roomrsch Rh Do: Rh dr Gsal a + a cos x + b s x + a cos x + L + a cos x + b s x +L hß roomrsch Rh. D Zahl a a, b,..., a, b,..., b: prodsch Fuko sd hr Koz. Escha roomrschr Rh a + a cos x + b s x + a cos x + L + a cos x + b s x +L w roomrsch Rh a dr Sll kovrr, da auch a dr Sll + (ud ür az k auch +k w roomrsch Rh übrall kovrr, da s s prodsch Fuko m dr Prod such: Darsllu dsr Fuko als roomrsch Rh w all a sd, da s d durch d Rh dr Fuko urad, w all sd da s s rad. b Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5. Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5. Rhwcklu S u (x m Prod b. Fra: W läß sch (x als roomrsch Rh darsll? W ka ma also d Koz bsmm? a + a cos x + b s x + L + a cos x + b s x +L W d Rh lchmäß kovrr, da s (x au [,] rrbar. Wr wss, daß ür m l: cos xs mx dx cos x cos mx dx Was passr, w wr bd Glchuss m cos mx mulplzr ud da rr? Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.3 mx dx a cos mx + Rhwcklu ( a cos x cos mx + b s x cos mx dx mmr mmr ( m cos x cos mx dx ( m ( m x dx a Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.4 wr rhal also Fourrrhwcklu a x dx bd S m s mx mulplzr ud da rr lr: b s x dx Is (x au [,] rrbar, ka ma so d Koz a, a, b,..., a, b,... brch. S hß Fourrkoz dr Fuko m Irvall [,]. D zuhör roomrsch Rh hß Fourrrh dr Fuko. Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.5 Fourrrhwcklu Bmrku: Is zusäzlch prodsch m Prod, ka ma d Koz übr jdm Irvall dr Lä brch: a b + + x dx s x dx Is ch prodsch, rssr ma sch ms ur ür Absch ud brch d Fourrkoz ur ür ds. Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.6
Bmrku: b a Fourrrhwcklu lm x dx ud lm s x dx b a dshalb l auch (ür au [a,b] rrbar: lm a ud lm b D.h. (x wrd mmr aur aähr durch d parll N Summ a + ( a cos x + b s x Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.7 Fourrrhwcklu W Prod ha, rhäl ma ud a + a cos( x + b s( x a ( x dx b s( x dx Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.8 Fourrrh ür Rchckuko Bspl ür Fourrrhwcklu: s (xs(x - (x - au [-,+], ud -prodsch sos a + x dx x + b s x dx 4 s 3x s 5x also Fourrrh vo s x + + + L 3 5 ( ( Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.9 Fourrrh ür Rchckuko 4 s 3x s 5x s x + + + L 3 5 d rs vr Gldr dr Fourrrh vo (x Rchck Summ dr rs,,4 odr 8 Gldr Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5. x aylorrhwcklu 3 5 7 4 6 8 s x + +... cos x + + +...! 3! 5! 7!! 4! 6! 8! 3 4 + + + + +...!! 3! 4! 3 4 x + ( + ( + ( + ( +...!! 3! 4! (- 3 4 x + ( + ( + ( + ( +...!! 3! 4! 4 3 (- 3 - Fourrrhwcklu 3 4 3 4 x + ( + ( + ( + ( +... x + ( + ( + ( + ( +...!! 3! 4!!! 3! 4! x x + x x cos x 4 x x + + + +... cos x! 4! 3 x x + + +... s x! 3! x + x x s x x Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5. Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.
