Irrationale Zahlen Ausarbeitung zum Proseminar Modul 4c Unendlichkeit angefertigt von Felix Schultes Dozentin: Fr. Regula Krapf Fachbereich 3 Universität Koblenz-Landau 24..207
INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Irrationalität von e 2 Irrationalität von e 2 3 3 Irrationalität von e 4 5 4 Irrationalität von e r 8 5 Irrationalität von π 2
Irrationalität von e Irrationalität von e Die folgende Ausarbeitung behandelt allgemein die Irrationalen Zahlen. Genauer setzt sie sich mit einigen Beweisen zu der Irrationalität von Potenzen von e, bis hin zu e r und π 2 auseinander. Der Beweis für e bildet dabei den Einstieg, indem er einen Überblick über grundlegende Beweismuster für Irrationalität bietet und die geschichtliche Reihenfolge widerspiegelt. Zu Beginn sind allerdings erst einmal ein paar wichtige Definitionen und Verfahren zu erläutern, die im Folgenden häufig Anwendung finden werden. Sei e definiert als und e x als e x := e := k=0 Auch die geometrische Reihe mit k=0 k! = + + 2 + 6 +... x k k! = + x + x2 2 + x3 6 +... ; x R Q = q + q +... = ; q R; q > 2 q3 Qq = + q + q 2 +... = + Q Q = q wird öfters zum Vergleich herangezogen werden. Um die Irrationalität einer beliebigen Zahl zu beweisen ist es im Allgemeinen sinnvoll anzunehmen, sie sei Element der rationalen Zahlen, um dies wiederum zu einem Widerspruch zu führen. Denn die Menge aller irrationalen Zahlen I ist definiert als die Menge aller reellen Zahlen R ohne die Menge aller rationalen Zahlen Q. Also I = R \ Q. Alle rationalen Zahlen Q lassen sich per Definition durch den Quotienten zweier ganzer Zahlen a, b darstellen.
2 Irrationalität von e Satz.. e ist eine irrationale Zahl. Beweis Sei also e eine rationale Zahl a b mit a, b Z; a, b > 0. e = a b eb = a be = a für alle n N Existiert also ein n für welches die Gleichung nicht erfüllt ist, so kann e nicht Element der rationalen Zahlen sein und seine Irrationalität wäre bewiesen. Die rechte Seite der Gleichung ist eindeutig eine ganze Zahl, da a und ganze Zahlen sind und die Gruppe der ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist. Um die linke Seite zu betrachten, schreibe e = +! + 2! +... + + be = b +! + 2! +... + + b n +! + n + 2! +... n +! + n + 2! +... Das linke Produkt ist ebenfalls ganzzahlig, da jeder Nenner aus der Klammer in enthalten ist und somit gekürzt werden kann. Die übrig bleibende Summe ganzer Zahlen, multipliziert mit einer ganzen Zahl, muss wiederum ganzzahlig sein. Betrachten wir nun zuletzt den zweiten Summanden der linken Seite. Durch Vereinfachung und Vergleich mit der geometrischen Reihe lässt er sich folgendermaßen abschätzen: und b n + b b = b n + 2! +... n +! + n + + n + n + 2 +... b n + + n + +... 2 b = n + = b n n + + n + n + 2 +... Für ausreichend großes n liegt der Term also zwischen 0 und und die linke Seite kann somit nicht ganzzahlig sein wodurch die Irrationalität von e bewiesen ist..
