Prof. Dr. H. Harbrecht Höhere Mathematik 3 07.09.00 Aufgabe (0 Punkte Gegeben sei die parametrisierte Fläche A mit A { ( Φ(u,v uv, v R : u u a Berechnen Sie die Funktionaldeterminante von Φ. b Bestimmen Sie den Flächeninhalt von A. c Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes von A. [ ] },,v [, ]. d Die Fläche A wird nun entweder um die x- oder um die y-achse rotiert. Sind die Volumina der entstehenden Rotationskörper gleich groß? Wenn nein, für welche Achse ist das Volumen größer? a Jacobi-Matrix der Parametrisierung: Φ (u,v v u v u u b Flächeninhalt: A A d(x,y c x-koordinate des Schwerpunkts: x S 6 ln uv v u y-koordinate des Schwerpunkts: y S 6 ln, det v u dv du dv du 6 ln v u v dv du u 6 ln u du u du du ( Φ v (u, v u. v dv [lnu] [ ] v 6 ln. v dv 3 6 ln [ ] 3 v3 7 6 ln. v dv [ ] [ ] 6 ln u 3 v3 7 6 ln. d Das Volumen der Rotationskörper lässt sich mit der Guldinschen Regel zu V πd A berechnen, wobei d der Abstand des Schwerpunkts zur Drehachse ist. Wegen x S y S sind die Volumina gleich.
Prof. Dr. H. Harbrecht Höhere Mathematik 3 07.09.00 Aufgabe ( Punkte Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen ( ( e x y (x y(x +. 3x Das charakteristische Polynom der Matrix ergibt p(z ( z( z z + 4z + 3 (z + (z + 3. Damit sind z 3, z die gesuchten Nullstellen von p(z. Die zugehörigen Eigenvektoren v und v ergeben sich zu ( ( ( 0 z 3 : v v 0 ( ( ( 0 z : v v. 0 Das Fundamentalsystem lautet also { y (x,y (x } { ( ( } e 3x, e x, und die homogene Lösung ist gegeben durch ( ( y h (x c e 3x + c e x, c,c R. Für die Partikulärlösung ergibt der Ansatz der Variation der Konstanten ( ( y p (x c (xe 3x + c (xe x. In Matrix-Vektor-Schreibweise ist das ( ( e 3x e x c (x y p (x. e 3x e x c (x Durch Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt sich das LGS ( ( ( e 3x e x c (x e x e 3x e x c (x 3x ( ( ( e 3x 0 c (x e x 3x 0 e x c (x e x + 3x
Prof. Dr. H. Harbrecht Höhere Mathematik 3 07.09.00 mit der Lösung Integration liefert und damit die partikuläre Lösung Die allgemeine Lösung ist somit y(x c e 3x ( c (x e x 3 xe3x e3x, c (x + 3 xex ex. c (x ex xe3x, c (x x + 3 xex e x, y p (x c (xy (x + c (xy (x ( e x ( ( x + xe x + 3 ( x ( ( ( ( xe x + e x + x. + c e x ( + xe x ( ( ( + e x + x (.
Prof. Dr. H. Harbrecht Höhere Mathematik 3 07.09.00 Aufgabe 3 (0 Punkte Die -periodische Funktion f : R R ist gegeben durch f(x e ex, x [0,. a Berechnen Sie die komplexe Fourier-Reihe von f. b Geben Sie die reelle Fourier-Reihe von f an. c Geben Sie die reelle Fourier-Reihe einer Stammfunktion F von f an. a Die komplexe Fourier Reihe lautet mit den Koeffizienten n 0 : c 0 n 0 : c n n,n 0 0 0 iπn f(x n iπn e iπn e Einsetzen ergibt die Fourier Reihe ( f(x iπn eiπnx b Es gilt c n e iπnx ( f(xdx 0 e ex dx e e 0. ( f(xe iπnx dx 0 e e( iπnx e iπnx dx [ ] e e( iπnx [ ] e iπnx iπn 0 n 0 iπn. + iπn e iπnx + c n + iπn + (πn. Damit ergeben sich die Koeffizienten der reellen Fourier-Reihe zu a 0 c 0 0, a n Re(c n + (πn, b n Im(c n 4πn + (πn, und die Reihe lautet f(x iπn eiπnx ( + (πn cos(πnx 4πn + (πn sin(πnx. n c Für eine Stammfunktion F von f erhalten wir durch gliedweise Integration ( F(x πn + (πn sin(πnx + 4πn πn + (πn cos(πnx n ( + (πn cos(πnx + πn + (πn sin(πnx. 3 n
