Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 06/07 Universität Münster 26.10.2006, 2.11.2006, 9.11.2006
Wert und Rendite Es bezeichne X i,t den Wert der iten Anlage (z.b. Aktie, Anleihe) zur Zeit t, X i,t = X i,t X i,t t (1) die absolute Wertänderung zur Zeit t und r i,t = 1 t X i,t X i,t t X i,t t (2) die relative Wertänderung (Rendite, Return) pro Zeit t, bei Wahl von t = 1 also r i,t = X i,t X i,t 1 X i,t 1. Da X i,t = X i,t t (1 + r i,t t), (3) entspricht die Periodenrendite r i,t einem linearen, allerdings zur Zeit t t im allg. noch unbekannten Zinssatz.
Log-Rendite Bei kontinuierlichen Aktienkursen werden an Stelle der diskreten Renditen oft die Log-Renditen betrachtet r i,t = (lnx i,t lnx i,t t ) t d.h. die Differenz der logarithmischen Werte (Log-Return, Log-Rendite) pro Zeitintervall t, die für kleine r i,t t wegen ln(1 + X) = xn n=1 ( 1)n+1 n x in die diskreten Renditen übergehen Da r i,t = 1 t ln X i,t = ln(1 + r i,t t) r i,t t X i,t t t t X i,t = X i,t t e r i,t t (4) = r i,t. (5) entspricht die Log-Rendite pro Periode r i,t einem kontinuierlichen Zinssatz. (6)
Wahrscheinlichkeiten diskreter Fall 0 p(x) 1, p(x) = 1 (7) kontinuierlicher Fall 0 p(x), x x p(x)dx = 1 (8) kombinierte Ereignisse, mit p(x y) = p(x gegebeny) p(x undy) = p(x, y) = p(x)p(y x), (9) p(x odery) = p(x) + p(y) p(x, y) (10) Unabhängigkeit p(x, y) = p(x)p(y) (11)
Wahrscheinlichkeiten und statistische Physik Eine Wahrscheinlichkeit läßt sich immer schreiben als p(x) = e βe(x) Z = e βe(x) lnz (12) mit inverser Temperatur β (und typischerweise β = 1), Energie E(x) (Nullpunkt der Energie wird festgelegt durch die Wahl von Z) und Normierungsfaktor ( Zustandssumme ) Z. Diese Darstellungsweise hat bei komplexen Systemen Vorteile, da z.b. bei der Maximierung von Wahrscheinlichkeiten der manchmal schwer zu berechnende Normierungsfaktor Z keine Rolle spielt, eine Erhöhung der Temperatur die für eine globale Analyse oft unötigen feinen Details der Verteilung glättet, und ein Produkt von Wahrscheinlichkeiten einer in vielen Situationen leichter zu berechnenden Summe von Energien entspricht.
Erwartungswert Verschiedene Schreibweisen für den Erwartungswert E(r) = µ r = r = r. Bei diskreten Wahrscheinlichkeiten Summe über alle m möglichen Ereignisse j, E(r) = m j=1 p jr j. Bei kontinuierliche Wahrscheinlichkeiten Integral über alle möglichen Ereignisse x, E(r) = p(x)r(x)dx. Empirische Schätzung bei n Realisierungen r i, Ê(r) = 1 n n i=1 r i. Empirische Schätzung bei n = m j=1 h j Realisierungen mit m verschiedenen Werten, wobei Wert r j mit Häufigkeit h j vorkommt, Ê(r) = 1 n m j=1 h jr j.
