Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 4 Gitterdyamik 4. Gitterchwiguge Schwiguge der Gitteratome lae ich al Sytem vo gekoppelte Ozillatore bechreibe, da zu Eigechwiguge ageregt werde ka. E oll hier der eiache Fall betrachtet werde, bei dem ich eie Welle z.. i eiem kubiche Sytem etlag eier der Würelkate aubreitet. I dieem Fall chwige immer gaze Netzebee i Phae. Die Aulekug ka dabei etweder parallel oder ekrecht zur Aubreitugrichtug bzw. zum Wellevektor r erolge. Damit lät ich da Problem i eiem eidimeioale ild bechreibe al lieare Kette gekoppelter Ozillatore. Weiterhi oll zuächt ur eie lieare Kopplug der eizele Gitteratome betrachtet werde. Die it ür kleie Aulekuge eie hireiched gute Näherug. Ert päter bei der ehadlug aharmoicher Eekte wie der thermiche Audehug vo Fetkörper werde ichtlieare Koppelterme eie wichtige Rolle piele. 4.. Eiatomige ai Zuächt betrachte wir die Schwigug eie Gitter au gleichartige Atome. Die Krat au eie Netzebee, die durch die Verchiebug eier parallele Ebee + etteht, it proportioal zur Dierez der Aulekuge u u +. it der Kopplugkotate beträgt da die geamte au die Ebee wirkede Krat F + ( u u ) etrachtet ma weiter ur die Wechelwirkug ächter Nachbar, d.h. ±, ud it die ae eie Atom der Netzebee, o lautet die zugehörige eweguggleichug d u + dt ( u + u u ) it dem Löugaatz u ± u exp( ± i(a t) ), wobei u die Amplitude, die Wellezahl, a der Abtad beachbarter Netzebee ud die Kreireuez der Schwigug it, erhält ma a ( exp( ia) + exp( ia) ) ( co ( a) ) 4 i Für die Kreireuez der ich im Kritall aubreitede Welle idet ma alo die Diperiobeziehug a i Vorleug FP Kap.4 Verio..doc vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 E tellt ich u die Frage, welcher ereich vo ür elatiche Welle eie phyikaliche edeutug hat. etrachtet ma hierzu die Aulekuge beachbarter Netzebee u + u exp ( i ( + ) a) exp( i ) u u exp ( i a) a o wird klar, da ich der ivolle ereich der exp-fuktio mit der Phae a au da Itervall π a π bechräkt. Eie größere Phaedierez al ±π macht phyikalich keie weitere Si, da diee tet durch Subtraktio vo π au da agegebee Itervall reduziert werde ka. Damit id die mögliche Werte der Wellevektore au de ereich der rilloui-zoe bechräkt: π π a a Werte vo außerhalb der rilloui-zoe ergebe alo ur Gitterbeweguge, die cho durch Werte ierhalb der Greze ± π/a bechriebe id. Für kleie Werte << /a, d.h. ür Welleläge die groß gege de Abtad der Netzebee id, it die Kreireuez direkt proportioal zur Wellezahl a Für diee Fall verhält ich da Kritallgitter wie ei Kotiuum. Abweichuge hiervo trete umo tärker au, je weiter ich die Wellevektore de Radwerte ±π/a der rilloui- Zoe aäher. Die Aubreituggechwidigkeit v de Wellepaket it die Gruppegechwidigkeit, d.h. die Gechwidigkeit de Eergietraport im edium: v d / d a co a Vorleug FP Kap.4 Verio..doc vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 Für de Fall << /a it v uabhägig vo der Wellezahl. Der Audruck ür v etpricht da gerade dem ür die Aubreitug eier logitudiale Schallwelle. A de Räder ± π/a it die Gruppegechwidigkeit alo gleich Null. a erhält o eie tehede Welle, bei der die beachbarte Netzebee gerade gegephaig chwige. A de Räder der rilloui-zoe wird die Kreireuez maximal. Nimmt ma ür die Schallgechwidigkeit im Fetkörper de Wert v 4 0 m ud eie Netzebeeabtad d 0 0 m a, o erhält ma π max v v π 0 a Höhere Freueze al die hier abgechätzte Größeordug vo max id icht möglich. Hz 4.. Zweiatomige ai ei Kritalle mit mehr al eiem Atom i der primitive Eiheitzelle trete weitere Gitterchwiguge au. Im Folgede olle die Schwigugzutäde eie Kritall mit zwei verchiedee aiatome uterucht werde. Dabei olle