V 32 Kondensaor, Spule und Widersand Zei- u. Frequenzverhalen.Aufgaben:. Besimmen Sie das Zei- und Frequenzverhalen der Kombinaionen von Kondensaor und Widersand bzw. Spule und Widersand..2 Ermieln Sie die Zeikonsanen und Grenzfrequenzen beider Baugruppen. 2.Grundlagen: Sichwore: Kapaziä, Indukiviä, Inegraor, Tiefpass, Differeniaor, Hochpass. Eine der wichigsen Grundschalungen der Elekroechnik sellen die Baugruppen aus Widersand R, Kapaziä C und Indukiviä L dar. Die Kombinaionen der 3 Grundbauelemene ergeben je nach Anordnung der Elemene verschiedene Charakerisika: RC-Glied, LR-Glied Tiefpass (Inegraor), CR-Glied, RL-Glied Hochpass (Differeniaor). Die Kombinaionen aus R und C bzw. R und L soll hier behandel werden. Einschalen (Aufladung) des Kondensaors: Uc ( ) U0 e τ, Ic ( ) I0 e τ () Die Spannung am Kondensaor U C wächs mi der Zeikonsane τ von 0 bis zur Spannung U 0 an. Der Ladesrom I C kling mi der Zeikonsane τ vom Anfangswer I(0) I 0 U 0 / R exponeniell auf Null ab. Zeikonsane: Die Zeikonsane τ für die Aufladung is die Zeidauer, in der die Spannung auf -/e (ca.2/3) des Maximalweres U 0 angesiegen is. Beim Enladen is τ die Zei, in der die Spannung von U 0 auf /e (ca./3) abgefallen is. Die Zeikonsane τ beim Kondensaor is das Produk aus Kapaziä C und dem Widersand R, über den der Kondensaor aufgeladen wird. τ Ri C (2) Ausschalen (Enladung) des Kondensaors: Im Enladungsfall ergeben sich die Kondensaorspannung U C () sowie der Enladesrom I() zu: UC ( ) U0 e τ, IC ( ) I0 e τ Der Enladesrom I C fäll mi der Zeikonsanen τ vom Anfangswer I(0) I 0 U 0 / R exponeniell auf Null ab. Die Spannung am Kondensaor U C fäll mi der Zeikonsanen τ vom Anfangswer U 0 exponeniell auf Null ab, wobei R jez der Widersandswer is, über den sich der Kondensaor enläd. (3). 32- RLC Zei- u. Frequenzverhalen Seie von 8 07/2
Einschalen der Spule: 0 0 ( ) τ, ( ) UL U e IL I e Ausschalen der Spule: UL ( ) U0 e τ, IL ( ) I0 e τ τ (4) (5) Bei einer Indukiviä ergib sich die Zeikonsane τ als Quoien aus Indukiviä L und dem Widersand R, über den der Srom beim Einschalen b.z.w. Ausschalen fließ. τ L R 2. Kondensaor und Widersand Da das RC-Glied uner besimmen Bedingungen elekronisch inegrierend wirk und mi dem CR-Glied elekronisch differenzier werden kann, benuz man auch die Bezeichnungen Inegraor und Differeniaor für diese Baugruppen. Je nachdem über welchem Bauelemen (C oder R) man die Ausgangsspannung abgreif unerscheide man also zwischen dem RC- und CR-Glied. Bezüglich des Zei- und Frequenzverhalens unerscheiden sich beide. Leg man an die Reihenschalung eines Widersandes R und einer Kapaziä C eine Eingangsspannung und greif die Ausgangspannung über C ab erhäl man einen Tiefpass b.z.w. einen Inegraor. Das Zeiverhalen wurde in 2. für das Ein- u. Ausschalen beschrieben. Verausch man man R und C in der Schalung erhäl man einen Hochpass b.z.w. Differeniaor (CR- Glied). Auch hier gib es ein ypisches Zeiverhalen für das Ein- u. Ausschalen. (6) Abb. Schalbild RC- u. CR-Glied Neben dem Verhalen eines RC Gliedes im Zeibereich kann man auch die Ausgangsspannung in Abhängigkei der Frequenz berachen. In der Technik spiel diese Funkion zur Signalverarbeiung als Filer ebenfalls eine wichige Rolle. Es ergib sich beim RC-Glied eine Tiefpassfunkion (bei konsaner Eingangsspannung nimm die Ausgangsspannung mi seigender Frequenz ab) und beim CR-Glied eine Hochpassfunkion (bei konsaner Eingangsspannung nimm die Ausgangsspannung mi seigender Frequenz zu). 32- RLC Zei- u. Frequenzverhalen Seie 2 von 8 07/2