Varianz Verschiedene Schreibweisen für die Varianz, z.b. definiert als VAR(r) = V(r) = σ 2 r V(r) = (r r ) 2 = r 2 r 2 = E(r 2 ) E(r) 2. (13) Bei indizierten Variablen r i schreiben wir auch σ 2 r i = σ 2 i. Empirische Schätzung (um eine erwartungstreue Schätzung zu erhalten wird hier bei gleichzeitiger Schätzung von Mittelwert und Varianz durch (n + 1) und nicht durch n geteilt) ˆV(r) = 1 n 1 ( n r i 1 n i=1 ) 2 n r k. (14) k=1
Kovarianz und Korrelation Verschiedene Schreibweisen für die Kovarianz, z.b. COV(i, j) = C(r i, r j ) = C ij = σ ij = (r i r i )(r j r j ) = r i r j r i r j (15) Wegen der Symmetrie C ij = C ji hat die Kovarianzmatrix von n Anlagen also n (n + 1)/2 zu bestimmende Elemente. Korrelation als normierte Kovarianz ρ ij = σ ij σ i σ j, (16) mit σ ii = σ 2 i. Es gilt ρ ij = ρ ji, ρ ii = 1, 1 ρ ij 1, s. (22). Für n Anlagen hat ρ also n (n 1)/2 zu bestimmende Elemente.
Korrelation und Abhängigkeit Korrelation misst nur die lineare Abhängigkeit zweier Größen, d.h. zwei nicht korrelierte Größen können trotzdem abhängig sein. In der Tabelle des folgendem Beispiels, in welcher die Anzahl Beobachtungen für jedes (x, y) Paar angegeben sind, x = 1 x = 0 x = 1 y = 1 0 2 0 y = 1 1 0 1 ist y = 2x 2 1 sogar eine deterministische Funktion von x und damit insbesondere p(x, y) p(x)p(y), also z.b. p(x =1, y =1) = 1/4 p(x =1)p(y =1) = 1/8, trotzdem ist ρ xy (( 1) 1 + 2 ( 1) 0 + 1 1) = 0.
Empirische Kovarianzmatrizen Verwendet man zur Bestimmung der Kovarianzmatrix C eine Zeitreihe mit t Messungen für n Renditen r i (mit Mittel r i ), bilden die Messpunkte also eine n t Matrix B ik mit B ik = r ik r i, 1 i n, 1 k t, (17) so sind die resultierenden Kovarianzen (B T = B transponiert) C ij = t B ik B jk = k=1 t B ik (B T ) kj, also C = BB T. (18) k=1 Die Kovarianzmatrix hat damit höchstens Rang min(n, t), d.h. wenn nicht t n dann hat C sicher Nulleigenwerte. Da zudem die Zahl der zu schätzenden Matrixelemente der Kovarianzmatrix n(n + 1)/2 quadratisch mit n wächst, sollte auch t n sein, zumindest falls man an einer Schätzung aller paarweisen Kovarianzen interessiert ist, und nicht z.b. nur an den größten Eigenwerten.
Eigenschaften der Kovarianzmatrix Die Kovarianzmatrix C ist symmetrisch, d.h. C ij = C ji, mit nicht negativer Diagonale C ii 0 und ist positiv semi definit, d.h. x T Cx = ij x i C ij x j 0, x, da (19) x i C(r i, r j )x j = C( ij i x i r i, j x j r j ) = V( i x i r i ) 0. (20) sowie (Bew.: C ij ist Skalarprodukt, C also von der Form C = BB T, darauf Anwendung der Cauchy Schwarz-Ungleichung) C ij C ii C jj C ij σ i σ j. (21) Entsprechend gilt für die Korrelationsmatrix ρ ρ ij = ρ ji, x T ρx 0, x, ρ ii = 1, ρ ij 1. (22)
Varianz einer Summenverteilung Für eine gewichtete Summenvariable (z.b. Portfoliorendite) r = n w i r i (23) i=1 mit Erwartungswert r = n i=1 w i r i ergibt sich für die Varianz σr 2 = r 2 r 2 = w i w j r i r j w i r i i,j i j = i,j w i w j ( r i r j r i r j ) w j r j = i,j w i w j σ ij = w T Cw (24)
