Informationstechnisches Gymnasium Leutkirch Kombinatorische Schaltwerke Informationstechnik (IT) Gemäß Bildungsplan für das berufliche Gymnasium der dreijährigen Aufbauform an der Geschwister-Scholl-Schule Leutkirch Autor: Peter Wiech Dipl.-Ing. (FH), Studienrat, MBA Version: 1.05 Leutkirch, den 03. Oktober 2015
Einleitung Einleitung Das vorliegende Unterrichtsmaterial stellt den Einstieg in das Fach Informationstechnik am Informationstechnischen Gymnasium dar. Es beschreibt die Lehrplaneinheit 2 Technische Informatik I für die Eingangsklasse am beruflichen Gymnasium der dreijährigen Aufbauform und folgt damit dem Amtsblatt des Ministeriums für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg (Ausgabe C vom 17. 05. 2004). Der Aufbau dieses Unterrichtsmaterials ist wie folgt gegliedert: Einleitung Theoretische Abhandlungen Beispiele und Veranschaulichungen aus der Praxis Übungen und Musterlösungen Literaturverzeichnis Meiner Frau danke ich sehr herzlich für die hilfreiche Unterstützung beim Erstellen dieser Arbeit. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech I
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Definition... 4 2 Logische Grundschaltungen... 5 2.1 UND-Funktion (AND)... 5 2.2 ODER-Funktion (OR)... 6 2.3 NICHT-Funktion (NOT)... 7 2.4 NAND-Funktion... 8 2.5 NOR-Funktion... 8 2.6 XOR-Funktion... 9 2.7 XNOR-Funktion... 10 2.8 Gegenüberstellung Wertetabellen... 10 2.9 Logische Funktionen zweier Eingangsvariablen... 11 3 Grundlagen der Schaltalgebra... 12 3.1 Rechenregeln für eine Veränderliche... 13 3.2 Rechengesetze... 14 3.3 Abgeleitete Rechenregeln... 16 4 Analyse und Synthese von Schaltungen... 18 4.1 Aufstellen der Wertetabelle... 18 4.2 Disjunktive Normalform (ODER-)... 20 4.3 Konjunktive Normalform (UND-)... 22 Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech II
Inhaltsverzeichnis 4.4 NAND und NOR als Universalelemente... 22 4.4.1 NAND-Universalelement... 22 4.4.2 NOR-Universalelement... 24 4.5 Das Karnaugh-Veitch-Diagramm... 25 5 Typische Schaltwerke... 28 5.1 Codewandler... 28 5.2 Multiplexer und Demultiplexer... 29 5.3 Addierer und Subtrahierer... 32 5.3.1 Halbaddierer... 32 5.3.2 Volladdierer... 33 5.3.3 4-Bit-Addierwerk... 34 5.3.4 Subtrahierer... 35 5.4 Komparator... 35 6 Zusammenfassung... 37 7 Übungen und Lösungen... 38 7.1 Logische Grundschaltungen... 38 7.2 Grundlagen der Schaltalgebra... 40 7.3 Analyse und Synthese von Schaltungen... 41 7.4 Typische Schaltwerke... 42 Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech III
Definition 1 Definition Die Verarbeitung binärer Informationen erfolgt in digitalen Rechenanlagen mithilfe logischer Schaltungen, den Schaltwerken, welche binäre Wörter in andere binäre Wörter umwandeln. Ein Schaltwerk hat n Eingangsleitungen und m Ausgangsleitungen. Auf den Eingangsleitungen können binäre Wörter x1 x2... xn mit xi {0, 1} eingegeben werden, und auf den Ausgangsleitungen erscheinen in Abhängigkeit von der Eingabe binäre Wörter y1 y2... yn mit yi {0, 1}. Hängt die Ausgabe nur von der momentan anliegenden Eingabe ab, so spricht man von einem kombinatorischen Schaltwerk (Schaltkreis bzw. Schaltnetz). Kombinatorische Schaltwerke verfügen über keinerlei Speichermöglichkeiten. Beschreibungsmittel für kombinatorische Schaltwerke ist die Schaltalgebra. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 4