Irrationalität von e 2 3 2 Irrationalität von e 2 Für den Irrationalitätsbeweis von e 2 wird eine ähnliche Strategie verwendet. In Kombination mit dem ersten Beweis bildet es allerdings schon eine sehr viel stärkere Aussage über die Irrationalität, da beispielsweise die ebenfalls irrationale Zahl 2 quadriert nicht mehr Element dieser Menge ist. Satz 2.. e 2 ist eine irrationale Zahl. Beweis Sei wie zuvor e 2 = a mit a, b N \ {0}. b Nach Umformen und beidseitigem Multiplizieren von erhält man be = ae Die linke Seite lässt sich wie oben gezeigt in einen ganzzahligen Teil und einen Rest, welcher für große n minimal größer als 0 ist, aufteilen. Zusammen addiert ist sie also etwas größer als eine ganze Zahl. Aus der Definition von e folgt für die rechte Seite: ae = a + 2 6 ±... ± + n+ a n +! n + 2! ±... Wie schon oben gezeigt muss auch hier der erste Summand ganzzahlig sein. Dass die Summe alternierend ist, ändert daran nichts. Betrachtet man nun die zweite Summe für große, gerade n, so erhält man: a n = a n + + n + +... 2 a n + + n + n + 2 +... a n + n + n + 2 ±... a n + n + n + 2... a n + n +... 2 = a n + n + + n + +... 2 = a < 0 n + n
4 Irrationalität von e 2 Man erkennt durch Vergleich mit der geometrischen Reihe, dass der Rest etwas kleiner als 0 ist und die rechte Seite somit etwas kleiner als eine ganze Zahl sein muss. Daher existiert mindestens ein n, für welches die anfängliche Gleichung nicht erfüllt ist und somit die Irrationalität von e 2 beweist.
Irrationalität von e 4 5 3 Irrationalität von e 4 Um die Irrationalität von e 4 zu beweisen nimmt man für n nicht mehr eine beliebige große natürliche Zahl, sondern eine Zweierpotenz n = 2 m an. Zusätzlich wird der Satz von Legendre benötigt. Satz 3.. Für n N \ {0} enthält den Primfaktor 2 höchstens n mal. Gleichheit gilt genau dann, wenn n eine Zweierpotenz ist. Beispiel 3... Für n = 3 gilt = 2 3 Der Primfaktor 2 tritt also nur mal auf und n, wodurch der Satz zutrifft. Beispiel 3..2. Für n = 8 gilt n = 2 3 4 5 6 7 8 = 2 7 3 2 5 7 Der Primfaktor 2 tritt 7 mal auf. Die Zahl n = 8 enthält den Primfaktor 2 genau 7-mal, da 8 eine Zweierpotenz ist. Satz 3.2. e 4 ist eine irrationale Zahl. Beweis Rationalität an. Um nun die Irrationalität von e 4 zu beweisen nimmt man zunächst wieder seine e 4 = a b be 2 = ae 2 Anstatt nun wie gewohnt von beiden Seiten mit zu multiplizieren, nehmen wir stattdessen 2 n, denn die Reste auf der linken und rechten Seite würden in diesem Fall bei einer Multiplikation mit für große n weiterhin sehr groß bleiben, wodurch sich die Gleichung nicht zu einem Widerspruch führen ließe. Wir betrachten also 2 n be2 = ae 2 2 n
6 Irrationalität von e 4 und setzen die Reihenentwicklungen ein. e 2 = + 2 + 4 2 + 8 6 e 2 = 2 + 4 2 8 6 +... + 2r r! +... ±... + r 2r r! +... Auf der linken Seite besitzt jeder Summand für r n die Form Nach Legendre gilt nun b 2 n 2 r r!. u N : = 2 n u v, s N : r! = 2 s v, wobei u und v jeweils das Produkt der restlichen Primfaktoren außer der 2 von und r! sind. Das s steht für die Anzahl von Zweien als Primfaktoren von r!. Daher muss s nach Legendre kleiner gleich r sein. Einsetzen liefert b 2 n 2 r r! = 2n u 2 r 2 n v 2 s = u 2r v 2 s. Da s r und r n muss v Teiler von u sein, denn jeder restliche Primfaktor aus r! muss auch in enthalten sein. Der Nenner kann also vollständig gekürzt werden und der Term ist somit Element der ganzen Zahlen. Die Summanden für r n auf der rechten Seite haben wegen der Reihenentwicklung e 2 die Form r a 2 n 2 r r!. Der Beweis, dass auch dieser Term ganzzahlig ist, verläuft analog zu dem vorhergehenden, da die Multiplikation mit oder nichts an der Ganzzahligkeit ändert. Übrig bleiben also noch die Summanden für r n +.
