β = 1 2 ω ist? Begründung!

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Steffen Beyer
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Fachhochschul Hannovr M 7.6.6 Fachbrich Maschinnbau Zit: 9 in Fach: Physik II i SS6 Hilfsittl: Forlsalung zur Vorlsung. Di Dicht von Flüssigkitn kann it dr Mohrsch Waag bstit wrdn.

1 Fachhochschul Hannovr M Fachbrich Maschinnbau Zit: 9 in Fach: Physik II i SS6 Hilfsittl: Forlsalung zur Vorlsung. Di Dicht von Flüssigkitn kann it dr Mohrsch Waag bstit wrdn. Dr uftribskörpr () taucht vollständig in di zu untrsuchnd Flüssigkit in. Zunächst wird di Waag it dst. Wassr ( W,9975 gc bi T C ) austarirt. Dazu ist rfordrlich, di Mass i bstand Tilstrichn vo Drhpunkt aufzuhängn. a. Dann wird in unbkannt Flüssigkit untrsucht: U di Waag ins Glichgwicht zu bringn, üssn zusätzlich dri Massn:,, a Tilstrich,,, a Tilstrich und,, a Tilstrich 8 aufghängt wrdn. Wi groß ist di Dicht dr Flüssigkit? (Bgründung!) b. Wo üssn di Massn,,,, und, aufghängt wrdn, dait bi dr Dichtbstiung von Bnzin (,7 gc ) di Waag ins Glichgwicht gbracht wird?. U wissnschaftlich Grät lang Zit in groß Höhn zu bringn, vrwndt an Übrdruckballon it Durchssr von bispilswis D aus gasdicht Matrial. ls uftribsgas dint Hliu. Für dn Startort gilt: Höh, druck: hpa, Tpratur 8 C. Di Mass ds Ballons, ohn Gas abr inschlißlich Nutzlast btrag 5 kg. H (,785kg,, 9 kg bi p hpa und T C) a. Wlch Mass Hliu uss ingfüllt wrdn, u dn Ballon it inr Bschlunigung von a 5s a Bodn startn zu könnn? b. Wlch aial Höh rricht r?. In in U-ohr bfindt sich Glycrin it inr Säulnläng von l 4c. Ein Sit ds ohrs ist offn, di andr vrschlossn. Durch Übrdruck in d vrschlossnn Til wird di Flüssigkitssäuln u 8c aus dr uhlag bi ausglnkt. Zu Zitpunkt t wird dr Vrschluss ds U-ohrs göffnt und di Flüssigkitssäul bginnt zu schwingn. Di Bobachtung zigt, dass di plitud nach 5 Schwingungspriodn auf 5% dr usgangsaplitud abgklungn ist. a. Stlln Si di Bwgungsglichung dr ungdäpftn Schwingung auf und litn Si di Forl für di Eignkrisfrqunz dr ungdäpftn Schwingung ab. b. Wi lautt di Funktion für di plitud dr gdäpftn Schwingung? Wi groß sind di bklingkonstant β und di Eignkrisfrqunz dr gdäpftn Schwingung? c. Wlch aial Gschwindigkit hat di Flüssigkitssäul? d. Wi groß ist di Bschlunigung a zu Zitpunkt t? 4. Bschribn Si rzwungn Schwingungn für untrschidlich Däpfungn: β a. Skizzirn Si sonanzkurvn für vir bklingkonstantn β it ( ) b. Was passirt, wnn di bklingkonstant ( ) β ist? Bgründung! c. Skizzirn Si dn Winkl δ dr Phasnvrschibung als Funktion von a. d. Bi wlch Wrt dr bklingkonstant β (in Einhitn von ) rricht di sonanzübrhöhung dr Maialaplitud dn Wrt 5?

