Eine Einführung zum numerischen Programmieren mit Excel Bastian Groß Nina Weiand Universität Trier 23. Juni 2014 Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 1/38 23. Juni 2014 1 / 38
Inhaltsverzeichnis 1 Antike Numerik 2 Einführung 3 Berechnung von π Leibniz Reihe Wallis Produkt Übungen 4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Rentenberechnung Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt 5 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Übung 6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Übungen Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 2/38 23. Juni 2014 2 / 38
Beispielprogramme Die Beispielprogramme sind hier zu finden: www.mathematik.uni-trier.de/ gross Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 3/38 23. Juni 2014 3 / 38
Antike Numerik Berechnung in alten Zeiten: Divison Groß, Weiand (Universita t Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 4/38 23. Juni 2014 4 / 38
Antike Numerik Berechnung in alten Zeiten: Differenzieren und Integrieren Groß, Weiand (Universita t Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 5/38 23. Juni 2014 5 / 38
Antike Numerik Berechnung in alten Zeiten: Grundrechenarten Die Rechenmaschine von Gottfried Wilhelm Leibniz aus dem Science Museum (London UK). Groß, Weiand (Universita t Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 6/38 23. Juni 2014 6 / 38
Einführung Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 7/38 23. Juni 2014 7 / 38
Einführung Die einzelnen Zellen und damit ihr Inhalt werden mittel der Zeilenzahl und des Spaltenbuchstabes aufgerufen (z.b. D4). Falls man eine Zeile oder Spalte konstant halten will geschieht dies mit dem Dollarzeichen, $ (z.b. $D$4 oder jeweils $D4 bzw. D$4). Formeln in einer Zelle müssen mit eine Gleichheitszeichen, =, beginnen! Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 8/38 23. Juni 2014 8 / 38
Einführung Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 9/38 23. Juni 2014 9 / 38
Einführung Funktionen die in den einzelnen Zellen aufgerufen werden können, findet man hier! Um sich Zeit beim Eintippen zu sparen kann man mit Hilfe der Maus Zellen ziehen. Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 10/38 23. Juni 2014 10 / 38
Einführung Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 11/38 23. Juni 2014 11 / 38
Einführung Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 12/38 23. Juni 2014 12 / 38
Einführung Wenn man die Ausgabe in einer oder mehrerer Zellen formatieren möchte, also zum Beispiel die Anzahl der Nachkommastellen vergrößern will, muss man mit einem Rechtsklick der Maus, nach dem alle gewünschten Zellen markiert sind, auf Zellen formatieren klicken und dann in diesem neuen Fenster das gewünschte einstellen. Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 13/38 23. Juni 2014 13 / 38
Einführung Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 14/38 23. Juni 2014 14 / 38
Einführung Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 15/38 23. Juni 2014 15 / 38
Berechnung von π Leibniz Reihe Madhave-Leibniz-Formel π = 4 k=0 ( 1) k 2k + 1 Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 16/38 23. Juni 2014 16 / 38
Berechnung von π Leibniz Reihe Leibniz Reihe zur Berechnung von π Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 17/38 23. Juni 2014 17 / 38
Berechnung von π Wallis Produkt Wallis Produkt (2k) 2 π = 2 (2k) 2 1 k=1 Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 18/38 23. Juni 2014 18 / 38
Berechnung von π Wallis Produkt Wallis Produkt zur Berechnung von π Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 19/38 23. Juni 2014 19 / 38
Berechnung von π Übungen Übung: Riemansche ζ-funktion Schreiben Sie ein Excel Program, das π mittels der Riemanschen ζ-funktion für s = 2 approximiert: π 2 = 6 k=1 1 k 2 Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 20/38 23. Juni 2014 20 / 38
Berechnung von π Übungen Übung: Bailey-Borwein-Plouffe-Reihe Schreiben Sie ein Excel Program, das π mittels folgender Bailey-Borwein-Plouffe-Reihe (BBP-Reihe) approximiert: π = 1 ( 1 8 2 16 k 8k + 2 + 4 8k + 3 + 4 8k + 4 1 ) 8k + 7 k=0 Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 21/38 23. Juni 2014 21 / 38
Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Geometrische Reihe Für die endliche geometrische Reihe gilt folgende Formel n k=0 α 0 q k = α 0 1 q n+1 1 q q R\{1}, Für die (unendliche) geometrische Reihe gilt dann für q < 1 α 0 q k = lim k=0 n n k=0 α 0 q k 1 q n+1 = lim α 0 = α 0 n 1 q 1 q Die geometrische Reihe findet zum Beispiel in der Finanzmathematik bei der Rentenberechnung (Barwertberechnung) a Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 22/38 23. Juni 2014 22 / 38