Logische Grundschaltungen 2 Logische Grundschaltungen Logische Grundschaltungen werden durch Gatterschaltwerke realisiert, bei denen die Werte 0 und 1 durch unterschiedliche Spannungsniveaus dargestellt werden, welche sich an den Anschlüssen des Schaltwerks einstellen können. Sie werden durch die Zusammenschaltung einfacher Grundgatter aufgebaut. Die gebräuchlichsten sind UND- Gatter, ODER-Gatter, NOT-Gatter, NAND-Gatter, NOR-Gatter, XOR-Gatter und XNOR- Gatter. In der Praxis realisiert man Gatterschaltwerke mittels elektronischer Bauelemente wie Dioden, Transistoren und Widerstände. 2.1 UND-Funktion (AND) Ist ein Relais über zwei in Reihe geschaltete Schließer a und b angeschlossen, so zieht das Relais an, wenn die Kontakte a und b geschlossen sind. In der Schaltalgebra ergibt dies die Schreibweise xk1 = a b ( sprich: und). Das -Zeichen wird zum Rechnen oft durch das * -Zeichen ersetzt. Da a und b nur die Werte 0 oder 1 annehmen können, können die Schaltzustände aus der Wertetabelle entnommen werden. Aus der Wertetabelle ergeben sich die Rechenregeln für die UND-Funktion. Ein UND-Glied führt am Ausgang nur dann ein Signal mit dem Wert 1, wenn alle Eingangssignale den Wert 1 haben. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 5
Logische Grundschaltungen Aufgabe 2.1.1: Vervollständigen Sie folgendes Zeitablaufdiagramm: Lösung siehe Anhang. Aufgabe 2.1.2: Überlegen Sie sich, wie die Prinzipschaltung eines UND-Gatters in Transistortechnik dargestellt werden kann. Zeichnen Sie die UND-Prinzipschaltung. Lösung siehe Anhang. 2.2 ODER-Funktion (OR) Ist ein Relais über zwei parallel geschaltete Schließer a und b angeschlossen, so zieht das Relais an, wenn die Kontakte a oder b geschlossen sind. In der Schaltalgebra ergibt dies die Schreibweise xk1 = a b ( sprich: oder). Das -Zeichen 1 wird zum Rechnen oft durch das + -Zeichen ersetzt. Da a und b nur die Werte 0 oder 1 annehmen können, können die Schaltzustände aus der Wertetabelle entnommen werden. Aus der Wertetabelle ergeben sich die Rechenregeln für die ODER-Funktion. 1 -Zeichen von lat. vel = oder Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 6
Logische Grundschaltungen Ein ODER-Glied führt am Ausgang nur dann ein Signal mit dem Wert 1, wenn mindestens ein Eingangssignale den Wert 1 haben. Aufgabe 2.2.1: Vervollständigen Sie folgendes Zeitablaufdiagramm: Lösung siehe Anhang. Aufgabe 2.2.2: Überlegen Sie sich, wie die Prinzipschaltung eines ODER-Gatters in Transistortechnik dargestellt werden kann. Zeichnen Sie die ODER-Prinzipschaltung. Lösung siehe Anhang. 2.3 NICHT-Funktion (NOT) Die NICHT-Funktion wird auch als Umkehr-Funktion, Negation, Invertierung oder Komplementierung bezeichnet. Sie entspricht bei einer Relaisschaltung einem Relais K1, das über einen Öffner a gesteuert wird. In der Schaltalgebra schreibt man dafür xk1 = ā (ā sprich: a nicht). Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 7
Logische Grundschaltungen Aufgabe 2.3.1: Überlegen Sie sich, wie die Prinzipschaltung eines NICHT-Gatters in Transistortechnik dargestellt werden kann. Zeichnen Sie die NICHT-Prinzipschaltung. Lösung siehe Anhang. 2.4 NAND-Funktion Schließt man am Ausgang eines UND-Elementes ein NICHT-Element an, so entsteht ein UND-NICHT-Element, das NAND-Element 2. 2.5 NOR-Funktion Schließt man am Ausgang eines ODER-Elementes ein NICHT-Element an, so entsteht ein ODER-NICHT-Element, das NOR-Element 3. 2 NAND = Kunstwort aus NOT AND (NICHT UND) 3 NOR = Kunstwort aus NOT OR (NICHT ODER) Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 8
Logische Grundschaltungen 2.6 XOR-Funktion Die XOR-, Antivalenz 4 - oder Exklusiv-ODER-Schaltung erhält man, indem man an einem ODER-Element zwei UND-Elemente mit den Eingangssignalen (ē1 e2) oder (e1 ē2) anschließt. Das Kennzeichen =1 im Schaltzeichen drückt aus, dass am Ausgang X nur dann ein Signal mit dem Wert 1 erscheint, wenn genau eine der Eingangsvariablen ein Signal mit dem Wert 1 hat. 4 von lat. antivalens = entgegengesetzt wertig Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 9
