Prämienberechnungsprinzipien

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Karlheinz Jakob Simen
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1 1 Präinbrchnungsprinzipin Ilja indlin 5. ai Einlitung Ein Präi ist in ahlung, di in Vrsichrungsnhr tätigt, u Vollvrsichrungs- odr Tilvrsichrungsschutz ggn in Risiko zu rhaltn. Di Btrachtung dr Präinkalkulation findt hir nur aus athatischr Sichtwis statt. In dr Praxis üssn Vrsichrungsuntrnhn abgshn von Risikocharaktristikn auch andr Faktorn, wi z.b. di Präin, di di Konkurrnz in Rchnung stllt, in Btracht zihn. Si di Präi, di in Vrsichrr brchnt, u in Risiko zu vrsichrn. Das Risiko bzichnt di Ansprüch dr Vrsichrungsnhr, di nach dr ufallsvariabl vrtilt sind. Di Präi ist in von abhängig Funktion und in Vorschrift, di inn ahlnwrt zuordnt, hißt Präinbrchnungsprinzip. Ein Präinprinzip hat di For φ ( ), wobi φ( ) irgndin Funktion ist. 3. Eignschaftn von Präinprinzipin Wünschnswrt Eignschaftn: (1) rwartungswrtübrstignd: Di Präi sollt nicht klinr als di rwarttn Schadnrsatzzahlungn sin. () additiv: Falls 1 und unabhängig Risikn, dann gilt 1 1 Durch das Kobinirn odr Trnnn von Risikn rgibt sich wdr für das Individuu, noch für dn Vrsichrr in Vortil. (3) (positiv) hoogn: Falls a it a >, dann gilt a (4) translationsinvariant: Falls c it c >, dann gilt Falls di Vrtilung von dr u c vrschobnn Vrtilung von ntspricht, dann uss di Präi für das Risiko dr u c rhöhtn Präi für das Risiko ntsprchn. c (5) axialschadnbgrnzt: Falls in bgrnzt, axial Schadnrsatzfordrung x xistirt, dann gilt x Falls dis Bdingung nicht rfüllt ist, bstht für das Individuu kin Anriz in Vrsichrung abzuschlißn

2 3.3 Bispil für Präinprinzipin Nttorisikoprinzip Di Nttorisikopräi ntspricht dn untr Risiko rwarttn Schadnrsatzfordrungn an dn Vrsichrr. Di Präi dckt ldiglich di rwarttn Schadnrsatzfordrungn, nthält allrdings kinn Gwinn- odr Sichrhitszuschlag. (1) rwartungswrtübrstignd: () additiv: (3) (positiv) hoogn: a a a (4) translationsinvariant: c c c (5) axialschadnbgrnzt: x x x x 3.3. Schadnrwartungsprinzip (1 θ ) it θ > θ ist dr Präinzuschlagfaktor und θ ist dr Präinzuschlag. Das Erwartungswrtprinzip ordnt alln Risikn it dslbn Erwartungswrt dislb Präi zu. (1) rwartungswrtübrstignd: (1 θ ) θ it () additiv: 1 (1 θ ) 1 (1 θ ) 1 (1 θ ) 1 (3) (positiv) hoogn: (1 θ ) (1 θ ) a a(1 θ ) a (4) nicht translationsinvariant: (1 θ ) (1 θ ) c (1 θ ) (1 θ ) c > c

3 3 (5) nicht axialschadnbgrnzt: Ggnbispil zur axialschadnbgrnzthit Si P( b) 1 it b >, θ > und b x (1 θ ) (1 θ ) b > b x > x Varianzprinzip αv[ it α > Dr Präinzuschlag ist proportional zu V[. (1) rwartungswrtübrstignd: αv[, da α > und V[ [, () additiv: 1 1 αv[ 1 1 αv[ 1 αv[ 1 (3) nicht (positiv) hoogn: αv[ a αv[a a α a V[ a ( α av[) a (4) translationsinvariant: αv[ c αv[ c c αv[ αv[ c (5) nicht axialschadnbgrnzt: Ggnbispil zur axialschadnbgrnzthit Si P( 8) P( 1),5 und 1 x,5 8,5 1 1 V[ (8-1),5 (1-1), α Für α >,5 ist > 1 x c Standardabwichungsprinzip αv[ 1/ it α > Dr Präinzuschlag ist proportional zur Standardabwichung von.