2 Lösungn: a. Di uftribskraft ist: F Flüssigkit V g Das Vrhältnis dr Dichtn und zwir Flüssigkitn ist also glich d Vrhältnis dr Dichtn F, und F, : F, F, Di rsultirnd Kraft aus Gwichtskraft F G (nach "untn grichtt) und uftrib F (nach "obn grichtt) rzugt in Drhont M an dr Waag (it Linksdrhung, wnn F > FG). I Glichgwicht wird das durch F rzugt Drhont durch das F G rzugt Drhont M (chtsdrhung) kopnsirt. I Glichwicht ist di Diffrnz dr Drhont glich Null. Glichgwicht: M M odr M M Bzichnt an di untrschidlichn Flüssigkitn it d Ind i,, so gilt für das Vrhältnis dr Dichtn und das Vrhältnis dr Drhont: M, M, M, M, Für das Drhont M i, dr Zusatzgwicht it Mass k i bstand k gilt: M i, kk g k i Für zwi Flüssigkitn it untrschidlichn Dichtn und gilt dann: k k g k k k g k Bi Wassr hängt a zhntn Tilstrich ( ), bi dr unbkanntn Flüssigkit zusätzlich,, a rstn ( ),,, a zwitn ( ) und,, a achtn ( 8 ). Es folgt: +, +, +, 8 Wassr +, +, +, 8,8, 8 Wassr,,8,9975 gc, gc Bnzin,7 b. Für Bnzin gilt:,748 Wassr,9975 Man uss also: di Mass ntfrnn, und: an dn sibtn Tilstrich ( 7 ), an dn zwitn Tilstrich ( ), an dn fünftn Tilstrich ( 4 ), an dn fünftn Tilstrich ( 8 ) hängn.. Bnnnung dr physikalischn Größn: Ind für Standardwrt: dicht bi Standardbdingungn:

3 H-Dicht bi Standardbdingungn: H Ind für di aktulln Wrt a Startort: dicht a Startort: Hliudicht a Startort: H a. Brchnung dr Gasdichtn a Startort: Di allgin Gasglichung p p T T H dint zur Brchnung dr aktulln Dichtn und a Startort aus dn Standardwrtn H und : dicht a Startort: pt 7 kg kg,9,58 Tp Hliudicht a Startort: H pt H 7 kg kg,785,598 Tp Für di bschlunigt Bwgung ds Ballon gilt das D lbrtsch Prinzip: F r i a i ( F F ) a G gs H it F uftribskraft: F V g und F G Gwichtskraft: ( H H FG gs g + N + V ) g H H und gs Gsatass: gs + N + V H H H wobiv das a Bodn ingfüllt Hliuvolun, V H di Mass ds ingfülltn Gass, di dicht a Startort, di üstass und N di Mass dr Nutzlast bdutn. Es ist: + 5kg N H H H H H + N + + N + V g V g V a Es folgt: ( ) ( ) H H H H H a V ( + N + V ) ( + N + V ) g H H H a V ( + N + V ) + g a nach ufgabnstllung gilt: g H H H V V ( + N) H H V ( + N) ( + N) H, 5 5 kg V H (,58,5,598) kg H 75 V 8,67,98 b. Mit stigndr Höh wird di dicht gringr. Zunächst dhnt sich das H-Gas i Ballon aus, bis dr gsat Ballon prall gfüllt ist (dis wird in dr vorligndn ufgab nicht nähr btrachtt). Danach blibt das uftribsvolun konstant. Es ist glich d Ballonvolu-

