplarisch über Analogieschlüsse N=1,2,3, aus der bereits bekannten Formel von E(X). Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten, Wahrscheinlichkeiten von Bereichen

15 Kapitel 8: Beurteilende Statistik (ca. 8 Wochen) Kapitel 7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist Voraussetzung für Kapitel 8 Buch-Kap. Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen (Methodische) Hinweise 8.1 Binomialverteilung für große Stufenzahlen (EdM S.428f) Standardabweichung bei Wahrscheinlichkeitsverteilunge n (EdM S.428f) Die Sigma-Regeln (EdM S.432f) 8.2 Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe (EdM S.436f) 8.3 Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit Konfidenzintervalle (EdM S.442f) SuS nutzen den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße für Interpretationen. Die SuS können diese im GTR bestimmen und interpretieren. Die SuS nutzen den Erwartungswert und die Standardabweichung von W.-Verteilungen und übertragen diese auf binomialverteilte Zufallsgrößen. Sie nutzen Histogramme, um Aussagen über die zugehörigen Verteilungen zu treffen. Die SuS können für große n auf der Grundlage der Sigma- Umgebungen um den Erwartungswert für binomialverteilte Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen. Die SuS unterscheiden zwischen Grundgesamtheit und repräsentativer Stichprobe. Sie treffen Aussagen über voraussichtliche Ergebnisse von Bernoulli-Ketten anhand von Punkt- und Intervallschätzungen für zugehörige Sicherheitswahrscheinlichkeiten. Die SuS schätzen anhand einer Stichprobe die Erfolgswahrscheinlichkeit p, die Benoulli-Zufallsversuchen zugrunde liegt. SF: setzen die eingeführte Technologie (GTR) in allen Themenfeldern als sinnvolles Werkzeug zum Lösen mathematischer Probleme ein. MD und SF: Analytische und graphische Darstellungen der Daten ineinander überführen und analysieren Ko: Präsentation von Problembearbeitungen unter Verwendung geeigneter Medien. SuS reflektieren und bewerten Argumentationen und Begründungen auf Schlüssigkeit und Angemessenheit. SuS vertreten eigene Problemlösungen und Modellierungen. Ko: SuS erläutern eigene Problembearbeitungen und Einsichten sowie mathematische Zusammenhänge mit eigenen Worten und unter Verwendung geeigneter Fachsprache. Hier wird 6.2 Streuung - Empirische Standardabweichung benötigt; Kapitel 7 (Wahrscheinlichkeitsvert.) ist Voraussetzung für Kapitel 8; GTR ermöglicht alle auftretenden Berechnungen (auch die Umkehraufgaben bei der Normalverteilung). Deshalb sind auch keine Tabellen zur Stochastik im Buch enthalten. Für en auch: - für binomialverteilte Zufallsgrößen, ausgehend von einer Stichprobe, Schätzwerte für den unbekannten Parameter p der zugrunde liegenden Gesamtheit bestimmen - Vertrauensintervalle um diese Schätzwerte zu beliebig vorgegebener Vertrauenswahrscheinlichkeit unter Nutzung der Normalverteilung (Kap.8) bestimmen. Selbst wenn der Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe im KC nur als Ergänzung genannt wird, ist er aus didaktischen Gründen unverzichtbar, um bei den Lernenden ein Verständnis des verbindlich geforderten, schwierigeren Schlusses von der Stichprobe auf die Gesamtheit zu erzeugen.