ich etlag der Schwigugrichtug die verchiedee Atomorte abwechel, wie die z.. bei der NaCl- Struktur etlag der Raumdiagoale [] der Fall it. Atome mit der ae liege au eier Netzebeechar, ud Atome mit der ae liege au eier weitere Netzebeechar, die zwiche dee der erte Schar ymmetrich ageordet id. Der Abtad ierhalb eier Netzebeechar ei wieder a, d.h. zwiche verchiedeartige Netzebee alo gerade a/. Wie zuvor oll die Wechelwirkug wieder au die ächte Nachbar bechräkt ei, o da ich mit de Aulekuge u ud v owie der Kopplugkotate die olgede eweguggleichuge ergebe: d u dt ( v + v + u ) d v dt ( u + + u v ) Der zugehörige Löugaatz berückichtigt verchiede große Amplitude u ud v der beide Atomorte: u u exp ( i ( a t) ) v v exp ( i ( a t) ) Eietze lieert ei lieare Gleichugytem der Form (+ exp ( ia) ) (+ exp ( ia) ) u v 0 Vorleug FP Kap.4 Verio..doc vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 Au der Löugbedigug, da die Koeizietedetermiate gleich Null it, olgt da i 4 a + ± + E gibt alo zu jedem Wellevektor zwei Freueze + ud, die i der olgede Abbildug dargetellt id. E it ivoll, de Verlau der beide Freuezbäder ür die Extremälle 0 ud ± π / a getret zu betrachte: : / 0 (0) (0) 0: a a a ± + + + π π π Für de Fall uterchiedlicher großer ae ud ergibt ich alo eie Freuezlücke. Weiter idet ma ür da Amplitudeverhälti die Werte u / v / ür + ud u / v ür. Im Freuezbad + chwige die beide ae alo etgegegeetzt; daher bezeichet ma diee ad al optiche Zweig oder optiche Gitterchwigug. eoder i Ioe-Kritalle trete bei diee Schwiguge tarke elektriche Dipolmomete au, die ich beoder gut durch da elektriche Feld eier Lichtwelle arege lae. Im Freuezbad chwige dagege beide ae i gleicher Richtug. Diee ad bezeichet ma al akutiche Zweig oder akutiche Gitterchwigug. Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 4 vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 Wie cho bei der eiatomige ai gibt e auch bei der zweiatomige ai wieder traverale ud logitudiale Schwigugzutäde. Allgemei lät ich zeige, da ür eie au p Atome betehede ai p verchiedee Schwigugzutäde möglich id: akutiche Zweige ud p optiche Zweige. So hat z.. Germaium mit zwei Atome i der Eiheitzelle ech Zweige: eie logitudial akutiche (LA), zwei traveral akutiche (TA), eie logitudial optiche (LO) ud zwei traveral optiche (TO) Zweige. Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 5 vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 4.. Phooepektrokopie Für die eug vo Phooepektre () beutzt ma häuig die ielatiche Streuug thermicher Neutroe, aber auch die Rama-Streuug oder die rilloui-streuug. Thermiche Neutroe id dehalb beoder gut zur Streuug am Kritallgitter geeiget, da ihre De-roglie-Welleläge λ N etwa der Gitterkotate a de Kritall etpricht. Damit hat die zugehörige Wellezahl k N der Neutroe die Größeordug der rilloui-zoe, alo k N π / a. ei der Streuug ädert ich die Eergie de Neutro gerade um de etrag ħ h k ( 0, N ) m N ( h k N ) m N ± h wobei k 0,N ud k N die Wellezahle vo eialledem ud getreutem Neutro id ud m N die Neutroemae it. Die Impul- bzw. Wellezahlerhaltug ordert gleichzeitig r k 0, N r r + G k N r ± Da hier die ielatiche Streuug betrachtet wird, liege die Wellezahlvektore u icht mehr au de Räder der Ewald-Kugel. Je achdem ob Phooe mit der Eergie ħ erzeugt oder verichtet werde, liegt der Wellevektor k N der getreute Teilche ierhalb oder außerhalb der Kugel mit dem Radiu k 0,N. Experimetell werde au dem breite Eergiepektrum eier Neutroeuelle z.. durch ragg-relexio a eiem Eikritall mit bekater Gitterkotate moochromatiche Neutroe erzeugt. Diee tree au die Probe; aalyiert wird die Iteität der uter