Umverteilung als Versicherung Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Fachbereich Finanzwissenschaft Alfred Weber Institut für Wirtschaftswissenschaften Ruprecht-Karls- Universität Heidelberg SS 2007
Gliederung 1 Grundlegendes 2 Optimaler Wohlfahrtsstaat bei Exogenem Einkommen 3 Optimaler Wohlfahrtsstaat bei Endogenem Einkommen 4 Zusammenfassung
Was ist Optimale Staatliche Umverteilung Inwieweit soll der Staat Einkommen umverteilen? Antwort normalerweise subjektiv Daher Entscheidung über optimales Steuer-Transfer-System hinter dem Schleier der Unwissenheit Dann abhängig von Annahmen über Anreizwirkungen des Steuer-Transfersystems
Gliederung 1 Grundlegendes 2 Optimaler Wohlfahrtsstaat bei Exogenem Einkommen 3 Optimaler Wohlfahrtsstaat bei Endogenem Einkommen 4 Zusammenfassung
Die Modellökonomie Alle Einwohner i der Modellökonomie sind ex-ante identisch Ex-post ergibt sich das Einkommen y i aus einem deterministischen Parameter h und einem stochastischem Parameter ɛ i mit E(ɛ i ) = 0, d. h. y i = h + ɛ i (1) Das ex-ante erwartete Einkommen ist also für alle identisch, d. h. E(y i ) = h Präferenzen werden beschrieben durch Nutzenfunktion u(c i ) mit u > 0, u < 0 Aus Konkavitätsannahme folgt, dass Einwohner risikoavers sind, also E(u(c i )) < u(e(c i )) (2)
Risikoaversität und Konkavität U U(E[c]) E[u(c)] c E(c) c c Abbildung 1: Illustration des Zusammenhangs zwischen Risikoaversität und Konkavität
Die Staatliche Budgetrestriktion Einwohner konsumieren ihr Nettoeinkommen (net-of-taxes) und staatliche Transfers Es gilt also c i = (1 t)y i + z i - t [0, 1] ist Steuersatz - z i ist staatlicher Transfer Der Staat besteuert nur zu Transferzwecken, seine Budgetrestriktion ist also ty i = z i (3) i i Unter der Annahme, dass alle Individuen denselben Transfer bekommen, d. h. z i = z, ergibt sich i th + t ɛ i = z (4) n
Das Problem des Staates Wegen Law of Large Number ergibt sich dann für die staatliche Budgetrestriktion bei n t h = z, (5) i da plim ɛ i n = 0 Da Einwohner als identisch unterstellt wurden, im Folgenden Vernachlässigung des Indizes Einsetzen der staatlichen Budgetrestriktion ergibt für den ex-ante erwarteten Nutzen E[u((1 t) (h + ɛ) + t h)] (6) Problem des Staates ist Wahl des Steuersatzes t, der diesen erwarteten Nutzen maximiert
Optimalitätsbedingungen Erste Ableitung ist de[u] dt = E[(h + ɛ) u ((1 t) (h + ɛ) + th)] + h E[u ((1 t) (h + ɛ) + th)] (7) Daraus folgt nach Umformung de[u] dt = Cov[y, u (c)] > 0 für t < 1, (8) da Cov[y, u (c)] = 0 für t = 1, sollte maximaler Steuersatz gewählt werden Es ergibt sich z = t h = h Es sollte also alles Einkommen besteuert und ein Transfer in Höhe von h getätigt werden
Gliederung 1 Grundlegendes 2 Optimaler Wohlfahrtsstaat bei Exogenem Einkommen 3 Optimaler Wohlfahrtsstaat bei Endogenem Einkommen 4 Zusammenfassung
Endogenes Einkommen Maximale Umverteilung nur dann effizient, wenn Einkommen exogen ist Was ist ein optimales Steuer-Transfer-System bei endogenem Einkommen? Analyse der Frage in einem zwei-perioden Modell In der ersten Periode können Einwohner kostspielige Humankapitalinvestitionen tätigen Einkommen in der zweiten Periode ist Funktion der Humankapitalinvestitionen
