TOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen

TOTAL DIGITAL - Wie Computer Daten darstellen Computer verarbeiten Daten unter der Steuerung eines Programmes, das aus einzelnen Befehlen besteht. Diese Daten stellen Informationen dar und können sein: Zahlen, Texte, Bilder, akustische Signale, Animationen, Videos. Computer können allerdings ausschließlich Zahlen verarbeiten. Das bedeutet, daß alle Daten durch Zahlen kodiert werden müssen. Zahlensysteme Wenn wir Menschen mit Zahlen arbeiten und rechnen, so stellen wir diese mit Hilfe des Dezimalsystems dar. Dies ist ein Zahlensystem mit der Basis 1. Wir benutzen die 1 verschiedenen Ziffern,1,,,4,5,6,7,8,9 und der Wert einer Zahl ergibt sich als Summe der Produkte dieser Ziffern mit ihren Stellenwerten. Diese Stellenwerte sind im Dezimalsystem aufsteigende Potenzen der Basis 1. Im Dezimalsystem bedeutet die Ziffernfolge 56 den Wert 5 1 + 1 + 1 + 6 Ganz allgemein steht die Ziffernfolge zn 1 zn... z1z für den Wert w w = z Damit Computer mit Zahlen arbeiten können, müssen die Ziffern des Zahlensystems elektronisch dargestellt werden. Dies geschieht in Form von verschiedenen Spannungen. Das Dezimalsystem ist dafür schlecht geeignet, da zehn verschiedene Ziffern (Zustände) zu unterscheiden wären und das würde einen erheblichen technischen Aufwand erfordern. Das binäre Zahlensystem Zahlen können nun aber auch in Zahlensystemen mit anderen Basen dargestellt werden. Die Basis eines Zahlensystems muß lediglich größer als 1 sein. Das einfachste Zahlensystem arbeitet mit der Basis. Dieses System nennt man Binärsystem und es kommt den zwei Ziffern und 1 aus. Die Stellenwerte dieses Systems sind Potenzen von. Im Binärsystem bedeutet die Ziffernfolge 111 den Wert 1 + + 1 + 1 Ganz allgemein steht im Binärsystem die Ziffernfolge b 1 b... b1b für den positiven Wert w w = b Die Ziffern des Binärsystems nennt man BITs (binary digits). Das Bit ist die kleinste Informationseinheit. Sie kann nur zwei Zustände ( oder 1) annehmen. Das Binärsystem eignet sich sehr gut für die elektronische Darstellung. Computer verwenden als Spannungsversorgung häufig 5 Volt. Damit ist nun die folgende Umsetzung möglich: niedrige Spannung bis.7 Volt LOW 1 hohe Spannung bis 5 Volt HIGH n 1 + zn 1 +... + z1 1 + 1 z n 1 + bn +... + b1 + b Die Ziffern des Binärsystems werden also durch Spannungsbereiche dargestellt. Das ist notwendig, da Spannungen nicht mit beliebiger Genauigkeit erzeugt werden können und Spannungen insbesondere bei der Übertragung durch (meist geringe) Störspannungen überlagert werden. Der Bereich von.7 bis Volt ist tabu und dient dazu, die beiden Zustände und 1 immer exakt identifizieren zu können. Inzwischen werden für Computerschaltungen (Prozessoren, Speicher) auch zunehmend kleinere Versorgungsspannungen (z.b.. Volt) verwendet. In diesem Fall werden die Spannungsbereiche zur Darstellung der Bits n n

entsprechend angepaßt. Außerdem hängt die genaue Zuordnung der Spannungsbereiche zu den binären Ziffern davon ab, welche Schaltkreistechnologie (die üblichsten sind TTL, CMOS) verwendet wird. Während mit einem Bit nur die Information oder 1 gespeichert werden kann, ergeben sich mehr Möglichkeiten, wenn man mehrere Bits zu größeren Einheiten zusammenfaßt. Das am weitest rechts stehende Bit nennt man LSB (least significant bit), das am weitest links stehende Bit MSB (most significant bit). 