Logische Grundschaltungen 2.7 XNOR-Funktion Die XNOR-, Äquivalenz- oder Exklusiv-NOR-Schaltung erhält man, indem man an einem ODER-Element zwei UND-Elemente mit den Eingangssignalen (e1 e2) oder (ē1 ē2) anschließt oder eine XOR-Schaltung negiert. Das Kennzeichen = im Schaltzeichen drückt aus, dass nur bei Gleichheit der Eingangssignale am Ausgang ein Signal mit dem Wert 1 entsteht. 2.8 Gegenüberstellung Wertetabellen Die unten stehende Tabelle zeigt die Wertetabellen der Gatterfunktionen: Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 10
Logische Grundschaltungen Eingang Ausgang A B UND ODER NAND NOR XOR XNOR 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 Gegenüberstellung der alten und neuen (DIN) Logiksymbole. 2.9 Logische Funktionen zweier Eingangsvariablen Für die Verknüpfung von zwei Eingangsvariablen gibt es 16 Möglichkeiten. Technisch verwertbar sind davon 10 Verknüpfungen. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 11
Grundlagen der Schaltalgebra 3 Grundlagen der Schaltalgebra Die Schaltalgebra ist ein Hilsmittel, um eine Relaisschaltung oder eine kontaktlose Schaltung zu beschreiben oder zu entwerfen. Bei der Analyse einer Schaltung bestimmt man die Schaltbedingungen mit Hilfe der Schaltalgebra. Bei der Synthese einer Schaltung entwickelt man aus den Schaltbedingungen mit Hilfe der Schaltalgebra eine Schaltung. Die Grundlage der Schaltalgebra bildet die Boolesche 5 Algebra (Algebra der Logik). Die Rechenregeln für die Zahlenwerte der Grundfunktionen zeigen, dass man in der Schaltalgebra mit drei Rechenarten auskommt. Diese Rechenarten sind eine Art Multiplikation (Konjuktion 6, UND), z.b. 1 1 = 1 oder 1 * 1 = 1, eine Art Addition (Disjuktion 7, ODER), z.b. 1 1 = 1 oder 1 + 1 = 1, und die Umkehrung (Komplementierung, Inversion 8, Negation), z.b. Ō = 1. Aufgabe 3.0.1: Entwickeln Sie für die Schaltfunktion x = [a (b c)] đ den Logik- Funktionsschaltplan. Aufgabe 3.0.2: Entwickeln Sie für die Schaltfunktion x = [(a b) c] đ den Logik- Funktionsschaltplan. 5 George Boole, engl. Mathematiker (1815 bis 1864) 6 Konjunktion = Verbindung 7 Disjunktion = Trennung 8 Inversion = Umkehrung Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 12
Grundlagen der Schaltalgebra Lösung siehe Anhang. 3.1 Rechenregeln für eine Veränderliche Rechenregeln für eine Veränderliche enthalten die Verknüpfungen einer Veränderlichen mit einer Konstanten 0 oder 1 sowie die Gesetze für die Verknüpfungen der Veränderlichen mit sich selbst bzw. deren Invertierung. Ziel ist es, eine Vereinfachung der entsprechenden Schaltung zu erreichen. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 13
Grundlagen der Schaltalgebra 3.2 Rechengesetze Rechengesetze der Schaltalgebra sind das Kommuativgesetz (Vertauschungsgesetz), Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz), die Distributivgesetze (Verteilungsgesetze) und die de morganschen 9 Gesetze (Umkehrgesetze). Beweis des 1. de morganschen Gesetzes über die Wahrheitstabelle: 9 de Morgan, engl. Mathematiker (1806 bis 1871) Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 14
Grundlagen der Schaltalgebra Beispiele mit Lösungen: Weitere Beispiele aus meinem Studiumsordner? Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 15
Grundlagen der Schaltalgebra 3.3 Abgeleitete Rechenregeln Aus den Grundgesetzen der Schaltalgebrakann man weitere Rechenregeln herleiten. Das -Zeichen wird zum Rechnen oft durch das * -Zeichen ersetzt, bzw. wie in der Mathematik einfach weg gelassen. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 16
Grundlagen der Schaltalgebra Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 17