4 4 (1) rwartungswrtübrstignd: αv[ 1/, da V[ 1/ [, () nicht additiv: 1 1 αv[ 1 1/ 1 α(v[ 1 V[ ) 1/ 1 1 αv[ 1 1/ αv[ 1/ (3) (positiv) hoogn: αv[ 1/ a αv[a 1/ a α(a V[) 1/ a αav[ 1/ a( αv[ 1/ ) a (4) translationsinvariant: αv[ 1/ c αv[ c 1/ c αv[ 1/ αv[ 1/ c c (5) nicht axialschadnbgrnzt: Ggnbispil zur axialschadnbgrnzthit Si P( 8) P( 1),5 und 1 x,5 8,5 1 1 V[ 1/ [(8-1),5 (1-1),5) 1/ 1 α Für α > 1 ist > 1 x Nullnutznprinzip u(w) u(w - ) Dr Vrsichrr hat di Nutznfunktion u(x) it u (x) > und u (x) <. Dait ist u onoton stignd, strng konkav und s ligt Risikoavrsion vor. W bzichnt das Vrögn ds Vrsichrungsuntrnhns und ist di vrögnsabhängig Nullnutznpräi. Spzialfall: Exponntialprinzip Wnn di Nutznfunktion xponntill ist it u(x) - -βx und β >, dann folgt: β -1 log β Bw.: u(w) u(w - ) - -βw - -βw - β x β

5 5 - -βw - -βw - - β x - β - -βw - - β x - β β x β β log β β -1 log β Das Exponntialprinzip ist bsondrs vortilhaft, da s auf dr ontrzugndn Funktion von basirt ( x (β) β ) und dadurch hr Inforationn übr nthält, als all bishrign Prinzipin. Ein für di Praxis ntschidndr Vortil ist, dass sich das Exponntialprinzip i Ggnsatz zu Nullnutznprinzip xplizit bstin lässt. Das Exponntialprinzip hat zusätzlich di praktisch Eignschaft dr Vrögnsunabhängigkit. Diss bdutt also, dass Vrändrungn ds Kapitals nicht unittlbar zu inr Vrändrung dr Präi führn. (it Jnsns Unglichung) (1) rwartungswrtübrstignd: u(w) u(w - ) u(w - ) u(w - ) - () nicht additiv: Ggnbispil zur Additivität u(w) u(w - ) Si 1 : P( 1 8),5 und P( 1 1),5 : P( 9),6 und P( 1),4 W 3, u(x) x -,1x für x < 5 u(3) u(3 - ) ,1 (3 - ) - (4 ) 4 1,5 8, ,5 8, (4 1) 1 11, ,6 9,4 1 1,6 9, (4 1)

6 6 1, ( 1 ) (4 ) , ,5 1,547 3,543 1 Das Nullnutznprinzip ist gnrll nicht additiv, doch das Exponntialprinzip daggn schon: 1 β -1 log β( x 1 x ) β -1 log β x1 β x β -1 log ( β x 1 β x ) β -1 log β x 1 β -1 log β x 1 (3) nicht (positiv) hoogn: Ggnbispil zur (positivn) Hoognität Si ~ N( µ,σ ), u(x) - -βx β -1 log β β -1 log x (β) it x (β) µβ ½ σ ² β² ontrzugnd Funktion β -1 log µβ ½ σ ² β² β -1 ( µβ ½ σ β ) µ ½ σ β a a a µ V[ V[a a V[ a σ a µ ½ a σ β a a µ ½ aσ β (4) translationsinvariant: u(w) u(w - ) u(w - ) u(w - c - ) - c c (5) axialschadnbgrnzt: W - W u(w) u(w u(w) u(w - x, da x x - ) u(w - x ) - x ) u(w - x )

7 Esschr-Prinzip - x x h it h > h Di Esschr-Präi kann als Nttopräi für das Risiko ~ btrachtt wrdn, das folgndraßn it vrwandt ist: Si in sttig ufallsvariabl i Intrvall (,), it dr Dichtfunktion f. Dann ist g di Dichtfunktion dr ufallsvariabl ~. g(x) Di Vrtilungsfunktion von ~ ist G, bkannt als Esschr-Transforation von F it Paratr h. G(x) x hy f ( y) dy x it x (h) ~ (t) tx tx g( x) tx ( t h) x ( t h) Di Dicht g ist di gwichtt Vrsion dr Dicht f. g(x) w(x) f(x) it w(x) (h) Da h >, w (x) h ² > rhöht sich it stignd x di Gwichtung w.

