III.1. Symmetrien und Gruppen

50 III.1. Symmetrien und Gruppen συµµετρι α heißt so viel wie Ebenmaß, richtiges Verhältnis, Harmonie. Definition: Eine Bewegung der Ebene (des Raumes), die eine Figur (einen Körper) auf sich abbildet, heißt Symmetrie der Figur (des Körpers). Eine Figur (ein Körper) heißt symmetrisch, wenn es eine von der Identität verschiedene Symmetrie der Figur (des Körpers) gibt. Merke: 1) Nicht die einzelnen Punkte der Figur (des Körpers) müssen bei der Bewegung fix bleiben, sondern nur die Figur (der Körper) als Ganzes. 2) Aus Zweckmäßigkeit, nicht aus Tiefsinn läßt man zu, dass jede Figur mindestens eine Symmetrie besitzt, nämlich die identische Abbildung, obwohl nicht jede Figur symmetrisch ist. Fundamental sind die folgenden beiden Aussagen: Satz von der Abgeschlossenheit der Symmetrien Die HAF zweier (mehrerer) Symmetrien einer Figur (eines Körpers) ist wieder eine Symmetrie dieser Figur (dieses Körpers). Anders formuliert: Die Symmetrien einer Figur (eines Körpers) sind bezüglich der HAF (als Verknüpfung) abgeschlossen. Satz von der Existenz der inversen Symmetrie Jede Symmetrie einer Figur (eines Körpers) besitzt auch eine inverse Symmetrie. Das ist eine Bewegung, deren HAF mit der Symmetrie die identische Abbildung ergibt. Die HAF ist so etwas wie eine Rechenoperation in der Menge der Symmetrien einer Figur (eines Körpers). Man kann Symmetrien daher auch mit algebraischen Mitteln untersuchen. Dabei kommt als fundamentale algebraische Struktur die Gruppe ins Spiel.

51 Definition: Eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung in dieser Menge heißt Gruppe, wenn 1. die Verknüpfung abgeschlossen ist, d.h. das Ergebnis der Verknüpfung zweier Elemente der Menge wieder ein Element der Menge ist, 2. die Verknüpfung assoziativ ist, 3. ein neutrales Element in der Menge existiert, dessen Verknüpfung mit einem Element der Menge, gleich in welcher Reihenfolge, immer dieses Element ergibt, 4. zu jedem Element der Menge ein inverses Element in der Menge existiert, das ist ein Element, dessen Verknüpfung mit dem Element, gleich in welcher Reihenfolge, das neutrale Element ergibt. Die Anzahl der Elemente in einer endlichen Gruppe heißt Ordnung der Gruppe. Die Menge der Symmetrien einer Figur (eines Körpers) mit der HAF als Verknüpfung bilden eine Gruppe. d Beispiel: Symmetriegruppe des Quadrats {id, σ a, σ b, σ c, σ d, δ 90, δ 180, δ 270 } a c b Definition: Eine Teilmenge einer Gruppe, die abgeschlossen ist und das neutrale Element enthält, heißt Untergruppe. Man kann leicht zeigen, dass zu jedem Element der Untergruppe auch das inverse Element in der Untergruppe liegt. Die Untergruppe der Symmetriegruppe einer Figur lässt einen Teil der Figur fix. Satz von Lagrange (1771) Die Ordnung einer Untergruppe ist Teiler der Gruppenordnung. Beispiel: Die Symmetriegruppe des Quadrats kann nur Untergruppen der Ordnung 4, 2 und 1 haben. Eine Gruppe der Ordnung 1 kann nur aus der identischen Abbildung bestehen. Die Untergruppen der Ordnung 4 sind: {id, σ a, σ b, δ 180 } {id, σ c, σ d, δ 180 } {id, δ 90, δ 180, δ 270 } Es gibt fünf Untergruppen der Ordnung 2.

