Karlsruhr Institut für Tchnologi Institut für Thori dr Kondnsirtn Matri Übungn zur Modrnn Thortischn Physik I SS 5 Prof. Dr. Jörg Schalian Blatt 3 Lösungn Dr. Andras Ponick, Patrik Hlobil Abgab: 5.05.05, Bsprchung: 6.05.05. Rchnn it Opratorn II 0 Punkt, schriftlich a Punkt Translation Zign Si, dass dr Zustand φx iˆpa/ ψx d u di Distanz a vrschobnn Zustand ψx ntspricht, d.h. φx ψx + a, wobi ˆp dr Ipulsoprator ist. Wir nutzn di Rihndarstllung dr Exponntialfunktion und wndn si auf di Wllnfunktion ψx an: b ˆp {}}{ φx iˆpa/ i ψx a i x n ψx n x ψxa n Dr ltzt Ausdruck ist allrdings grad di Taylorntwicklung ψx+a n x ψxa n. Es gilt also φx ψx + a.  und ˆB sin Hrit sch Opratorn. i Punkt U zu zign, dass dr Erwartungswrt [Â, ˆB] rin iaginär ist, btrachtn wir zunächst [Â, ˆB]  ˆB ˆB ˆB   ˆB ˆB  ˆB [Â, ˆB] Dait gilt für inn blibign Zustand ψ ψ [Â, ˆB] ψ ψ [ Â, ˆB] ψ ψ [Â, ˆB] ψ. Dr Erwartungswrt [Â, ˆB] ist dait rin iaginär. ii Punkt Das dr Erwartungswrt {Â, ˆB} ds Antikoutators rin rl ist läßt sich analog zign: {Â, ˆB}  ˆB + ˆB ˆB  +  ˆB ˆB +  ˆB {Â, ˆB} 3 Dait gilt für inn blibign Zustand ψ ψ {Â, ˆB} ψ ψ { Â, ˆB} ψ ψ {Â, ˆB} ψ. 4 Dr Erwartungswrt {Â, ˆB} ist dait rin rl. iii Punkt  ˆB  ˆB   ˆB Hrit sch i  i  i  nicht Hrit sch i [Â, ˆB] i [Â, ˆB] i [Â, ˆB] Hrit sch Gl.
iv Punkt d Es soll Ât ˆBt brchnt wrdn: dt d Ât ˆBt d dt dt Ât ˆBt + Ât d dt ˆBt ÂÂt ˆBt + Ât ˆBt ˆB ÂÂt ˆBt + Ât ˆBt ˆB c Wir btrachtn   ˆB?? n 0  n ˆB 0 0 Â! Â! n 0 ˆB Ân n!  n 0 n 0 ˆB Â!  ˆB  n } {{ } ˆB n 5 Wir üssn nun zign, dass gilt wir bschränk uns auf n da dr Fall ˆB0 ˆB trivial ist ˆB n 0 n  ˆB  n Â, [Â,... [Â, ˆB]] n al  6 Wir achn dis it vollständigr Induktion: Induktionsanfang: Zig für n ˆB 0  ˆB  ˆB +  ˆB [Â, ˆB] 7 Induktionsbhauptung: Für in n R gilt 6. Induktionsschritt: Schliß von n n + n+ n + ˆB n+  ˆB  n+ 0 n + n n+ n  ˆB  n+ n +  ˆB  n+ 0 n  + ˆB  n n +  ˆB  n+ 0 0 n   ˆB  n n  ˆB  n  0  ˆB n ˆB n  [Â, ˆB n ] 0 Â, [Â,... [Â, ˆB]] n+ al  8 Dait gilt also  ˆB  Btracht dn Oprator B n + [Â, ˆB] +! [Â, [Â, ˆB]] +... 9 ˆF t ˆX t Ŷ t 0
und lit disn nach t ab t ˆF t t ˆX t Ŷ t + ˆX t t Ŷ t ˆX ˆX t Ŷ t + ˆX t Ŷ Ŷ t ˆX ˆX t Ŷ t + ˆX t Ŷ ˆX t ˆX t Ŷ t ˆX + ˆX t Ŷ ˆX t ˆX t Ŷ t 9 ˆX t + Ŷ + [ ˆX, Ŷ ]t +! [ ˆX, [ ˆX, Ŷ ]] +... ˆF t 0 sih ÜB ˆX + Ŷ + [ ˆX, Ŷ ]t ˆF t Di auftrtnd Diffrntialglichung wird glöst durch Intgrationsbdingung ˆF 0 wird rfüllt ˆF t ˆX+Ŷ t+[ ˆX,Ŷ ] t Da wgn dr Vorausstzung [ ˆX, [ ˆX, Ŷ ]] [Ŷ, [ ˆX, Ŷ ]] 0 gilt [ ˆX + Ŷ, [ ˆX, Ŷ ]] 0 könnn dn Exponntn auftiln sih auch ÜB Nr. : ˆF t ˆX+Ŷ t+[ ˆX,Ŷ ] t ˆX+Ŷ t [ ˆX,Ŷ ] t 3 Zusanführn von Glichung 0 und 3 für t führt schlißlich zu odr ˆXŶ ˆX+Ŷ [ ˆX,Ŷ ]/ 4 ˆX+Ŷ ˆXŶ [ ˆX,Ŷ ]/ 5. Wllnpackt und Kontinuitätsglichung 0 Punkt ündlich a Punkt Gsucht sind di Wllnfunktionn und Disprsionsrlation Ep für in fris Tilchn in inr Dinsion. Wir lösn di zitabhängig Schrödingrglichung übr dn Produktansatz rhaltn wir di stationär Schrödingrglichung x ψx, t i ψx, t 6 t ψx, t ψx i E t 7 ψx Eψx. 8 x Di Eignfunktionn disr Glichung sind ψx A i px it dn Eignwrtn Ep p. Di Wllnfunktionn sind also bn Wlln ψx A i px Ept. 9 3