4 n V B. Wnn an in konstants uftribsvolun hat, wird it stigndr Höh dr uftrib gringr. 4 4 D Das Ballonvolun ist: VB π π 5,6 8 F V H g + + V H H g F In dr Maialhöh gilt: ( a ) ( ) B N G Di dicht ( H a ) in dr Höh H a rgibt sich nach dr barotrischn Höhnforl: g ( Ha ) p H a p it: g, 9kg 9,8 s p hpa 7986 H a H H VB p g ( + N + V ) g 7986 H H H a + N + V p 7986 VB VB Ha 7,986 ln H H + N + V 5,6,58 Ha 7,986 ln 5 + 8,67,598 66, Ha 7,986 ln 7,986, 65 6,5 Ha 876 a. Di Diffrnz dr bidn Flüssigkitssäuln ntspricht inr Säulnhöh von. Dr Schwrdruck a Bodn dr Säul ist: Qurschnittsfläch dr Säul: p g ückstllnd Kraft: F p g S Fl ück S Fl Gsatass dr Säul: Fl V Fl l (Nährung: Man btracht statt dr U-förign Flüssigkitssäul inn Zylindr dr Läng l und Qurschnittsfläch ) D lbrtschs Prinzip: F i && r hir: ück i && Einstzn: g l && Es folgt: l && + g Fl Fl Standardfor dr DGL: it: g && + && + l g 7,7s l

5 l Schwingungsdaur: T π,8886s g Lösung für (t): () t cos( t) b. In dr Vorlsung wurd di Lösung für in gdäpft Schwingung it dn nfangsbdingungn ( t ) und v & ( t ) abglitt (Sih Forlsalung): β β () t t sin( t) + cos( t) Stz: tn n T nt Dann folgt: t ( nt ) β Für n 5 soll nach ufgabnstllung gltn: Es folgt: n (5 T) β ln β 5 T 5T Lösung für β: ln ln ln β β 5 5 π 5 π T ln ( ) β β π β (B: In dis Fall wär auch di Nährung: π π ln ln + g β π l + ln β,9497,67s ln ln g β,9557 π π l ausrichnd.) Di Eignkrisfrqunz dr gdäpftn Schwingung ist: β, π + ln

6 c. In dr Vorlsung wurd di Lösung für di Gschwindigkit inr gdäpftn Schwingung it dn nfangsbdingungn ( t ) und v & ( t ) abglitt (Sih Forl- β salung): & () t t sin( t) Di Maia dr Gschwindigkit ntsprchn Nullstlln dr Bschlunigungsfunktion: && () t sin t + cos t βt βt ( ( β) ( ) ( )) Für di Nullstll bi a βt && () t cos t sin t t T gilt: cos( T ) βsin ( T ) a a ( ( ) β ( )), tan ( T a ), 4868 β, 9497 Es folgt: T π a, π,99476 T a π,99476, T π T Ta,9478,9478 π 4 T Kontar: Ein ungdäpft Schwingung hat das Gschwindigkitsaiu bi. Bi 4 dr vorligndn gdäpftn Schwingung wird das Gschwindigkitsaiu ~5,6% frühr rricht. Ma. Gschwindigkit: T t &( ) sin,995484, T, β T, t ( ) β π & sin,99476 t &( ),995484, T T β,9478 β, π T,9557,9478,8999 T 4 & () t t &( ),86877 t & s ( ),8 7,7,86877,49 ( ) βt d. Bschlunigung: && () t cos( t) βsin( t) π s

7 t gilt: && &&( ) ( ) Für t && β,8 7,7 4, s s 4a. Sih Vorlsung 4b. Wnn: β folgt: β Di sonanzfrqunz ist also bi, d. h. s gibt kin plitudnübrhöhung. 4c. sih Vorlsung 4d. Bi dr sonanzfrqunz: a β a ist di plitud: (,, β) Di plitud für a sonanzübrhöhung: Nach ufgabnstllung gilt: Es folgt: Stz: a fa,, ist: ( β) f a 4β 4β 4 a a ( a,, β) fa 4 ( a,, β) fa β β a ( a,, β) (,, β) a 5 a 5 4 β β ( β β ) ( ) β β β β, β β, ß θ, dann gilt: θ θ, θ, θ + θ ±, + ±, 5, +,5 θ,98989 und θ,

8 ß Lösung θ,98989 ntfällt, da dann,98989 odr ß,9949. Nach 4b. uss abr gltn: β <, 77 Lösung: β β,,

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