Irrationalität von e 4 7 Auf der linken Seite besitzen sie die Form b 2 n+ 2 n n +! + 2n+2 n + 2! +... 2 = 2b n + + 4 n + n + 2 +... 2 2b n + + 2 n + +... 2 übrig. = 2b 2 n = 4b n geom. Reihe Auf der rechten Seite gelangt man analog mit Hilfe der geometrischen Reihe auf ungefähr 4b n. Für große Zweierpotenzen von n ist der nicht-ganzzahlige Anteil auf der linken Seite also knapp größer und auf der rechten Seite knapp kleiner als Null, wodurch eine Gleichheit ausgeschlossen ist und die Irrationalität von e 4 ebenfalls bewiesen ist.
8 Irrationalität von e r 4 Irrationalität von e r Es ließen sich also für vermutlich alle Potenzen von e mit geradem Exponenten Tricks wie diese finden, da man die Potenzen von e gleichmäßig auf beide Seiten aufteilen kann. Für alle ungeraden Exponenten von e benötigt man allerdings einen Ansatz, der tiefer in die Analysis eindringt. Bevor wir allerdings mit dem Beweis der Irrationalität von e r beginnen benötigen wir einen Hilfssatz von Hermite. Lemma Für ein festes n N mit n sei fx := xn x n ; x R i Die Funktion f ist ein Polynom der Form fx = 2n i=n c i x i, ii Für 0 < x < gilt 0 < fx < iii Die Ableitung f k 0 und f k sind für alle k 0 ganze Zahlen. Beweis Die Funktion f ist ein Polynom der Form i, da die Exponenten von x mindestens n und höchstens 2n sein können.dabei sind c i die Koeffizienten aus den ganzen Zahlen. Lemma ii gilt, weil der Zähler kleiner als sein muss. Dass die k-te Ableitung von f an der Stelle 0 eine ganze Zahl ist, wird wie folgt ersichtlich: Für k < n tritt nach k-facher Ableitung in jedem Summanden noch mindestens ein x auf, wodurch die Ableitung bei Auswertung an der Stelle 0 offensichtlich 0 wird. Genauso ist die k-te Ableitung eines Polynoms 2n-ter Ordnung offensichtlich identisch 0, falls k > 2n. Falls n k 2n hilft es die Ableitung explizit auszurechnen. fx = 2n i=n 2n c i x i = f x = c i i x i i=n 2n f k i=k x = c i! i i k! xi k, k 2n 0, k > 2n cn x n + c n+ x n+ + c n+2 x n+2 +... + c 2n x 2n
Irrationalität von e r 9 Dementsprechend verschwindet f k auch für n k 2n an der Stelle 0, da alle Summanden außer x k entweder durch das Ableiten, oder durch das Einsetzen von 0 wegfallen und der Nenner im k-ten Summanden c k k! für alle k n vollständig gekürzt werden kann. Um zu zeigen, dass auch f k Element der ganzen Zahlen ist bedient man sich der Eigenschaft fx = f x f k x = k f k x f k = k f k 0 Dieser Ausdruck ist, wie oben bereits gezeigt, auch eine ganze Zahl. Satz 4.. Für alle r Q ist e r irrational. Beweis Es genügt die Irrationalität von e s für positives, ganzzahliges s zu zeigen. Denn wenn e s t mit t aus den positiven ganzen Zahlen rational wäre, dann wäre e s t t = e s auch rational. Wie gewohnt nehme man e s = a mit a, b > 0 aus Z an. b Zusätzlich sei > as 2n+. Nun definieren wir gx := s 2n fx s 2n f x + s 2n 2 f x... + f 2n x wobei fx die Hilfsfunktion aus dem Lemma ist. Da die Summanden von f k x für k 2n ohnehin wegfallen, kann gx auch als unendliche Reihe gx = s 2n fx s 2n f x + s 2n 2 f x... geschrieben werden. Für die Ableitung von gx gilt g x = s 2n f x s 2n f x + s 2n 2 f x... = s s 2n f x + s 2n 2 f x... s 2n+ fx + s 2n+ fx = s s 2n fx s 2n f x + s 2n 2 f x... + s 2n+ fx = s gx + s 2n+ fx.
