Hans Walser Rhombenkörper Braunschweig, 8. Mai 2018 Zusammenfassung: Wir besprechen konvexe Körper, welche von kongruenten Rhomben begrenzt sind. Mit einigen von ihnen lässt sich der Raum lückenlos und ohne Überlappungen auffüllen. Dies lässt sich mit Papiermodellen zeigen. Die Inkugeln der Raumfüller bilden eine Kugelpackung. Insbesondere werden wir die optimale Kugelpackung (Kepler, Hales) antreffen. Zusätzlichen Regularitätsvoraussetzungen führen zu Rhombenkörpern mit Kantenberührkugeln. Sämtliche Rhombenkörper lassen sich in Rhombenhexaeder zerlegen.
Hans Walser: Rhombenkörper 2 / 25 1 Rhomben gleicher Seitenlänge 1.1 In der Ebene Wir beginnen mit einer Kette von Rhomben gleicher Seitenlänge und füllen die Lücken mit weiteren Rhomben (Abb. 1). Abb. 1: Rhomben in der Ebene Obwohl die Figur rein planimetrisch konzipiert ist, erhalten wir schließlich den Eindruck einer räumlichen Figur.
Hans Walser: Rhombenkörper 3 / 25 In der Abbildung 2 sind die Start-Rhomben sternförmig angeordnet. Wir erhalten schließlich den Eindruck einer gewölbten Fläche. Abb. 2: Flach oder gewölbt? 1.2 Auf in den Raum Dieser Eindruck ist aber falsch, wie das erste Bild der Abbildung 3 zeigt. Abb. 3: Aufbruch in den Raum Wir fügen nun (Abb. 3, mitte) in der Mitte neue Rhomben ein, die wirklich in den Raum ragen. Ihre Kanten haben gegenüber der horizontalen Tellerebene die Steigung 1, also den Steigungswinkel 45. Die neuen Rhomben sind so bemessen, dass ihre senkrechte Projektion auf die Tellerebene mit den ursprünglichen zentralen Rhomben zusammenfällt. Nun können wir in die Lücken einen weiteren Kranz von Rhomben einfügen (Abb. 3, rechts).
Hans Walser: Rhombenkörper 4 / 25 Wir können fröhlich weiterfahren (Abb. 4). Abb. 4: Nächste Runden Die Rhombenkanten haben zwar alle dieselbe Steigung, da sie parallel sind. Trotzdem werden die Rhombenflächen mit jeder Runde steiler. Warum ist das so? Die obersten roten Rhomben (Abb. 4, rechts) habe ihre Projektion im zweitäußersten Ring von roten Rhomben im horizontalen Teller. Wir können also noch eine Runde weiterfahren (Abb. 5, links). Das ist aber noch nicht das Ende der Fahnenstange. Wir können eine Runde von senkrecht stehenden Rhomben einfügen (Abb. 5, mitte), die in der Projektion nicht mehr als Rhomben sichtbar sind. Da die Kanten dieser Rhomben gegenüber der horizontalen Tellerfläche einen Winkel von 45 haben, sind sie Quadrate. Abb. 5: Äquator Dieser Kranz von Quadraten spielt die Rolle des Äquators. Weiter oben spitzt sich die Situation zu (Abb. 5, rechts, Abb. 6).
Hans Walser: Rhombenkörper 5 / 25 Abb. 6: Die Situation spitzt sich zu Nach zwei weiteren Schritten sind wir bei einem geschlossenen Rhombenkörper angelangt (Abb. 7, mitte). Abb. 7: Rhombenkörper. Kosinusspindel Zum Vergleich ist (Abb. 7, rechts) die Kosinusspindel angegeben. Das ist die Rotationsfläche mit der Kosinuskurve zwischen zwei Nullstellen als Meridiankurve. Unser Rhombenkörper ist eine Approximation der Kosinusspindel (vgl. Glaeser 2013, p. 38). Im Beispiel der Abbildung 7, mitte, haben die Rhomben gegenüber der Horizontalebene die Kantensteigung 1. Wir können auch mit anderen Kantensteigungen arbeiten. Im Beispiel der Abbildung 8 wurde mit der Kantensteigung ½ gearbeitet.
Hans Walser: Rhombenkörper 6 / 25 Abb. 8: Kantensteigung ½ 1.3 Minimallösung In der Abbildung 2 wurde mit 14 Rhomben gestartet. Die Minimallösung wäre ein Start mit 3 Rhomben. Es sind dann 60 -Rhomben, die an einer stumpfen Ecke zusammenstoßen (Abb. 9, links). Bei einer Kantensteigung 1 2 erhalten wir den Würfel. Abb. 9: Minimallösung Bei einer größeren Kantensteigung ergibt sich ein spitzes Rhombenhexaeder (zwei diametrale Ecken mit nur spitzen Rhombenwinkeln, Abb. 10, links), ein einer kleineren Kantensteigung ein stumpfes Rhombenhexaeder.