52 III.2. Regelmäßige Vielecke und ihre Symmetriegruppen Definition: Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn es keine Überkreuzungen hat, alle Eck-Punkte auf einem Kreis liegen, alle Seiten gleich lang sind. Symmetrien des regelmäßigen n-ecks: Identität ("Drehung um 0 ", "Drehung um 360 ") 360 n-1 Drehungen: Drehwinkel k, k = 1, 2,..., n - 1 n n Spiegelungen: Ist n ungerade, gehen alle Spiegelachsen durch eine Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite. Ist n gerade, geht die Hälfte der Spiegelachsen durch gegenüberliegende Ecken, die andere Hälfte durch gegenüberliegende Seitenmitten. Definition: Die Symmetriegruppe des regelmäßigen n-ecks heißt auch Diedergruppe und wird mit Dn abgekürzt. (Di-eder = "Zweiflächner" im Gegensatz zu Poly-eder = "Vielflächner") Die Diedergruppe Dn hat die Ordnung 2n. Die n - 1 Drehungen zusammen mit der Identität bilden eine Untergruppe der Ordnung n; sie wird mit Cn abgekürzt; alle Symmetrien aus Cn lassen sich durch HAF aus der Elementar-Drehung um Fehler!erzeugen (man sagt auch: Cn ist zyklisch).

53 Beispiele: D 4 ist die Symmetriegruppe des Quadrats. D 3 ist die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks. D 2 wäre die Symmetriegruppe des "regelmäßigen Zweiecks"!?! Die Symmetriegruppe D 2 besteht aus der Identität, einer Drehung und zwei Spiegelungen. Aus der Abgeschlossenheit folgt, dass die Drehung eine Punkt-Spiegelung ist und die beiden Spiegelachsen aufeinander senkrecht stehen. Figuren mit diesen Symmetrien sind Rechteck und Raute. In D 2 ist jede Symmetrie zu sich selbst invers. ("Kleinsche Vierer-Gruppe"). Man kann allgemein zeigen, dass eine Vierer-Gruppe entweder Kleinsch oder zyklisch ist, also entweder D 2 oder C 4. C 2 besteht nur aus der Identität und einer Punkt-Spiegelung: Parallelogramm. D 1 besteht nur aus der Identität und einer Spiegelung: Drachen. Klassifikationssatz für endliche Gruppen ebener Bewegungen Die einzigen endlichen Gruppen ebener Bewegungen sind die Diedergruppen Dn und ihre zyklischen Untergruppen Cn. Die Beweisbedürfigkeit liegt bei dem Wort "einzigen". Sei G eine Gruppe ebener Bewegungen, von der wir nur voraussetzen, dass sie nur endlich viele Elemente enthält. 1) G kann keine Translation enthalten; denn.... D.h. G enthält außer der Identität nur Drehungen oder Spiegelungen. 2) Enthält G mehrere Drehungen, müssen sie alle ein gemeinsames Dreh-Zentrum haben;... 3) Alle vorkommenden Drehungen in G werden von einer Elementardrehung erzeugt;... 4) Wenn G eine Drehung und eine Spiegelung enthält, muss die Spiegelachse durch das Dreh-Zentrum gehen;... 5) Wenn G mehrere Spiegelungen enthält, dann enthält G auch Drehungen;... 6) Wenn G n Drehungen einschließlich der Identität enthält, dann enthält G entweder keine Spiegelungen oder n Spiegelungen.