Homogener Fall Betrachten wir der Einfachheit halber den Fall w i = 1, i, folgt σ 2 r = ij C ij = i σ 2 i + i,j i σ ij, (25) bei homogener Varianz σ 2 i = σ 2 und Korrelation ρ ij = ρ, i j σ 2 r = i σ 2 + i,j i ρσ 2 = nσ 2 +n(n 1)ρσ 2 = nσ 2 (1 ρ)+n 2 ρσ 2, und für die relative Varianz, d.h die Varianz von r/n (26) σ 2 rel = σ2 ( r n ) = σ2 r n 2 = 1 n σ2 (1 ρ) + ρ σ 2. (27)
1/ n und ρ Gesetz Bei verschwindender Korrelation, also ρ = 0, ergibt sich das 1/ n Gesetz σ rel = σ r n = 1 σ 0 (28) n n Bei nicht verschwindender Korrelation, also ρ 0, ergibt sich dagegen das ρ Gesetz σ rel = 1 n σ2 (1 ρ) + ρσ 2 n σ ρ (29)
Zur Verfügung stehende Informationen Es wird angenommen, dass folgende Informationen zur Verfügung stehen: Für jede von n Anlagemöglichkeiten ein Erwartungswert der Rendite r 1 r 2 r =. = r n r 1 r 2. r n und deren symmetrische n n Kovarianzmatrix σ 2 1 σ 21 σ n1 C = σ 21 σ2 2 σ n2 σ n1 σ n2 σn 2
Zu optimierende Größen Zu bestimmen ist der die Portfoliovarianz σp 2 = wt Cw minimierende Vektor w, der (zu absoluten Anteilen W i korrespondierenden) relativen Portfolioanteile w i von n Anlagemöglichkeiten mit Wert X i w = w 1 w 2. w n mit w i = W i X i n i=1 W ix i, (30) bei vorgegebener Normierung der Gewichte, n i=1 w i = w T 1 = 1 (Gewichte mit w i < 0, also Leerverkäufe, sind so möglich) und vorgegebener erwarteter Gesamtrendite n i=1 w i r i = w T r = µ P.
Formulieren der Optimierungsaufgabe Führt man zur Implementierung der beiden Nebenbedingungen die beiden Lagrange-Parameter λ und ν ein, so ist folgende Funktion der w i zu minimieren: F(w) = 1 2 wt } {{ Cw} λw T 1 νw T r min!. (31) σp 2 Dazu setzen wir als erstes die Ableitung auf Null 1 0 =! df(w) = Cw λ1 ν r. (32) dwt 1 Gibt es keine risikolosen (Kombinationen von) Anlagen, so ist C invertierbar, dann also positiv definit und die Stationaritätsstelle ist ein Minimum.
Lösung der Optimierungsaufgabe 1 Für invertierbare Kovarianzmatrix C führt dies auf w = λc 1 1 + νc 1 r, (33) womit wir für die Lagrange-Parameter aus den Nebenbedingungen und wegen der Symmetrie von C, und damit auch von C 1, erhalten mit den Zahlen 1 = w T 1 = λ1 T C 1 1 + ν 1 T C 1 r = λa + νb, (34) R = w T r = λ1 T C 1 r + ν r T C 1 r = λb + νd, (35) a = 1 T C 1 1, b = 1 T C 1 r, d = r T C 1 r. (36)
Lösung der Optimierungsaufgabe 2 Dies entspricht der Matrixgleichung ( ) ( )( ) 1 a b λ =, also (37) µ P b d ν ( ) ( ) 1 ( ) λ a b 1 = (38) ν b d µ P ( ) ( ) 1 d b 1 = ad b 2, d.h. b a µ P λ = d b µ P ad b 2 (39) ν = a µ P b ad b 2 (40)
Portfolio minimaler Varianz Verzichtet man auf die Festlegung einer Portfoliorendite µ P, so erhält man das Portfolio minimaler Varianz (σ 2 P 0 wenn C invertierbar) w = λc 1 1, 1 = w T 1 = λ1 T C 1 1 = λa, (41) mit a = 1 T C 1 1 = ij C 1 ij, also w = 1 a C 1 1, d.h. w i = n j=1 C 1 ij n j,k=1 C 1, (42) jk σ min = w T Cw = 1 T C 1 CC 1 1 a 2 = 1 a, (43) µ min = w T r = b a = b σ2 min (44)
Effizienzlinie Für die Varianz stationärer Portfolien ergibt sich aus Gl.(32) σ 2 P = w T Cw = λ + ν µ P (45) Unter Verwendung von (39), (40), (43) und (44) findet man µ P = µ min ± ( ) (σ 2P σ2min ) d µ2 min σmin 2 (46) mit d = ij r ic 1 ij r j. Die Lösung mit positivem Vorzeichen liefert die optimalen Portfolien auf der sogenannten Effizienzlinie.