Fourrrasormao Brach wr blb (ch ubd prodsch Fuko, da rhal wr ür Prod m ω ω dω ω d Wr F d Fourrrasormr vo (odr auch Spkrum vo Is d Summ mhrrr Schwu, da b ω a, m wlchm Al d Frquz ω d Summ h. Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.3 Fourrrasormao: Bspl s,, D Fourrrasormr vo s F ω ( d sω ür ω ω ür ω > Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.4 Fourrrasormao E paar Escha vo Fourrrasormr: (s d Fourrrasormr ω vo ( Larä: Drao: Vrschbu: Z Frquz ω ( ω F ω ω Falu: F ( c + c c + c ( ( ( ( ( τ ( τ dτ ( Falu m Zbrch Mul. m Frquzbrch Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.5 Do: Falu ( ( ( τ ( τ dτ Falu zwr Fuko sprch dm Flr s Sals. ( * [ ] [ j] [ j] (-τ j (kourlch (dskr (-τ (τ Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.6 E Bspl ür Falu ( ( ( τ ( τ dτ ( (τ (-τ (τ (-τ τ τ ( τ τ < ( ( -τ τ ( dτ Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.7 Dr Impuls O Sysmbschrbu durch Impulsawor : Impuls Fuko, sodr Drac-Dsrbuo δ (x: ür x > ε δ ( x lm ε ür x ε ε Irprao: δ (x s Ablu vo Escha: δ ( x δ ( x δ ( xdx σ (x δ ( x dx ( ( [ ] ω F δ ( d σ ( Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.8
Fourrrasormr ds Impulss δ ( δ ( d ω ω δ ( τ d ω ωτ ω ω ω τ ω τ ( δ ( τ + δ ( + τ d + cos( ωτ δ ( τ + δ ( + τ δ ( F s hr r rll, k Imaäral F s hr komplx, rll ud maär Al (k Bld abr F ω cos( ωτ (r rll Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.9 Fourrrasormr vo Impuls Allm l: Bspläll: τ τ τ δ ( τ + δ ( + τ ω cos( ωτ δ ( + δ ( + + cos( δ ( + δ ( + cos( ω δ ( + δ ( + cos( Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5. Fourrrasormr vo Impuls Brs sh: Was s m: δ ( τ δ ( + τ δ ( τ + δ ( + τ ω cos( ωτ ω ω ω τ ω τ ( δ ( τ δ ( + τ d s( ωτ Im( Allm ka ma z: s ( rad, da s ω rll, s ( urad, da s ω maär (übrs auch umkhr Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5. Fourrrasormr: Impulszu δ ( + δ ( + δ ( δ ( + δ ( + δ ( + δ ( + δ ( 7 7 3 3 δ ( δ ( Schlßlch: Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5. Fourrrasormr s Impulszus Vo kourlch ach dskr bka: ( ( δ ( δ (...... Zdomä Falu Zdomä Mulplkao Frquzdomä Mulplkao Frquzdomä Falu δ ( F δ ( / / Abas (sampl vo ( m dr Abasprod bdu: Mulplkao vo ( m dr udlch Impulsol δ ( Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.3 Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.4
Vo kourlch ach dskr ( F (ω Vara dr Fourrrasormao kourlch ud prodsch Fourrrhzrlu auch (z-dskr a + a + a + 3 a Koz dr Fourrrh (all rll s ( ( s ( S (ω S( Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.5 kourlch blb dskr,blb Fourrrasormao zdskr Fourrrasormao dskr Fourrrasormao dskr prodsch aomm (Fourr-Spkrum (. komplxwr (Fourr-Spkrum prodsch dskrs (Fourr-Spkrum prodsch aomm Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.6 Übrsch Escha Alas ud das Abashorm ( F (ω dskr prodsch s ( S (ω rll maär rad urad s ( S (ω badbrz dlchr Dosbrch ( s ( S( ( s ( S( Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.7 Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.8 ( Das Abashorm badbrz ω +ω F ( s ( δ ( ( s (... (... S ( S( δ ( / / ω Dam sch d al Ezlspkr ch übrlar muß l: / > ω > ω /( w ω s d Abasrquz s, da s ω s / > ω s >ω Iormak II Sommrsmsr, Dr. Ivca Roa Fol 5.9