Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses allein, und insbesondere die Anwendung von Rechnerprogrammen gilt nicht als Lösung. c) Zugelassene Hilfsmittel: Werden für die künftigen Klausuren neu festgelegt. d) Zahlenrechnungen sind mit einer Genauigkeit von mindestens 2 Stellen nach dem Dezimalpunkt durchzuführen. Aufgabe 1 a) Bei diesem Aufgabenteil ist mit Genauigkeit von drei Stellen nach dem Dezimalpunkt zu rechnen: Ein Absolvent der Universität Stuttgart verfügt am 01. Januar 2007 über ein Sparguthaben von 3000 Euro. Zusätzlich schließt er einen Ratensparvertrag ab. Es wird ein nomineller Jahreszinssatz von 5% vereinbart. Über welchen Betrag kann er am 31. Dezember 2017 verfügen, wenn er vom 1. Januar 2007 bis zum 1. Dezember 2017 an jedem Ersten des Monats 100 Euro einzahlt und wenn die Zinsen am Ende jeden Monats gutgeschrieben werden? b) Ein Kredit in Höhe von 20000 Euro wird am 01. Januar 2004 ausgezahlt, Jahreszinssatz: 12%. Ab 2004 wird am Ende jeden Jahres ein Betrag von 5000 Euro zurückgezahlt. Am Ende des letzten Jahres ist der Rückzahlungsbetrag eventuell geringer. In welchem Jahr wird der Kredit vollständig zurückgezahlt sein? Wieviel muss am Ende des letzten Jahres zurückgezahlt werden? Hinweis: Lösen Sie zuerst nach q n auf. c) In eine Anlage, die zwei Jahre lang betrieben wird, werden 20000 Euro am Anfang des ersten Jahres investiert. In den beiden Jahren werden Einzahlungsüberschüsse in Höhe von jeweils 13000 Euro erzielt, die jeweils am Jahresende dem Betrieb zufließen. Wie hoch ist der interne Zinssatz (d.h. der Zinsatz unter dem ein Kreditszinssatz unbedingt bleiben muß)? Aufgabe 1, Lösungsvorschlag: a) Bei monatlicher Zinsgutschrift kann man vollständig mit Monaten (wobei die Monate von 2007 mit eingeschlossen sind) statt mit Jahren als Zeitabschnitte rechnen: ( ) 5 Zinsfaktor: q 12 := 1 + = 1.004, Zahl der Monate: 11 12 = 132. 100 12

2 Es wird am Anfang des Monats eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. Endkapital: K 0 q12 132 + M E q 12 q132 12 1 q 12 1 = 3000 1.004132 + 100 1.004 1.004132 1 = 22817.52. 0.004 b) Es wird ein konstanter Betrag (Annuität) A = 5000 jährlich (nachschüssig) zurückgezahlt. Damit erhält man als Restschuld nach n Jahren: ( R n = 20000 1.12 n 5000 1.12n 1 1.12 1 = 1.12n 20000 5000 0.12 ) + 5000 0.12 = 1.12n 21666.67+41666.67. Auflösung der Ungleichung R n! 0 nach q n = 1.12 n und anschließende Bildung des Logarithmus auf beiden Seiten ergibt, da der Logarithmus streng monoton wachsend ist: q n = 1.12 n 41666.67 ln1.12>0 = 1.92 n ln1.12 ln 1.92 n ln1.92 21666.67 ln1.12 = 5.7. Im sechsten Jahr, also im Jahr 2010, wird der Kredit vollständig zurückgezahlt sein. Die Restschuld am Ende des Jahres 2009 beträgt R 5 = 20000 1.12 5 5000 1.125 1 1.12 1 = 3482.60 Für den Rückzahlungsbetrag am Ende des Jahres 2010 erhält man somit: R 5 q = 3482.60 1.12 = 3900.51. c) Mit E 0 :=-investierte Summe= 2 10 4 und den Einzahlungüberschüssen E k = 1.3 10 4, k = 1, 2 erhalten wir, daß die Voraussetzungen von Satz 2.3.1, nämlich E 0 < 0, E k 0 für k = 1, 2, E 0 + E 1 + E 2 = 0.6 10 4 > 0, erfüllt sind und damit ein eindeutig bestimmter interner Zinssatz p existiert. Bestimmung des internen Zinssatzes: v(ρ)(kapitalwert) = 2 E k ρ k = 10 4 ( 2 + 1.3ρ + 1.3ρ 2 ) =! 0 k=0 liefert die Lösungen ρ 1 = 0.5 + 1.34 = 0.84 und ρ 2 = 0.5 1.34 < 0. Da ρ (0, 1) sein muß, ist nur die erste Lösung zu verwenden, und wir erhalten q = 1/0.84 = 1.19 und damit p = 19(%). Aufgabe 2 a) Ein Betrieb stellt auf drei Anlagen A, B, C zwei Produkte P, R her, wobei die Produktionsreihenfolge beliebig ist. Die Fertigungszeiten pro kg sind: An- Fertigungszeit in Stunden für Produkt lage P R A 8/3 16/3 B 4 32/7 C 16/3 8/3