eiem betimmte Wikel ielatich getreute Neutroe. Die gechieht mit Hile eier weitere ragg-relexio a eiem zweite Eikritall. Alterativ ka eie zeitaugelöte ethode beutzt werde. Hierzu verwedet ma o geate Spallatio-Neutroeuelle, welche Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 6 vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 i kurze iteive Pule ei breite Eergiepektrum a Neutroe emittiere. Durch Verwedug der Flugzeittechik lät ich da über zeitaugelöte Detektio der ielatich getreute Neutroe jedem Zeitpukt eie betimmte Eergie der eiallede Neutroe zuorde. Somit wird i eier eizige eug da geamte Neutroepektrum geutzt. Auch Licht ka ielatich a eiem Kritallgitter getreut werde. Je achdem, ob bei der Wechelwirkug Phooe de optiche oder akutiche Ate erzeugt bzw. verichtet werde, pricht ma vo Rama-Streuug oder vo rilloui-streuug. Die Welleläge vo ichtbarem ud ultraviolettem Licht (eiige 00 m) it um etwa drei Größeorduge größer al die Gitterkotate (eiige Agtröm), dem etpreched id die Wellevektore vo eialleder ud getreuter Lichtwelle klei gege die Audehug der rilloui-zoe. I dem zur Streuug gehörede Wellevektordiagramm liege daher auch die r r Wellevektore k0, ph, k ph vo eialleder ud getreuter Lichtwelle ierhalb der rilloui- Zoe, ud bei der Wechelwirkug it kei reziproker Gittervektor beteiligt. Gleichzeitig liege auch die Wellevektore der beteiligte Phooe ahe dem Zetrum der rilloui- Zoe. Die Erhaltugätze de Streuprozee laute daher, r k 0 ph ph ± 0, ph r k ph r ± Hier id 0,ph ud 0 die Kreireueze vo eialleder ud getreuter Lichtwelle. it Kreireueze de Licht im ereich vo 0 5 bi 0 6 Hz ud der zuvor abgechätzte (maximale) Kreireuez der Phooe vo π 0 Hz liegt die relative Freuezäderug im ereich vo weige Prozet. It α der Streuwikel, o olgt au der obige Vektorbeziehug umittelbar die Größe der Wellezahl de Phoo k 0, ph + k ph k 0, ph k ph coα Je achdem, ob Phooe erzeugt oder verichtet werde, beobachtet ma uter dem Wikel α Licht mit eier iedrigere (Stoke-Liie) bzw. höhere Kreireuez (Ati-Stoke-Liie). Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 7 vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 4. Speziiche Wärme 4.. Phooetatitik Die Eergie eier Gitterchwigug it geuatelt. Ei eizele Eergieuat wird Phoo geat; je ach Art der Aregug utercheidet ma weiter thermich ud optich ageregte Phooe. Die Eergie eie Schwigugzutade mit der Freuez it E + h Der Term ½ ħ it die Nullpukteergie de Ozillator. Die Quate- oder eetzugzahl gibt a, mit wie viele Phooe ei betimmter Schwigugzutad mit der Wellezahl beetzt it. Um de eitrag U der geamte Schwigugzutäde zur iere Eergie de Fetkörper, d.h. zur thermiche Eergie de Fetkörper, agebe zu köe, müe wir über alle Eergie E ummiere ud erer berückichtige, da ür die eetzugzahl der tatitiche ittelwert beutzt werde mu: U h Die Summe mu hier über alle Wellevektore ud alle mögliche Polariatiozutäde erolge. Die Nullpukteergie wurde hier verachläigt, da der eitrag zu U gerig it. De ittelwert der eetzugzahl erhält ma ach der tatitiche Quatemechaik al Verteilug vo Quate au N uabhägige Ozillatore bei der Temperatur T i Form eier Plack-Verteilug: exp( h / k T ) Phooe uterliege alo al icht utercheidbare (Quai-) Teilche der oe-eitei- Statitik. Zur Plack-Verteilug gelagt ma, we ma vom oltzma-faktor ür die Verteilug vo + ageregte Ozillatore zur Zahl der Ozillatore im Zutad augeht: N+ exp( h / k T ) N Da it da Verhälti vo Ozillatore im Zutad zur Geamtzahl aller Ozillatore, d.h. die eetzugwahrcheilichkeit de Schwigugzutade mit der Quatezahl gleich N 0 N 0 exp( h / k T ) exp( h / k T ) Die mittlere eetzugzahl it da gegebe durch 0 0 exp( h / k exp( h / k T ) T ) Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 8 vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 eutzt ma die olgede Summatioe, wobei x exp( h / k T) x o erhält ma die Plack-Verteilug x ( x) x, x x x exp( h / k T) 4.. Zutaddichte it der Plack-Verteilug lautet die thermiche Eergie de Fetkörper u U h exp( h / k T ) Augrud der große Azahl vo Freueze macht e Si, atatt eier Summatio über alle Freueze zu itegriere. Hierzu betrachtet ma die Zutaddichte Z i () ür de Zweig i de Schwigugpektrum. Der eitrag U i zur thermiche Eergie lautet da h U i Zi ( ) d exp( h / k T ) Da Problem beteht u dari, die Azahl der Schwigugzutäde Z i ()d im Freuezitervall d zu betimme. Für die weitere etrachtug it etcheided, da reale Kritalle eie edliche Audehug habe, die Azahl der mögliche Wellezahle alo ebeall bechräkt it. Im Gegeatz zu de biherige Überleguge i Abchitt 4. mu ma alo edliche Kette vo Netzebee berückichtige. Alterativ ka ma ei ubegrezte edium betrachte mit der zuätzliche edigug, da ich die Löuge ach eier große Läge L periodich wiederhole. Die oll hier zuächt ür ei eidimeioale Problem behadelt werde. Die Kette vo N chwigede Teilche mit dem Abtad a bildet da eie Krei vom Umag L N a, wodurch die periodiche Radbedigug icher getellt it. Setzt ma wieder Löuge der Form u u exp( i a) a ud berückichtigt die periodiche Radbedigug u u +N, alo N a π l, l 0, ±, ±,... o erhält ma al erlaubte Werte ür gerade N uabhägige Werte π 4π 6π 0, ±, ±, ±,..., L L L Nπ L Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 9 vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 Al Ergebi idet ma alo, da ür jede chwigede Atom gerade ei Schwigugzutad erlaubt it. I dem Wellezahlitervall π / a π / a liege alo N Zutäde, d.h. geau ei Zutad im Itervall π a/n π /L. Wedet ma etpreched periodiche Radbediguge au eie Würel mit der Kateläge L a, o idet ma geau eie Zutad bzw. eie Wellezahl im Volume (π /L). it dem Volume V L de Fetkörper it alo die Wellezahldichte ρ im reziproke Raum gerade ρ V 8π Die Azahl der Zutäde Z i () d im Itervall [, + d] it gleich der Wellezahldichte ρ multipliziert mit dem Volumeitegral über d im reziproke Raum: Z( ) d V 8π r r ( ) + d ( ) d r ( ) Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 0 vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 Da Volumeelemet d lät ich zerlege i eie Fläche dσ, au der () kotat it, ud eie hierzu ekrechte Richtug dρ, d.h. d dσ dρ. eutzt ma weiter die Dartellug der Gruppegechwidigkeit i Form de Gradiete r r d ( ) grad r ( ) dρ o lät ich die Zutaddichte chreibe al Z( ) V 8π dσ r ) grad r ( cot. Zur erechug der Zutaddichte beötigt ma daher die Diperiorelatio bzw. die Größe der Gruppegechwidigkeit. Die Zutaddichte it dort beoder hoch, wo die Gruppegechwidigkeit klei wird. 4.. Debyeche Näherug Da die exakte erechug der Zutaddichte recht komplex it, beutzt ma zur theoretiche Vorherage vo Eigechate wie der Wärmekapazität die o geate Debyeche Näherug. Diee Verahre it allerdig au Kritalle mit eier eiatomige ai bechräkt. Dazu at ma de Kritall al iotrope Kotiuum au, begrezt aber gleichzeitig die Azahl der erlaubte Kreireueze au N. Die rilloui-zoe wird im Debye-odell alo zu eier Kugel. Die hat zur Folge, da die Gruppe- bzw. Schallgechwidigkeit, d.h. die Größe vo grad (), uabhägig vo der Wellezahl it ud ür jede Zweig de Phooepektrum eie kotate Wert aimmt. It v L die Schallgechwidigkeit ür de logitudiale Zweig ud v T die traverale Schallgechwidigkeit, o erhält ma die geäherte Zutaddichte V σ σ ( ) ( ) ( ) d d V Z Z L + Z T + 8π +.. π v cot L v cot T v L vt Vorleug FP Kap.4 Verio..doc vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 Die Zutaddichte teigt uadratich mit der Kreireuez a. Da die Azahl der Zutäde aber au N begrezt it, mu e eie maximale Kreireuez, die Debyeche Grezreuez D gebe: 0 D Z ( ) d N D + vl v T 444 4 v S / 6π N V Hier it v S die mittlere Schallgechwidigkeit. Die Zutaddichte lät ich u dartelle al 9 N Z ( ) D Somit erhält ma ür die iere thermiche Eergie U 9 N D D 0 h d exp( h / k T ) Da autretede Itegral lät ich allerdig ur da auwerte, we die exp-fuktio geähert werde ka. Die it gerade da der Fall, we die Temperatur T groß it gege die Debye-Temperatur Θ D mit k Θ D ħ D, da da wege < D da Argumet der exp- Fuktio klei gege ei it. Etwickelt ma die exp-fuktio bi zur erte Ordug, o lät ich da Itegral leicht löe ud ma erhält U N k T Die peziiche Wärmekapazität eie Fetkörper mit der ae it gegebe durch c du dt Für die peziiche Wärmekapazität erhält ma alo ür große Temperature T >> Θ D c N k Vorleug FP Kap.4 Verio..doc vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 Gebräuchlicher it die Agabe der Wärmekapazität ür ei ol de Fetkörper (olwärme), d.h. ür N A Teilche, al Dulog-Petitche Geetz C m N k R A 5J / (mol K) Hier it R die Gakotate. Für de adere Grezall, da die Temperatur klei gege die Debye-Temperatur it, lät ich ebeall eie Näherug beutze. a erhält da da Debyeche T -Geetz der Form C m π 5 R T Θ D Alterativ zur Debyeche Näherug ka ma ot auch ei vo Eitei etwickelte eiache Näherugverahre beutze. Dabei betrachtet ma ei Sytem au N Ozillatore, die alle die gleiche kotate Freuez 0 beitze. Die Zutaddichte it i dieem odell eie δ-fuktio. Die thermiche Eergie lautet da eiach U N exp ( h / k h T ) ud ür die peziiche Wärmekapazität gilt N k c h kt exp( h / k T ) (exp( h / k T ) ) etrachtet ma wieder de Grezall hoher Temperature, k T >> ħ, o olgt hierau da klaiche Dulog-Petitche Geetz. ei tiee Temperature ka die Ei im Neer verachläigt werde ud ma erhält eie expoetielle Aball der peziiche Wärmekapazität mit der Temperatur. Da Eitei-odell it z.. gut geeiget zur echreibug opticher Phooe, bei der () ud damit auch die Zutaddichte tark au eie Freuez kozetriert it. 4. Thermiche Audehug iher wurde bei der ehadlug vo Gitterchwiguge ur harmoiche eiträge berückichtigt, d.h. die potetielle Eergie bei der Schwigug vo Gitteratome ethielt ur Vorleug FP Kap.4 Verio..doc vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 uadratiche Terme i der Aulekug. Al direkte Folge hiervo id die Eigechwiguge der Phooe völlig etkoppelt. Um aber überhaupt ei thermiche Gleichgewicht de Fetkörper erreiche zu köe, it eie gegeeitige Wechelwirkug der Phooe erorderlich. Eie olche Wechelwirkug erhält ma, we zuätzlich aharmoiche Eekte i Form eie kubiche Potetialterm berückichtigt werde. it der Aulekug ρ x x 0 lautet da Potetial da allgemei U (ρ) a ρ b ρ Die jeweilige Aulekuge ρ erolge, etpreched ihrer thermodyamiche Wahrcheilichkeit, ach der oltzma-verteilug, o da ma al ittelwert erhält ρ + + ρ exp( U ( ρ) / k exp( U ( ρ) / k T ) dρ T ) dρ Um da Itegral auwerte zu köe, ka ageomme werde, da die Aharmoizität bρ klei it gege k T, o da die exp-fuktio geähert werde ka: 4 bρ b ( k T ) exp( 5 / k T a ρ U ( ρ) / k ) ρ exp( ρ / ) ρ + T d a k T dρ / 4 π bρ + kt / ( ) ρ / exp( U ( ) / k ) ρ exp( ρ / ) T d a kt d ρ k T a π Für die mittlere Aulekug erhält ma omit ρ b k 4a T it der relative Lägeäderug ρ / x0 de Kritall ka ma u de lieare Audehugkoeiziete α agebe α d dt ρ x 0 4 b k a x 0 I dieem eiache ild it der Audehugkoeiziet uabhägig vo der Temperatur. E wird aber umittelbar klar, da ür Temperature ahe dem abolute Nullpukt, alo ür T 0 die Wärmeaudehug verchwide mu. Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 4 vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 4.4 Wärmeleitug Aharmoiche Eekte lae ich, gaz aalog zur ichtlieare Optik, beoder achaulich durch o geate Drei-Phooe-Prozee bechreibe. Dabei etteht durch die Wechelwirkug zweier Phooe ei dritte, oder e werde beide Phooe i ei eizige umgewadelt. Die Aweeheit eie Phoo veruracht eie periodiche Deormatio de Gitter, welche durch die aharmoiche Wechelwirkug die elatiche Kotate de Kritall räumlich ud zeitlich moduliert. Ei zweite Phoo pürt diee odulatio ud wird dara getreut; e tellt ach der Streuug da dritte Phoo dar. ei Drei-Phooe-Prozee mu zum eie die Eergie erhalte bleibe: h + h h Zum adere gilt die Erhaltug de (Quai-) Impule, wobei hier eie elatiche Streuug der Phooe i Form de reziproke Gittervektor G r berückichtigt werde mu: r r r r + G + Die Größe vo G r it tet o zu wähle, da alle -Werte ierhalb der rilloui-zoe liege. E it u eie prizipielle Utercheidug möglich, je achdem ob der reziproke Gittervektor G r gleich oder ugleich Null it. Im erte Fall hat die zur Koeuez, da da durch die Wechelwirkug ettehede Phoo ich mehr oder weiger i die gleiche Richtug aubreitet wie die Phooe ud. Diee Proze bezeichet ma al Normalproze. It G r jedoch ugleich Null, o kommt e zu eiem Umklappproze, bei dem da Phoo ich im Weetliche etgegegeetzt zu de Phooe ud aubreitet. Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 5 vo 6 07.0.05 :0
Ititut ür Phyik ud Phyikaliche Techologie der TU Clauthal Okt. 00 Experimetalphyik VI (Fetkörperphyik) WS 00/00 Diee Umklappprozee id ür die Wärmeleitug i Fetkörper vo etcheideder edeutug. etrachtet ma eie typiche Situatio, bei der die Ede eie Stabe au zwei verchiedee Temperature T T gehalte werde, o wird umittelbar klar, da hierür ei Gradiet i der Phooekozetratio erorderlich it. Ei olcher Gradiet it aber ur möglich, we der Phooelu am heiße Ede bei eier Aubreitug zum kalte Ede hi abimmt. Der zugehörige Impul de Phooelu ka ich ur äder, we der Geamtimpul der drei beteiligte Phooe icht Null it, d.h. G r 0. Trete alo vertärkt Umklappprozee au, o erhält ma eie edliche Wärmewidertad. Im eidimeioale edium mit der Wärmeleitähigkeit λ it die Wärmetromdichte j gegebe durch j dt λ dx Geht ma weiter vo der Näherug eier kotate Schallgechwidigkeit v im edium au, o olgt au der kietiche Gatheorie die eziehug λ ρ m c v Λ Hier it ρ m die aedichte, c die peziiche Wärmekapazität ud Λ die begrezte reie Wegläge der Phooe iolge der Umklappprozee. ei ehr iedrige Temperature reicht die Eergie der beteiligte Phooe icht au, um Umklappprozee zu bewirke. Die Wärmeleitähigkeit wird da durch Stöße der Phooe a Gitterdeekte betimmt. Die Temperaturabhägigkeit der Wärmeleitähigkeit wird i dieem Fall durch da Debyeche T -Geetz ür die peziiche Wärmekapazität c betimmt. ei höhere Temperature kommt e zu Umklappprozee; die peziiche Wärmekapazität c it da aäherd kotat. Au der Abbildug erket ma, da hierür der etrag r, der Stoparter midete ei Viertel de Durchmeer der rilloui-zoe betrage mu. Nur da ka der reultierede Vektor r r + groß geug werde, o da ei Gittervektor G r beteiligt ei mu, damit r ierhalb der rilloui-zoe liegt. Eiem Impul vo eiem Viertel der rilloui-zoe etpricht i der Debyeche Näherug gerade eie Eergie vo E h D / k ΘD /. Da die mittlere reie Wegläge Λ der Phooe umgekehrt proportioal zur ihrer Azahl it ud diee Zahl der oe-statitik uterliegt gilt Λ exp( Θ D / T) Für iedrige Temperature T << Θ D erhält ma o eie Abhägigkeit Λ exp ( Θ D / T), währed ür große Temperature T >> Θ D die Proportioalität Λ / T gilt. Vorleug FP Kap.4 Verio..doc 6 vo 6 07.0.05 :0