Hans Walser: Rhombenkörper 7 / 25 Abb. 10: Spitzes und stumpfes Rhombenhexaeder 1.4 Vier Rhomben im Zentrum Wenn vier Rhomben im Zentrum zusammenkommen, sind es Quadrate (Abb. 11). Abb. 11: Vier Rhomben im Zentrum
Hans Walser: Rhombenkörper 8 / 25 Mit der Kantensteigung 1 2 ergibt sich das Rhombendodekaeder (Abb. 12). Die Rhomben sind kongruent und haben das Diagonalenverhältnis 2 :1. Abb. 12: Rhombendodekaeder 1.5 Fünf Rhomben im Zentrum 1.5.1 Rhombenikosaeder Bei fünf Rhomben im Zentrum können wir zum ersten Mal einen zweiten Kranz von Rhomben anfügen (Abb.13). Abb. 13: Fünf Rhomben im Zentrum Bei einer Kantensteigung ½ ergeben sich kongruente Rhomben mit dem Diagonalenverhältnis im Goldenen Schnitt. Die Abbildung 14 zeigt die ersten beiden Schritte.
Hans Walser: Rhombenkörper 9 / 25 Abb. 14: Die ersten beiden Schritte Wenn wir wie gewohnt weiterfahren, erhalten wir das Rhombenikosaeder (Abb. 15, 16). Abb. 15: Rhombenikosaeder Abb. 16: Rhombenikosaeder
Hans Walser: Rhombenkörper 10 / 25 1.5.2 Rhombentriakontaeder Wir können aber auch nach zwei Runden eine Zone von zehn senkrecht stehenden Rhomben einbauen (Abb. 17, links) und dann zum Rhombentriakontaeder schließen. Da diese zehn Rhomben zur horizontalen Ebene senkrecht stehen, sind sie in der Projektion auf diese Ebene nicht sichtbar. Allerdings können wir nicht die beiden gewohnten Farben rot und blau verwenden. Abb. 17: Rhombentriakontaeder Die Abbildung 18 zeigt ein Papiermodell des Rhombentriakontaeders. Abb. 18: Rhombentriakontaeder Die Abbildung 19 zeigt eine andere Ergänzung der fünf zentralen Rhomben.
Hans Walser: Rhombenkörper 11 / 25 Abb. 19: Ergänzung zum Stern Es handelt sich um die Projektion eines Sternkörpers (Abb. 20). Abb. 20: Sternkörper
Hans Walser: Rhombenkörper 12 / 25 2 Reguläre Rhombenkörper 2.1 Kriterien Wir legen folgende Kriterien für reguläre Rhombenkörper fest: Alle Seitenrhomben kongruent Konvex An den Ecken je gleiche Winkel. Da diese entweder alle spitz oder alle stumpf sind, sprechen wir von spitzen beziehungsweise stumpfen Ecken. Zunächst einige Gegenbeispiele: In den Figuren der Abbildungen 7 und 8 sind die Seitenrhomben nicht kongruent. Der Sternkörper (Abb. 19, 20) ist nicht konvex. Im spitzen Rhombenhexaeder (Abb. 10, mitte) gibt es Ecken mit zwei stumpfen und einem spitzen Winkel. Im stumpfen Rhombenhexaeder ist es umgekehrt. Im Rhombenikosaeder (Abb. 15) gibt es Ecken mit vier spitzen und einem stumpfen Winkel. 2.2 Kopfgeometrie Denken wir uns eine Ecke mit stumpfen Winkeln. Diese müssen mehr als 90 messen. Es können daher an einer konvexen Ecke höchstens drei stumpfe Winkel zusammenstoßen. Andererseits müssen an jeder Ecke mindestens drei Winkel zusammenstoßen, damit eine räumliche Ecke entsteht. Somit haben wir an den Ecken mit stumpfen Winkeln genau drei stumpfe Winkel. Diese sind kleiner als 120. Die spitzen Winkel sind daher größer als 60. An einer konvexen Ecke mit spitzen Winkeln können daher höchstens fünf spitze Winkel zusammenstoßen. Somit gibt es nur Ecken, an denen drei oder vier oder fünf spitze Winkel zusammenstoßen. Man kann sogar zeigen (aufwändig, siehe Regulaere_Rhomboeder), dass an den Ecken eines regulären Rhombenkörpers ausschließlich drei oder vier oder fünf spitze Winkel zusammenstoßen. Die zugehörigen Rhombenkörper sind dann der Würfel, das Rhombendodekaeder und das Rhombentriakontaeder. Wir werden diese drei Figuren im Folgenden je ausführlich besprechen.