Kombination zweier Anlagen Für die Kombination zweier Anlagen ergibt sich (s. (16), (24)) σ P = w 2 σ1 2 + (1 w)2 σ2 2 + 2w(1 w)σ 1σ 2 ρ 12, (47) also folgt für ρ = 1 die Additivität der Standardabweichungen für ρ = 0 die Additivität der Varianzen σ P = wσ 1 + (1 w)σ 2, (48) σ 2 P = w2 σ 2 1 + (1 w) 2 σ 2 2, (49) und für ρ = 1 ist eine risikofreie Kombination möglich σ P = wσ 1 (1 w)σ 2. (50)
Portfoliooptimierung ρ ½ nach Markowitz ÒÐ ½ ÒÐ ¾ ρ ¼º ρ ¹½ Risiko Rendite Diagramm für zwei Anlagen ½º ¼º ¼ ½ ¾ µ P ¼ ¼º¾ ¼º ¼º ¼º ½ σ P Risiko Rendite Diagramm für zwei Anlagen mit variierender Korrelation (ohne Leerverkäufe)
Portfoliooptimierung ρ ½ nach Markowitz ÒÐ ½ ÒÐ ¾ ρ ¼º ρ ¹½ Risiko Rendite Diagramm für zwei Anlagen ½º ¼º ¼ ½ ¾ µ P ¼ ¼º¾ ¼º ¼º ¼º ½ σ P Risiko Rendite Diagramm für zwei Anlagen mit variierender Korrelation (teilweise mit negativen Gewichten, d.h. mit Leerverkäufen)
Risiko Rendite Diagramm für zwei Anlagen µ P ¹¾ ¹½ ¼½¾ ¼ ¼º ½ ½º σ P Risiko Rendite Diagramm für zwei Anlagen mit variierender Korrelation (gleiches Diagramm wie auf vorheriger Folie, nur mit größerem Wertebereich)
Kombination mit risikoloser Anlage Kombiniert man mit einem Anteil w ein Portfolio mit erwarteter Rendite r m (=µ m ) und Standardabweichung σ m und einem Anteil 1 w einer risikolosen Anlage, also mit σ 0 = 0 und sicherer Rendite r 0, so ergibt sich für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Kombination (vgl. (47)) r P = (1 w)r 0 + w r m, σ P = wσ m, (51) nach Elimination von w also eine Gerade in der r P σ P Ebene, r P = r 0 + r m r 0 σ m σ P = r 0 + θ σ P (52) mit einem Preis fürs Risiko (Sharpe-Ratio) auf dieser Geraden von θ = r m r 0 σ m. (53)
Portfoliooptimierung Þ ÒÞÐ Ò nach Markowitz Ã Ô Ø ÐÑ Ö ØÐ Ò ÙÒغ ÝÑÔØÓØ Ò ºÈÓÖØ ÓÐ Ò Ó º ÝÑÔØÓØ ½¼ µ P Risiko Rendite Diagramm min mit Kapitalmarktlinie ¾ µ ¹ ¼ ¼º ½ ½º ¹¾¼r0 σ P Risiko Rendite Diagramm mit Kapitalmarktlinie (negative Gewichte, d.h. Leerverkäufe bzw. Geldleihe zugelassen)
Capital Asset Pricing Model (CAPM) Maximieren des Sharpe-Ratios durch Anpassung der relativen Anteile w i im optimalen Marktportolio (durch alle Marktteiln.) θ = r m r 0 wi ( r i r 0 ) = σ max! (54) m ij w iσ ij w j mit i w i = 1. D.h. für alle i muss gelten 0! = θ w i = r i r 0 σ m r m r 0 σ 2 m r i = r 0 + r m r 0 σ m } {{ } Marktpreis pro Risikoeinheit ρ im σ i } {{ } systematisches Risiko 1 2σ m 2 j σ ij w j } {{ } σ im = r 0 + ( r m r 0 ) σ im σ 2 m }{{} β i (55) (56)
