F H Z > F A C H H O C H S C H U L E Z E N T R A L S C H W E I Z H T A > H O C H S C H U L E F Ü R T E C H N I K + A R C H I T E K T U R L U Z E R N A b t e i l u n g I n f o r m a t i k Discrete Probability - Übung Thomas Zehrt und Josef F. Bürgler Semesterwoche 6 (SS 5) Alle Aufgaben sind zusammen mit dem Lösungweg in möglichst einfacher Form darzustellen. Numerische Resultate sind mit einer Genauigkeit von 4 Stellen anzugeben. Skizzen müssen qualitativ und quantitativ richtig sein. Abgabetermin: Am Ende der letzten Vorlesungsstunde in der Semesterwoche 7 (SS 6). Referenz: Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, McGraw-Hill International Edition, 5. bzw. 6. Auflage. 5.1 Einführung 1. (5: Kap. 5.1, 3 bzw. 6: Kap. 6.1, 3) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig aus den ersten 100 natürlichen Zahlen ausgewählte Zahl ungerade ist. 2. (5: Kap. 5.1, 5 bzw. 6: Kap. 6.1, 5) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln gerade ist. 3. (5: Kap. 5.1, 7 bzw. 6: Kap. 6.1, 7) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze bei 6 Würfen auch sechsmal Kopf zeigt? 4. (5: Kap. 5.1, 21 bzw. 6: Kap. 6.1, 21) Ein Würfel wird sechsmal geworfen. Wie gross ist die Warscheinlichkeit, dass dabei nie eine gerade Zahl erscheint? 5. (5: Kap. 5.1, 23 bzw. 6: Kap. 6.1, 23) Aus den ersten 100 natürlichen Zahlen (inklusive 100) wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Zahl durch 5 oder 7 teilbar? 6. (5: Kap. 5.1, 25b bzw. 6: Kap. 6.1, 25b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Lotto 6 aus 52 sechs Richtige zu wählen. 7. (5: Kap. 5.1, 29 bzw. 6: Kap. 6.1, 29) In einer Superlotterie gewinnt ein Spieler, wenn er die richtigen 8 Zahlen tippt, die ein Computer aus den ersten 100 Zahlen ausgewählt hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man diese Superlotterie? 1
8. (5: Kap. 5.1, 33a bzw. 6: Kap. 6.1, 33a) An einer Verlosung nehmen 200 Leute teil. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnen Abby, Barry und Sylvia den ersten, zweiten bzw. dritten Preis, wenn niemand mehr als einen Preis gewinnen kann? 9. (5: Kap. 5.1, 37 bzw. 6: Kap. 6.1, 37) Auf welches der beiden Ereignisse sollte man eher wetten (welches Ereignis ist wahrscheinlicher): Augensumme 8 beim Werfen von 2 Würfeln oder Augensumme 8 beim Werfen von 3 Würfeln? 10. (5: Kap. 5.1, 39 bzw. 6: Kap. 6.1, 39) Erklären Sie, was in der folgenden Aussage über das Monty Hall Three Door Puzzle falsch ist: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Preis hinter der ersten gewählten Tür befindet und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Preis sich hinter der anderen Tür befindet, welche Monty nicht geöffnet hat, ist jeweils 0.5. 5.2 Wahrscheinlichkeitstheorie 1. (5: Kap. 5.2, 1 bzw. 6: Kap. 6.2, 1) Bei einer gezinkten Münze fällt Kopf dreimal häufiger als Zahl. Wie wahrscheinlich sind die beiden Ausgänge ( Kopf und Zahl )? 2. (5: Kap. 5.2, 3 bzw. 6: Kap. 6.2, 3) Ein gezinkter Würfel hat die Eigenschaft, dass das Ereignis werfen einer 2 oder einer 4 jeweils dreimal so häufig auftritt, als jede der anderen vier Zahlen (1, 3, 5, 6). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse. 3. (5: Kap. 5.2, 5 bzw. 6: Kap. 6.2, 5) Wir betrachten ein Paar gezinkter Würfel. Die Wahrscheinlichkeit für eine 4 beim ersten Würfel ist 2/7 und die Wahrscheinlichkeit für eine 3 beim zweiten Würfel ist 2/7. Alle anderen Elementarereignisse beider Würfel treten jeweils mit der wahrscheinlichkeit 1/7 auf. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme 7 auftritt. 4. (5: Kap. 5.2, 7b+c bzw. 6: Kap. 6.2, 7b+c) Aus der Menge aller Permutationen der Zahlen {1, 2, 3, 4} wird zufällig eine ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: a) 4 steht (direkt) vor der 1. b) 4 steht (direkt) vor der 1 und 4 steht (direkt) vor der 2. 5. (5: Kap. 5.2, 9a+b bzw. 6: Kap. 6.2, 9a+b) Aus der Menge der Permutationen der 26 (Klein)Buchstaben wird zufällig eine ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: a) Die Permutation besteht aus den Buchstaben in umgekehrter alphabetischer Reihenfolge. b) z ist der erste Buchstabe der (gewählten) Permutation. 2