Hans Walser: Rhombenkörper 13 / 25 3 Würfel Die rechten Winkel der Quadratseiten des Würfels können im Wechsel als Grenzfälle von spitzen beziehungsweise stumpfen Winkeln gesehen werden. Die Abbildung 21 zeigt die Netztopologie. Die roten Punkte markieren Grenzfälle von spitzen, die blauen Punkte Grenzfälle von stumpfen Ecken. Abb. 21: Netztopologie des Würfels Die Abbildung 22 zeigt ein Himmel-und-Hölle-Modell des Würfels. Abb. 22: Himmel und Hölle Der Würfel ist ein Raumfüller. Man kann den Raum lückenlos und ohne Überlappung mit Würfeln auffüllen.
Hans Walser: Rhombenkörper 14 / 25 4 Rhombendodekaeder Das Rhombendodekaeder (Abb. 12) ist ebenfalls ein Raumfüller (Abb. 23). Abb. 23: Rhombendodekaeder als Raumfüller Um dies einzusehen, wählen wir einen anderen Zugang zum Rhombendodekaeder. Wir beginnen mit einem Würfel (Abb. 24, links) und setzen eine halb so hohe Pyramide auf. Die Seitendreiecke der Pyramide haben einen Neigungswinkel 45. Entsprechend setzen wir auf den Seitenflächen Pyramiden auf. Abb. 24: Pyramiden auf dem Würfel Zwei an einer Würfelkante anstoßende Seitendreiecke liegen in einer Ebene (Abb. 25, links). Sie bilden einen Rhombus mit dem Diagonalenverhältnis 2 :1. Insgesamt erhalten wir somit die zwölf Rhomben des Rhombendodekaeders.
Hans Walser: Rhombenkörper 15 / 25 Abb. 25: Rhombendodekaeder Für den Nachweis der Raumfüllungseigenschaft denken wir uns den Raum im Sinne eines dreidimensionalen Schachbrettes mit Würfelchen aufgefüllt und die Würfelchen im Wechsel schwarz und weiß gefärbt. Die schwarzen Würfelchen zerlegen wir von der Mitte aus in sechs Pyramiden, welche je eine Seitenfläche des Würfelchens als Basis haben. Diese Pyramiden sind genau halb so hoch wie die Würfelchenkanten. Wir kleben nun die Pyramiden an die angrenzenden weißen Würfelchen und erhalten so die Rhombendodekaeder. Bei unserer Konstruktion haben die Rhombendodekaeder zuoberst eine spitze Ecke mit vier spitzen Rhombenwinkeln. Die Abbildung 26a zeigt eine Packung von solchen Rhombendodekaedern. Die Inkugeln der Rhombendodekaeder bilden ihrerseits eine Kugelpackung. Es handelt sich dabei um die von Kepler vermutete und von Hales bewiesene dichteste Kugelpackung. In den obersten vier Lagen der Abbildung 26a sind die Rhombendodekaeder transparent gezeichnet, so dass die Kugelpackung sichtbar wird. Die Abbildung 26b zeigt dieselbe Kugelpackung mit Glaskugeln. Das Bodenraster verhindert das Wegrollen der Kugeln. Bei dieser Kugelpackung handelt es sich um die dichteste Kugelpackung (Vermutung von Kepler 1611, Beweis von Hales 1998-2014).
Hans Walser: Rhombenkörper 16 / 25 Abb. 26a: Rhombendodekaeder und Inkugeln Abb. 26b: Glaskugeln
Hans Walser: Rhombenkörper 17 / 25 Die Abbildung 26c zeigt eine Approximation einer Kugel durch Rhombendodekaeder. Abb. 26c: Approximation einer Kugel durch Rhombendodekaeder
Hans Walser: Rhombenkörper 18 / 25 In der Abbildung 26d sind die Rhombendodekaeder durch ihre Inkugeln ersetzt. Abb. 26d: Kugel durch Kugeln approximiert
Hans Walser: Rhombenkörper 19 / 25 Wir können den Raum auch so mit Rhombendodekaedern auffüllen, dass jeweils eine stumpfe Ecke zuoberst ist (Abb. 27a). Abb. 27a: Stumpfe Ecke nach oben Die Abbildung 27b zeigt den Minimaltetraeder mit Orangen. Abb. 27b: Minimaltetraeder
Hans Walser: Rhombenkörper 20 / 25 Die beiden Packungen sind bis auf die Raumorientierung dieselben. Beides sind die dichteste Kugelpackung. Die Abbildung 28 zeigt die Netztopologie des Rhombendodekaeders. Abb. 28: Netztopologie des Rhombendodekaeders Da die Rhomben des Rhombendodekaeders das Diagonalenverhältnis 2 :1 haben, lassen sie sich mittig in ein Papier im DIN-Format einpassen (Abb. 29). Wir können nun die vorstehenden Ecken hochbiegen und zwölf solche Bauteile zu einem Rhombendodekaeder zusammentackern. Abb. 29: Rhombendodekaeder aus Ansichtskarten
Hans Walser: Rhombenkörper 21 / 25 Die Abbildung 30 zeigt ein Himmel-und-Hölle-Modell des Rhombendodekaeders. Abb. 30: Himmel-und-Hölle 5 Rhombentriakontaeder Das Rhombentriakontaeder ist kein Raumfüller. Hingegen können wir es in interessante Teilkörper zerlegen. Zunächst können wir die grün-gelbe, zickzackförmige Äquatorzone (Abb. 17) entfernen und den Deckel parallel herunterschieben. Das wegfallende Stück kann in fünf spitze und fünf stumpfe Rhombenhexaeder zerlegt werden. Übrig bleibt ein Rhombenikosaeder (Abb. 15, 16). Dieses ist nicht regulär. Wir können auch beim Rhombenikosaeder eine Zone, bestehend aus 8 Rhomben, aber nicht mehr alternierend im Zick-Zack, entfernen und den Rest zusammenschieben. Dadurch fallen 8 Rhombenhexaeder weg, vier spitze und vier stumpfe. Übrig bleibt das Rhombendodekaeder zweiter Art (Abb. 31a).
