L. Schmeink 05a_beispielaufgaben_binomialverteilung_lösungen.doc 1 Beispielaufgaben Binomialverteilung Lösungen Übung 1 Der Würfel mit zwei roten (A) und vier weißen Seitenflächen (B) soll fünfmal geworfen werden. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß genau dreimal das Ereignis A eintrifft. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A keinmal auftritt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A wenigstens einmal auftritt? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A wenigstens dreimal auftritt? e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei den ersten drei Würfen das Ereignis A und bei den letzten beiden Würfen das Ereignis B eintrifft Lösungsmöglichkeit Das fünfmalige Würfeln stellt eine Stichprobe vom Umfang n = 5 dar, die "mit Zurücklegen" gezogen wird. Deshalb bleibt von Zug zu Zug die Grundwahrscheinlichkeit p (und somit auch q) unverändert. Die Merkmalsausprägungen schließen sich gegenseitig aus. X, die Zufallsvariable für die Anzahl roter Elemente in der Stichporbe, ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 2 6 = 1 3 W(X = k) = ( 5 k ) ( 1 3 )k ( 2 3 )5 k Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable X den Wert k = 3 annimmt. W(X = 3) = ( 5 3 ) ( 1 3 )3 ( 2 3 )5 3 = 0,1646 Die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A genau dreimal eintrifft, ist 16,46 %. Gesucht ist W(X = 0) = ( 5 0 ) ( 1 3 ) 0 ( 2 3 ) 5 0 = 0,13168... Mit 13,17 %-iger Wahrscheinlichkeit trifft bei fünfmaligem Würfeln das Ereignis A gar nicht ein. zu c) Gesucht ist W(X 1) = W(X > 0) = 1 W(X = 0) W(X = 0) = 0,13168... (s. o.) W(X 1) = W(X > 0) = 1 W(X = 0) =1 0,13168... = 0,86831... Die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A bei fünfmaligen Würfeln wenigstens einmal auftritt, ist 86,83 %. zu d) Gesucht ist W(X 3) = W(X = 3) + W(X = 4) + W(X = 5) W(X = 3) = 0,1646 (s. o.)
L. Schmeink 05a_beispielaufgaben_binomialverteilung_lösungen.doc 2 W(X = 4) = ( 5 4 ) ( 1 3 ) 4 ( 2 3 ) 5 4 = 0,04115 W(X = 5) = ( 5 5 ) ( 1 3 ) 5 ( 2 3 ) 5 5 = 0,00411 W(X 3) = 0,1646 + 0,04115 + 0,00411 = 0,20986 mit der Wahrscheinlichkeit von 20,986 % tritt das Ereignis A bei fünfmaligem Würfeln mindestens dreimal ein. zu e) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß der einzige Pfad im Ereignisdiagramm für dieses Zufallsexperiment (fünfmaliges Würfeln) durchlaufen wird, bei dem zunächst dreimal das Ereignis A eintritt und danach zweimal das Ereignis B. Diese bestimmte Stichprobe soll C heißen. W(C) = ( 1 3 ) 3 ( 2 3 ) 2 = 0,01646 Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen der Stichprobe C beträgt 1,646 %. Die Stichprobe C ist eine von den zehn möglichen Stichproben im Aufgabenteil a). Übung 2 Ermitteln Sie, wie oft dieser Würfel geworfen werden muß, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mindestens einmal das Ereignis A eintrifft, mindestens 96 % ausmacht. Lösungsmöglichkeit Gemeint ist W(X 1) = W(X > 0) = 1 W(X = 0) W(X = 0) = ( n 0) ( 1 3 ) 0 ( 2 0 = ( 2 W(X 1) = 1 W(X = 0) = 1 ( 2 Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 96 % betragen. 1 ( 2 0,96 0,96 + ( 2 0,04 ( 2 logarithmieren 10 lg 0,04 = 0,04 10 lg 0,04 10 lg0, 6 n 10 lg 0,04 10 n lg0, 6 lg 0,04 n lg 0, 6 Exponentenvergleich : lg 0, 6 und lg 0, 6 ist negativ lg 0,04 lg 0, 6 n 7,938... n Man darf nicht weniger als achtmal würfeln. 2 3 = 0, 6
L. Schmeink 05a_beispielaufgaben_binomialverteilung_lösungen.doc 3 Übung 3 Bei einer bestimmten Qualitätskontrolle hat man mit einem Ausschuß von 5 % zu rechnen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß a) unter zehn Artikeln keiner, b) unter 20 Artikeln höchstens einer defekt ist. Es geht um eine Stichprobe vom Umfang n, die der gesamten Produktion entnommen wird. Bei dieser großen Grundgesamtheit ist es unerheblich, ob die Stichprobe mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird; der Ausschußanteil ändert sich praktisch nicht. Die Stichprobe mit Zurücklegen zu ziehen, wäre nicht sinnvoll. Denn sonst könnte ein defekter, zurückgelegter Artikel ein zweites Mal gezogen werden. Die Merkmalswerte sind voneinander unabhängig und schließen sich gegenseitig aus. Deshalb ist die Zufallsvariable X, die für die Anzahl defekter Stücke in der Stichprobe steht, binomialverteilt. n = 10 p = 0,5 W(X = 0) = ( 10 0 ) 0,050 0,95 10 = 0,59873 Die Wahrscheinlichkeit, keinen defekten Artikel in der Stichprobe vorzufinden, ist 0,59873 = 59,873 %. Gesucht ist W(X 1) = W(X = 0) + W(X = 1) n = 20 p = 0,05 W(X = 0) = 0,35848 und W(X = 1) = 0,37735 W(X 1) = 0,73583 Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen defekten Artikel in der Stichprobe vorzufinden, ist 0,73583 = 73,583 %. Übung 4 Angenommen ein Schütze trifft sein Ziel mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,35. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß von zehn Schüssen nur die ersten drei das Ziel verfehlen. b) Wie oft muß er auf das Ziel schießen, damit die Wahrscheinlichkeit, daß er das Ziel wenigstens einmal trifft, wenigstens 90 % beträgt. Die erwähnten zehn Schüsse gelten als Stichprobe mit Zurücklegen, Treffer (Ereignis T) und Fehlschuß (Ereignis F) schließen sich gegenseitig aus und sind unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeiten p für einen Treffer und q für einen Fehlschuß ändern sich während des Zufallsexperimentes nicht. Die Stichprobe, die dreimal das Ereignis F und siebenmal das Ereignis T enthält, soll mit A bezeichnet werden. W(A) = 0,65 3 0,35 7 = 0,274625 0,000643392 = 0,000176691 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt 0,0176691 %. X ist die Zufallsvariable für die Anzahl von Treffern unter n Schüssen. Treffer (Ereignis T) und Fehlschuß (Ereignis F) schließen sich gegenseitig aus und sind unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeiten p für einen Treffer und q für einen
L. Schmeink 05a_beispielaufgaben_binomialverteilung_lösungen.doc 4 Fehlschuß ändern sich während des Zufallsexperimentes nicht. X ist binomialverteilt mit n und p = 0,35. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist W(X 1). Es könnte auch die Wahrscheinlichkeit gemeint sein, daß er keinmal nicht trifft. W(X 1) = W(X > 0) = 1 W(X = 0) W(X = 0) = ( n 0) 0,35 0 0,65 n 0 = 0,65 n W(X 1) = 1 W(X = 0) = 1 0,65 n Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 90 % betragen. 1 0,65 n 0,90 0,90 + 0,65 n 0,1 0,65 n logarithmieren 10 lg 0,1 = 0,1 10 lg 0,1 10 lg0,65n 10 lg 0,1 10 n lg0,65 Exponentenvergleich lg 0,1 n lg 0,65 : lg 0,65 und lg 0,65 ist negativ lg 0,1 lg 0,65 n 5,3451... n Er darf nicht weniger als sechsmal schießen. Er muß mindestens sechsmal schießen. Übung 5 Angenommen eine Erdölbohrung wird mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,12 fündig. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben zehn (zwölf; 15) Bohrungen mindestens einen Erfolg. b) Wie viele Bohrungen müssen durchgeführt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg größer als 0,5 ist. Die besagten zehn Bohrungen stellen eine Stichprobe vom Umfang n = 10 dar. X ist die Zufallsvariable für die Anzahl der erfolgreichen unter den zehn Bohrungen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ändert sich nicht. Zehn Bohrungen X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,12. W(X = k) = ( 10 k ) 0,12k 0,88 10 k W(X = 0) = ( 10 0 ) 0,120 0,88 10 0 = 0,88 10 = 0,27850... W(X 1) = W(X > 0) = 0,721499... Zwölf Bohrungen X ist binomialverteilt mit n = 12 und p = 0,12.
L. Schmeink 05a_beispielaufgaben_binomialverteilung_lösungen.doc 5 W(X = k) = ( 12 k ) 0,12k 0,88 12 k W(X = 0) = 0,88 12 = 0,21567... W(X 1) = W(X > 0) = 0,78432... 15 Bohrungen X ist binomialverteilt mit n = 15 und p = 0,12. W(X = k) = ( 15 k ) 0,12k 0,88 15 k W(X = 0) = 0,88 15 = 0,14697... W(X 1) = W(X > 0) = 0,85302... Die "Erfolgswahrscheinlichkeit" nimmt mit wachsendem Stichprobenumfang zu. X ist die Zufallsvariable für die Anzahl der Erfolge unter n Bohrungen. Erfolg (Ereignis E) und Mißerfolg (Ereignis M)schließen sich gegenseitig aus und sind unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeiten p für einen Erfolg und q für einen Mißerfolg ändern sich während der Bohrungen nicht. X ist binomialverteilt mit n und p = 0,12. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist W(X 1). Es könnte auch die Wahrscheinlichkeit gemeint sein, daß es keinen Mißerfolg gibt. W(X 1) = W(X > 0) = 1 W(X = 0) W(X = 0) = ( n 0) 0,12 0 0,88 n 0 = 0,88 n W(X 1) = 1 W(X = 0) = 1 0,88 n Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 50 % betragen. 1 0,88 n 0,5 0,5 + 0,88 n 0,5 0,88 n logarithmieren 10 lg 0,5 = 0,5 10 lg 0,5 10 lg0,88n 10 lg 0,5 10 n lg0,88 Exponentenvergleich lg 0,5 n lg 0,88 : lg 0,88 und lg 0,88 ist negativ lg 0,5 lg 0,88 n 5,42227... n Er darf nicht weniger als sechsmal gebohrt werden. Er muß mindestens sechsmal gebohrt werden. LSch