54 BANDORNAMENTBANDORNAMENTBANDORNAMENTBANDORNAMENTBANDORNAMENT III.3. Bandornamente und ihre Symmetriegruppen Typisch für Bandornamente ist die (theoretisch) unendliche Wiederholung eines Musters entlang eines Streifens. Man kann z.b. ein Bandornament durch Abrollen eines Zylinders erzeugen, auf dessen Mantel ein Muster eingeprägt ist. Unendliche Wiederholung eines Musters entlang eines Streifens bedeutet beliebig häufige HAF einer festen Translation - in beiden Richtungen, also mitsamt ihrer Inversen. Sei τ eine Translation mit der Verschiebungslänge a. Um Schreibarbeit zu sparen, kürzen wir die mehrmalige HAF analog zur Potenzschreibweise bei der Multiplikation ab: τ 2 = τ ο τ, τ n+1 = τ n ο τ. Dabei kann n auch negativ oder Null (=> Identität) sein. Die Symmetrien eines Bandornaments bilden eine Gruppe, die wir als BO-Gruppe bezeichnen. Definition: Eine BO-Gruppe ist eine Gruppe von Bewegungen, in der es eine Translation t gibt, so dass sich jede Translation der Gruppe in der Form t n mit ganzzahligem n darstellen lässt. Die Verschiebungslänge a von t heißt Elementardistanz. Die Translationen einer BO-Gruppe bilden eine Untergruppe T = {t n n ganz}. Welche Symmetrien kann es sonst noch in einer BO-Gruppe geben? 1) Wenn eine BO-Gruppe eine Spiegelung enthält, kann die Spiegelachse nur entweder in Translations-Richtung oder senkrecht dazu liegen; sonst gäbe es eine Schub-Spiegelung in Richtung der Spiegelgeraden, und die HAF dieser Schub- Spiegelung mit sich selbst ergäbe eine Translation in einer anderen Richtung als der von τ, also eine Translation, die nicht in T liegt. Eine BO-Gruppe kann außer Punkt-Spiegelungen keine sonstigen Drehungen enthalten; denn.... R R R R R R R 2) Es kann nur eine einzige Spiegelung σ l geben, deren Spiegelachse l in Translations-Richtung liegt - wir wollen sie Längs-Spiegelung nennen - ; denn.... Mit σ l liegen auch die Schub-Spiegelungen σ l ο τ n in der BO-Gruppe. T, vereinigt mit der Menge dieser Schub-Spiegelungen, bildet eine BO-Gruppe: T σ l T. D D D D D D D

55 3) Wenn es eine Spiegelung σ q gibt, deren Spiegelachse q senkrecht zur n Translations-Richtung liegt, dann gibt es davon unendlich viele, nämlich σq o τ, deren Spiegelachsen immer den Abstand a/2, also halbe Elementardistanz haben - wir wollen sie Quer-Spiegelungen nennen. T, vereinigt mit der Menge dieser Quer-Spiegelungen, bildet eine BO-Gruppe: T σ q T. A A A A A A A 4) Wenn es eine Punkt-Spiegelung δ P gibt, dann gibt es davon unendlich viele, nämlich δ P ο τ n, deren Spiegel-Zentren immer im Abstand a/2, also halbe Elementardistanz in Translations-Richtung liegen. T, vereinigt mit der Menge dieser Punktspiegelungen, bildet eine BO-Gruppe: T δ P T. Z Z Z Z Z Z Z 5) Wenn eine BO-Gruppe zwei der drei Symmetrien σ l, σ q, δ P enthält, dann auch die dritte. T σ l T σ q T δ P T bildet eine BO-Gruppe. O O O O O O O 6) Kann es außer den unter 2) genannten noch andere Schub-Spiegelungen in einer BO-Gruppe geben? Die HAF einer Schub-Spiegelung mit sich selbst ergibt eine Translation: Diese muss in T liegen. Also: Wenn es eine solche Schub-Spiegelung σ l ο τ' gibt, wobei die Verschiebungslänge von τ' möglichst klein sein soll, dann muss ihre Spiegelachse in Richtung von τ liegen (Längsachse) und die Verschiebungslänge von τ' muss a/2, also gleich der halben Elementardistanz sein. T, vereinigt mit der Menge dieser Schub-Spiegelungen, bildet eine BO-Gruppe: T σ l ο τ't. 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 7) Wenn es in einer BO-Gruppe die Schub-Spiegelung σ l ο τ' wie in 6) beschrieben gibt, dann kann diese Gruppe keine Längs-Spiegelung enthalten; denn... Wenn eine BO-Gruppe zwei der drei Symmetrien σ l ο τ', σ q, δ P enthält, dann auch die dritte. T σ l ο τ't σ q T δ P T bildet eine BO-Gruppe.

