Übungen zu Moderne Theoretischen Physik III SS Korrelatoren im 1D-Ising-Modell ( = 30 Punkte, schriftlich)

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Alexander Fleischer
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1 Karlsruhr Insttut für Tchnolog Insttut für Thor dr Kondnsrtn Matr Übungn zu Modrn Thortschn Physk III SS 206 Prof. Dr. A. Shnran Blatt PD Dr. B. Narozhny, Dr. P. Schad Lösungsvorschlag. Korrlatorn D-Isng-Modll Punkt, schrftlch) Ggbn s n Isng-Modll aus N Spns- n nr Dnson t prodschr Randbdngung: Ŝz N+ Ŝz Isng-Modll auf n Rng). Dr Haltonoprator 2 st H J Ŝ z Ŝz + γb Ŝ z. ) t dr Austauschwchslwrkung J und n Magntfld B > 0. D Egnwrt dr Spnopratorn Ŝz sn durch σ bzchnt snd und könnn d dskrtn Wrt 2 σ ± annhn ). Btrachtn S dn throdynaschn Ls N. a) Korrlator σ σ j : Wr wdrholn kurz d n dr Vorlsung dskutrt Transfratrxthod. D Egnwrt dr Transfratrx und d Zustandssu wurdn n dr Vorlsung brchnt. Zunächst btrachtn wr d Zustandssu: Z tr βh βh[{σl}], g J 4k B T, h γb 2k B T {σl} { } J xp σ σ + + γb σ 4k σ σ B T 2k N B T { } xp g σ σ + + h σ + σ + ) 2 σ σ N N { xp gσ σ + + h } 2 σ + σ + ) σ σ N D Sun übr σ ± könnn n Matrxfor gschrbn wrdn, u das zu shn sollt an nfach al d Möglchktn z.b. für σ und σ + durchprobrn. Wr führn also d Transfratrx T n und shn, dass das Produkt wgn dr prodschn Randbdngung grad d Spur übr d Matrzn bldt: N Z T,+ tr T N g+h, t T g. 3) Wr könnn n blbg Bass wähln u d Zustandssu auszurchnn. Hr btt sch d Egnbass dr Transfratrx an. Aus dtt λ) 0 fndn wr nach Rchnung d Egnwrt ) /2 coshh) g ± snh 2 h) + 4g, 4) g g h 2)

2 d wr so wähln dass > λ 2. Nach n Basswchsl n d Egnbass von T st d Transfratrx auf Dagonalfor und d Zustandssu N Z tr T N λ 0 tr λ N + λ N 2 0 λ 2 Z λ N für N. 5) Wr kon zu gsuchtn Korrlator. Dsr kann analog zur Zustandssu durch Transfratrzn ausgdrückt wrdn. D zusätzlchn σ und σ j wrkn n dr Matrxschrbws w Paul-Matrzn σ z, also σ σ j tr {T,2... T j,j σ z T j,j+... T, σ z T,+... T N,N T N, } Z. 6) Dsn Erwartungswrt könnn wr wdr n dr Egnbass von T auswrtn. Dazu üssn wr Faktorn dr Art σ z brchnn, wob, {, 2 } t norrtn Egnzuständ und 2 von T zu dn Egnwrtn und λ 2. Also σ σ j Z Z,2 λ j,,,2 λ j +N,, σ z λ j σ z λ N+ λ j σ z σ z. 7) Wr ntrssrn uns nur für d Abhänggkt vo Abstand j) throdynaschn Ls N ns unndlch langn Rngs, wob dr Abstand j) kln sn darf, j) N. In ds Fall snd Tr t 2 t ) j +N ) N 8) untrdrückt und dshalb throdynaschn Ls vrnachlässgbar kln bacht Z λ N ). Es blbn nur d zw Tr t übrg, also σ σ j σ z ) 2 + ) j σ z ) U d bdn Faktorn σ z zu brchnn bstn wr d norrtn Egnvktorn und 2 n dr ±-Bass aus dn Glchungn T λ. 0) Wr fndn 2 g g h ) + 2g g h ) 2 g λ 2 g h ) + 2g λ 2 g h ) 2, )