Analyse und Synthese von Schaltungen 4 Analyse und Synthese von Schaltungen Bei der Analyse untersucht man eine bestehende Schaltung. Dabei ermittelt man die Schaltfunktion mithilfe der Schaltalgebra aus den Schaltungsunterlagen, z.b. dem Stromlaufplan. Bei der Synthese wird eine Schaltung mithilfe der Bedingungen für die Schaltung ermittelt. Bei einfacheren Schaltungen ist es möglich, aus diesen Bedingungen sofort die Schaltfunktion aufzustellen. Meist wird man aber zunächst die Wertetabelle für die Schaltung aufstellen. 4.1 Aufstellen der Wertetabelle In der kombinatorischen Schaltungstechnik wird die binäre Verknüpfung zwischen den Eingangsvariablen und den Ausgangsvariablen in Form einer Schaltfunktion dargestellt. Sie hat den Nachteil, dass nicht sofort alle Kombinationen der Eingangsvariablen ersichtlich sind, die den Ausgangswert 1 der Ausgangsvariablen liefern. Diese Bedingung erfüllt die Wertetabelle. Sie besteht aus den Spalten für die Eingangsvariablen und der Spalte für die Ausgangsvariable. Letztere wird ganz rechts angeordnet, die Eingangsvariablen in aufsteigender Reihenfolge links daneben. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 18
Analyse und Synthese von Schaltungen Die vollständige Wertetabelle einer Schaltfunktion mit n Eingangsvariablen besteht aus 2 n Zeilen. Aufgabe 4.1.2: Lösung siehe Anhang. Man kann auch eine unvollständige Wertetabelle aufstellen, wenn von der Anwendung her nicht die vollständige Tabelle erforderlich ist oder wenn die Zahl der Eingangsvariablen eine zu große Tabelle liefern würde. Es muss dann aber die vollständige Information enthalten sein, z.b. alle Zeilen, in denen die Ausgangsvariable den Wert 1 hat. Aus der Wertetabelle kann man dann die Schaltfunktion entnehmen. Dafür gibt es zwei Darstellungsmöglichkeiten, die als ODER-Normalform oder als UND-Normalform bezeichnet werden. Meist wird die ODER-Normalform angewendet. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 19
Analyse und Synthese von Schaltungen 4.2 Disjunktive Normalform (ODER-) Die disjunktive Normalform 10 (DNF) kann man aus der Wertetabelle entnehmen, wenn man die Zeilen der Ausgangsvariablen vom Wert 1 heraussucht und jeweils die Eingangsvariablen, bei 1 nicht invertiert und bei 0 invertiert, hinschreibt und über UND verknüpft. Alle derartigen Terme werden dann über ODER verknüpft. Somit läßt sich jede boolsche Funktion als Disjunktion von Mintermen darstellen. Die ODER-Normalform findet vor allem bei der Programmierung von PLDs (programmierbare Logikelemente) Anwendung. Aufgabe 4.2.1: Lösung siehe Anhang. 10 lat. disjunctus = getrennt Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 20
Analyse und Synthese von Schaltungen Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 21
Analyse und Synthese von Schaltungen 4.3 Konjunktive Normalform (UND-) Man kann aus der Wertetabelle die Schaltfunktion auch entnehmen, wenn man die Zeilen mit der Ausgangsvariablen vom Wert 0 heraussucht. Dies mach dann Sinn, wenn in der Wertetabelle die Ausgangsvariable meist den Wert 1 hat. Geht man dann wie bei der ODER-Normalform vor, so erhält man die Schaltfunktion für die invertierte Ausgangsvariable. Invertiert man nun die gesamte Schaltfunktion, so entsteht die Schaltfunktion der nicht invertierten Ausgangsvariablen. Wendet man dabei auf die Eingangsvariablen die de morganschen Gesetze an, so sind jetzt die Eingangsvariablen über (sprich: oder) verknüpft und die so entstehenden Terme über (sprich: und). Diese Form der Schaltfunktion bezeichnet man als konjunktive Normalform (KNF) 11. 4.4 NAND und NOR als Universalelemente 4.4.1 NAND-Universalelement Alle Grundfunktionen lassen sich mit Hilfe von NAND-Gliedern verwirklichen. Zur Realisierung einer vorhandenen Schaltfunktion mit NAND-Gliedern ersetzt man die einzelnen Verknüpfungen durch NAND-Schaltungen. Soll die Schaltfunktion minimiert werden, so wird diese zweimal invertiert, und anschließend werden die de Morganschen 11 lat. konjunctus = verbunden Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 22