56 Klassifikationssatz für Bandornamente: Es gibt sieben wesentlich verschiedene BO-Gruppen.

57 III.4. Reguläre Körper und ihre Symmetriegruppen Wenn wir die räumlichen Bewegungen so systematisch aufbauen wollten wie die ebenen, müssten wir mit den Spiegelungen an Ebenen beginnen. Sie haben die unangenehme Eigenschaft, dass man durch keine reale Bewegung im Raum den Körper auf seinen Bild-Körper abbilden kann. (Wer s nicht glaubt, versuche einen linken Handschuh auf die rechte Hand zu ziehen.) Solche Abbildungen nennt man uneigentliche Abbildungen im Gegensatz zu den eigentlichen wie Drehung und Verschiebung. Wir betrachten im folgenden nur eigentliche Bewegungen (ohne das Attribut ständig hinzu zu fügen). Eigentliche Bewegungen sind (außer der Identität) Drehungen, charakterisiert durch die Drehachse und den Drehwinkel, Translationen, charakterisiert durch Richtung und Länge der Verschiebung,und deren HAF, speziell Schraubungen, charakterisiert durch eine Drehung und eine Translation in Richtung der Drehachse. Es geht wieder darum, symmetrische räumliche Gebilde ("reguläre Körper") unter die Lupe zu nehmen und die zugehörigen Symmetrie-Gruppen zu ermitteln. Wenn in einer solchen Gruppe Translationen auftauchen, muss sie unendlich sein, das zugehörige Gebilde ist also mindestens in einer Richtung unbeschränkt. Solche Untersuchungen sind in der Kristallographie interessant. Wir wollen uns aber auf endliche Gruppen beschränken. Das bedeutet, dass wir es ab sofort nur noch mit Drehungen zu tun haben. Bei geeigneter Umdeutung können wir die Diedergruppen Dn und ihre zyklischen Untergruppen Cn als räumliche Symmetrie-Gruppen auffassen: Einer Drehung in der Ebene um den Punkt P mit dem Drehwinkel α entspricht eine räumliche Drehung um die Drehachse g mit dem Drehwinkel α, wobei g senkrecht zu der Ebene durch den Punkt P verläuft. Einer Spiegelung in der Ebene an der Spiegelachse g entspricht eine räumliche Drehung um die Drehachse g um 180 ("Klappung"). Zur Veranschaulichung stelle man sich eine spiegelsymmetrische Figur auf Transparent-Folie ("Ebene") gemalt vor; dann kann man die Geraden-Spiegelung durch Umklappen der Folie real ausführen: Oben und unten, die beiden Flächen ("Dieder"!) sind nicht zu unterscheiden. Es gibt auch nicht so flache Repräsentanten der Dn und der Cn : Dn ist die Symmetrie-Gruppe einer Säule (eines geraden Prismas) mit einem regelmäßigen n-eck als Grundfläche; Drehachsen sind zum einen die Achse der Säule (d.i. die Verbindungsgerade der Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche), zum andern Geraden, die in halber Körperhöhe parallel zu den Spiegelachsen des n-ecks verlaufen. Cn ist die Symmetrie-Gruppe einer (geraden) Pyramide mit einem regelmäßigen n-eck als Grundfläche; Drehachse ist die Achse der Pyramide, d.h. die Verbindungsgerade zwischen der Spitze und dem Mittelpunkt der Grundfläche.

