Indexmengen Definition Es sei n N. Für Zahlen a 1,..., a n, Mengen M 1,..., M n und Aussagen A 1,..., A n definieren wir: n i=1 a i := a 1 +... + a n n i=1 a i := a 1... a n n i=1 M i := M 1... M n n i=1 M i := M 1... M n n i=1 A i := A 1... A n n i=1 A i := A 1... A n
Indexmengen (Forts.) Verallgemeinerung auf beliebige Indexmengen I. Definition Für jedes i I sei M i eine Menge. Wir definieren i I M i durch x M i : es gibt i I mit x M i. i I Wir definieren i I M i durch x i I M i : für alle i I gilt x M i.
Indexmengen (Forts.) Verallgemeinerung des Begriffs paarweise verschieden. Definition Sei I eine Menge und für jedes i I sei x i ein Objekt. Die Objekte x i, i I, heißen paarweise verschieden, wenn für alle i, j I gilt: x i = x j i = j. Beispiele Die Zahlen n 2, n N, sind paarweise verschieden. Die Zahlen n 2, n Z, sind nicht paarweise verschieden.
Mengenpartitionen Definition Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn A B =. Sei I eine Menge und für jedes i I sei M i eine Menge. Die M i, i I, heißen paarweise disjunkt, wenn für alle i, j I mit i j gilt: M i M j =. Es sei M eine Menge von Mengen. Die Elemente von M heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei davon disjunkt sind, d.h. wenn für alle M, M M mit M M gilt: M M =.
Mengenpartitionen (Forts.) Erinnerung P: Menge der Primzahlen in N. Beispiel Für p P sei M p := {p n n N} (d.h. die Menge aller Potenzen von p). Dann sind die Mengen M p, p P paarweise disjunkt.
Mengenpartitionen (Forts.) Es sei M eine Menge. Definition Eine Partition von M ist eine Menge P nicht-leerer, paarweise disjunkter Teilmengen von M mit M = C P C. Die Elemente C P heißen Teile der Partition. Bemerkung Für jede Partition P von M ist P Pot(M) \ { }.
Mengenpartitionen (Forts.) Beispiele P = {{n N n gerade}, {n N n ungerade}} ist eine Partition von N mit zwei Teilen. P = {{n N n hat genau k Dezimalstellen} k N} ist eine Partition von N mit unendlich vielen Teilen. Die Menge P = {{p n n N} p P} ist keine Partition von N. Die einzige Partition von ist P =.
Mengenpartitionen (Forts.) Bemerkungen Sind M, N endliche, disjunkte Mengen, so gilt M N = M + N. Sind M 1,..., M n endliche, paarweise disjunkte Mengen, so gilt n M i = i=1 n M i. i=1 Ist M eine endliche Menge und P eine Partition von M, dann ist M = C. C P
1.3 Beweisprinzipien Direkter Beweis Ziel Zeige die Implikation A B. Methode Finde und verwende Implikationen A 1 A 2 A 2 A 3. A n 1 A n für eine natürliche Zahl n mit A = A 1 B = A n
Direkter Beweis (Forts.) Beispiel Für alle z Z gilt: z ungerade z 2 ungerade.
Kontraposition Ziel Zeige die Implikation A B. Methode Zeige stattdessen: B A. Beruht auf der Tautologie: (A B) ( B A). Beispiel Für alle z Z gilt: z 2 gerade z gerade.
Beweis einer Äquivalenz Beispiel [A B] [(A B) (B A)] Beispiel Für jede ganze Zahl z gilt: Genau dann ist z 2 gerade, wenn z gerade ist.
Widerspruchsbeweis Ziel Zeige A B ist wahr. Methode Zeige stattdessen: A (B B) für eine passende Aussage B. Beweis der Methode B B ist falsch. Aus A (B B) folgt (per Definition): A (B B) ist wahr. Aus der Definition von folgt: A ist falsch. Damit ist A wahr.
Widerspruchsbeweis (Forts.) Beispiel 2 Q.
Vollständige Induktion Ziel Für alle n N gilt A(n). Methode Führe die folgenden Beweisschritte durch: Induktionsanfang: Zeige A(1) ist wahr. Induktionsschritt: Zeige die Implikation A(n) A(n + 1) für alle n N. Dann ist A(n) für alle n N wahr. Man spricht präziser von einer vollständigen Induktion über n. Im Induktionsschritt nennt man die Aussage A(n) die Induktionsvoraussetzung.
Vollständige Induktion (Forts.) Beweis des Prinzips Beruht auf der folgenden Eigenschaft von N: Für jede Teilmenge A N gilt: Ist 1 A und ist für jedes n A auch n + 1 A, dann ist A = N. Bei der vollständigen Induktion zeigen wir: Die Menge A := {n N A(n) ist wahr} erfüllt diese Bedingung. Damit ist A = N.
Vollständige Induktion (Forts.) Beispiel Für alle n N gilt n i=1 i = n(n+1) 2. Beweis Vollständige Induktion über n. Sei A(n) die Aussageform n i=1 i = n(n+1) 2.
Vollständige Induktion (Forts.) Bemerkung Es gibt verschiedene Varianten der Induktion, z.b. Induktionsanfang bei n 0 N statt bei 1. Damit wird die Aussage A(n) für alle n n 0 gezeigt. Induktionsvoraussetzung: A(1)... A(n) anstelle von A(n).