Analyse und Synthese von Schaltungen Gesetze angewendet. Schaltalgebraisch ist die Schreibweise von Schaltfunktionen mit Hilfe von NAND-Funktionen sehr unübersichtlich. Man geht deshalb bei der Aufstellung einer Schaltfunktion so vor, dass man sie aus den Grundfunktionen zusammensetzt und erst im Endzustand umwandelt. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 23
Analyse und Synthese von Schaltungen 4.4.2 NOR-Universalelement Mit NOR-Gattern lassen sich ebenfalls die Grundfunktionen NICHT, UND und ODER darstellen. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 24
Das Karnaugh-Veitch-Diagramm 4.5 Das Karnaugh-Veitch-Diagramm Das Karnaugh-Veitch-Diagramm (KV-Diagramm) enthält in gedrängter Form die Informationen der Wertetabelle. Edward W. Veitch ist ein amerikanischer Mathematiker und er entwickelte 1952 ein grafisches Verfahren für die Optimierung von Digitalschaltungen, welches 1953 von Maurice Karnaugh weiterentwickelt wurde. Das KV-Diagramm hat bei n Eingangsvariablen 2 n Felder. In die Felder wird 1 eingetragen, wenn der UND-Term der Eingangsvariablen den Wert 1 der Schaltfunktion liefert. Die anderen Felder erhalten den Wert 0. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 25
Das Karnaugh-Veitch-Diagramm Die Minimierung einer Schaltfunktion kann direkt dem KV-Diagramm entnommen werden. Dazu faßt man benachbarte Felder, die jeweils den Wert 1 haben, zu Blöcken zusammen. Die Zusammenfassung muß immer so erfolgen, dass ein Block 2, 4 oder 8 Felder enthält, die ein Rechteck oder ein Quadrat bilden. Benachbarte Felder sind auch Felder der letzten und der ersten Zeile und der letzten und der ersten Spalte. Die einzelnen Felder dürfen auch in mehreren Zusammenfassungen vorkommen. Jede Zusammenfassung soll möglichst viele Felder enthalten. Die Zahl der Zusammenfassungen soll möglichst klein sein. Jede Zusammenfassung (Block) bildet ein Glied der gesuchten Schaltfunktion. Die Variablen, die innerhalb des Blocks ihren Zahlenwert nicht ändern, werden miteinander durch die UND-Funktion verknüpft. Die sich ergebenden Terme der Blöcke verknüpft man Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 26
Das Karnaugh-Veitch-Diagramm durch die ODER-Funktion. Diese schaltalgebraische Gleichung ist die reduzierte Schaltfunktion für die Ausgangsvariable s. Überwiegen im Diagramm die Felder mit dem Wert 1, so ist es zweckmäßig durch Blockbildung der Felder mit dem Wert 0 den Wert š der Ausgangsvariablen zu ermitteln. Durch nochmaliges Negieren von š erhält man dann den Wert s der Ausgangsvariablen. Die Bestimmung der reduzierten Schaltfunktion ist bei mehr als zwei Eingangsvariablen mit Hilfe des KV-Diagramms einfacher als mit schaltalgebraischen Mitteln. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 27
Typische Schaltwerke 5 Typische Schaltwerke 5.1 Codewandler Der 7-Segment-Codeumsetzer hat die Aufgabe, den vorhandenen 8-4-2-1-Code in einen 7-Segment-Code umzusetzen. Häufig kommen bei den Codes Vierergruppen von Binärzeichen vor. Diese bezeichnet man als Tetraden. Im folgenden Beispiel soll das kombinatorische Schaltwerk für den Leuchtbalken a entworfen werden. Sie können gerne auch die Schaltwerke für die anderen 6 Leuchtbalken entwerfen. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 28