b Punkt Es soll gzigt wrdn, dass gilt: dx x+iα dx x, α R. 0 Dazu intgrirn wir in dr koplxn Ebn und schlißn di Kontur ntlang dr rln Achs sih Skizz. I z R z Da das Intgral übr di gsat Kontur vrschwindt ntspricht das Intgral übr di Achs {k + iα k, } grad d Intgral übr di rll Achs. dx x+iα dx x π. c Punk Zu Zitpunkt t 0 soll di Wllnfunktion ds frin Tilchns durch ψx, 0 gp i px p it gp π πσ 4σ /4 ggbn sin. Di Wllnfunktion ψx, 0 ist dait di Fourir-Transforirt inr Gauß-Funktion. Wi wir shn wrdn, ist dis widr in Gauß-Funktion. Es uss das Intgral ψx, 0 πσ /4 xp p π 4σ + ipx brchnt wrdn. Dazu achn wir in quadratisch Ergänzung und rhaltn p p 4σ ipx 4σ ipx σ x + σ x p σ iσx σ x + σ ψx, 0 πσ /4 x 3 xp p π σ iσx. 4 Das vrblibn Intgral wurd schon in Aufgab b glöst dait rgibt sich σ ψx, 0 πσ /4 Führt an a σ in ψx, 0 x σ 4σ x /4 σ π. 5 x πa /4 4a 6 siht an, dass s sich widr u in Gauß-Kurv handlt, wobi di Brit grad invrs-proportional zur Brit dr Ipulsvrtilung ist. d 3 Punkt Zurst ist zu zign, dass di Wllnfunktion ψx, t di zitabhängig Schrödingrglichung rfüllt. π gp i px i Ept it Ep p 7 4
Durch Einstzn in di Schrödingrglichung auf bidn Sitn läßt sich dirkt zign, dass ψx, t gp x π x i px Ept und i t ψx, t π gp p i gpi π t i px Ept px Ept gpep i px Ept π 8 gp p π i px Ept. 9 Di Schrödingrglichung für das fri Tilchn ist also rfüllt. Nun soll ψx, t brchnt wrdn. Dafür uss das Intgal ψx, t xp p πσ /4 π 4σ + ipx iept xp p πσ /4 π 4σ + ipx i p t glöst wrdn. Mit dr Dfinition α σ + i t rhaltn wir widr das Intgral aus Aufgabntil c und könnn s analog lösn. ψx, t xp p πσ /4 π 4α + ipx α x πσ /4 α x xp 30 π 4 t a + i a 4a t + i a wobi wir gnutzt 4α a + it habn. Dait rgibt sich für di Wahrschinlichkitsdicht ψ x, tψx, t xp π a + t 4 a 4 x. 3 a + t 4 a 4 Di Wahrschinlichkitsdicht hat also in ffktiv zitabhängig Brit β a + t 4 a. Das Wllnpackt zrfli{sst, di brit wächst, di Aplitud nit ab: 4 ψx, t ψ x, tψx, t xp x πβ β 3 Das di Wllnfunktion ir auf norirt ist rhält an sofort dx ψx, t dx xp x πβ β. Brkung: Das di Wllnfunktion zu alln Zitn auf norirt ist kann an auch ohn di Ipulsintgration auszuführn zign: dx ψx, tψ x, t dx π gpg p i px Ept i p x Ep t 33 gpg p it Ep Ep dx π i p p x 34 δp p gpg p p σ πσ πσ σ π 35 5
3 Punkt Mit dr Wllnfunktion ψx, t könnn wir nun di Erwartungswrt ausrchnn x dx ψ x, txψx, t x πβ dx xp β 0 36 x dx ψ x, tx ψx, t x πβ dx x xp β β 37 p dx ψ x, t i x ψx, t dx ψ x x, t ψx, t 0 38 i a t + i a p dx ψ x, t x ψx, t dx x ψ x, t x ψx, t 4a 39 Di Standardabwichung ds Orts ist dait ggbn durch Xt x x β a + t 4 a 4. 40 Si ist zitabhängig und inial für t 0. Di Standardabwichung ds Ipuls ist P t a 4 und konstant. Dait gilt Xt P t + t 4 a 4 Di inial Unschärf hat das Wllnpakt also nur zu Zitpunkt t 0! f Punkt Es ist durch Einstzn zu zign, dass di Wllnfunktion 7 di Kontinuitätsglichung rfüllt. Zurst brchnn wir di zitlich Ändrung dr Wahrschinlichkitsdicht ρx, t t π π g pgp i p p x i dann di Strodicht g pgp i p p x t i Ep Ep t 4 43 Ep Ep i Ep Ep t, 44 j i ψ x, t ψx, t x x ψx, t ψx, t 45 i π g pgp i px x i px x i px i p x i Ep Ep t 46 i π g pgp i p + p i p px i Ep Ep t 47 und drn Gradintn x j i π π g pgp i p p x i p g pgp p + p p p i p p x i Ep Ep t p Da gilt Ep p / ist di Kontinuitätsglichung rfüllt. 48 i Ep Ep t. 49 6