Das Frequenzverhalen ergib sich aus dem frequenzabhängigen Widersand des Kondensaors. Berag des kapaziiven Widersandes beim Kondensaor X C ωic (7) Wir haben es beim Kondensaor mi einem Blindbauelemen zu un. Man darf also die Berachung einer Phasenverschiebung nich vernachlässigen. Um die Spannungsverhälnisse an R und C ausrechnen zu können muss man in der komplexen Zahlenebene arbeien. Deshalb müssen die einzelnen Teilspannungen quadraisch addier werden. Es gil: U U + U 2 2 2 e R C Hier is Ue die Eingangsspannung, UR die Spannung am Widersand (auf der reellen Achse) und U C die Spannung am Kondensaor (auf der imaginären Achse). Die Beräge (Ampliuden) addieren sich wie im rechwinkligen Dreieck und dieser Zusamenhang kann graphisch sehr gu dargesell werden: (8) Abb.2 Phasenverschiebung am RC-Glied Für die RC-und CR-Glieder gil weier: Phasenverschiebung ϕ zwischenue und Ua beräg R beimtiefpass ϕ arc an ( ωrc ) arc an und dami 45 bei der Grenzfrequenz ω (9) g XC XC beim Hochpass ϕ + arc an + arc an b. z. w. + 45 bei der Grenzfrequenz ωg (0) ωrc R 32- RLC Zei- u. Frequenzverhalen Seie 3 von 8 07/2
2.2 Indukiviä und Widersand Das Zeiverhalen des RL - Gliedes ensprich dem des CR-Gliedes (differenzierend). Das LR - Glied verhäl sich im Zeibereich wie eine RC-Kombinaion (inegrierend). Abb.3 Schalbild RL- u. LR-Glied Wie bei einem RC-Glied kann man frequenzabhängige Schalungen auch mi einem RL- Glied (Widersand und Indukiviä) realisieren. Die Eigenschafen sind hier nur "verausch". Die Frequenzabhängigkeien der Spannungseilerschalung ensehen auch hier wieder dadurch, dass sich der Blindwidersand der Indukiviä (Berag: X L ωl) mi der Frequenz änder (nimm mi seigender Frequenz zu) während die Größe des ohmschen Widersandes R unveränder bleib. Dadurch änder sich das Spannungseilerverhälnis. Bei iefen Frequenzen (ωl < R) fäll der Haupeil der Eingangsspannung an R (grosser Widersand) ab, während die Spannung am (kleinen) Widersand von L nur gering is, bei hohen Frequenzen ωl > R is es umgekehr. Schick man also ein Frequenzgemisch, z.b. Musik, als Eingangsspannung auf die LR - Kombinaion und greif sich die Spannung über R zur weieren Versärkung heraus, so werden am Ende haupsächlich die iefen Töne zu hören sein, die hohen sind an der Indukiviä L hängengeblieben (Tiefpass). Würde das Signal an L abgegriffen so passier genau das Gegeneil (Hochpass). Da der Widersand einer Indukiviä auch ein Blindwidersand is ( iωl) müssen die zugehörigen Rechungen mi komplexen Zahlen erfolgen. Auch hier lassen sich die Verhälnisse am Spannungseiler grafisch durch vekorielle Addiion in der komplexen Zahlenebene veranschaulichen. Hier is Ue die Eingangsspannung, UR die Spannung am Widersand (auf der reellen Achse) und U L die Spannung an der Indukiviä (auf der imaginären Achse). Die Beräge (Ampliuden) addieren sich wie im rechwinkligen Dreieck: Abb.4 Phasenverschiebung RL-Glied U U + U 2 2 2 e R L Auch hier gil: (). 32- RLC Zei- u. Frequenzverhalen Seie 4 von 8 07/2
