Das folgende System besteht aus 4 Schraubenfedern. Die Federn A ; B funktionieren unabhängig von einander. Die Ausfallzeit T (in Monaten) der Federn sei eine weibullverteilte Zufallsvariable mit den folgenden Parametern: Federn A: α = 0,001 und β = 2 ; Federn B: α = 0,005 und β = 2 Das System funktioniert dann zuverlässig, wenn die Federn A 1 und A 2 und B 1 oder A 1 und A 2 und B 2 oder alle 4 Federn zuverlässig funktionieren. A 1 A 2 B 1! " Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Feder vom Typ A bzw. B eine Betriebszeit von 10 Monaten überlebt, 0,9 bzw. 0,6 beträgt. " Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das System eine Betriebszeit von 10 Monaten überlebt. dass das System innerhalb von 10 Monaten Betriebszeit ausfällt. #" Wie viele weitere Federn vom Typ B müssen parallel zu den beiden B-Federn (B 1 und B 2 ) geschaltet werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System eine Betriebszeit von 10 Monaten überlebt, mindestens 80% (d.h. 80% oder mehr als 80%) beträgt? 8p $ Eine Leiterplatte wird mit 2 Dioden, 3 Transistoren und 5 Kondensatoren, die alle unabhängig voneinander funktionieren, in Serienschaltung bestückt. Die Ausfallraten pro Stunden der Bauteile sind wie folgt: Diode: 2,0 10 6 [1/h] ; Transistor: 0,06 10 6 [1/h] ; Kondensator : 0, 1 10 6 [1/h] " Berechnen Sie " die Zuverlässigkeit des Systems. " die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System eine Betriebzeit von 10000 Stunden erreicht. #" die MTTF des Systems. " Um die Zuverlässigkeit des Systems zu verbessern, werden den beiden Dioden jeweils 2 baugleiche Dioden parallel geschaltet. Berechnen Sie %" die Zuverlässigkeit des neuen Systems. " die MTTF des neuen Systems. 8p & Ein Hersteller von elektronischen Bauteilen verwendet eine Anlage zum Fräsen von Linien in Leiterplatten. In jeder Leiterplatte sollen 20 identische Linien unabhängig voneinander gefräst werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anlage eine Linie richtig einfräst, beträgt 0,85. Eine Leiterplatte wird dann akzeptiert (und als nicht-defekt angenommen), wenn mindestens 15 Linien richtig eingefräst wurden. " Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Leiterplatte akzeptiert wird, 0,93 beträgt. (genauerer Wert: 0,933). 2p!:!! "# " Aus dem laufenden Betrieb der Fräsanlage werden zufällig 100 Leiterplatten entnommen. (Wegen des großen Umfangs der Produktion kann diese Entnahme als Ziehen mit Zurücklegen angenommen werden.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, " dass mindestens 3 (d.h. 3 oder mehr als 3) defekte Leiterplatten dabei sind? " dass höchstens 3 (d.h. 3 oder weniger als 3) defekte Leiterplatten dabei sind?!:!!$!%! 4p " Ein Käufer möchte bei diesem Hersteller Leiterplatten bestellen. Wieviele Leiterplatten muss er bestellen, damit in der Bestellung mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 0,99 mindestens 200 fehlerfreie Leiterplatten dabei sind? 10p B 2
'" Um defekte Leiterplatten zu entfernen, werden die Leiterplatten mit einem Prüfgerät geprüft. Tests haben folgendes gezeigt: Vom Prüfgerät werden nur 92% aller defekten Leiterplatten aussondiert. Leider werden durch das Prüfgerät auch 5% aller nicht-defekten Leiterplatten aussondiert. " Wie groß ist der Anteil aller (durch das Prüfgerät) aussondierten Leiterplatte aus der Gesamtproduktion? " Wie groß ist der Anteil der tatsächlich defekten Leiterplatten unter den (vom Prüfgerät) aussondierten Leiterplatten? #" Wenn man 10 000 Leiterplatten prüfen würde, wie viele werden dann (vom Prüfgerät) aussondiert und wie viele von den aussondierten Leiterplatten wären dann tatsächlich defekt? 4p '" Um die Ergebnisse aus Teilaufgabe &' zu verbessern, werden 3 unabhängige identische Prüfgeräte gleichzeitig eingesetzt. Eine Leiterplatte soll dann entfernt werden, wenn mindestens 2 (d.h. 2 oder 3) Prüfgeräte eine Leiterplatte aussondieren. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass eine Leiterplatte entfernt wird? (Wie groß ist nun der Anteil aller entfernten Leiterplatten?) 8p ( Die Messungen von Übertragungszeiten von binären Signalen eines Senders bis zu einem bestimmten Empfänger zeigten, dass die kürzeste Übertragungszeit α = 10 [ms] und die höchste Übertragungszeit β = 40 [ms] beträgt. Die Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Übertragungszeit ergab folgende stetige Gleichverteilung: Dichtefunktion der Gleichverteilung 1 f ( t ) ; für α t < β f ( t ) = β α 0 ; sonst " Zeigen und begründen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist. α β t " Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von f. α + β #" Zeigen Sie, dass die durchschnittliche Übertragungszeit µ = beträgt. 2 %" Zeigen Sie, dass die Varianz für die Übertragungszeit 2 σ = ( 2 α ) 12 ist. " Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Übertragungszeit mehr als 30 [ms] dauert? 8p ) Der Durchmesser von serienmäßig hergestellten Metallkugeln einer Firma sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Mittelwert = 3,0 [cm]. Ein Prüfer lies 1000 Kugeln aus der Serienproduktion durch ein Sieb fallen, dessen Löcher einen Durchmesser von 2,5 [cm] besitzen, so fielen 25 Kugeln durch das Sieb. Wie groß ist Standardabweichung der Durchmesser der Kugel aus der Produktion? 6p * Zwischen zwei bestimmten physikalischen Messgrößen x und y besteht folgender Zusammenhang y = x ; wobei α und β zwei Konstanten sind. α x + β Die folgende Tabelle gibt die Messwerte für y für verschiedene Werte von x. x 2 1 1 2 3 y 0,4 0,2 0,2 0,6 1,0 " Bestimmen Sie die Werte für die Konstanten α und β. " Schätzen Sie y, wenn x = 0,5 ist. 8p + Die Länge von serienmäßig hergestellten Bolzen einer Produktionsanlage sei eine normalverteilte Zufallsvariable. Aus laufender Produktion wurde eine Stichprobe entnommen. Die Messung der Längen von 50 Bolzen ergab folgende Strichliste. Länge: [mm] [ 7, 5 ; 7,7 ) / / / / / / [ 7, 7 ; 7,9 ) / / / / / / / / [ 7, 9 ; 8,1 ) / / / / / / / / / / / / [ 8, 1 ; 8,3 ) / / / / / / / / [ 8, 3 ; 8,5 ) / / / / / / / / Erstellen Sie für diese Stichprobe eine Häufigkeitstabelle und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion und berechnen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung. 6p
x 0