3 und t dn Egnwrtn 4) σ z 2 2g g h ) g g h ) 2 snh 2 h) snh 2 2) h) + 4g ) 2 σ z 2 2 2g g h )λ 2 g h ) + 2g g h ) g λ 2 g h ) 2 Dr Korrlator 9) st also σ σ j 4g snh 2. 3) h) + 4g snh 2 h) snh 2 h) + 4g + ) j 4g snh 2. 4) h) + 4g Für j) blbt nur dr rst Tr übrg. Dr rst Tr, sh 9), wrd durch dn ndlchn Wrt von σ z rzugt, was nchts andrs st als d Magntsrung. Dr Tr vrschwndt Ls h 0, w an s von dr Magntsrung rwartn würd. Für g 0 st dr rst Tr grad tanh 2 h, was d Quadrat dr Magntsrung unabhänggr Spns ntsprcht. b) Dr Fall B 0 bzw. h 0: D Egnwrt 4) snd dann /2 g ± g 5) und d Egnvktorn ) vrnfachn sch zu, ) Dn 3r- und dn 4r-Korrlator brchnn wr analog zu 6), d.h. dr 3r-Korrlator st > j > k) σ σ j σ k tr {T,2... T k,k σ z T k,k+... T j,j σ z T j,j+... T, σ z T,+... T N,N T N, }, Z 7) analog σ σ j σ k σ l. I throdynaschn Ls,, N k N blbt nur n Btrag zu 3r-Korrlator, dr Fall von h 0 vrschwndt, w an lcht t dn vrnfachtn Egnvktorn übrprüfn kann: σ σ j σ k σ z ) 3 0 8) Wr wndn dn throdynaschn Ls auf dn 4r-Korrlator σ σ j σ k σ l an und brückschtgn σ z 0 für h 0, > j > k > l): j k l σ σ j σ k σ l σ z ) Dsr Ausdruck hängt nur von dn Abständn j) und k l), abr ncht von j k) usw. Dr Vrglch t d 2r-Korrlator 9) lfrt dshalb dn nfachn Zusanhang σ σ j σ k σ l σ σ j σ k σ l. 20)

4 Ds Rlaton glt auch für h > 0. Für h 0 st σ z 2 2 und dat σ σ j σ k σ l ) j k l. 2) 2. Suszptbltät und Korrlatorn Isng-Modll 20 Punkt, schrftlch) Dr Haltonoprator ns Isng-Modlls n blbgn Dnsonn auch dr Spn st blbg) hat d For H J Ŝ z Ŝz j γb Ŝ z. 22) j D kanonsch Zustandssu st Z tr βh. Wr btrachtn zunächst d Magntsrung: { } M F B k BT B ln Z γ Z tr Ŝ z βh γ Z γ Ŝz. } tr {Ŝz βh 23) Dsr Ausdruck sollt bkannt sn und glt völlg allgn. Für d Suszptbltät fndn wr { } χ M B γ Z B tr Ŝ z βh γ { } Z tr Ŝ Z 2 z βh B { } { }) 2 γ2 k B T Z tr Ŝ z Ŝz j βh γ2 tr Ŝ z k B T Z 2 βh. 24),j Das st grad das gsucht Ergbns χ γ2 2 k B T Ŝz Ŝz j Ŝz γ 2 k,j B T,j Ŝz Ŝz j M 2 ). 25) 3. Anharonschr Oszllator Punkt, ündlch) Dr Haltonoprator ns Oszllators t anharonschr Störung: Ĥ Ĥ0 + ˆV, Ĥ 0 ˆp ω2 0 ˆx 2, ˆV ˆx 3. Dat kann an z.b. dn longtudnaln Schwngungsfrhtsgrad ns zwatogn Molküls bschrbn. a) Ungstörts Syst: Ĥ 0 ˆp ω2 0 ˆx 2 ω 0 â â + 2 )