58 Der einfachste regelmäßige ("reguläre") Körper ist das oder der Tetraeder ("Vierflächner"). Es/er ist die Lösung der Denksport-Aufgabe: Lege aus sechs gleich langen Hölzchen vier kongruente Dreiecke. Ein Tetraeder entsteht auch, wenn man von sechs gleich langen Hölzchen eins auf den Tisch legt, ein zweites in einem gewissen Abstand darüber hält und zwar so, dass es von oben betrachtet senkrecht zum ersten ist, und beide Enden des ersten Hölzchens mit beiden des zweiten verbindet. Satz über die Tetraeder-Gruppe Die Tetraeder-Gruppe hat die Ordnung 12 und besteht aus der Identität, sowie je zwei Drehungen um 120 bzw. 240 um die vier Körperachsen (das sind die Verbindungen der Ecken mit den Mitten der gegenüberliegenden Dreiecke). Als Ordnung der Untergruppen kommen nach dem Satz von Lagrange 1, 2, 3, 4, 6 in Frage. Die Untergruppen der Ordnung 3 erhält man z.b., wenn man an die Symmetrie die Nebenbedingung stellt, dass sie eine Dreiecksfläche des Tetraeders auf sich abbildet ( fix lässt ); die einzig mögliche Drehachse ist dann die Körperachse senkrecht zu dieser Dreiecksfläche mit den Drehungen um 120, um 240 und um 0 (Ordnung 3); da es vier solcher Dreiecksflächen gibt, erhält man vier verschiedene Untergruppen der Tetraeder-Gruppe. Die Tabelle gibt einen Überblick über die anderen Untergruppen. Nicht immer, wenn eine Untergruppe nach dem Satz von Laplace möglich wäre, gibt es auch eine: Die Tetraeder-Gruppe hat keine Untergruppe der Ordnung 6. Ordnung Anzahl Elemente außer id Fixe Teilgebilde 2 3 180 -Drehung ein Paar gegenüberliegender Kanten 3 4 120 -, 240 - eine Dreiecksfläche, eine Körperachse Drehung 4 1 drei 180 - Drehungen räumliches Achsenkreuz der Kantenmitten-Verbindungen 6 0 Der nächsteinfache reguläre Körper ist der Würfel oder Hexaeder ("Sechsflächner"). Satz über die Würfel-Gruppe Die Würfel-Gruppe hat die Ordnung 24 und besteht aus der Identität, sowie - je drei Drehungen (90, 180, 270 ) um die drei Flächenmitten-Achsen, - je einer 180 -Drehung um die sechs Kantenmitten-Achsen, - je zwei Drehungen (120, 240 ) um die Raum-Diagonalen.

