Fautät für Physi der LMU München Lehrstuh für Kosoogie, Prof Dr V Muhanov Übungen zu Kassischer Mechani (T) i SoSe Batt 5 - Lösungsvorschag Aufgabe 5 Binäres Sternsyste a) Wieviee Freiheitsgrade hat das Syste? Finden Sie die Lagrangefuntion des Systes b) Führen Sie statt r und r die neuen Koordinaten ein: r = r r und R = r + r + Ein binäres Sternsyste besteht aus zwei Sternen it den Massen und Zu Zeit- punt t = haben die Sterne soche engegengesetzten Geschwindigeiten v und v, daß die Gesatenergie i Schwerpuntssyste negativ ist Der Abstand zwischen den Sternen zu Zeitpunt t = sei L (siehe Abbidung) v L v Drücen Sie die Lagrangefuntion durch die neuen Koordinaten Weche physiaische Bedeutung haben die neuen Koordinaten? c) Finden Sie die Periode T des binären Sternsystes Lösung a) Das Syste hat 6 Freiheitsgrade Die Lagrangefuntion ist L = r r G + + r r b) In den neuen Koordinaten erhaten wir r = R + + r, r = R + r Die Lagrangefuntion von den neuen Koordinaten wird nun durch Einsetzen berechnet: L = MṘ + µṙ + GµM, r M +, µ + Die Masse µ heisst reduzierte Masse Wir haben aso die Freiheitsgrade r und R, die entoppet sind Nur die Koordinate r ist für die Keperbewegung reevant R beschreibt nur die Gesatbewegung der zwei Sterne c) Nach der Fore 58 in Landau & Lifshitz Seite, ist die Periode T diret durch die Gesatenergie E i Schwerpuntsyste gegeben: T = πα, α GµM, µ 3 E Oder T = πg ( ) 3 M E 3
Es reicht aso, diese Gesatenergie E i Schwerpuntsyste zu berechnen: E = µṙ GµM r Da diese Energie onstant beibt, berechnen wir diese in der Anfangsposition: E = µṙ () GµM r() = (v + v ) M Da diese Energie negativ ist, haben wir Deshab E = M = µ ṙ () ṙ () G L = M [ MG L (v + v ) ] T = πgm [ MG L (v + v ) ] 3/ [ GµM r () r () (v + v ) MG L Nebenbeerung: die Periode hängt nur von der Gesatasse ab (nicht getrennt von und ) ] Aufgabe 5 Eastischer Stoß Ein Massenpunt stoße eastisch auf einen vor de Stoß ruhenden Massenpunt Gegeben seien der Abenwine χ des zweiten Massenpuntes i Schwerpuntsyste und der Ipus p des zweiten Massenpuntes i Laborsyste vor de Stoß a) Drücen Sie die Beträge der Ipuse (p und p ) und die Abenwine (θ und θ ) beider Massenpunten i Laborsyste nach de Stoß durch χ aus b) Wie groß uß der Abenwine χ sein, dait der zunächst ruhende Massenpunt bei de Stoß die größte ögiche Energie erhät? Finden Sie diese axiae Energie c) Disutieren Sie die Ergebnisse aus a) und b) für den Fa = Beweisen Sie, daß die zwei Massenpunten nach de Stoß nur unter de Wine φ = π/ auseinanderfiegen önnen es sei denn, der stoßende Massenpunt ruht nach de Stoß Lösung Diese Aufgabe ist i Wesentichen das Paragraph 7 aus Landau & Lifshitz Wobei die Indizes und vertauscht werden üssen a) Die reevanten Foren sind 75 und 7 Die Abenwine sind gegeben as Die Ipuse sind tan θ = sin χ + cos χ, θ = (π χ) p = + + cos χ, + p = p sin + χ b) Zentraer Stoss, χ = π, und die Energie ist durch 77 gegeben E,ax = v,ax = ( + ) p