5 und Z 0 βen, E n ω 0 n + ), Z 2 0 β ω 0/2 n0 β ω 0 Fr Enrg n. Ordnung: F 0 kt lnz 0 ) ω kt ln β ω 0 ) F TrŴ0 ˆV ) Z 0 n0 βen n ˆV n Wr üssn jtzt ˆV /2 durch â, â ausdrückn: t ˆx â + â ) folgt 3/2 ˆx 3 â 3 + â 2 â + â ââ + ââ 2 + â 3 + â â 2 + ââ â + â 2 â ) D Wrkung dr â, â st bkannt, â n n n â n n + n + Wrd dr Ausdruck für ˆx 3 n n ˆV n n ˆx 3 n ngstzt, so rgbn sch n Rh von Trn, abr n kn dsr Tr wrd dr Ausgangszustand n wdr hrgstllt, so daß n ˆx 3 n 0 ˆV F 0 Man uß also nd. n 2. Ordnung rchnn, u n nchttrval Korrktur zu F 0 zu bkon. b) Mttlr Ausdhnung n Störungsthor: ˆx ˆx 0 + ˆx +... Ungstörts Syst: ˆx 0 TrŴ0ˆx) Z 0 n0 βen ) /2 n â + â n } {{ } 0 Das war klar, dnn ˆx st ja d Auslnkung aus dr Ruhlag ds haronschn Oszllators Ĥ0.. Ordnung: 0 β ˆx TrŴˆx) 0 dτ Z 0 n0 n βĥ0 [ τĥ0 ˆV τĥ0 ˆV }{{} 0 ] ˆx n 0 Jtzt n ˆ vor d ˆx nschbn und all Ĥ0 auf d n -Zuständ anwndn, ˆx Z 0 βen β n0 0 0 dτ τen E) n ˆV ˆx n

6 Ausführn ds dτ, I. Tr βe ˆx Z 0 ˆx Z 0 n,0 n,0 βen βe n E n E ˆV ˆx n kann an noch d Varabln ubnnnn, n, so daß βen [ E n E ˆV n n ˆx + n ˆV ˆx n ] }{{} ˆV n n ˆx ) c) Enstzn dr Auf- und Abstgopratorn Matrxlnt n ˆx lfrt /2 n â+â /2 n ˆx n + n + ) + Dat wrd d n-su lnrt, und s blbt übrg: [ /2ω0 βe ˆx Z 0 E E ˆV ] βe E + E ˆV + + koplx konj. 0 In dr rstn Zl rstzn wr d Suatonsvarabl durch, 0,, 2,... und nnnn ds dann wdr, u d bdn Sun glch zu achn. Außrd kann an E + E + ω 0 nstzn, ˆx +kop.konj. ) /2 ω 0 Z 0 0 [ βe + + ˆx ˆx 3 ] β ω 0 Von dn Trn n ˆx 3 tragn nur wng zu d Matrxlnt b: 3/2 + ˆx 3 + â 2 â + â ââ + ââ 2 }{{} )3 Dat rgbt sch 2 snhβ ω 0 /2) ˆx 2 ω 0 Z 0 + ) 2 β ω 0+) 0 d) D Su n ˆx β ω 0 st kann übr dn Abltungstrck ausgführt wrdn: t x + ) 2 β ω 0+) 0 n0 n) 2 β ω 0 n 2 x 2 ) x n n0 2 x + x ) x 2 x x ) 3

7 Außrd st noch Z 0 Z 0 n0 Das Ergbns lautt dat: x/2 nzustzn, also x n 2 x n x/2 + x ) x ) 2 2 coshx/2) 4 snh 2 x/2) cothx/2) 2 snhx/2) 2 ω0 ˆx ˆx 6 coth ω 0 2k B T ) Wnn an das anharonsch Potntal 2 ω 0x 2 + x 3 für < 0 plottt sh Abbldung lnks), wrd klar, daß sch dr Nullpunkt dr Schwngung nach rchts postv x) vrlagrn sollt. In dr Tat st ˆx > 0. ˆx st ndlch für T 0 ndlch Ausdhnung dr Grundzustandswllnfunkton) und nt t T zu, wl r höhr Zuständ n d b postvn x abgflachtn Potntal thrsch angrgt wrdn. Also k B T ω 0 : ˆx konst. k B T ω 0 : ˆx k B T. Man bacht: Das Ganz acht natürlch nur Snn solang ˆx r 0, dnn s handlt sch hr ja u Störungsthor. Wr brchnn noch dn thrschn Ausdhnungskoffzntn κ r 0 x T : κ 3 2 r 0 k B T 2 2ω 2. 26) 0 snh ω 0 2k B T W ˆx st auch κ für < 0 postv, κ > 0.

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