59 Welche Ordnung kann eine Untergruppe der Würfel-Gruppe nach dem Satz von Lagrange haben? Gibt es zu jeder mögliche Ordnung auch eine Untergruppe? Welche Elemente enthält sie? Welche Teilgebilde des Würfels lässt sie fix? Zeichne, von einer Ecke ausgehend, die drei Flächen-Diagonalen und von den Endpunkten dieser Diagonalen wieder die Flächen-Diagonalen: Du erhältst ein Tetraeder. Sein Volumen beträgt ein Drittel des Würfel-Volumens (Prüfe nach). Bei der Konstruktion wurden vier Würfel-Ecken nicht erreicht. Diese bilden ebenfalls ein Tetraeder, das um 90 gegenüber dem obigen gedreht ist. Zeichne es. Beide Tetraeder zusammen bilden ein Gebilde, das in der Natur als Kristall auftritt. Johannes Kepler (1571-1630) nannte es "stella octangula" ("Achteck-Stern"). Das Volumen dieses Sternkörpers beträgt die Hälfte des Würfel-Volumens (Prüfe nach). Ein (der oder das) Polyeder ("Vielflächner") besteht aus Ecken, Kanten und Flächen. Die Flächen sind Polygone (Vielecke). Jede Kante gehört zu genau zwei Flächen. Der Sternkörper ist ein Polyeder mit 24 Flächen (gleichseitigen Dreiecken), 14 Ecken und 36 Kanten. Die Dreh-Symmetrien des Sternkörpers sind dieselben wie die des Würfels. Definition: Ein Polyeder heißt konvex, wenn für jede seiner Flächen gilt: Das Polyeder liegt ganz auf einer Seite der Ebene, in der die Fläche liegt (anders ausgedrückt: Das Polyeder liegt ganz in einem der beiden durch die Fläche festgelegten Halbräume). Würfel und Tetraeder sind konvex, der Sternkörper offensichtlich nicht. Der konvexe Kern des Sternkörpers, der Körper, den beide Tetraeder einschließen, ist ein Oktaeder ("Achtflächner"). Er besteht aus acht Flächen (gleichseitigen Dreiecken), sechs Ecken und zwölf Kanten. Die Dreh-Symmetrien des Oktaeders sind dieselben wie die des Würfels. Oktaeder und Würfel sind dual, d.h. durch die Verbindung der Mitten benachbarter Flächen erhält man aus einem Würfel einen Oktaeder und umgekehrt. Dabei heißen zwei Flächen eines Polyeders benachbart, wenn sie eine Kante gemeinsam haben. Daraus folgt für duale Körper: Der Flächenzahl des einen Körpers entspricht die Eckenzahl des anderen und umgekehrt; die Kantenzahlen sind gleich.

60 Das Tetraeder ist zu sich selbst dual (Prüfe nach). Da wir schon Ecken, Kanten und Flächen gezählt haben, lohnt sich ein Blick auf die Tabelle: Polyeder Ecken Kanten Flächen Tetraeder 4 6 4 Würfel 8 12 6 Oktaeder 6 12 8 Sternkörper 14 36 34 n-eck-säule 2n 3n n + 2 n-eck-pyramide n + 1 2n n + 1 n-eck- Doppelpyramide n + 2 3n 2n Eulersche Polyeder- Formel: E - K + F = 2 Wir wollen Polyeder genauer kennzeichnen. Zu jeder Ecke gehört ein Eckenkranz paarweise benachbarter Vielecke. Die Eckenkränze zweier Ecken heißen kongruent, wenn die jeweiligen Vielecke kongruent sind und in der gleichen Reihenfolge (orientiert an der "Rechte-Hand-Regel") angeordnet sind. Wir notieren die Eckenzahlen der Vielecke als Liste. Stoßen z.b. an einer Ecke ein Dreieck, ein Viereck und ein Fünfeck aneinander (orientiert an der "Rechte-Hand-Regel"), notieren wir das so: (3,4,5) oder (4,5,3) oder (5,3,4). Ein solcher Zahlen-Zyklus heißt Charakteristik der Ecke. Beispiele für Ecken-Charakteristiken: Würfel alle Ecken (4,4,4) Tetraeder alle Ecken (3,3,3) Oktaeder alle Ecken (3,3,3,3) n-eck-säule alle Ecken (n,4,4) 6-Eck-Pyramide Spitze (3,3,3,3,3,3), die übrigen Ecken (6,3,3) Sternkörper Spitze (3,3,3), die übrigen Ecken (3,3,3,3,3,3,3,3) Definition: Ein konvexes Polyeder heißt Platonischer Körper, wenn alle Flächen kongruente regelmäßige Vielecke und alle Eckenkränze kongruent sind. Würfel, Tetraeder und Oktaeder sind Platonische Körper, der Sternkörper dagegen nicht. Satz über die Platonischen Körper: Es gibt genau fünf Platonische Körper. 1. Behauptung: Es gibt nicht mehr als 5. 2. Behauptung: Es gibt die zwei fehlenden.