3 Die Anlagen können täglich höchstens 16 Stunden benutzt werden. Der Rohgewinn pro kg beträgt bei P 80 Euro und bei R 50 Euro. Wieviel kg von P und wieviel kg von R müssen hergestellt werden, um einen möglichst großen Gesamtgewinn zu erzielen? Hinweise: i) Für die graphische Lösung dieses Aufgabenteils steht Ihnen ein Millimeterpapierblatt zur Verfügung. Bei Bedarf kann ein zweites zur Verfügung gestellt werden. ii) Als Mustergerade für die Geraden konstanten Gesamtgewinns ist die Gerade für den Gesamtgewinn von 200 Euro günstig. b) Prüfen Sie, ob die nachstehenden Folgen konvergent sind und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert: Aufgabe 2, Lösungsvorschlag: a n := 5n3 2n 2 + n 2n 3 + 6n 2 1, b n := n 4 + n n 4 a) Bezeichnen wir mit x die Menge von Produkt P und mit y die Menge von Produkt R, so erhalten wir für die Fertigungszeiten auf Anlage A: 8x/3 + 16y/3! 16 auf Anlage B: 4x + 32y/7! 16 und auf Anlage B: 16x/3 + 8y/3! 16. Für die Zeichnung ist es am günstigsten, die Grenzgeraden in Abschnittsform anzugeben: x/6 + y/3 = 1, x/4 + y/3.5 = 1, x/3 + y/6 = 1. Für den Gewinn erhalten wir g = 80x + 50y. Die Gerade mit dem (vorgeschlagenen) konstanten Gesamtgewinn g = 200 lautet in Abschnittsform x/2.5 + y/4 = 1. Damit haben wir alle Daten für die graphische Behandlung des linearen Optimierungsproblems zur Verfügung: Der zulässige Bereich ist der von den beiden Koordinatenachsen und den Grenzgeraden eingeschlossene Bereich. (Der Schnittpunkt der ersten und dritten Grenzgeraden z.b. gehört nicht zum zulässigen Bereich, da er oberhalb der zweiten Grenzgeraden liegt.)

4 7y 5 C 4 G 1.6 1 B A 1 2.2 4 5 10 x Wir verschieben die eingezeichnete Gerade G für g = 200 so weit parallel in Richtung wachsenden Gewinns, also nach oben, bis sie nur noch (einen) Randpunkt(e) des zulässigen Bereichs enthält, also hier durch den Schnittpunkt der zweiten und dritten Geraden geht. Dieser Schnittpunkt ist die optimale Lösung. Wir lesen mit Millimetergenauigkeit ab: x opt = 2.2, y opt = 1.6 Es müssen also 2.2 kg von Produkt P und 1.6 kg von Produkt R hergestellt werden, um einen möglichst großen Gesamtgewinn zu erzielen. b) a n := 5n3 2n 2 + n 2n 3 + 6n 2 1 = n3 5 2/n + 1/n 2 n 3 2 + 6/n 1/n 1 5 0 + 0 3 2 + 0 0 Damit ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert 2.5. = 2.5 für n. b n := n 4 + n n 3 = n4 + n n 4 n4 + n + n 4 = n n 2 1 1 + 1/n3 + 1 0 1 1 + 0 + 1 = 0 für n. Damit ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert 0. Aufgabe 3 a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion f(x) := x 4 2x 3 72x 2 + 20x + 26 konvex (Linkskrümmung), und die Intervalle, in denen sie konkav (Rechtskrümmung) ist. (Dabei soll jedes x zu mindestens einem der Intervalle gehören.) Bestimmen Sie, soweit vorhanden, alle Wendestellen. b) Ein Monopol sieht sich einer Nachfrage N(p) = 3 p 3/2 gegenüber, auf die es seine Produktion genau einstellen will, d.h. die produzierte Menge ist q = N(p). Die Kostenfunktion sei K(q) := { 0.2 + q für 0 q 3, 0.3 + q für 3 < q 3 1000