6. (5: Kap. 5.2, 11 bzw. 6: Kap. 6.2, 11) Seien E und F Ereignisse mit p(e) = 0.8 und p(f) = 0.5. Beweisen Sie die beiden Ungleichungen p(e F) 0.7 und p(e F) 0.2. 7. (5: Kap. 5.2, 13 bzw. 6: Kap. 6.2, 13) Beweisen Sie, dass für zwei Ereignisse E und F die so genannte Ungleichung von Bonferroni gilt: p(e F) p(e) + p(f) 1. 8. (5: Kap. 5.2, 17 bzw. 6: Kap. 6.2, 17) Seien E und F unabhängige Ereignisse. Beweisen oder widerlegen Sie: E und F sind unabhängige Ereignisse. 9. (5: Kap. 5.2, 21 bzw. 6: Kap. 6.2, 21) Finden Sie die kleinste Anzahl von Leuten, so dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei von ihnen am 1. April Geburtstag feiern, grösser als 1/2 ist. 10. (5: Kap. 5.2, 23 bzw. 6: Kap. 6.2, 23) Eine faire Münze wird fünfmal geworfen. Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau viermal Kopf erscheint, falls beim ersten Wurf Kopf gefallen ist. 11. (5: Kap. 5.2, 27b bzw. 6: Kap. 6.2, 27b) Eine Familie habe 4 Kinder und wir betrachten die beiden Ereignisse E = die Familie hat Kinder beider Geschlechter und F = die Familie hat höchstens einen Jungen. Sind die beiden Ereignisse unabhängig? 12. (5: Kap. 5.2, 31b bzw. 6: Kap. 6.2, 31b) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein neugeborenes Kind ein Junge ist, sei 0.51. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie mit 5 Kindern keinen Jungen hat. 13. (5: Kap. 5.2, 35c bzw. 6: Kap. 6.2, 35c) Ein Bernoulliversuch mit (Einzel)Erfolgswahrscheinlichkeit p wird n-mal durchgeführt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei höchstens ein Misserfolg auftritt. 5.3 Der Satz von Bayes 1. Die Produktion einer Abteilung wird von zwei Kontrolleuren mit den Anteilen 30% bzw. 70% sortiert. Dabei ist für den ersten bzw. zweiten Kontrolleur die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Fehlentscheidung zu treffen, gleich 0.03 bzw. 0.05. Es wird beim Versand ein fehlsortiertes Teil gefunden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde es vom ersten, vom zweiten Kontrolleur sortiert? Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Teil richtig einsortiert wurde. 3
2. Wir betrachten das Zufallsexperiment, das aus der Übertragung eines Bits auf einem binären Kanal besteht. Dabei werden die Zeichen 0 und 1 im Verhältnis 3 : 4 gesendet, 0 wird mit der Wahrscheinlichkeit p 01 = 0.2 falsch (d.h. als 1) und 1 wird mit der Wahrscheinlichkeit p 10 = 0.3 falsch (d.h. als 0) übertragen. a) Geben Sie einen geeigneten Raum S der möglichen Ausgänge des Experimentes an. b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 0 zu empfangen? c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu empfangen? d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 0 gesendet wurde, falls Sie eine 0 empfangen haben? e) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 1 gesendet wurde, falls Sie eine 1 empfangen haben? 5.4 Erwartungswert und Varianz 1. (5: Kap. 5.3, 1 bzw. 6: Kap. 6.4, 1) Eine faire Münze wird fünfmal geworfen. Wieviel Mal erwarten Sie dabei den Ausgang Kopf? 2. (5: Kap. 5.3, 3 bzw. 6: Kap. 6.4, 3) Ein Würfel wird zehnmal geworfen. Wieviel Mal erwarten Sie dabei den Ausgang 6? 3. (5: Kap. 5.3, 7 bzw. 6: Kap. 6.4, 7) Die Aschlussprüfung in Mathematik bestehe aus 50 Richtig/Falsch-Fragen (bei richtiger Beantwortung erhält der Prüfling 2 Punkte pro Frage) und 25 Multiple-Choice-Fragen (bei richtiger Beantwortung erhält der Prüfling 4 Punkte pro Frage). Linda beantwortet eine Richtig/Falsch-Frage mit der Wahrscheinlichkeit 0.9 und eine Multiple-Choice-Frage mit der Wahrscheinlichkeit 0.9 korrekt. Bestimmmen Sie den Erwartungswert für Lindas Gesamtpunktzahl. 4. (5: Kap. 5.3, 11 bzw. 6: Kap. 6.4, 11) Wir wollen einen Würfel höchstens zehnmal werfen, aber dann aufhören, wenn eine 6 erscheint. Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Würfe. 5. (5: Kap. 5.3, 13 bzw. 6: Kap. 6.4, 13) Wir werfen zwei Würfel so lange, bis die Augensumme 7 auftritt. Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Würfe. 6. (5: Kap. 5.3, 21 bzw. 6: Kap. 6.4, 21) Ein Run ist eine maximale Folge von (direkt aufeinanderfolgenden) Erfolgen in einer Folge von Bernoulliversuchen. Zum Beispiel gibt es in der Folge EEEMEEMME (E Erfolg und M Misserfolg) drei Runs, wobei einer aus drei, einer aus zwei und einer aus einem Erfolg besteht. Sei R die Zufallsvariable auf der Menge aller möglichen Ausgänge von n unabhängigen Bernoulliversuchen, die jedem dieser Ausgänge die Anzahl von Runs zuordnet (z.b. R(EEEMEEMME) = 3). Bestimmen Sie E(R). 4
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass R = n j=1 I j ist, wobei I j = 1 ist, falls ein Run im j-ten Bernoulliversuch beginnt und I j = 0 andernfalls. Bestimmen Sie E(I 1 ) und dann E(I j ) für 1 < j n. Nutzen Sie die Rechenregeln für Erwartungswerte. 7. (5: Kap. 5.3, 23 bzw. 6: Kap. 6.4, 23) Eine faire Münze wird zehnmal geworfen. Unsere Zufallsvariable zähle das Ereignis Kopf. Bestimmen Sie die Varianz dieser Zufallsvariablen. 8. (5: Kap. 5.3, 24 bzw. 6: Kap. 6.4, 24) Ein fairer Würfel wird zehnmal geworfen. Unsere Zufallsvariable zähle das Ereignis 6. Bestimmen Sie die Varianz dieser Zufallsvariablen. Viel Vergnügen! 5