4 Mengentheorie 4.1 Mengen Die Mengentheorie ist entwickelt worden, um eine elementare Basis für den Aufbau der gesamten Mathematik zu haben. Ihr Begründer ist Georg Cantor (1845-1918). Die Standard-Semantik von PL1 wird unter Verwendung der Mengentheorie formuliert. Umgekehrt kann die Mengentheorie in einer prädikatenlogischen Sprache präzise dargestelllt werden. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 1
Der klassische Mengenbegriff Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassung bestimmter wohlunter-schiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte sind die Elemente der Menge. abstrakt : Die Objekte werden nicht in einem physischen Sinne zusammengefasst. Zusammenfassung : Die Objekte werden nicht auf eine bestimmte Weise angeordnet. wohlunterschieden : Die Objekte müssen für sich genommen identifizierbar sein. Anschauung / Denken : Es kann sich um konkrete oder abstrakte Objekte handeln. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 2
Mengen werden gewöhnlich mit ABC,,,, XYZ,,,, Elemente von Mengen, d.h. beliebige Objekte, mit abc,,,, xyz,,, notiert. Die Elementrelation zwischen Objekten und Mengen wird mit der 2-stelligen Prädikatskonstanten notiert: a A: a ist Element von A Eine alternative Schreibweise, die der von uns benutzten PL1-Notation entspricht, ist: ( aa, ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 3
D4.1 a A= ( a A) def a ist kein Element von A Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 4
D4.2 A= B= xx [ A x B] def A ist identisch mit B ( A und B sind gleich, A und B sind dieselbe Menge ) A B D4.3 A B= ( A= B) (d.h. x[ x A x B x A x B] ) def A ist verschieden von B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 5
Eine endliche Menge ist eine Menge, die endlich viele Elemente enthält. Beispiel: die Menge der Monde des Saturn Eine unendliche Menge ist eine Menge, die unendlich viele Elemente enthält. Beispiel: die Menge aller Primzahlen Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 6
Eine Einermenge ist eine Menge, die genau ein Element enthält. Dabei muss klar zwischen der Menge und ihrem einzigen Element unterschieden werden. Beispiel: die Menge, die nur Georg Cantor enthält Die leere Menge ist diejenige Menge, die kein Element enthält, d.h. xx [ ] bzw. xx [. ] Beispiel: die Menge, die nur runde Quadrate enthält Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 7
Mengen können selbst Elemente von Mengen sein. Es wird zwischen Mengen verschiedener Stufe unterschieden (Bertrand Russell, 1872-1970, Typen-theorie): Mengen, die Individuen als Elemente enthalten, sind Mengen der 1. Stufe. Mengen, die Mengen der n-ten Stufe ( 1 n ) als Elemente enthalten, sind Mengen der n+1. Stufe. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 8
Spezifikation von Mengen (A) Aufzählung (Listennotation): { x,, x } 1 n : die Menge bestehend aus x,, x 1 n ( die Menge, die aus x,, x 1 n besteht ) { x }: die Einermenge bestehend aus x Beispiele: {,,}: die Menge bestehend aus,und { Karlo,Hans,Pluto }: { KarloHansPluto,, }: die Menge bestehend aus Karlo, Hans und Pluto die Menge bestehend aus den Namen Karlo, Hans und Pluto Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 9
{ }: {{} a }: die Menge bestehend aus der leeren Menge die Menge bestehend aus der Einer-menge { a } {{},, } a a : die Menge bestehend aus { a }, a und {{ abc,, },{{ d },1},Hans}: die Menge bestehend aus den Mengen { abc,, } und {{ d },1} und Hans? Von welcher Stufe sind die angegebenen Mengen? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 10
(B) Abstraktion (Prädikatsnotation): { x...} : die Menge der x, für die gilt:... { x P( x )}: die Menge der x, für die gilt: P( x ) ( die Menge der P ) Beispiele: { x MENSCH( x )}: die Menge der x, für die gilt: x ist ein Mensch ( die Menge der Menschen ) alternativ: { x x ist ein Mensch} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 11
Weitere Beispiele: { x x N und x 2 und x 100} { x x ist deutsche Bundeskanzlerin} { x QUADRAT( x) RUNDx ( )} { x x existiert oder x existiert nicht} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 12