61 Beweis der 1. Behauptung: Aus der Definition folgt, dass alle Flächen kongruente regelmäßige n-ecke (n 3) sind und an jeder Ecke gleich viele, sagen wir m Flächen (m 3) aneinander stoßen. Für die Summe der Innenwinkel der Vielecke muss dann in jeder Ecke des ( n 2) 180 m. n Platonischen Körpers gelten: < 360 Die einzigen Lösungen der Ungleichung sind: Lösung a b c d e a Tetraeder m 3 3 4 3 5 b Würfel n 3 4 3 5 3 c Oktaeder Wieviele Ecken (E), Kanten (K) und Flächen (F) haben die Körper d und e? Für den Körper d gilt: Alle Flächen sind Fünfecke; es gibt also 2 F 5 Kanten. An jeder 5F Ecke stoßen drei Kanten zusammen; es gibt also insgesamt Ecken. 3 Eingesetzt in die Eulersche Polyeder-Formel ergibt sich: F = 12, K = 30, E = 20. Der Körper heißt Dodekaeder ("Zwölfflächner"). Analog ergibt sich für den Körper e: F = 20, K = 30, E = 12. Das ist ein Ikosaeder ("Zwanzigflächner"). Dass es sie gibt, das Dodekaeder und das Ikosaeder, kann man durch eigenes Herstellen belegen! Dodekaeder und Ikosaeder sind dual und haben dieselbe Symmetrie-Gruppe. Satz über die Dodekaeder-Gruppe Die Dodekaeder-Gruppe hat die Ordnung 60 und besteht aus der Identität, sowie - je vier Drehungen (72, 144, 216, 288 ) um die sechs Flächenmitten-Achsen, - je einer 180 -Drehung um die fünfzehn Kantenmitten-Achsen, - je zwei Drehungen (120, 240 ) um die zehn Raum-Diagonalen. Mit mehr Aufwand (vgl. Hermann Weyl: Symmetrie, Basel 1955) beweist man den Klassifikationssatz für endliche Gruppen (eigentlicher) räumlicher Bewegungen Die einzigen endlichen Gruppen (eigentlicher) räumlicher Bewegungen sind die Diedergruppen Dn, die zyklischen Gruppen Cn und die drei Symmetrie-Gruppen der Platonischen Körper.

62 Durch passendes "Abschleifen" der Ecken bzw. durch passende Schnitte entstehen aus den Platonischen Körpern neue Körper, deren Flächen zwar auch lauter regelmäßige Vielecke, aber unter Umständen mit verschiedenen Eckenzahlen sind. Definition: Ein konvexes Polyeder heißt Archimedischer Körper, wenn alle Flächen regelmäßige Vielecke und alle Eckenkränze kongruent sind. Satz über die Archimedischen Körper Die einzigen Archimedischen Körper sind die fünf Platonischen Körpern, die regelmäßigen n-eck-säulen (n-eck-prismen) mit quadratischen Seitenflächen die regelmäßigen n-eckigen Antiprismen mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen und noch weitere 14 Archimedische Körper. Zum Beweis benutzen wir wie bei den Platonischen Körpern die Summe Σ der Innenwinkel der Vielecke, die in einer Ecke zusammenstoßen. Damit eine Raumecke entstehen kann, muss Σ < 360 sein. Daraus folgt: Jeder Eckenkranz besteht mindestens aus drei und höchstens aus fünf Vielecken. Die Tabelle gibt einen Überblick über die Innenwinkel in einem regelmäßigen n-eck. n-eck 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Innenwinkel 60 90 108 120 4 128 135 140 144 3 147 150 7 11 1) Fünf Vielecke im Eckenkranz Charakteristik (3,3,3,3,3) (3,3,3,3,4) (3,3,3,3,5) (3,3,3,3,x) x>5 (3,3,3,4,x) x>3 Σ 300 330 348 360 360 Körper Ikosaeder 1 2 --- ---