8 8 Für di Präinkalkulation rgibt sich dait: ~ ~ ( t) t ~ t h h t ( t h) h h t und t ( t h) t ist dr Erwartungswrt von ~ und stllt di Esschr-Präi dar. ( t h) h t (1) rwartungswrtübrstignd: h : ~ (t) ( t) () tx ~ ~ h : ~ r r ~ ( t) r t h (Quotintnrgl) Da h ( r) t r t r ~ h h () () ' ² tx x (t) ( t h) ' ' - ( ) ² ~ ² - ~ ² V[ ~ nicht fallnd ist gilt für all h : ' t

9 9 () additiv: ( 1 ) 1 h( 1 h( 1 ) ) 1 h1 h h( 1 ) h1 h h1 h E [ 1 h1 h h h1 h1 1 h1 h h 1 (3) nicht (positiv) hoogn: Si Risiko. (h) (h) di Esschr-Präi it d Paratr h für das (h) ist di Esschr-Präi für Risiko. h h a ha ha a (ah) a (h) Für a 1 gilt (h) a (h) a ha ha (4) translationsinvariant: (5) axialschadnbgrnzt: Si x h h ( c) h( h hc c h hc c h h( c) c) hc h hc E [ c h hc h h c di höchst öglich Schadnrsatzfordrung. P( x ) 1 h x h h h x h h x h h x h hc Risikoangpassts Präinprinzip [ P( > x) [ 1 x) it p 1 Risikoin ist in nichtngativ ufallsvariabl it dr Vrtilungsfunktion F.

10 1 Für p 1 rgibt sich di Nttorisikopräi: [ 1 x) Di risikoangpasst Präi basirt auf inr Transforation. Si H di Vrtilungsfunktion inr nichtngativn ufallsvariabl * it: 1 H(x) [1 x) 1/p Es gilt: * [ 1 H ( x) [ 1 x) f ist di Dichtfunktion dr sttign ufallsvariabl und h ist di Dichtfunktion von * : H(x) 1 - [1 - x) 1/p h(x) 1 [1 - x) (1/p)-1 f(x) p Di Dichtfunktion von * stllt ldiglich in gwichtt Vrsion dr Dichtfunktion von dar. it stignd x stigt auch das an f gknüpft Gwicht w: Für p 1 ist h(x) f(x) it w(x) 1 Für p > 1 ist h(x) 1 [1 - x) (1/p)-1 1 f(x) it w(x) [1 - x) (1/p)-1 p p w (x) 1 1 ( - 1) [1 - x) (1/p)-1-1 (-f(x)) p p 1 1 ( - p p ) [1 - x)(1/p)- f(x) > it x) 1 w(x) wächst für stignds x onoton (1) rwartungswrtübrstignd: Für p 1: 1 - x) [1 - x) 1/p für x > [ 1 F ( x) [ 1 x) () nicht additiv: Ggnbispil zur Additivität Sin 1 und Risikn, i.i.d., p P( 1 ),5 und P( 1 1),5 P( ),5 und P( 1),5 1 1 [ 1,5 1/,5 1/

11 11,5 P( 1 > x) 3,5 für x < 1 für x / [,5 [ 3,5 1/ 1 1 1,5 (1 - ) 3 1/,5 ( - 1),5 (1 3 1/ ),5 1/ >,5 (1 3 1/ ) 1 1 (3) (positiv) hoogn: [ P( > x) [ P( a > x) x [ P( > ) a x dy 1 Substitution: y, a a a dy a [ P( > y) dy a (4) translationsinvariant: P( > x) 1 für x < c 1 x c) für x c ( ) ( ) P( c > x) P( > x - c) 1 P( x - c) 1 x c) it c [ P( > x) c 1/ [ 1 p [ 1 x c) c [ 1 [ 1 x c) dy Substitution: x - c y, 1 c [ 1 y) dy c c [ P( c > x) 1/ 1/ p p c dy

12 1 (5) axialschadnbgrnzt: Si x ) 1 x x 1/ [ 1 x) p 1/ [ 1 p 1 x x x 3.4 Fazit Prinzip rwartungswrt- additiv positiv translations- axialschadnübrschritnd hoogn invariant bgrnzt Ntto Erwartungswrt Varianz Standardabwichung Nullnutzn Esschr Risikoangpasst Di Analys hat gzigt, dass inig Prinzipin hr wünschnswrt Eignschaftn rfülln, als andr. Di Frag, wlchs Präinprinzip dr Vrsichrr nun bnutzn sollt, lässt sich allrdings nicht bantwortn. athatisch Übrlgungn allin richn nicht aus, u übr in Präi zur Dckung ds Risikos aus Sicht ds Vrsichrrs zu ntschidn, doch s wär rational di rlvantn Eignschaftn für das vorlignd Risiko zu idntifizirn und in Präinprinzip zu wähln, das dis Eignschaftn rfüllt..

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