Prof. Dr. H. Harbrecht Höhere Mathematik 3 07.09.00 Aufgabe 4 (4 Punkte Gegeben ist die partielle Differentialgleichung xx u(x,y + yy u(x,y 4 x u(x,y + 4u(x,y 0, x,y (0,, ( mit den Randbedingungen u(0,y u(,y 0, y (0,, ( u(x, 0 e x sin(πx, u(x, e x+π sin(πx, x (0,. (3 a Lösen Sie die Gleichung ( mit den Randbedingungen ( durch den Separationsansatz. b Bestimmen Sie die Koeffizienten der Lösung aus a, so dass die Randbedingungen (3 erfüllt sind. a Der Separationsansatz u(x,y v(xw(y liefert die Gleichung v (x v(x + w (y w(y (x 4v v(x + 4 0, v (x v(x 4v (x v(x + 4 w (y w(y c und damit die gewöhnlichen Differentialgleichungen v (x 4v (x + (4 cv(x 0, w (y + cw(y 0. Die Differentialgleichung für v liefert das charakteristische Polynom λ 4λ + 4 c mit den Nullstellen λ, ± c. Fallunterscheidung für c: (i Falls c l > 0: Allgemeine Lösung der Dgl : v(x ae (+lx + be ( lx, a,b R. Einsetzen der Randbedingungen ergibt a b 0 und damit keine interessante Lösung. (ii Falls c 0: Allgemeine Lösung der Dgl : v(x ae x + bxe x. Wieder ergibt das Einsetzen der Randbedingungen a b 0.
Prof. Dr. H. Harbrecht Höhere Mathematik 3 07.09.00 (iii Falls c l < 0 : v(x ae x cos(lx + be x sin(lx. Aus den Randbedingungen folgt v(0 a 0, v( be sin(l 0 b 0 oder l nπ, n N. In diesem Fall sind die Lösungen gegeben durch v n (x ˆb n e x sin(nπx, n N. Für w erhält man damit die Differentialgleichungen w n(y c n w n (y n π w n (y mit der allgemeinen Lösung w n (y ã n e nπy + b n e nπy. Superposition ergibt u(x,y e x sin(nπx ( a n e nπy + b n e nπy. n b Das Einsetzen der Randbedingungen führt auf und damit auf u(x, 0 u(x, e x sin(nπx (a n + b n! e x sin(πx, n n e x sin(nπx ( a n e nπ + b n e nπ! e x+π sin(πx, a + b a e π + b e π e π, a 0, b a n b n 0, für n. Damit ist die Gesamtlösung u(x,y e x sin(πxe πy.
Prof. Dr. H. Harbrecht Höhere Mathematik 3 07.09.00 Aufgabe 5 (5 Punkte Folgende Wahrscheinlichkeiten sind gegeben: P(B 0.4, P(A B 0.3, P(A B 0.8. Sind die Ereignisse A und B unabhängig? Die Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A B P(AP(B gilt. P(B 0.4 P(B 0.6 P(A P(A B P(B + P(A B 0.8 0.6 + 0.3 0.5 P(AP(B 0.6 0.5 0.3 P(A B Also sind die Ereignisse unabhängig.
Prof. Dr. H. Harbrecht Höhere Mathematik 3 07.09.00 Aufgabe 6 (9 Punkte Ein zylindrisches Präzisionsteil besitze die gewünschte Qualität, wenn die Abweichung des Durchmessers vom Nennmaß µ dem Betrage nach nicht größer als 3.3mm ist. Der Herstellungsprozess sei so beschaffen, dass der Durchmesser des Teils eine N(µ, -normalverteilte Zufallsgröße mit der Standardabweichung 3mm ist. a Wieviel Prozent der Teile einer Serie werden durchschnittlich mit der gewünschten Qualität produziert? b Wie groß darf die Standardabweichung sein, damit weniger als 0% Ausschuss entsteht? a X Abweichung vom Nennmaß, X N(0, Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit P( X 3.3: ( X P( X 3.3 P 3 }{{} N(0, 3.3 3 }{{}. Φ(. Φ(. Φ(. 0.8643 7.86% b Mit P( X 3.3 P ( X 3.3 Φ ( 3.3 ergibt sich ( 3.3 Φ! 0.9 ( 3.3 Φ 0.95 3.3.65 3.3.65.