5 und damit gilt { 0.3 + N(p) für 0.1 p < 1 K(N(p)) = 0.2 + N(p) für 1 p <, Prüfen Sie, ob es einen Preis p gibt, für den der Gewinn g(p) := p N(p) K(N(p)) maximal wird, und bestimmen Sie gegebenenfalls diesen Preis. Aufgabe 3, Lösungsvorschlag: a) f (x) = 4x 3 6x 2 144x + 20 und f (x) = 12x 2 12x 144 = 12(x 2 x 12) existieren auf ganz R, und f hat als einzige Nullstellen x 1 = 0.5 12.25 = 3 und x 2 = 0.5 + 12.25 = 4 und hat damit in den Intervallen I 1 := (, 3), I 2 := ( 3, 4) und I 3 := (4, ) einheitliches Vorzeichen, und zwar ist f > 0 auf I 1 und auf I 3 wegen f ( 10) = 12 98 > 0 und f (10) = 12 78 > 0 und f < 0 auf I 2 wegen f (0) = 144 < 0 (Punktprobe). Damit ist f auf (, 3] und auf [4, ) konvex und auf [ 3, 4] konkav, wobei die Grenzen mit eingeschlossen sind, da nur f 0 bzw.f 0 auf den Intervallen verlangt wird. Da die Funktion f überall stetig ist, sind die Übergangsstellen vom konvexen und zum konkaven Bereich und umgekehrt, also x 1 := 3 und x 2 := 4 Wendestellen. b) { (0.3 + 3 p 3/2 g(p) := 3 p 1/2 ) für 0.1 p < 1 (0.2 + 3 p 3/2 ) für 1 p <, { } 4.5 p 5/2 g (p) := 3/2 p 3/2 für 0.1 p < 1 + = 1.5p 5/2 (3 p) für p [0.1, )\{1} 4.5 p 5/2 für 1 < p <, 3 [0.5, ) \ {1} ist somit die einzige Nullstelle der Ableitung. (Wir konnten hier die Ableitungsformel vereinfachen; i.a. muß überprüft werden, ob die ermittelten Stellen in dem passenden Bereich sind.) Wir bilden dann Funktionswerte und z.t. Grenzwerte an dieser Nullstelle der Ableitung, an der Randstelle 0.1 und an der Nahtstelle 1, bei der die Ableitung mindestens nicht direkt nach den Ableitungsregeln bestimmbar ist: g(3) = 3 3 1/2 0.2 3 3 3/2 = 0.95, g(0.1) = g(0.1+) = 3 0.1 1/2 0.3 3 0.1 3/2 = 85.68, g(1) = g(1+) = 3 0.2 3 = 0.20. Außerdem müssen wir noch weitere Grenzwerte berücksichtigen: g(1 ) = 3 0.3 3 = 0.30, g( ) = lim p (3 p 1/2 0.2 3 p 3/2 ) = 0 0.20 0 = 0.20. Der größte dieser gesammelten Funktionswerte und Grenzwerte ist offenbar 0.95 und wird an der Stelle p = 3 als Funktionswert (und nicht nur als Grenzwert) angenommen und

6 nur dort. Damit ist p = 3 der eindeutig bestimmte Preis, bei dem der Gewinn maximal wird. Aufgabe 4 a) An welcher Stelle besitzt der Graph der Funktion eine waagerechte Tangentialebene? f(x, y) := 5x 2 4xy 2y 2 + 40x + 12y 12 b) Es sei b 1, b 2 eine Basis eines zweidimensionalen Vektorraumes und x = 4 b 1 + 3 b 2 ein Vektor aus diesem Raum. Stellen Sie ist diesen Vektor als Linearkombination von zwei anderen Basisvektoren c 1, c 2, dar, die mit den erstgenannten über die Beziehung b 1 = 5 c 1 3 c 2, b 2 = 2 c 1 c 2, zusammenhängen. c) Bestimmen Sie den Betrag der Vektoren 1 a := 2 3 und b := 6 5 4, und den Winkel zwischen ihnen. Bestimmen Sie außerdem einen Vektor c, der zu a und b orthogonal ist und das Volumen des von den drei Vektoren a, b, c aufgespannten Spats. Aufgabe 4, Lösungsvorschlag: a) Die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f(x, y) := 5x 2 4xy 2y 2 +40x+12y 12 sind überall stetig, und somit besitzt der Graph von f eine waagerechte Tangentialebene, wenn beide ersten partiellen Ableitungen = 0 sind: f x (x, y) = 10x 4y + 40 =! 0 f y (x, y) = 4x 4y + 12 =! 0. Die Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt 14x + 28 = 0 und damit x = 2; dies in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt 4y = 12 4x = 20 und damit y = 5. Somit besitzt der Graph von f an der Stelle ( 2, 5) eine waagerechte Tangentialebene und nur dort. b) x = 4(5 c 1 3 c 2 ) + 3(2 c 1 c 2 ) = 20 c 1 + 12 c 2 + 6 c 1 3 c 2 = 14 c 1 + 9 c 2.

7 c) a = ( 1) 2 + 2 2 + ( 3) 2 = 14 = 3.74, b = 6 2 + ( 5) 2 + 4 2 = 77 = 8.77. Für den Winkel ϕ(! [0, π]) zwischen den Vektoren a und b gilt cosϕ = a b ( 1) 6 + 2 ( 5) + ( 3) 4 = = a b 14 77 Damit erhalten wir: ϕ = arccos( 0.85) = 2.59 28 3.74 8.77 Einen auf a und b senkrechten Vektor c erhalten wir über das Vektorprodukt: 1 6 2 4 ( 3) ( 5) 7 a b = 2 5 = ( 3) 6 ( 1) 4 = 14 =: c 3 4 ( 1) ( 5) 2 6 7 Das eben berechnete Vektorprodukt können wir bei der Berechnung des Spatproduktes und damit bei der Berechnung des Volumens V des von den drei Vektoren a,b,c aufgespannten Spats verwenden: V = (a b) c = c c = ( 7) 2 + ( 14) 2 + ( 7) 2 = 294.