0 Irrationalität von e r Diese Schreibweise von gx benötigt man, da nun das Produkt von gx und e sx abgeleitet werden soll. Aus der Produktregel folgt d [ e sx gx ] = se sx gx + e sx g x dx = se sx gx + e sx sgx + s 2n+ fx = s 2n+ e sx fx. Sei nun N : = b 0 s 2n+ e sx fxdx = b [ e sx gx ] 0 = be s g be 0 g0 = ag bg0 Dieses N ist für alle a, b aus den ganzen Zahlen wiederum ganzzahlig, denn g und g0 sind nichts anderes als Summen von ganzen Zahlen mit f k 0 oder f k multipliziert, welche nach iii ebenso ganzzahlig sind. Betrachtet man allerdings denselben Term nicht unter der Annahme, dass a und b Element der ganzen Zahlen sind, so lässt sich zeigen N = b 0 s 2n+ e sx fxdx < bs 2n+ e s diese Ungleichung ist korrekt, da e sx im Intervall von 0 bis nach oben durch die Konstante e s abgeschätzt werden kann und fx nach ii echt kleiner als ist. Weiterhin muss N kleiner als sein, da bs 2n+ e s = a bs2n+ b = as2n+ Wichtig hierbei ist die zu Beginn getroffene Annahme sei größer als as 2n+ und e s = a b. <. Wobei es in diesem Fall nicht notwendig ist, dass a, b ganze Zahlen sind. Nach unten ist N durch die 0 beschränkt, weil sich e sx nach unten durch durch die Konstante e 0 und fx nach ii durch 0 abschätzen lassen. Da x und fx allerdings nach ii echt größer als 0 sein müssen, muss auch N echt größer 0 sein. Somit gilt 0 < N <, was einen Widerspruch zur vorherigen Überlegung und damit auch der Annahme, dass a und b ganzzahlig seien darstellt! Daher muss auch e s Element der irrationalen Zahlen sein.t
Irrationalität von π 2 5 Irrationalität von π 2 Satz 5.. π 2 ist eine irrationale Zahl. Beweis Um nun zu zeigen, dass auch π 2 irrational ist, wird wieder π 2 = a mit a, b b N \ {0} angenommen. Zudem wird, wie bei e r, über geschickt gewähltes N und gx die Annahme zu einem Widerspruch geführt. Sei gx := b π n 2n fx π 2n 2 f 2 x + π 2n 4 f 4 x... g 2 x = b π n 2n f 2 x π 2n 2 f 4 x + π 2n 4 f 6 x.... Durch Umformen erkennt man, dass gx = b π n 2n fx π 2n 2 f 2 x + π 2n 4 f 4 x... π 2 gx = b π n 2n+2 fx + π 2n f 2 x π 2n 2 f 4 x ±... π 2 gx + b n π 2n+2 fx = b π n 2n f 2 x π 2n 2 f 4 x ±... = g 2 x. Unter Zuhilfenahme dieses Ausdrucks und der üblichen Differentiationsregeln erhält man für nun definieren wir d [ g x sinπx πgx cosπx ] dx = g 2 x sinπx + π 2 gx sinπx = g 2 x + π 2 gx sinπx N := π 0 a n fx sinπxdx = π 2 a n fx sinπxdx π 0 = [ g x sinπx πgx cosπx ] 0 π = πg πgo π = g0 + g.
2 LITERATUR Dies muss, wie bei e r nach Lemma iii, und für π 2 = a b ganzen Zahlen ebenfalls eine ganze Zahl sein. mit a, b > 0 und Element der Denn so kann die Potenz von b im Nenner immer vollständig mit b n vor der Klammer gekürzt werden. Wählen wir allerdings n so groß, dass πan < ist, dann ist nach ii des Lemmas N = π 0 a n fx sinπxdx πan <, da nach Vorgabe fx < Und sinπx für 0 < x < kleiner als sein muss. In die Gegenrichtung gilt N = π 0 a n fx sinπxdx 0, da a, fx und sinπx echt größer 0 sein müssen. Somit liegt N zwischen 0 und und kann nicht ganzzahlig sein. Die Annahme π 2 = a ist also zum Widerspruch geführt worden und b π2 muss daher auch irrational sein. Literatur [] Aigner Martin; Ziegler, Günter: Das Buch der Beweise, 4. Auflage, Springer: Berlin, Heidelberg, 205, Kapitel 8.