7 6 5 4 1 MSB LSB BYTE = 8 bits Das BYTE besteht aus 8 Bits und kann 56 = 8 verschiedene Bit-Kombinationen darstellen ( bis 11111111). Die folgende Tabelle zeigt weitere Einheiten: BYTE (B) WORD (W) DOUBLEWORD (DW) QUADWORD (QW) Kbyte MByte (MB) GByte (GB) TByte (TB) 8 bit 16 bit = Bytes bit = 4 Bytes 64 bit = 8 Bytes 14 Bytes 14 Kbyte = 1.48.576 Bytes (ca. 1 Million Bytes) 14 Mbyte = 1.7.741.84 Bytes (ca. 1 Milliarde Bytes) 14 GByte = 1.99.511.67.776 Bytes (ca. 1 Billion Bytes) Das Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) Die binäre Darstellung hat den Nachteil, daß Zahlen sehr rasch aus vielen Bits bestehen und das Anschreiben entsprechend aufwendig wird. Aus diesem Grund wird häufig das Hexadezimalsystem zur Darstellung binärer Daten verwendet. Das Hexadezimalsystem ist ein Zahlensystem mit der Basis 16 und benötigt folglich 16 verschiedene Ziffern. Dazu werden die 1 Ziffern..9 und die ersten 6 Buchstaben A..F herangezogen. Dezimal Binär Hexadezimal Dezimal Binär Hexadezimal 8 1 8 1 1 1 9 11 9 1 1 11 A 11 11 111 B 4 1 4 1 11 C 5 11 5 1 111 D 6 11 6 14 111 E 7 111 7 15 1111 F Um binäre Zahlen in Hexadezimaldarstellung anzuschreiben, teilt man die binäre Ziffernkette von rechts her in Vierergruppen und schreibt für jeweils 4 Bits die entsprechende Hex-Ziffer an: Die binäre Zahl 111111111 ist hexadezimal anzuschreiben. Aufteilung in Vierergruppen: 1 11 1 111 11 Ersetzen der Vierergruppen durch die entsprechende Hexziffer ergibt schließlich: A87A Zahlenbereiche und Zahlendarstellungen Wenn es um Zahlendarstellungen geht, unterscheiden wir GANZE ZAHLEN (integer) vorzeichenlose ganze Zahlen (unsigned integers): nur positive Werte vorzeichenbehaftete ganze Zahlen (signed integers): positive und negative Werte GLEITKOMMAZAHLEN (floating point numbers)

Diese Zahlenmengen werden im Rechner unterschiedlich dargestellt. Vorzeichenlose ganze Zahlen (unsigned integers) Wie weiter oben dargestellt, werden positive Zahlen durch Bitfolgen dargestellt. Die einzelnen Bits haben Stellenwerte, die Potenzen von sind. Die Berechnung des dezimalen Werts einer positiven Binärzahl ist einfach: es sind jene Stellenwerte zu addieren, bei denen die zugehörige Ziffer 1 ist. Umrechnung: Binärsystem -> Dezimalsystem Der dezimale Wert der Binärzahl 11111 ist zu berechnen. Bitnummer 7 6 5 4 1 Ziffern 1 1 1 1 1 Stellenwert 18 64 16 8 4 1 In diesem Fall ergibt die Berechnung den Wert 18 + + 8 + 4 + 1 = 17 Zur Umrechnung kann auch der folgende Algorithmus verwendet werden: [1] Setze w = [] Für jede binäre Ziffer b von links nach rechts rechne w = w * + b Umrechnung: Dezimalsystem -> Binärsystem Aus der dezimalen Darstellung einer Zahl z erhält man die binäre Darstellung durch den folgenden Algorithmus: [1] setze i = [] solange z > [] setze b i = z mod (Rest bei der Division durch ) [4] setze z = z / (ganzzahlige Division durch ) [5] erhöhe i um eins 98 49 4 1 1 6 1 1 1 Die dezimale Zahl 98 wird ins Binärsystem umgerechnet. Dazu wird die linksstehende Zahl sukzessive durch dividiert und die Reste in die rechte Spalte geschrieben. Die ganzzahligen Divisionsergebnisse werden in die linke Spalte eingetragen. Sobald in der linken Spalte steht, ist die Umrechnung abgeschlossen. Beachte: Die Ziffern sind von unten nach oben zu lesen (LSB oben, MSB unten). Somit ist 98[1] = 111[] = 64[Hex] Mit dieser Darstellung ergeben sich folgende Zahlenbereiche: n= Anzahl der Bits Zahlenbereich ( bis n -1) 8 bis 55 16 bis 65.55 bis 4.94.967.95 64 bis 18.446.744.7.79.551.615 Wenn wir direkt vom Dezimalsystem in das Hexadezimalsystem umrechnen wollen, kann ebenfalls der obige Algorithmus verwendet werden. Nur ist in diesem Fall jeweils durch 16 zu dividieren.