Berag des indukiven Widersandes bei der Indukiviä X L ωi L (2) Phasenverschiebung ϕ zwischen Ue und Ua beräg ωl beim LR Tiefpass ϕ + arc an und dami + 45 bei der Grenzfrequenz ωg R (3) R beimrl Hochpassϕ arc an b. z. w. 45 bei der Grenzfrequenz ωg ωl (4) Grenzfrequenz: Ein wichiger Parameer zur Charakerisierung von Filern is die Grenzfrequenz : Diese erreich, wenn die Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannung auf / 2 abgefallen is. Grenzfrequenz Definiion U a 0, 707 U 2 e (5) Grenzfrequenz ω g ω g f g τ RiC 2π (6) Grenzfrequenz ωg τ R L (7) 32- RLC Zei- u. Frequenzverhalen Seie 5 von 8 07/2
3.Versuchsdurchführung Zum Aufzeichnen der Signalformen und Messung von Spannungen seh Ihnen der PCgeseuere AD-Wandler USB208FS und die LabView Sofware Y-Analyzer (GPra) zur Verfügung. An Benuzen Sie für die USB208FS folgende Anschlussbelegung: [A-In CH0] Eingang der Experimenierschalung [A-In CH] Ausgang der Experimenierschalung Für Ihr Prookoll übernehmen Sie alle aussagekräfigen Darsellungen b.z.w. Bilder des Oszilloskops und der LabView Sofware. 3. Messung des Zeiverhalens eines RC Gliedes 3.. Bauen Sie nacheinander beide Schalungen nach Abb. auf. Verwenden Sie die Bauelemenewere in der dor angegebenen Schalung ( R0k C47nF ). Benuzen Sie jez einen Funkionsgeneraor zum Ein- und Ausschalen der Spannung am Eingang. Legen Sie an den Eingang der Schalungen ein Rechecksignal (Tase "Wave") von 5V Ampliude mi einer Frequenz von 200 Hz. Der Ausgang TTL/CMOS Oupu des Funkionsgeneraors liefer diese Spannung. Die Ampliude können Sie mi der verwendeen Sofware messen. Abb.5 Schalungsaufbau zur Messung des Zeiverhalens Beobachen Sie gleichzeiig Eingangssignal (A-In Ch0) und Ausgangssignal (A-In Ch). Variieren Sie auch die AD-Wandler Parameer und bechreiben Sie ev. aufreende Probleme. Opimieren Sie dann die Messparameer des A/D Wandlers so, daß man die Zeikonsane gu beobachen kann und max. 2 Perioden des Signals im Zeibereich aufgenommen werden. 32- RLC Zei- u. Frequenzverhalen Seie 6 von 8 07/2
3..2 Besimmen Sie die Zeikonsanen τ und vergleichen diese wieder mi den heoreischen Zeikonsanen (Bauelemenewere) des RC- und CR-Gliedes. Nuzen Sie das Menü Auswerung der Sofware für die Vermessung. Übernehmen Sie nur das Signalbild des CR-Gliedes für Ihr Prookoll (Funkion: Drucken auf ). 3.2 Messung des Frequenz-und Phasenverhalens des RC-Gliedes im CW-Verfahren Verwenden Sie die gleichen Schalungen und messen den Frequenzgang beider Baugruppen nach Abb.5 im CW (Coninous Wave) -Verfahren. Den Frequenzgang besimm man, durch Variieren der Frequenz und Messung der Ausgangsspannung (Voraussezung: Eingangsspannung bleib konsan). Für eine Simulaion dieses Frequenzverhalens benuzen Sie das LabView-Programm RLC-Simulaion. Die Spannungen am Eingang und Ausgang der Schalung werden wieder mi dem LabView Messprogramm Y-Analyzer und dem AD-Wandler USB208FS gemessen. Als