? Gib an, welche der folgenden Mengen identisch sind. (1) { x x ist Primzahl und x 10} (2) (3) { x x ist Primzahl, gerade und x> 2} (4) {2,3,5,7} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 13
Prinzip der Mengenkonversion Für ein beliebiges a gilt: a { x P( x)} gdw Pa ( ). Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 14
Mächtigkeit von Mengen Die Anzahl der Elemente einer Menge A ist deren Mächtigkeit (oder Kardinalität). Sie wird mit A, #A oder card( A ) angegeben. Im Falle einer endlichen Menge ist deren Mächtigkeit eine natürliche Zahl. Beispiele: { a,{ c,2}} = 2 { x x ist ein Vokal, der im Wort Paris vorkommt} = 2 = 0 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 15
Teilmengenrelationen Neben der Identitätsrelation können zwischen Mengen auch Teilmengenrelationen bestehen. D4.4 A B= xx [ A x B] def A ist eine Teilmenge von B ( B ist eine Obermenge vona ) B A Beispiele: Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 16
{2,3, e} {2,3, e} { a} {{ a}, a} { x x studiert Linguistik} Die leere Menge ist Teilmenge einer beliebigen Menge, d.h. X[ X]. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 17
D4.5 A B= ( A B) (d.h. xx [ A x B] ) def A ist keine Teilmenge von B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 18
D4.6 A B= A B A B def A ist eine echte Teilmenge von B ( B ist eine echte Obermenge von A ) B A + Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 19
Beispiele: {2, e} {2,3, e}, { a} {{ a}, a}, { x x studiert Linguistik} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 20
D4.7 A B= ( A B) def A ist keine echte Teilmenge von B Beispiele: { abc,, } { abc,, } { abc,, } { ab, } { abc,, } {2,4,9} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 21
? Gib an, welche Teilmengenrelationen zwischen folgenden Mengen bestehen. S,, {{ S }}, { S} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 22
Mengentheoretische Gesetze Die Identität ist reflexiv: A= A symmetrisch: ( A= B) ( B= A) transitiv: ( A= B) ( B= C) ( A= C) Die Teilmengenrelation ist reflexiv: A A antisymmetrisch: ( A B) ( B A) ( A= B) transitiv: ( A B) ( B C) ( A C) Die echte Teilmengenrelation ist irreflexiv: A A asymmetrisch: ( A B) ( B A) transitiv: ( A B) ( B C) ( A C) Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie usw. sind Eigenschaften von Relationen. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 23
Die Identität ist eine Äquivalenzrelation. Die Teilmengenrelation ist eine schwache Ordnungsrelation. Die echte Teilmengenrelation ist eine strenge Ordnungsrelation. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 24
Weitere Relationen zwischen Mengen sind z.b. die Überlappung (o) und die Disjunktheit ( ) von Mengen.? Gib die Definitionen dieser Mengenrelationen an. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 25
4.2 Operationen mit Mengen Mit Hilfe von mengentheoretischen Operationen lassen sich neue Mengen bilden. Potenzmenge ( power set ) D4.8 P ( A) = { X X A} (auch: powa, ( ) ( A) ) def P von A Die Potenzmenge von A ist die Menge aller Teilmengen von A. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 26
Wenn A eine Menge der n-ten Stufe ist, dann ist P ( A) eine Menge der n+1. Stufe. Mächtigkeit von Potenzmengen: Wenn A = n, dann P ( A ) = 2 n, d.h. 2 2 2 (n-mal). Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 27
Beispiele: P ({Hans,Maria}) = {,{Hans},{Maria},{Hans,Maria}} P ({1,2,3}) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} P ({ S}) = {,{ S}} P ( = ) { } P ({ S,{ S}}) = {,{ S},{{ S}},{ S,{ S}}}? Gib für {{ ab, }, c } die Potenzmenge an. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 28
Mengenvereinigung ( union ) D4.9.1 A B= { x x A x B} def A vereinigt mit B Die Vereinigung von A und B ist die Menge, die alle Elemente, die in A oder in B vorkommen, und nur diese enthält. A B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 29
Beispiele: { abc,, } {1,2} = { abc,,,1,2} { S} { S,{ S}} = { S,{ S}} { et, } = { et, } Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 30