Portfoliooptimierung Ï ÖØÔ Ô Ö ÒÒÐ Ò nach Markowitz È Ö Ñ Ø ÖÅ Ö ØÔº Å Ö ØÔÓÖØ ÓÐ Ó r i Wertpapierkennlinie des CAPM r m ¼ ¼º ½ ½º r 0 β i Wertpapierkennlinie des CAPM (Marktportfolio hat β m = 1)
CAPM und systematisches Risiko Nach Gl. (56) gilt also für jede riskante Anlageform mit r i = r 0 + ϑ m ρ mi σ i = r 0 + ϑ i σ i (57) ϑ m = r m r 0 σ m, ϑ i = ϑ m ρ mi = r i r 0 σ i (58) wobei ϑ m dem einheitlichen Marktpreis pro systematischer Risikoeinheit ρ mi σ i entspricht und ϑ i dem (anlageabhängigen) Preis pro ( naivem ) Bruttorisiko σ i der Einzelanlage. Das systematische Risiko ρ mi σ i ist also der Risikoanteil, der sich durch Einbettung in das Marktportfolio nicht wegdiversifizieren läßt (vgl. ρ Gesetz), während der verbleibende, wegdiversifizierbare, idiosynkratische Risikoanteil (1 ρ mi)σ i nicht rendite bzw. preisrelevant ist (vgl. 1/ n Gesetz).
CAPM und Preis einer risikobehafteten Anlage 1 Wir wollen nun die Gleichung (58) für Renditen, also r 0 = r i ϑ m ρ mi σ i = r i ϑ i σ i (59) in eine Gleichung für Preise umrechnen. Aus der Beziehung zwischen Preis und Rendite folgt r i (t + t) = r i(t+ t) = X it+ t X it X it t (60) (wobei X it und für die risikolose Anlage, also i = 0, auch der nächste Wert sicher ist, d.h. X 0(t+ t) = X 0(t+ t) gilt) und σ i(t+ t) = σ(r i(t+ t) ) = σ(x i(t+ t)). (61) X it t
CAPM und Preis einer risikobehafteten Anlage 2 Der Preis einer risikobehafteten Anlage zur Zeit t entspricht dem Wert einer zur Zeit t zu ihr äquivalenten risikolosen Anlage, z.b. in Form eines gleichwertigen Geldkontos mit risikoloser Rendite r 0. Wählen wir also z.b. X 0t = X mt, so sehen wir, dass der Marktpreis fürs Risiko zur Zeit t ϑ m (t) = ϑ mt = r m(t+ t) r 0(t+ t) σ m(t+ t) = X mt X m(t t). (62) σ(x mt ) und wegen (15) und (16) die Korrelationen, ebenfalls für alle t, ρ mi = σ mi σ m σ i = ρ(x m, X i ). (63) bei Übergang von Renditen zu Preisen unverändert bleiben.
CAPM und Preis einer risikobehafteten Anlage 3 Damit wird bei X 0(t t) = X i(t t) Gl.(59) zu X 0t = X it + ϑ m (t t)ρ mi,t σ(x it ). (64) Mit dem risikolosen Zinssatz r 0t zwischen t t und t sowie wegen X 0t = X 0(t t) (1 + r 0t t) erhalten wir für den Preis von Anlage i zur Zeit t X i(t t) = 1 ( X mt + ϑ m (t t)ρ mi,t σ(x it ) ), (65) 1 + r 0t t also, alles auf den gleichen Zeitpunkt auf bzw. abgezinst: Preis = Erwartungswert - Risikoprämie für systematisches Risiko. Bei nichtlinearen Transformationen, z.b. zu stetigen Renditen r = ln x, ändert sich die Form der Beziehung jedoch.