Quelle dien wieder der Funkionsgeneraor. Sellen Sie die Signalform Sinus-Wechselspannung (Tase "Wave") und 8Vss (Regler"Ampliude") ein. Das ensprich ewa der Sellung des AMPL Reglers ca./2. Die Angabe Vss is die Spize-Spize-Spannung in Vol und kann mi der Sofware gemessen werden. Das Signal lieg dann am Ausgang Oupu 50Ω an. Mi dem LabView-Darsellungsprogramm Were-zu-Graph können Sie die gemessenen Were graphisch darsellen, eine x Daei anlegen und speichern, um die Messwere in eine andere Ausweresofware imporieren zu können. Abb.6 Schalungsaufbau zur Messung des Frequenzverhalens 3.2. Besimmen Sie zunächs die Grenzfrequenz fg beider Schalungen. Die Realime- Spannungsmessung der Sofware erleicher Ihnen die Messung. Übernehmen Sie die gemessene Grafik bei der Grenzfrequenz ( Drucken auf ) für Ihr Prookoll. 32- RLC Zei- u. Frequenzverhalen Seie 7 von 8 07/2
3.2.2 Messen Sie jez die Ausgangsspannung in Abhängigkei für weiere Were der Frequenz. Besimmen Sie die jeweilige Phasenverschiebung (in Grad) zwischen Ein- und Ausgangssignal mi Hilfe des Zeisignals. Dafür is das das Menü Auswerung der Sofware hilfreich.). Nehmen Sie ausreichend Messwere, um die Ausgangsampliude und Phase in Abhängigkei der Frequenz in einem Diagramm darsellen zu können. Nehmen Sie 0 bis 5 Messwere zwischen 0Hz und 0kHz auf (z.b.: 0Hz, 20Hz, 50Hz, 00Hz, 200Hz, 400Hz, 800Hz,,5kHz, 3kHz, und 6kHz). Für die Frequenzachse is eine log.darsellung sinnvoll. Für diese Darsellung können Sie sich am PC eine A4 Seie mi einfach log. Millimeerpapier ausdrucken (Siehe Verknüpfung auf dem Deskop). In dieser Grafik solle der Frequenz- u. Phasenverlauf des Hoch- u. Tiefpasses übersichlich dargeselle werden. Welche messechnischen Probleme fallen Ihnen bei zunehmender Frequenz auf und worauf sind diese zurückzuführen? 3.3 Berechnen Sie aus dem gemessenen Tau der Aufgabe 3..2 die Grenzfrequenz fg. Vergleichen Sie die aus dem Tau besimme Grenzfrequenz fg, mi der hier in Aufgabe 3.3. direk gemessenen Grenzfrequenz fg. 3.4 Messung des Zeiverhalens eines RL-Gliedes Bauen Sie wieder nacheinander die Schalungen nach Bild 2 auf. Übernehmen Sie das Signalbild des LR-Gliedes für Ihr Prookoll (Funkion: Drucken auf ). 3.5 Messung des Frequenz-und Phasenverhalens des RL-Gliedes im CW-Verfahren Messungen wie Aufgabe 3.2 3.6 Berechnen Sie wieder aus dem gemessenen Tau der Aufgabe 3.4 die Grenzfrequenz fg. Vergleichen Sie die aus dem Tau besimme Grenzfrequenz fg, mi der hier in Aufgabe 3.5 direk gemessenen Grenzfrequenz fg. Hinweis: Achen Sie bei der Auswerung in Ihrem Prookoll auf eine übersichliche Gesamdarsellung aller gemessenen und errechneen Were und diskuieren diese. Beachen Sie, dass die Bauelemene R, L und C eine Herselleroleranz von +-5% haben. Überlegen Sie welche Fehlerquellen ev. bei den einzelnen Messungen möglich waren. Anhang: Ua jωc Tiefpass Überragungsfunkion A Ue R + + jωrc + ωrc j ω C ( ) 2 i e j arc an ( ωrc ) Beragsmäßiger Ampliudengang A + ( ωrc) 2 Ua R Hochpass Überragungsfunkion A Ue R + + + jωc jωrc ωrc ( ) 2 i e j arc an ωrc Beragsmäßiger Ampliudengang A + ( ωrc ) 2 32- RLC Zei- u. Frequenzverhalen Seie 8 von 8 07/2