Vorzeichenbehaftete ganze Zahlen (signed integers) Vorzeichenbehaftete Zahlen unterscheiden zwischen positiven und negativen Werten. Positive Zahlen werden dabei dargestellt, wie dies im vorherigen Abschnitt beschrieben wurde. Eine erste Idee zur Darstellung negativer Werte wäre die Verwendung eines Vorzeichens, wie dies auch im Dezimalsystem gemacht wird. Das Vorzeichen könnte in einem zusätzlichen Bit verschlüsselt werden (: positiv, 1: negativ). Diese Kodierung wird bei Gleitkommazahlen verwenden (wird später behandelt). Für negative ganze Zahlen wird eine andere Darstellung verwendet. Diese Darstellung ergibt sich aus der Absicht, die Arithmetik mit binären Zahlen so einfach wie möglich zu gestalten und im wesentlichen alle Operationen auf die Addition zurückzuführen. Wir wollen die Idee am Beispiel von 8-bit-Zahlen erläutern: x und y seien positive Zahlen kleiner als 18. Anstelle von x-y kann man x+(-y) rechnen. x + (-y) = x + ( 56 - y ) - 56. Die Zahl 56-y nennt man Zweierkomplement von y. Die durchgeführte Umformung bedeutet, daß man die Subtraktion x-y durch die Additon von x und dem Zweierkomplement von y ersetzen kann. Das Ergebnis ist dann allerdings um 56 zu groß. Dieser "Fehler" läßt sich jedoch leicht beheben, da man nur den Übertrag bei der Addition ignorieren muß. Eine negative Zahl -y stellt man durch das Zweierkomplement von y dar. Die oben durchgeführte Umformung scheint auf den ersten Blick keine Erleichterung zu bringen. Nun ist aber 56-y = (55-y)+1. Die Rechnung 55-y ist aber im Binärsystem sehr einfach. Da 55 im Binärsystem eine Zahl mit 8 Einsern ist (55[1] = 11111111 []), kann man die Binärdarstellung von 55-y aus der Darstellung von y durch bitweise Invertierung erhalten ( wird durch 1, 1 durch ersetzt). Diese invertierte Bitfolge heißt Einerkomplement. Das Zweierkomplement einer positiven Zahl y erhält man durch bitweise Invertierung der binären Darstellung von y (Einerkomplement) und der anschließenden Addition von 1. Die Subtraktion ist damit vollständig auf die Addition (und die bitweise Invertierung) zurückgeführt: x - y wird durch Addition von x mit dem Zweierkomplement von y berechnet Binärdarstellung 98 111 Einerkomplement 11111 bitweise invertieren -98 (Zweierkomplement) 11111 Einerkomplement plus 1 Mit 8 Bits sind 56 verschiedene Darstellungen möglich, die man in gleichem Ausmaß für die Darstellung von positiven und negativen Zahlen aufteilen muß. 1 1...... 1111111 17 (größte darstellbare positive Zahl) 1-18 (kleinste darstellbare negative Zahl) 11-17...... 11111111-1 Wird mit n-bit-darstellung gearbeitet, so ergeben sich die folgenden darstellbaren Zahlenbereiche: positive Zahlen: bis n-1-1 negative Zahlen: -1 bis - n-1

Anzahl der Bits positiver Bereich negativer Bereich 8 bis 17-18 bis -1 16 bis.767 -.768 bis -1 bis.147.48.647 -.147.48.648 bis -1 Positive und negative Werte in der vorzeichenbehafteten Darstellung kann man anhand des höchstwertigen Bits (MSB) unterscheiden: MSB = : positiver Wert MSB = 1: negativer Wert Gleitkommadarstellung (floating point numbers) Die Gleitkommadarstellung dient zur Kodierung einer Teilmenge der rationalen Zahlen. Damit können sowohl relativ große, als auch relativ kleine Zahlen mit einer bestimmten Genauigkeit 1. 4567 1 45. 145 1 1 dargestellt werden. Beispiele aus dem Dezimalsystem wären etwa: Eine Gleitkommazahl besteht aus einem Vorzeichen, der Mantisse und dem Exponenten (ebenfalls mit Vorzeichen). Die Gleitkommadarstellung ist nicht eindeutig: 45.145 1 1 = 4.5145 1 =... Die Gleitkommadarstellung kann man nun auch in das binäre System übertragen. Zunächst stellen wir eine Zahl durch die normierte Gleitkommadarstellung zur Basis dar. Normiert heißt die Gleitkommadarstellung dann, wenn die Mantisse größer oder gleich 1 und kleiner als ist. Die Zahl 45.5 soll in die normierte Gleitkommadarstellung zur Basis gebracht werden. Dazu wird die Zahl sukzessive durch dividiert und gleichzeitig der Exponent um 1 erhöht, bis die Mantisse zwischen 1 (einschließlich) und (ausschließlich) liegt. 