CAPM und risikoadjustierter Zinssatz Die Risikoprämie lässt sich auch als risikoadjustierter Zinssatz ausdrücken, denn aus r it = X i(t) X i(t t) X i(t t) = r 0t + β it ( r mt r it ) (66) folgt X i(t t) = = X it 1 + r 0t + β it ( r mt r it ) X it 1 + r 0t + ϑ m (t)ρ mi,t σ(r it ), (67) d.h. man kann die Risikoprämie auch beim Abzinsen des Erwartungswertes berücksichtigen indem man zum risikolosen Zins r 0 den Spread ϑ m ρ mi σ i = β i ( r m r i ) addiert.
Tobin-Separation Durch zwei effiziente Portfolien (die risikolose Anlage und das Marktportfolio auf der Effizienzlinie) ist hier die ganze Effizienzlinie der kombinierten Portolien (Kapitalmarktgerade) vorgegeben. Eine Anlageentscheidung läßt sich (unter der Annahme, dass alle Marktteilnehmer sich am gleichen Markowitz-Modell orientieren) also in zwei unabhängige Schritte entkoppeln: 1. Bestimmung des optimalen Marktportfolios (z.b. durch Experten) und 2. Wahl einer Mischung zwischen risikoloser Anlage und risikobehaftetem Marktportfolio auf der Kapitalmarktlinie durch den einzelnen Anleger entsprechend seinem individuellen Risikoprofil.
Lineare Regression von Markt auf Einzelrenditen Problemstellung: Schätzung der Rendite r it einer Anlage i zur Zeit t durch eine lineare Funktion der Marktrendite r mt zur Zeit t, also durch ˆr it = α i + β i r mt (68) und Bestimmung der Parameter α i und β i durch Minimierung des quadratischen Fehlers F(α i, β i ) = T (ˆr it r it ) 2 = t=1 T (α i + β i r mt r it ) 2 min! (69) t=1
Die Stationaritätsgleichungen der linearen Regression Die Stationaritätsbedingungen für α i und β i liefern 0! = E(α i, β i ) α i = 2 0! = E(α i, β i ) β i = 2 T (α i + β i r mt r it ), (70) t=1 T r mt (α i + β i r mt r it ), (71) t=1 nach Teilen durch 2T, Verwendung der Definition eines Mittelwertes und Umstellen folgt daraus α i = r i β i r m, (72) β i = 1 (r m r i α i r m ). (73) rm 2
Die β i des CAPM als Regressionskoeffizienten Einsetzen von (72) in (73) liefert β i = r ir m r i r m r 2 m r 2 m = σ im σ 2 m (74) d.h. das β i einer linearen Regression, also einer linearen Schätzung der Rendite einer risikobehafteten Anlage durch die gemeinsame Marktrendite über verschiedene Zeitpunkte, entspricht genau dem β i des CAPM in (56), r i = r 0 + β i ( r m r 0 ). (75) Für die Schätzung (68) der linearen Regression folgt demnach auch ˆr it = r i + β i (r mt r m ) = r 0 + β i (r mt r 0 ). (76)
CAPM-Risikomaß ist nicht monoton Das Risikomaß des CAPM r i ϑ i σ i bzw. x i ϑ i σ(x i ) mit ϑ i = ϑ m ρ mi = r i r 0 σ i (77) basiert auf der Standardabweichung, also der Wurzel der Varianz. Da in die Varianz die möglichen Werte von r i quadratisch eingehen werden in ihr extreme Werte stärker gewichtet als beim Erwartungswert. Da die Varianz zudem nicht zwischen positiven und negativen Abweichungen unterscheidet, kann es bei asymmetrischen Verteilungen geschehen, dass das CAPM Risiko von zwei Alternativen diejenige bevorzugt, die zwar eine kleinere Varianz aufweist, aber trotzdem in jeder Situation das schlechtere Ergebnis liefert. Man nennt so ein Risikomaß nicht monoton. Wir zeigen dies am Beispiel der gerne für die Modellierung von Aktienkursen verwendeten Lognormalverteilung.