c) An einfachsten sieht an dies in der grafischen Konstrution in Landau & Lifshitz in Abb 7 und den Foren 79 und 7 Aufgabe 53 Getriebener Osziator Ein haronischer Osziator (Masse, Kreisfrequenz ω) werde von einer äußeren Kraft F(t) angetrieben (siehe Abbidung rechts) Bis zu Zeitpunt t = befinde sich das Syste in der Geichgewichtsage F (t) a) Berechnen Sie den Ausschag x(t) des Osziators für ae Zeiten t > F b) Berechnen Sie die auf den Osziator übertragene Energie nach Einwiren der äußeren Kraft Lösung a) Die Osziatorgeichung ist T T t wobei ẍ + ω x = F(t),, t t F F F(t) = T, t T t T F T, T t T, t T Ageein git: die ageeine Lösung der Geichung ẍ + ω x = a + bt ist x(t) = A cos ωt + B sin ωt + a + bt ω, wobei A, B beiebige Konstanten sind Deshab, t A cos ωt + B sin ωt + F F t x(t) = ω ω T, t T A cos ω(t T) + B sin ω(t T) + F (t T) ω T, T t T A 3 cos ω(t T) + B 3 sin ω(t T), t T Die unbeannten Konstanten A i, B i berechen wir durch Stetigeitsbedingungen: x(t) und ẋ(t) sind stetig bei t =, t = T, t = T Die Phasen (t T, t T) haben wir so gewäht, dass diese Berechnung einfacher ist A Übergang t = T: x(t) = F [ ωt cos ωt + sin ωt] = A, ẋ(t) = F x() = ẋ() =, A = F ω, B = F x(t) = F [ω(t t) ωt cos ωt + sin ωt], t T [ ω + ω T sin ωt + ω cos ωt ], = B ω + F ω T, B = F [ + Tω sin ωt + cos ωt] x(t) = F [ω(t T) + ( ωt cos ωt + sin ωt) cos ω(t T) + ( + ωt sin ωt + cos ωt) sin ω(t T)], T t T 3
A etzten Übergang bei t = T x(t) = F [ωt + ( ωt cos ωt + sin ωt) cos ωt + ( + ωt sin ωt + cos ωt) sin ωt] = A 3, ẋ(t) = F [ω ω ( ωt cos ωt + sin ωt) sin ωt + ω ( + ωt sin ωt + cos ωt) cos ωt] = ωb 3 A 3 = F [ sin ωt + ωt sin ωt + sin ωt cos ωt ] = F [ + ωt sin ωt + cos ωt] sin ωt B 3 = F [ cos ωt + ωt cos ωt sin ωt + cos ωt ] = F [ + ωt sin ωt + cos ωt] cos ωt x(t) = F [ + ωt sin ωt + cos ωt] [sin ωt cos ω(t T) + cos ωt sin ω(t T)] = F [ + ωt sin ωt + cos ωt] sin ω(t T), t T b) Die Anfangsenergie ist Nu; die Endenergie ist aso geich der übertragenen Energie: wir benutzen x(t) für t > T und berechnen E = ẋ + ω x = F [ + ωt sin ωt + cos ωt] ω T Aternativ ann die Energiefore aus Landau & Lifshitz benutzt werden E = + F(t)e iωt dt = F T T T (T t)e iωt dt + (t T)e iωt dt = F [ + ωt sin ωt + cos T ωt] ω T Aufgabe 5 Geoppete Osziatoren: zwei Moden Zwei Kugen der Masse seien über eine Feder (Federonstante κ) geoppet und über zwei weitere Federn (Federonstante K) it zwei Wänden verbunden (siehe Abb ) In der Geichgewichtsage haben die Federn ihre natüriche Länge Reibungseffete seien zu vernachässigen a) Steen Sie die Bewegungsgeichungen der beiden Kugen für eine horizontae Bewegung auf Verwenden Sie dazu die Ausenungen aus den Geichgewichtsagen x (t) und x (t) as verageeinerte Koordinaten b) Bestien Sie die Eigenfrequenzen und die Eigenoden des Systes c) Berechnen Sie die Bewegung der beiden Kugen für die Anfangsbedingungen x () =, x () =, ẋ () = v, ẋ () = d) Untersuchen Sie die Lösung aus (c) i Grenzfa schwacher Koppung κ/k Disutieren Sie das Ergebnis Lösung a) Die Lagrangefuntion ist L = ẋ + ẋ Kx + κ (x x ) + Kx