4 5 45. 5 =. 75 = 11. 75 = 5. 6875 =. 8475 = 1. 41875 Nun wird die normierte Mantisse in das binäre System umgewandelt. Wie im Dezimalsystem haben die Ziffern rechts vom Dezimalpunkt Stellenwerte, die negative Potenzen der Basis sind. Die binäre Zahl.111 beschreibt den dezimalen Wert 1/ + 1/4 + 1/16 = 1/16 =.815 Gebrochene dezimale Zahlen kann man mit dem folgenden Algorithmus in das binäre System umrechnen, den wir anhand eines Beispiels erläutern:.815 1.65 1 1.5 1.5 1. 1 Der Nachkommaanteil wird sukzessive mit multipliziert. Ist das Ergebnis größer oder gleich 1, wird in die rechte Spalte eine 1 geschrieben, ansonsten eine. Weitergerechnet wird wieder nur mit dem Nachkommaanteil. Erhält man in der rechten Spalte eine, so kann man die Umwandlung abbrechen, da in der Folge nur noch Nullen entstehen. Nicht alle dezimalen Zahlen liefern in der linken Spalte irgendwann eine Null. Als Beispiel sei die Zahl. genannt. Hier ist die Folge der Binärzahlen 11111111..., die niemals abbricht. Es gibt also Zahlen, die im Binärsystem mit endlich vielen Bits nicht exakt darstellbar sind. Das Phänomen kennen wir auch schon vom Dezimalsystem. Die Zahl 1/ hat die niemals abbrechende Darstellung....

Kommen wir nun zur Darstellung von Gleitkommazahlen im Binärsystem. Es gibt ein - (single precision) und ein 64-bit-Format (double precision). Zunächst zum -Bit-Format. s Exponent (8 bit) 1 Mantisse ( bit) Das MSB wird zur Darstellung des Vorzeichens verwendet. Dabei bedeutet einen positiven, 1 einen negativen Wert der Mantisse. Als Mantisse wird nur der Nachkommaanteil der normierten Gleitkommadarstellung zur Basis gespeichert (der Vorkommaanteil ist ja nach Definition stets 1). Das Feld Exponent enthält den Exponenten von im sogenannten Bias- Format. Das Bias-Format erhält man, indem man zum er-exponenten der normierten Gleitkommadarstellung den Wert 17 addiert. Dadurch erspart man sich die zusätzliche Abspeicherung eines Vorzeichens für den Exponenten. Es können mit dem -bit-gleitkommaformat Zahlen dargestellt werden, deren er- Exponenten in der normierten Gleitkommadarstellung im Bereich -17 bis +18 liegen. Dies entspricht dem ungefähren dezimalen Zahlenbereich... 8 ± 1 ± 1 8 Die Gleitkommadarstellung der dezimalen Zahl -14.5 ist zu ermitteln. Zunächst ergibt dies die normierte Gleitkommadarstellung von 1. 815 Der Nachkommaanteil.815 ergibt die binäre Darstellung.111. Diese Nachkomma-Bitfolge wird im Feld Mantisse gespeichert (mit Nullen nach rechts aufgefüllt). Im Feld Exponent wird der Wert +17 = 1 in positiver Binärdarstellung abgelegt. Das Vorzeichenbit s hat den Wert 1, da die darzustellende Zahl negativ ist. s Exponent (8 bit) Mantisse ( bit) 1 1 1 1 1 1 Die 64-bit-Gleitkomma-Darstellung (double precision) verwendet: 1 bit für das Vorzeichen 11 bit für den Bias-Exponenten (Bias-Wert ist 1) 5 bit für die Mantisse Die Gleitkommaformate sind durch einen IEEE-Standard international normiert und werden von den meisten Programmiersprachen-Compilern verwendet. Gleitkomma-Berechnungen (insbesondere Multiplikation und Division) sind sehr aufwendige Operationen. Moderne Computersysteme führen Gleitkommaberechnungen durch einen eigenen Floating-Point- Prozessor durch. Dieser FP-Prozessor ist heute meist in die Main-Prozessoren (intel 486, Pentium, Pentium Pro, Pentium II/III, AMD K6, Athlon u.a.) integriert. FP-Prozessoren sind außerdem in der Lage, die Wurzelfunktion, die trigonometrischen Funktionen, Logarithmusund Exponentiationalfunktionen zu berechnen. BCD-Darstellung (Binary Coded Decimal) Eine weitere Darstellungsform für ganze und gebrochene Zahlen ist Binary Coded Decimal. Hier werden die einzelnen Ziffern der Dezimaldarstellung binär kodiert. Für jede Ziffer werden 4 Bits benötigt (=... 