Lognormalverteilung Bei normalverteilten Renditen r p(r) = 1 2πσ e (r µ)2 2σ 2 (78) ist der Kurs x = e r selbst lognormalverteilt, d.h. mit r = lnx und dr dx = 1 dr x folgt aus p(r)dr = p(x(r)) dx dx p(x) = 1 (ln x µ)2 e 2σ 2. (79) 2πσx (Beachte, dass hier µ und σ 2 Mittelwert und Varianz der erzeugenden Normalverteilung p(r) angeben, und nicht Mittelwert und Varianz der Lognormalverteilung p(x).)
Erwartungswert der Lognormalverteilung Den Erwartungswert der Lognormalverteilung berechnen wir als E(x) = = = = = x p(x) dx (80) 1 (ln x µ)2 e 2σ 2 dx 2πσ 1 2πσ 1 2πσ 1 e (µ+σ2 ) 2 µ 2 2σ 2 2πσ σ2 µ+ = e 2 e r e (r µ)2 2σ 2 dr e r2 2µr+µ 2 2rσ 2 2σ 2 dr e (r (µ+σ2 )) 2 2σ 2 dr
Varianz der Lognormalverteilung Analog finden wir E(x 2 ) = = = = x 2 p(x)dx (81) 1 (ln x µ)2 xe 2σ 2 dx 2πσ 1 2πσ e 2r e (r µ)2 2σ 2 1 e (µ+2σ2 ) 2 µ 2 2σ 2 2πσ dr e (r (µ+2σ2 )) 2 2σ 2 dr = e 2µ+2σ2 und damit ( ) V(x) = E(x 2 ) E 2 (x) = e 2µ+2σ2 e 2µ+σ2 = e 2µ+σ2 e σ2 1.
CAPM-Risiko der Lognormalverteilung Wir erhalten so für das CAPM Risikomaß R(x) bezogen auf lognormalverteilte x mit Varianz σ(x i ) 2 (also nicht auf die normalverteilten Renditen r mit Varianz σ 2 ) R = x i ϑ i σ(x i ) σ2 µ+ = e 2 ϑ i e ( 2µ+σ2 e σ2 1 ) ) σ2 µ+ = e 2 (1 ϑ i e σ2 2 1 σ 0 ( σ2 µ+ e 2 1 ϑ i e σ2), (82) σ d.h. obwohl die Lognormalverteilung nur strikt positive Ergebnisse liefern kann, ist sie ab einem gewissen σ weniger attraktiv als das sichere Ergebnis Null. Das CAPM Risikomaß ist unter diesen Umständen also nicht monoton.
Einige praktische Probleme der Portfoliooptimierung 1. Datensammlung (Umfang der berücksichtigten Anlagemöglichkeiten, Erkennen falscher Dateneingaben, Berücksichtigung von Dividenden, Methode der Zeitmessung,...) 2. Renditen, Varianzen und Korrelationen sind nicht stationär (Vorhersage stochastischer Volatilitäten und Korrelationen mit Zeitreihenmodellen, z.b. mit sog. GARCH-Modellen,...) 3. Statistische Messfehler beeinflussen die Gewichte stark (Berechnung von Konfidenzintervallen, Glättung duch A-Priori-Informationen,...) 4. CAPM Risiko ist nicht monoton, d.h. bei asymmetrischen Renditeverteilungen ist die Varianz nicht immer zur Risikomessung geeignet (Verallgemeinerung der Theorie auf andere Risikomaße,...) 5. Im Grunde sind nicht die historischen Erwartungswerte, Varianzen und Korrelationen relevant, sondern die für die Zukunft erwarteten Werte (Verwendung impliziter Volatilitäten aus Optionspreisen,...) 6. Gewichte schwanken stark und Anpassungen des Portfolios kosten (Vermeiden von häufigen Umschichtungen durch zusätzliche Zwangsbedingungen,...) 7. In der Praxis gibt es viele Nebenbedigungen wie z.b. keine oder nur eingeschränkte Möglichkeiten Geld zu leihen oder Leerverkäufe zu tätigen, bzw. Leerverkäufe nur gegen das Stellen von Sicherheiten (zusätzliche Nebenbedingen, führen teils zu Spinglas artigem Verhalten,...)