K κ K Abbidung : Syste zweier geoppeter Massen Dieses ergibt die Bewegungsgeichungen, ẍ = Kx + κ (x x ), ẍ = Kx + κ (x x ) Dieses schreiben wir in der Matrixfor, ( ) ( ) K κ κ x r = Âr = κ K κ x b) Die Eigenwerte von  finden wir aus ( ) =! K κ λ κ det = (λ + κ + K) κ K κ λ κ, deshab λ = κ K ± κ; λ = K, λ = K κ ( ) Die norierte Eigenvetoren sind Die Eigenfrequenzen sind ω ±, = λ, Deshab ist die ageeine Lösung ( ) ( ) ( x K K K + κ K + κ = x A cos t + B sin t ) + A cos t + B sin t ( Beerung: die Frequenz der entgegengesetzter Bewegung ist höher, da ehr Potentiaenergie durch ) Federdeforation entsteht! c) Wir brauchen die Werte der Konstanten, die it gegebenen Anfangsbedingungen vereinbar sind: Dieses ergibt A = A =, B = A + A =, A A =, ω B + ω B = v, ω B ω B = v ω, B = v ω und soit die Lösung ( ) x = v x ω ( ) sin K t + v ω ( K + κ cos ) t d) Die Bewegung in de Grenzfa κ K ergibt eine Schwebung Dieses ist so zu verstehen: Die Lösung hat die For x (t) = v sin ω t + v sin ω t = ω ω = v (sin ω t + sin ω t) + v ( ) sin ω t = ω ω ω = v sin ω + ω t cos ω ω t + v ω ω sin ω t ω ω ω I Lies κ K haben wir ω ω, aso ω ω ω Deshab beoen wir ein Produt einer Sinus-Osziation it einer sehr vie angsaer osziierenden Funtion 5
Aufgabe 55 Geoppete Pende: drei Moden An drei starren (asseosen) Stangen der Länge sei jeweis eine Masse bzw befestigt Die drei Pende seien über zwei Federn (Federonstante ) geoppet (siehe Abbidung ) Die Feder befinden sich genau in der Mitte zwischen der Aufhängung der Pende und den Massen Der Abstand zwischen den Aufhängungen der Pende entspricht genau den Ruheängen der Federn Die gesate Anordnung befinde sich in eine hoogenen Schwerefed a) Geben Sie die Lagrange-Funtion des Systes an Beschränen Sie sich dabei auf den Fa, dass die Pende nur wenig aus der Vertiaen ausgeent werden, dh führen Sie bereits auf de Niveau der Lagrange- Funtion eine haronische Näherung durch Hinweis: Benutzen Sie artesische Koordinaten b) Leiten Sie für den in (a) betrachteten Fa die Bewegungsgeichungen der Massen ab und geben Sie die Eigenfrequenzen und Eigenoden des Systes an g Abbidung : Geoppete Pende Lösung a) Wir benutzen as Koordinaten die x-koordinaten der drei Massen, bzw genauer gesagt, die Ausenung aus der vertiaen Ruheage x,x,x 3 Die Lagrange-Funtion in haronischer Näherung ist wie fogt herzueiten Zunächst die inetische Energie: E = (ẋ + ẋ + ) ẋ 3 Dann die potentiee Energie in den Federn: E F = ( x x ) + ( x x ) 3 + O(x 3 i ) Die Fatoren / in den Ausenungen ergeben sich dadurch, dass die Federn auf haber Höhe befestigt sind Die potentiee Energie i Schwerefed: die Höhe h eines Massenpuntes bei Ausenung x ist geich Aso L = E E F g (h + h + h 3 ) = h = x = x + O(x3 ) (ẋ + ẋ + ẋ 3) (x x ) + (x x 3 ) 8 g x + x + x 3 b) Die Bewegungsgeichungen sind dann In Matrixfor: ẍ = (x x ) g x ẍ = 8 (x x + x 3 ) g x ẍ 3 = (x 3 x ) g x 3 q r = Âr = 8 q 8 q x x x 3, q g 6
Berechnen wir nun die Eigenwerte dieser Matrix: =! q λ det 8 q λ 8 q λ = ( ) [( ) ( ) ] = + q + λ + q + λ + q + λ + [ ( )] 3 8 + q + λ ( ) [ ( ) = + q + λ λ + λ + q + q + q ] Eine Lösung ist λ = q Die anderen sind Die zugehörigen Eigenvetoren auten: λ,3 = q ±, λ = q, λ 3 = q λ = q, h = λ = q, h = λ 3 = q, h 3 = Eigenoden: i) Mittere Masse ruht, die anderen schwingen gegeneinander; ω = + g ii) Ae Massen schwingen iteinander; die Federn sind ohne Spannung ω = g wie bei eine einfachen Pende Diese Mode hat die einste Frequenz, da die Federn inativ beiben iii) Die ittere Masse schwingt entgegen den anderen it geicher Apitude; ω 3 = + g Diese Mode hat die grösste Frequenz, da die Federn axia ativ sind 7