Typische Schaltwerke Weitere gute Beispiele für Code-Umsetzer findet man im TTL-Kochbuch von TI ab S. 96f. 5.2 Multiplexer und Demultiplexer An den Ausgängen von mehreren binären Elementen liegen entweder Signale mit dem Wert 0 oder mit dem Wert 1 an. Diese stellen insgesamt ein binäres Signal dar. Man bezeichnet es als paralleles Binärsignal, weil verschiedene Pegel gleichzeitig vorhanden sind (parallele Druckerschnittstelle am PC). Derartige Signale sollen oft über eine Leitung zeitlich nacheinander übertragen werden. Dazu wird aus dem parallelen Binärsignal ein serielles Binärsignal erzeugt. Dies ist mit einem Multiplexer möglich. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 29
Typische Schaltwerke Mit einem Demultiplexer kann anschließend wieder ein paralleles Binärsignal erzeugt werden. Ein 4-Bit-auf-1-Bit-Multiplexer hat zwei Eingänge A und B, die die Adressierung der vier Eingangsleiter D0 bis D3 übernehmen. Je nach deren Zustand ist der entsprechende Eingangsleiter auf den Ausgang Q durchgeschaltet. Die Zuordnung der Datenleitungen D0 bis D3 zu den Signalen der Adreßeingänge A und B zeigt die Arbeitstabelle. Nur wenn EN ein Signal mit dem Wert 1 hat, also H-Pegel, ist der Multiplexer freigegeben. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 30
Typische Schaltwerke Die folgenden Abbildungen zeigen eine Schaltung, ein Beispiel, eine Arbeitstabelle und das Schaltzeichen eines 1-Bit-auf-4-Bit-Demultiplexer. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 31
Typische Schaltwerke 5.3 Addierer und Subtrahierer 5.3.1 Halbaddierer Der Halbaddierer berechnet aus zwei binären Ziffern die Summe. Da das Ergebnis der Summe zweistellig sein kann, benötigt man zu dessen Darstellung zwei binäre Ziffern, von denen man die linke als Übertrag co und die rechte als Summe S bezeichnet. Die Abkürzungen co steht dabei für den Übertragsausgang (engl. co = carry output). Mittels der disjunktiven Normalform (DNF) erhält man aus der Wertetabelle folgende Gleichnungen: X Y co S 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Die Gatterschaltung läßt sich jedoch auch mit einem XOR- und einem UND-Gatter realisieren. Die Gleichung für S ist dafür umzuformen. Die Gatterschaltung und das Symbol für einen Halbaddierer ist unten abgebildet. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 32
Typische Schaltwerke 5.3.2 Volladdierer Der Volladierer realisiert die Addition zweier binärer Ziffern unter Berücksichtigung des Übertrags der vorherigen Stelle. Seien X und Y zwei binäre Ziffern und co der Übertrag der vorherigen Stelle. S sei die Summe von X, Y und ci. co sei der dabei entstehende Übertrag. Die folgende Funktionstabelle zeigt das Verhalten und aus ihr lassen sich in disjunktiver Normalsform (DNF) die Gleichungn für s und ü ableiten: X Y ci S co 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Den Beweis für die Umrechnung der DNF von S und co zum Schaltwerk mit Exklusiv- ODER-Gatter (XOR) finden Sie in den Lösungen. Das linke Bild zeigt den Volladdierer, zusammengesetzt aus zwei Halbaddierern und einem ODER-Gatter. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 33
Typische Schaltwerke Das rechte Bild zeigt das Schaltzeichen des Volladdierers. Die Abkürzungen ci bzw. co stehen dabei für den Übertragseingang bzw. Übertragsausgang (engl. ci = carry input bzw. co = carry output). Die Umformung in Full-NAND-Technologie findet man im TTL-Kochbuch von TI ab S. 92f. 5.3.3 4-Bit-Addierwerk Die Verknüpfung mehrstelliger binärer Zahlen realisiert man durch die Zusammenschaltung von Voll- und Halbaddierern zu Addierwerken. Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 34