Numerische Berechnung von Grenzwerten Rentenberechnung Übung: Eulersche Summenformel Schreiben Sie ein Excel Program, das die Eulersche Summenformel für n = 10, 100 und 200 berechnet: Außerdem noch n k = k=0 n k 2 = k=0 n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 23/38 23. Juni 2014 23 / 38
Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt Fibonacci Reihe Leonardo von Pisa (Fibonacci) ca. 1200 Vermehrung eines Kaninchenpaares : Ein Paar wirft vom 3. Lebensmonat an in jedem weiteren Lebensmonat ein weiteres Kaninchenpaar, ebenso wie alle seine Nachkommen. Die rekursive Folge wird dann wie folgt beschrieben f 0 = 1, f 1 = 2, f n+1 = f n + f n 1 n 2. Nun betrachten wir den Grenzwert des Quotientens f n+1 lim = Φ, n f n der gegen den Goldenen Schnitt φ = 1+ 5 2 konvergiert. Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 24/38 23. Juni 2014 24 / 38
Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt Fibonacci Reihe zur Berechnung des Goldenen Schnittes Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 25/38 23. Juni 2014 25 / 38
Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt Übung: Schreiben Sie ein Excel Program, das folgende Grenzwerte approximiert: a) b) c) ( ) lim n n + 1 n n ( lim 1 + x ) n x R beliebig n n lim n ( 1 n n ) n Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 26/38 23. Juni 2014 26 / 38
Newton Verfahren Table of contents 1 Antike Numerik 2 Einführung 3 Berechnung von π Leibniz Reihe Wallis Produkt Übungen 4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Rentenberechnung Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt 5 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Übung 6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Übungen Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 27/38 23. Juni 2014 27 / 38
Newton Verfahren Newton-Raphson Verfahren Das Newton-Raphson Verfahren ist eine Nullstellensuche für eine Funktion f C 1 [a, b] mit a, b R. Solange f (x k ) 0 x k+1 = x k f (x k) f (x k ). Mit dieser Vorschrift erhält man eine angenäherte Lösung x für das Problem f (x) = 0. Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 28/38 23. Juni 2014 28 / 38
Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen oder Heron Verfahren Um die Zahl x = a für ein beliebiges a 0 zu berechnen, benützt man die Funktion f (x) = x 2 a und verwendet das Newton Verfahren zur Nullstellenbestimmung dieser Funktion. Dann erhält man als Iterationsvorschrift x k+1 = 1 ) (x k + axk. 2 Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 29/38 23. Juni 2014 29 / 38
Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen oder Heron Verfahren mit Excel Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 30/38 23. Juni 2014 30 / 38
Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen: Ergebnis Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 31/38 23. Juni 2014 31 / 38
Newton Verfahren Übung Übung: Schreiben Sie ein Excel Program, das die Nullstellen folgender Funktionen mit dem Newton Verfahren approximiert: f 1 : R R, x x 2 x 2 mit x = 2 und x 0 = 1 f 2 : R R, x e x mit x 0 = 1 Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 32/38 23. Juni 2014 32 / 38
Integralapproximation Table of contents 1 Antike Numerik 2 Einführung 3 Berechnung von π Leibniz Reihe Wallis Produkt Übungen 4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Rentenberechnung Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt 5 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Übung 6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Übungen Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 33/38 23. Juni 2014 33 / 38
Integralapproximation Mittelwertregel Mittelwertregel von f (x) = 1 x Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 34/38 23. Juni 2014 34 / 38
Integralapproximation Trapezregel Trapezregel von f (x) = 1 x Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 35/38 23. Juni 2014 35 / 38
Integralapproximation Simpsonsregel Simpsonsregel von f (x) = 1 x Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 36/38 23. Juni 2014 36 / 38
Integralapproximation Übungen Übung Schreiben Sie ein Excel Program, das die Integrale folgender Funktionen auf dem Intervall [ 2, 2] mit n = 10 und n = 100 numerisch berechnet: f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = 1 1 + x 2 f 3 (x) = cos(x 2 ) Die Exakte Lösung muss nicht ausgerechnet werden! Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 37/38 23. Juni 2014 37 / 38
Integralapproximation Übungen Informationen: www.mathematik.uni-trier.de/ gross/ grossb@uni-trier.de Unterstützt auch von Nina Weiand, Ada-Lovelace Projekt Groß, Weiand (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 38/38 23. Juni 2014 38 / 38