Verallgemeinerung: D4.9.2 U= { x XX [ U x X]} def die Vereinigungsmenge von U (alternativ:{ x X : X Ux [ X]}, oder einfacher: { x X Ux [ X]} ) Beispiel: { } { ab, },{47},{ cd,, f} = { ab,,47, cd,, f} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 31
Mengendurchschnitt ( intersection ) D4.10.1 A B= { x x A x B} def A geschnitten mit B Die Durchschnitt von A und B ist die Menge, die alle Elemente, die sowohl in A als auch in B vorkommen, und nur diese enthält. A B Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 32
Beispiele: {2,3,7,11} {1,2,3,4} = {2,3} { a,{ a}} { a,{ a},{ a,{ a}}} = { a,{ a}} { ab, } {1,2} = Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 33
Verallgemeinerung: D4.10.2 U= { x XX [ U x X]} def die Schnittmenge von U (alternativ:{ x X : X Ux [ X]}, oder einfacher: { x X Ux [ X]} ) Beispiel: {{0,1},{0,1,2,3},{1} } = {1} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 34
Mengendifferenz ( subtraction ) D4.11 A\ B= { x x A x B} def A ohne B Die Differenz von A und B ist die Menge, die genau die Elemente aus A enthält, die nicht in B vorkommen. A B Beispiele: Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 35
{Hans,Maria}\{Maria} = {Hans}, { S}\{ S } =, {0,1}\ = {0,1} Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 36
Komplement einer Menge Ein Spezialfall der Differenz ist das Komplement einer Menge A bezüglich einer vorausgesetzten Grundmenge G, wobei A G. Dabei ist G entweder explizit angegeben oder aus dem Kontext entnehmbar. D4.12 A' = G \ A def (alternativ:{ x G x A} ) Das Komplement von A ist die Menge, die genau die Elemente der Grundmenge G enthält, die nicht in A vorkommen. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 37
A G Beispiele: Sei G = { abcd,,, }. { a}' = { bcd,, } { db, }' = { ac, } { abcd,,, }' = Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 38
Mengentheoretische Gesetze Idempotenz: Kommutativität: A A= A A A= A A B= B A A B= B A Assoziativität: A ( B C) = ( A B) C A ( B C) = ( A B) C Distributivität: A ( B C) = ( A B) ( A C) Identität: A = A A ( B C) = ( A B) ( A C) A G= G A = A G = A Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 39
Komplement: A A' =G ( A')' = A A A' = A\ B= A B' De Morgansche Gesetze: ( A B)' = A' B' ( A B)' = A' B' Konsistenz: A B A B= B A B A B= A Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 40
Identische Umformungen Die Gesetze für die mengentheoretischen Operationen erlauben es, Mengenausdrücke durch identische Umformungen ineinander zu überführen und dabei insbesondere auch zu vereinfachen. Beispiele: ( A B) ( B C)' = ( A B) ( B' C') de Morgan = A ( B ( B' C')) Assoziativität = A (( B B') C') Assoziativität = A ( G C') Komplement = A ( C' G ) Kommutativität = A G Identität =G Identität ( B A) A' = A' ( B A) Kommutativität Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 41
= ( A' B) ( A' A) Distributivität = ( A' B) Komplement = A' B Identität = B A' Kommutativität = B\ A Komplement Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 42
Algebraische Strukturen Eine Algebraische Struktur (oder Algebra) A= Af,,, f 1 n ist eine Menge A, auf der Operationen f 1,, f n definiert sind. Seien und 2-stellige Operatoren, * ein 1-stelliger Operator und 1 und 0 ausgezeichnete Elemente einer Menge B. Eine Boolesche Algebra BA= B,,,*,1,0 ist eine algebraische Struktur, die die Gesetze der Assoziativität, Kommutativität, Distributivität, Identität und des Komplements erfüllt (George Boole, 1815-1864). Potenzmengen von beliebigen nichtleeren Mengen X haben die Struktur einer Booleschen Algebra P ( X),,,', X,. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 43
Beispiel: Sei X= { abc,, }. Dann ist ( abc) P {,, },,,',{ abc,,,}, eine Boolesche Algebra. Die Aussagenlogik AL ist ebenfalls eine Boolesche Algebra B,,,,,, wobei B die Menge der Formeln von AL ist und und entsprechend die tautologischen bzw. die kontradiktorischen Formeln repräsentieren. Die AL-Konnektoren, und werden deshalb auch Boolesche Operatoren genannt. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 44