9=11). Man unterscheidet die gepackte BCD- (packed BCD) und die ungepackte BCD-Darstellung (unpacked BCD). Für gepackte BCD-Zahlen werden je zwei Ziffern in ein Byte gepackt. In der ungepackten Darstellung wird die Ziffer in ein Byte kodiert, wobei die oberen 4 Bits auf gesetzt werden. Die dezimale Zahl 194 ist als BCD-Zahl darzustellen. Gepackte Darstellung: 111 111 ( Byte) Ungepackte Darstellung: 1 11 1 11 (4 Byte)

Werden gebrochene (rationale) Zahlen im BCD-Code dargestellt, so muß die Anzahl der Stellen nach dem Komma festgelegt sein. Die Ziffern werden dann wie oben kodiert. Es sollen Zahlen mit Dezimalstellen im BCD-Code gespeichert werden. Die Zahl 145.6 hat dann die gepackte Darstellung 1 111 111 ( Byte) Wenn gebrochene Zahlen (rationale Zahlen) im oben beschriebenen Gleitkommaformat gespeichert werden, kann es zu Rundungsfehlern kommen (was man vom Taschenrechner kennt). Solche Rundungsfehler sind etwa in einem Finanzbuchhaltungsprogramm inakzeptabel. Solche Programme (die etwa mit Geldbeträgen arbeiten), verwenden daher die BCD- Darstellung. Darstellung von Zeichen (ASCII / UniCode) Wie alle Daten werden auch Zeichen im Rechner durch Zahlen kodiert. Die Zuordnung zwischen Zeichen und Zahlen ist an sich willkürlich. Da Daten aber zwischen verschiedenen Programmen, Betriebs- und Computersystemen austauschbar sein sollen, ist ein weltweiter Standard in Verwendung, der mit ASCII (American Standard Code for Information Interchange) bezeichnet wird. Die ASCII-Kodierung weist den üblichen Zeichen (Buchstaben, Ziffern, Sonderzeichen, nationale Schriftzeichen, Steuerzeichen) Zahlen im Bereich von bis 55 zu. Der Original-ASCII war nur für 18 Zeichen definiert. IBM hat diesen Code auf den Bereich..55 erweitert, um auch bestimmte nationale Sonderzeichen (etwa die deutschen Umlaute) zu berücksichtigen. Aber auch dieser erweiterte ASCII reicht nicht aus, um alle nationalen Schriftzeichen darzustellen. Ein neuerer Standard, der immer häufiger verwendet wird ist Unicode, mit dem alle relevanten Zeichen aller Sprachen dargestellt werden können. Auf der Webseite www.unicode.org können Details nachgelesen werden. Darstellung anderer Daten Wie bereits eingangs erwähnt, müssen alle Arten von Daten, die von einem Computersystem verarbeitet werden sollen, numerisch kodiert werden. In diesem Artikel werde ich auf die digitale Darstellung von Bitmaps (Bilder), Audio- und Videodaten nicht näher eingehen. Es soll nur noch einmal darauf hingewiesen werden, daß sie als (zum Teil riesige) Zahlenfolgen behandelt werden. Der Ausdruck digital (digitale Bilder, digitales Audio / Video) beschreibt diese Tatsache (digital: durch Zahlen beschrieben). ARITHMETIC AND LOGIC UNIT (ALU) Operationen mit ganzen Zahlen werden in einem Computer in der sogenannten ALU (arithmetic and logic unit) durchgeführt. Eine ALU ist in der Lage, Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen, Divisionen und bitweise logische Operationen (AND, OR, NOT) auszuführen. Zusätzlich können Schiebeoperationen durchgeführt werden (bitweises Verschieben der Bits nach links oder rechts mit gleichzeitigem Auffüllen der freiwerdenden Stelle). Die ALU ist Teil der CPU und wird durch die Control-Unit (Steuereinheit) gesteuert. Die Steuereinheit zeigt durch bestimmte Signale an, welche Operation auszuführen ist. Zur Durchführung von Gleitkommaoperationen und zum Berechnen der Werte mathematischer Funktionen haben moderne CPUs eine FPU (floating point unit).