Hans Walser: Rhombenkörper 22 / 25 Abb. 31a: Rhombendodekaeder zweiter Art. Das Rhombendodekaeder zweiter Art wurde von Bilinski (1960) beschrieben. Es ist nicht regulär, aber ein Raumfüller (Abb. 31b). Abb. 31b: Raumfüller Weglassen einer Zone mit 6 Rhomben führt je nachdem zu einem spitzen oder einem stumpfen Rhombenhexaeder.
Hans Walser: Rhombenkörper 23 / 25 6 Kantenberührkugel Genau die regulären Rhombenkörper haben eine Kantenberührkugel, also eine Kugel, welche sämtliche Kanten berührt. Beim Würfel ist es die Kantenmittenkugel (Abb. 32a). a) b) Abb. 32: Kantenmittenkugel beim Würfel. Spielwürfel Die Schnittfigur des Würfels mit seiner Kantenmittenkugel ist der Spielwürfel (Abb. 32b). Die Abbildung 33 zeigt das Rhombendodekaeder mit der Kantenberührkugel sowie die Schnittfigur der beiden. Abb. 33: Rhombendodekaeder und Kantenberührkugel
Hans Walser: Rhombenkörper 24 / 25 Die Berührpunkte teilen die Kanten im Verhältnis 2:1. Die Abbildung 34 schließlich zeigt das Rhombentriakontaeder mit der Kantenberührkugel. Abb. 34: Rhombentriakontaeder und Kantenberührkugel Die Berührpunkte teilen die Kanten im Verhältnis Φ 2 :1. Dabei ist Φ = 1+ 5 2 der Goldene Schnitt (Walser 2013). Der Nachweis, dass genau die regulären Rhombenkörper eine Kantenberührkugel haben, ergibt sich aus der Abbildung 35. Die Schnittkreise der Rhomben mit der Kantenberührkugel sind auch die Inkreise dieser Rhomben. Die Inkreise benachbarter Rhomben müssen sich aber berühren (Abb. 35a), damit sie zur selben Kugel gehören können. Das heißt, dass bei den Rhomben spitze Winkel auf spitze Winkel treffen müssen. Die Situation der Abbildung 35b ist ausgeschlossen. Somit haben wir es mit regulären Rhombenkörpern zu tun. a) b) Abb. 35: Kissing point
Hans Walser: Rhombenkörper 25 / 25 Literatur Bilinski, Stanko (1960): Über Rhombenisoeder. Glasnik mat.-fiz. i astr. 15, 1960, No. 4, S. 251-262. Glaeser, Georg (2013): Nature and Numbers a mathematical photo shooting. Ambra V. Medecco Holding GmbH, Vienna. ISBN 978-3-99043-615-8. Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3- 937219-85-1. Websites Walser, H.: Goldener Rhombus www.walser-h-m.ch/hans/miniaturen/g/goldener_rhombus/goldener_rhombus.htm Walser, H.: Kosinusspindel www.walser-h-m.ch/hans/miniaturen/k/kosinusspindel/kosinusspindel.htm Walser, H.: Regulaere_Rhomboeder www.walser-h-m.ch/hans/miniaturen/r/regulaere_rhomboeder/regulaere_rhomboeder.htm Walser, H.: Rhomben www.walser-h-m.ch/hans/miniaturen/r/rhomben/rhomben.htm Walser, H.: Rhombenfiguren www.walser-h-m.ch/hans/miniaturen/r/rhombenfiguren/rhombenfiguren.htm