Konstante Modelle: In konstanten Modellen wird davon ausgegangen, dass die zu prognostizierende Größe sich über die Zeit hinweg nicht verändert. Der prognostizierte Wert für die Periode T+i entspricht also dem in T (heute) geschätzten Wert. Fließt in die Schätzung die gesamte verfügbare Vergangenheit gleichstark mit ein, so erhält man die folgende Schätzfunktion: Seite 1
Konstante Modelle - Gleitender Durchschnitt Da bei der einfachen Mittelwertbildung die gesamte Vergangenheit gleichermaßen berücksichtigt wird, entsteht nach einer Niveauänderung der Nachfrage ein Fehler in der Schätzung, der für immer das Ergebnis beeinflussen wird. Deshalb geht man bei gleitenden Durchschnitten dazu über nur die letzten n Beobachtungen in der Schätzung zu berücksichtigen. Somit hat eine eventuelle Niveauänderung maximal auf die nächsten n Perioden Einfluss. Dies hat allerdings den Nachteil, dass nicht alle verfügbaren Daten genutzt werden, um eine möglichst gute Prognose zu erhalten. Bei der Wahl von n muss also ein Trade-Off zwischen dem Risiko einer Niveauveränderung und dem Stichprobenumfang gefunden werden. Seite 2
Konstante Modelle Gewichteter gleitender Durchschnitt Da man den jüngeren Daten i.a. ein größeres Vertrauen entgegenbringen kann als den älteren evtl. auf einem anderen Niveau angesiedelten Daten, ist es unter umständen nützlich jüngere Informationen in der Schätzung stärker zu Gewichten: Dies hat allerdings den Nachteil, dass die n Gewichte vorab geschätzt werden müssen ( großer Stichprobenumfang nötig) Seite 3
Konstante Modelle Exponentielle Glättung (erster Ordnung): Um die Zahl der zu berechnenden Gewichte gering zu halten und nicht immer alle Vergangenheitswerte speichern zu müssen, werden alle Realisationen in einer gewichteten Summe berücksichtigt und mit dem gleichen Faktor abgezinst : Dadurch reduziert sich die Zahl der Freiheitsgrad von n+1 ( einen einzigen ( ). ) auf Seite 4
(Lineare) Trendmodelle: (Lineare) Trendmodelle sind Modelle, in denen sich die Zufallsgröße linear in der Zeit verändert: bzw. Seite 5
(Lineare) Trendmodelle - Einfache lineare Regression: Bei der einfachen linearen Regression werden die beiden Parameter und so bestimmt, dass die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen den beobachteten Werten und den zugehörigen Funktionswerten ( Residuen) minimal wird. Bemerkung: Diese Schätzmethode heißt Methode der kleinsten Quadrate. Seite 6
(Lineare) Trendmodelle Exponentielle Glättung (zweiter Ordnung): Beinhalten die Daten unter Umständen einen Trend oder saisonale Schwankungen, können diese bei der exponentiellen Glättung zweiter Ordnung (nach Holt) mit berücksichtigt werden. Dazu wird zunächst, wie bei der Glättung erster Ordnung, das Grundniveau der Realisationen bestimmt: Und dann in einer zweiten Glättung die Steigung der Werte mit eingerechnet: Seite 7
Saisonale Zeitreihen: Um neben einer Trendentwicklung auch saisonale Schwankungen in einer Zeitreihe zu berücksichtigen, bietet sich unter anderem wieder die exponentielle Glättung an. Da ein einziger Glättungsparameter hier allerdings meist zu unflexibel ist, wird bei der Glättung i.a. auf zwei bis drei Parametern zurückgegriffen. Das Holt-Winters-Verfahren ist eines der bekanntesten Verfahren, das sich mit diesem Ansatz beschäftigt. Seite 8
Saisonale Zeitreihen - Holt-Winters-Verfahren: Allgemeiner Ansatz: Der zu prognostizierende Wert besteht aus drei Komponenten: Trendkomponente Saisonkomponente Restkomponente bzw. Störgröße Seite 9
Saisonale Zeitreihen - Holt-Winters-Verfahren: Diese Komponenten können additiv, aber auch multiplikativ miteinander verknüpft sein: Bemerkung: Die multiplikative Verknüpfung im zweiten Fall kann durch Logarithmieren in die additive Form überführt werden. Seite 10
Saisonale Zeitreihen - Holt-Winters-Verfahren: Mit Hilfe dieser Komponenten lässt sich ein zukünftiger Wert wie folgt prognostizieren: wobei den Prognoseschritt angibt. Die Schätzung der Parameter a, b und c erfolgt hier rekursiv mit Hilfe geometrisch geglätteter Werte. Für jeden Parameter wird ein eigener Glättungsparameter verwendet. Seite 11
Modellauswahl: Auswahlkriterien: Akaike's Informationskriterium: Schwarz Kriterium: Hannan-Quinn Kriterium: Bemerkung: K entspricht jeweils der Anzahl der Freiheitsgrade und der Varianz der Residuen, bzw. dem Mittleren Quadratischen Fehler (MSE). Seite 12