16 8.3.1 Schätzung der zugrunde liegenden Erfolgswahrscheinlichkeit (EdM S.442f) Wahl eines genügend großen Stichprobenumfangs (EdM S.447f) 8.4 e.n. Normalverteilung (EdM S.454f) e.n. Annäherung der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung (EdM S.454f) e.n. Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen (EdM S.460f) e.n. Bestimmen der Kenngrößen von normalverteilten Zufallsgrößen (EdM S.464f) 8.5 e.n. Stetige Zufallsgrößen (EdM S.468f) Die SuS führen Parametervariationen zur Anpassung von Funktionen an Daten durch. Sie können Schätzwerte für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit bestimmen. Die SuS bestimmen den Anteil p an einer Gesamtheit anhand der Daten einer Stichprobe. Die SuS grenzen diskrete von stetigen Zufallsgrößen ab und verwenden die Normalverteilung als spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die SuS berechnen unbestimmte Integrale mithilfe des GTR und kennen den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren. Sie verstehen den Sinn der Stetigkeitskorrektur. Die SuS verwenden die Normalverteilung als spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die SuS können Kenngrößen der Normalverteilung (Erwartungswert, Standardabweichung) bestimmen und interpretieren. Die SuS kennen weitere Dichtefunktionen stetiger Zufallsgrößen und deren Kenngrößen. MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und Terme zur Darstellung von Daten, insbesondere unter Verwendung der eingeführten Technologie. Ko: SuS dokumentieren Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse auch im Hinblick auf die verwendete Technologie und stellen jene verständlich dar. Hinweise zum Technologieeinsatz: Berechnen von Fakultäten und Binomialkoeffizienten [!; ncr] Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung und der Normalverteilung (ea) [binompdf; normalpdf] Bestimmen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilungen und Normalverteilungen (ea) [binomcdf; normalcdf] Grafische Darstellungen von Verteilungen [Graph; StatPlot] Vorgehensweise in Klasse 12/2 In der folgenden Tabelle ist zusammengestellt, welche Inhalte in welcher zeitlichen Reihenfolge behandelt werden können. Zu jeder Inhaltszeile der Tabelle kann man eine Arbeit schreiben lassen, beim letzten Thema bietet sich ein Projekt in Kleingruppen an. Jede Themeneinheit sollte in ca. 3 Wochen, also 12 Unterrichtsstunden behandelt werden. Buch- Kapitel Themen (mit Kapitelbezeichnungen aus dem Buch, kursiv Zusatzthemen) Fortführung der Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche Fächerübergreifendes, Medien, Ideen, Methoden

17 und 2.6 Integralrechnung (ea): Uneigentliche Integrale (2.5.3) Volumina von Rotationskörpern (2.6) 1.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit: Stetigkeit (1.5.1) Differenzierbarkeit (1.5.2) Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit (1.5.3) 1.7 Krümmung von Funktionsgraphen Modellierungen Funktionaler Zusammenhang: Die SuS interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten. Messen: Die SuS bestimmen Flächeninhalte unbegrenzter Flächen, erläutern die Berechnung uneigentlicher Integrale. Funktionaler Zusammenhang: Die SuS begründen die Volumenformel für Körper, die durch Rotation um die x-achse entstehen. Messen: Die SuS bestimmen Volumen von Körpern, die durch die Rotation um die X-Achse entstehen. Funktionaler Zusammenhang: Die SuS kennen abschnittsweise definierte Funktionen. Die SuS nutzen die Stetigkeit und Differenzierbarkeit zur Analyse und Synthese von abschnittsweise definierten Funktionen. Funktionaler Zusammenhang: Die SuS nutzen (neben Stetigkeit und Differenzierbarkeit) das Krümmungsverhalten zur Analyse und Synthese abschnittsweise definierter Funktionen. Anwendungsaufgaben SF: Die SuS verwenden mathematische Symbole zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und Problemlösen. Sie reflektieren deren Verwendung und übersetzen zwischen symbolischer und natürlicher Sprache. PL: Die SuS variieren vorgegebene mathematische Probleme und untersuchen die Auswirkungen auf die Problemlösung MM: Di SuS beschreiben Realsituationen und Probleme durch das mathematische Modell der Funktion. Ko: Die SuS erläutern eigene Problembearbeitungen mit eigenen Worten und unter Verwendung geeigneter Fachsprache. MD: Die SuS verwenden verschiedene Darstellungsformen von Funktionen und wechseln zwischen diesen. Ko: Die SuS präsentieren Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse und verstehen die Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten, überprüfen diese auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit und gehen darauf ein. Ko: Die SuS präsentieren Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse und verstehen die Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten, überprüfen diese auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit und gehen darauf ein.