63 2) Drei Vielecke im Eckenkranz: Die Charakteristik sei (a,b,c) mit a b c. (a 2) 180 (b 2) 180 (c 2) 180 1 1 1 1 1 Aus Σ = + + < 360 folgt < + + < 3, a b c 2 a b c a also a < 6. Wenn ein Vieleck eine ungerade Ecken- (= Kanten-) Zahl hat, müssen, da alle Eckenkränze kongruent sein sollen, die um dieses Vieleck herum liegenden benachbarten Vielecke alle die gleiche Ecken-Zahl haben; also wenn a = 3 oder 5 ist, muss b = c sein; aus a und b ungerade folgt sogar a = b = c. c-eck b-eck b-eck a-eck c-eck b-eck Für a = 3 ergibt das folgende Möglichkeiten: Charakt. (3,3,3) (3,4,4) (3,6,6) (3,8,8) (3,10,10) (3,12,12) Σ 180 240 300 330 348 360 Körper Tetraeder 3-Eck- 3 4 5 --- Säule Für a = 5 ergibt das folgende Möglichkeiten: Charakteristik (5,5,5) (5,4,4) (5,6,6) (5,8,8) Σ 324 288 348 378 Körper Dodekaeder Fünfeck-Säule 6 --- Für a = 4 folgt aus der obigen Ungleichung Möglichkeiten: 1 1 1 < +. Mit b c ergibt das folgende 4 b c Charakteristik (4,4,n) n beliebig (4,6,6) (4,6,8) (4,6,10) Σ 360 330 345 354 360 - n Körper n-eck-säule* 7 8 9 * Um ein Archimedischer Körper zu sein, muss die n-eck-säule quadratische Seitenflächen besitzen. 3) Vier Vielecke im Eckenkranz: Die Charakteristik sei (a,b,c,d) mit a b,c,d. Aus Σ < 360 ergibt sich wie im Fall 2) 1 <, also a < 4; a 1 4 d.h. eines der Vielecke muss ein Dreieck sein. Aus einer ähnliche Überlegung wie oben folgt b = d. c-eck b-eck d-eck d-eck 3-Eck b-eck c-eck b-eck d-eck c-eck

64 Das ergibt folgende Möglichkeiten: Charakt. (3,3,3,n) n bel. (3,4,3,4) (3,4,4,4) (3,4,5,4) (3,5,3,5) Σ 360 300 330 348 336 360 - n Körper * 10 11 12 13 * Bei diesem Körper stoßen an jeder Ecke ein regelmäßiges n-eck und drei gleichseitige Dreiecke aneinander. Man kann ihn sich in Analogie zur n-eck-säule entstanden denken, nämlich aus einer regelmäßigen n-eckigen Grundfläche und einer dazu kongruenten Deckfläche. Nur liegen die Ecken der Deckfläche nicht senkrecht zur Grundfläche über deren Ecken, sondern die Deckfläche ist soweit um ihren Mittelpunkt gedreht, dass ihre Ecken quasi mittig über den Ecken der Grundfläche liegen und natürlich umgekehrt; so werden jeder Ecke der einen Fläche zwei Ecken der anderen zugeordnet. So entstehen Dreiecke als Seitenflächen. Ein solcher Körper heißt Antiprisma. Die dreieckigen Seitenflächen des Antiprismas müssen gleichseitig sein, wenn es sich um einen Archimedischen Körper handeln soll. Mit den in den Tabellen aufgezeigten Fällen scheinen alle Möglichkeiten erschöpft: Ein 14. neuer Archimedischer Körper scheint unmöglich. Der Denkfehler: Wir haben die Körper durch ihre kongruenten Eckenkränze charakterisiert. Die Eckenkränze bestimmen aber nicht eindeutig den Archimedischen Körper. Erst 1934 entdeckte man, dass es zu der Charakteristik (3,4,4,4) zwei nicht kongruente Archimedische Körper gibt. Das ist allerdings der einzige Fall, wo es zu einer Charakteristik zwei nicht kongruente Körper gibt.