Typische Schaltwerke 5.3.4 Subtrahierer Die Subtraktion zweier Dualzahlen a und b wird durch die Addition von a und dem Zwei- Komplement von b relisiert. Wie bereits bekannt, erhält man das Eins-Komplement indem man bei einer Binärzahl Stelle für Stelle 1 durch 0 und 0 durch 1 ersetzt. Das Zwei- Komplement erhält man, indem man zunächst das Eins-Komplement bildet und zum Ergebnis 1 addiert. Ein möglicher Übertrag wird ignoriert, wenn die Zahlen gleiches Vorzeichen besitzen. a = 7 = 0111 b = 4 = 0100 (Eins-Komplement: 1011, Zwei-Komplement: 1100) a b = 0111 + 1100 = 0011 = 3 5.4 Komparator Ein Komparator 12 ist eine Schaltung, die prüft, ob eine beliebige Zahl a gleich einer Zahl b ist. Wir wollen anhand eines Beispiels einen Komparator zwei 2-stellige Dualzahler entwerfen. Die Eingangsvariablen sind a1, a2 und b1, b2. Die Ausgangsvariable y soll den Wert 1 haben, wenn die beiden Dualzahlen gleich sind. Das Bild zeigt das Schaltsymbol eines Komparators und die Wertetabelle: 12 lat. comparator = Vergleicher Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 35
Typische Schaltwerke Aus der Wertetabelle können wir nun die disjunktive Normalsform (DNF) entnehmen und durch Umformen erhalten wir: Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 36
Zusammenfassung 6 Zusammenfassung Das kennen und können Sie schon: Definition Kombinatorisches Schaltwerk Alle logischen Grundschaltungen, ihre Wertetabellen und Schltsymbole Rechengesetze und Grundlagen der Schaltalgebra Komplementbildung / (B-1)-Komplement Aufstellen der Wertetabellen und Erstellen der DNF und der KNF Schaltalgebraische Umwandlung in NAND- und NOR-Universalelemente KV-Diagramm für 2, 3 und 4 Eingangsvariablen) Funktionsbeschreibung und Schaltungsherleitung von Codewandlerm Funktionsbeschreibung und Schaltungsherleitung von Multiplexern Funktionsbeschreibung und Schaltungsherleitung von Addierern Funktionsbeschreibung und Schaltungsherleitung von Komparatoren Vertiefung des Wissens durch das Lösen der Übungsaufgaben Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 37
Übungen und Lösungen 7 Übungen und Lösungen 7.1 Logische Grundschaltungen Lösung zu Aufgabe 2.1.1: Lösung zu Aufgabe 2.1.2: Lösung zu Aufgabe 2.2.1: Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 38
Übungen und Lösungen Lösung zu Aufgabe 2.2.2: Lösung zu Aufgabe 2.3.1: Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 39
Übungen und Lösungen 7.2 Grundlagen der Schaltalgebra Lösung zu Aufgabe 3.0.1 Lösung zu Aufgabe 3.0.2 Lösung zu Aufgabe unter 3.3 Abgeleitete Rechenregeln Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 40
Übungen und Lösungen 7.3 Analyse und Synthese von Schaltungen Lösung zur Aufgabe unter Kapitel 4.1.2 Lösung zur Aufgabe unter Kapitel 4.2.1 Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 41
Übungen und Lösungen 7.4 Typische Schaltwerke Volladdierer: Anbei der Beweis für die Umrechnung der DNF von s und ü zum Schaltwerk mit Exklusiv-ODER-Gatter (XOR): Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 42
Übungen und Lösungen Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 43
Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis Fachkunde Informations- und Industrieelektronik, EUROPA Lehrmittel, 4. Auflage, ISBN 3-8085-3244-0 (Bildnachweis) Fachkunde Industrieelektronik und Informationstechnik, EUROPA Lehrmittel, 9. Auflage 2006, ISBN 3-8085-3249-1 (Bildnachweis) Ingenieurinformatik WS 05/06, Dr.-Ing. K. Jäger-Hezel, Vorlesungsskript Technische Universität Braunschweig, Institut für Datentechnik und Kommunikationsnetze, Vorlesung Technische Informatik II, Grundzüge der Datentechnik, Kapitel 1, www.ida.ing.tu-bs.de/service/download/ti1bach/free/ti2bach-data/lecture- Notes/Kapitel-1-Bachelor.pdf (Bildnachweis) http://www.ida.ing.tu-bs.de/service/download/ti1bach/free/ti2bach-data/ Duden, Schülerduden Informatik, 4. Aktualisierte Auflage, ISBN 3-411-04484-5 http://www.galileocomputing.de/openbook/kit/ Turing-Maschine: http://www.galileocomputing.de/openbook/kit/itkomp02003.htm#rxx355kap0200304 0001B21F015176 Kombinatorische Schaltwerke Peter Wiech 44