Literatur 1 C. Alexander. Market Models. John Wiley & Sons, Inc., New York, 2001. Ein Buch mit CD-ROM zur praktischen Modellierung von Marktdaten. Ein Schwerpunkt sind Modelle zur Zeitreihenanalyse wie z.b. GARCH-Modelle. C. Bruns und F. Meyer Bullerdiek Professionelles Portfoliomanagement. Schäffer Poeschel, Stuttgart, 3. Auflage, 2003. Praxisorientierte Darstellung. K. Cuthbertson und D. Nitzsche Quantitative Financial Economics. John Wiley & Sons, Inc., New York, 2004. Umfangreiche, ökonomisch fundierte Diskussion zur Effizienz des Marktes, des CAPM und verwandter Themen.
Literatur 2 H.-P. Deutsch. Quantitative Portfoliosteuerung. Schäffer Poeschel, Stuttgart, 2005. Das Buch eines Beraters und Physikers mit Beispielrechnungen auf CD-ROM. Führt die Rechnungen in einer für Physiker vertrauten Sprache im Detail durch. E. Elton und M. Gruber. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. John Wiley & Sons, Inc., New York, 6. Auflage, 2005. Der Klassiker zur Portfoliooptimierung. Mathematisch erfordert das Buch wenig Vorkenntnisse, inhaltlich werden die Modelle detailliert diskutiert. J. Kremer. Einführung in die Diskrete Finanzmathematik. Springer Verlag, Berlin, 2006. Klare mathematische Einführung in die Portfoliooptimierung und Binomialmodelle, Java Programme im Internet erhältlich.
Literatur 3 D. G. Luenberger Investment Science. Oxford University Press, Oxford, 1998. Enthält auch einen Abschnitt zur Portfoliooptimierung und dem CAPM Modell. H. M. Markowitz. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. Blackwell Publishers Ltd, Oxford, 1991. Originally published in 1959 by John Wiley & Sons, Inc., New York. Das Originalwerk von Markowitz zur Portfoliooptimierung. R. Frey A. J. McNeil und P. Embrechts. Quantitative Risk Management. Princeton University Press, Princeton and Oxford, 2005. Ein umfangreiches, detailliertes, mathematisches Grundlagenwerk zum Risikomanagement, thematisch auf dem neuesten Stand.
Literatur 4 A. Meucci. Risk and Asset Allocation. Springer Verlag, Berlin, 2005. Umfangreiche und recht vollständige Materialsammlung zu den Methoden der Portfoliooptimierung mit Ergänzungen im Internet. K. Spremann. Portfoliomanagement. R. Oldenbourg Verlag, München, 3. Auflage, 2006. Das Buch vermittelt die Portfoliotheorie für den Praktiker, wie z.b. Anlageberater, und enthält viele historisch biographische Anmerkungen. W. T. Ziemba und J. M. Mulvey, editors. Worldwide Asset and Liability Modeling. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. Konferenzbeiträge. Gibt einen guten Eindruck vom aktuellen Stand der Technik und von verschiedensten Anwendungen zur Portfoliooptimierung.
Sonstige Literatur P. L. Bernstein. Wider die Götter. Die Geschichte von Risiko und Riskmanagement von der Antike bis heute. Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 2002. C. Bruck. The Predators Ball. Penguin Group, New York, 1989. Angewandte Portfoliooptimierung am Beispiel von Junk Bonds (High Yield Bonds) mit juristischem Nachspiel. M. Lewis. Liar s Poker. Hodder and Stoughton, London, 1999. Erfahrungsbericht eines Wall Street Händlers.