Die Modellökonomie Nutzen sei definiert als U = u(c 1 ) + E[u(c 2 )] Einkommen in Periode 1 sei exogen bei y 1 = k und kann konsumiert oder investiert werden Einkommen in Periode 2 sei stochastisch k = c 1 + h (9) y 2 = h + ɛ i (10)
Pareto-Optimale Investition Was ist die aus gesellschaftlicher Sicht optimale Humankapitalinvestition? Aus der Perspektive der Gesellschaft ist das Einkommen wegen Law of Large Numbers in Periode 2 sicher bei h Problem des Einwohners bei sicherem Einkommen in Periode 2 ist max U = u(k h) + u(h) (11) Bedingung erster Ordnung ist so dass sich h = k 2 ergibt u (k h) = u (h) (12)
Das Individuelle Optimum Aus individueller Sicht ist das Einkommen unsicher In einem Laissez-Faire Zustand ohne staatliches Steuer-Transfer-System ist das Problem des Individuums also max U = u(k h) + E[u(h + ɛ)] (13) Das individuell optimale ĥ ergibt sich aus u (k ĥ) = E[u (ĥ + ɛ)], (14) was nicht identisch mit der Paretobedingung (12) ist. Typischerweise wird zuviel investiert Im Laissez-Faire besteht also Raum für Pareto-Verbesserungen durch staatliche Eingriffe
Optimaler Wohlfahrtsstaat bei endogenem Einkommen Mit Steuer-Transfer System ist Konsum in Periode 2 c 2 = (1 t) (h + ɛ) + z (15) Problem eines Einwohners ist also max u(k h) + E[u((1 t)(h + ɛ) + z)] (16) Bedingung erster Ordnung ist u (k h) = E[u ((1 t)(h + ɛ) + z)(1 t)] (17)
Optimaler Wohlfahrtsstaat bei endogenem Einkommen Einsetzen der staatlichen Budgetrestriktion, Definition des Terms γ = (1 t) und umformen ergibt u (k h) = E[u (h + γɛ)γ] (18) Offensichtlich ist die optimale Humankapitalinvestition eine Funktion des Steuersatzes f(γ) Als Problem einer benevolenten Regierung ergibt sich daher die Wahl von γ, so dass max U(γ) u(k f(γ)) + E[u(f(γ) + γɛ)] (19) Als Bedingung erster Ordnung ergibt sich nach Einsetzen von (18) U (γ) =E[u (f(γ) + γɛ)] (1 γ) f (γ) + E[u (f(γ) + γɛ) ɛ] (20)
Steuern im Laissez-Faire Ausgehend vom Laissez-Faire (γ = 1) ergibt sich aus Gleichung (20) U (1) =E[u (ĥ + ɛ)ɛ] = Cov[u (ŷ), ŷ] < 0 (21) Daraus ergibt sich, dass eine Erhöhung der Steuer (γ wird kleiner) zu Wohlfahrtsgewinnen führt Man kann auch ziemlich leicht zeigen, dass eine maximale Steuer nicht optimal ist Es existiert also eine innere Lösung t für die gilt U ( γ) = 0 mit γ = γ und ĥ = h Der second-best Transfer ist z = t h
Gliederung 1 Grundlegendes 2 Optimaler Wohlfahrtsstaat bei Exogenem Einkommen 3 Optimaler Wohlfahrtsstaat bei Endogenem Einkommen 4 Zusammenfassung
Zusammenfassung Bei risikoaversen Individuen ist vollkommene Umverteilung optimal Sobald aber Einkommen durch kostspielige Investitionen erzielt wird, innere Lösung optimal für Steuer-Transfer System Aber diese Lösung auch nicht Pareto-Optimal, sondern nur second best
References I Giacomo Corneo. Öffentliche Finanzen: Ausgabenpolitik. Mohr Siebeck, Tübingen, 2003.