Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines Resultates reicht nicht. Herleitungen von Formeln sind nicht nötig, außer sie sind explizit gefordert. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1 Ein Prüfer will sich beim Zusammenstellen einer Klausur Arbeit ersparen. Er hat über einen Zeitraum von sechs Jahren jeweils zwei Klausuren pro Jahr mit jeweils vier Aufgaben gestellt, wobei alle Aufgaben aus den sechs Jahren verschieden waren. Nun will er die nächste Klausur durch Auswahl von vier alten Aufgaben zusammenstellen. (a) Bestimmen Sie die Zahl der Möglichkeiten für die neue Klausur, wenn keine Aufgabe doppelt auftreten darf und die Reihenfolge der Klausuraufgaben keine Rolle spielt, d.h. zwei Klausuren gelten als gleich, wenn sich die Aufgaben nur in der Reihenfolge unterscheiden. (b) Nun soll die Reihenfolge eine Rolle spielen, d.h. wenn sich zwei Klausuren nur in der Reihenfolge der Aufgaben unterscheiden, gelten sie bereits als verschieden. Wieviele Möglichkeiten gibt es jetzt? (c) Lösen Sie die Teilaufgaben (a) und (b), wenn zusätzlich gefordert wird, dass die vier Aufgaben jeweils aus verschiedenen Jahren stammen sollen. (a) Kombination ohne Wiederholung: aus 48 Aufgaben 4 ziehen: ( 48 4 ) = 194.580. (b) Variation ohne Wiederholung: 48!/(48 4)! = 4.669.920. (c) Zunächst müssen aus 6 Jahren 4 ausgewählt werden, und zwar ohne Wiederholung: ohne Berücksichtigung der Reihenfolge wie in Teilaufgabe (a) ( 6 4) = 15 Möglichkeiten; mit Berücksichtigung der Reihenfolge wie in Teilaufgabe (b) 6!/2! = 360 Möglichkeiten. Pro Jahr stehen jeweils 8 Aufgaben zur Verfügung, sodass für jedes Jahr der Faktor 8, insgesamt also der Faktor 8 4 hinzukommt: (i) Für den ersten Fall (Teilaufgabe (a)) erhält man also 15 8 4 = 61.440 Möglichkeiten und (ii) für den zweiten Fall (Teilaufgabe (b)) 360 8 4 = 1.474.560 Möglichkeiten. 1
Aufgabe 2 Eine Stadt hat im Jahr 2009 50.000 Einwohner und im Jahr 2012 62.000 Einwohner. (a) Bestimmen Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen der Einwohnerzahl E(t) und der Zeit t (in Jahren, immer gleich lang, kein Schaltjahr) für ein lineares Modell E(t) = a(t 2009) + b, d.h. bestimmen Sie die reellen Zahlen a und b. (b) Bestimmen Sie E(t) für ein exponentielles Modell E(t) = ce d(t 2009), d.h. bestimmen Sie die reellen Zahlen c und d. (c) Berechnen Sie für beide Modelle aus (a) und (b) jeweils die Einwohnerzahl im Jahr 2025. (d) Berechnen Sie für beide Modelle aus (a) und (b) jeweils die Zeit t 3, nach der sich die Einwohnerzahl verdreifacht hat. Geben Sie t 3 als Jahreszahl gerundet auf eine Nachkommastelle an. Hinweis: Wenn Sie die Aufgaben (a) und (b) nicht gelöst haben, lassen Sie in (c) und (d) die Zahlen a, b, c, d als Variablen stehen. (a) b = 50.000 sieht man sofort; a folgt aus 62.000 = a(2012 2009) + 50.000, also a = 4.000. (b) c = 50.000 sieht man sofort; d folgt aus 62.000 = 50.000 e d(2012 2009), also d = 1 3 ln 62.000 50.000 = 0.0717. (c) linear: E(2025) = 50.000+4.000 16 = 114.000; exponentiell: E(2025) = 50.000 e 0,0717 16 = 157.468. (d) Die gesuchte Zeit sei t 3. Lineares Modell: Aus E(2009) = b und E(t 3 ) = 3b folgt: 3b = a(t 3 2009) + b t 3 = 2009 + 2b a = 2034,0. Exponentielles Modell: Aus E(2009) = c und E(t 3 ) = 3c folgt: 3c = ce d(t 3 2009) t 3 = 2009 + ln (3) d = 2024,3. Aufgabe 3 Ein Sparguthaben vone 1234 werde jährlich mit 7.5% verzinst. (a) Berechnen Sie das Guthaben nach 17 Jahren bei jährlicher, monatlicher und stetiger Verzinsung. Hinweis: Runden Sie jeweils auf Cent, z.b.e 1,45645 e 1,46. (b) Bestimmen Sie für die Zinsmodelle in (a) jeweils die effektive Zinsrate. Geben Sie das Resultat gerundet auf drei Nachkommastellen an, z.b. 0, 01456 0, 015 = 1, 5%. 2
(c) Betrachten Sie wieder die Zinsmodelle in (a) und berechnen Sie jeweils die Zeit t 11 (in Jahren gerundet auf zwei Nachkommastellen), nach der das ursprüngliche Guthaben um 11% gewachsen ist. (a) jährlich: K 17 = K 0 (1.075) 17 = 4219,48; monatlich: K 17 = K 0 (1 + 0.075 12 )17 12 = 4398,63; stetig: K 17 = K 0 e 0.075 17 = 4416,12. n (b) effektive Zinsrate: R = 1 + 0.075 n 1; jährlich (n = 1): R = 0.075; monatlich (n = 12): R = 0.078; stetig: R = e 0.075 1 = 0.078. ( (c) t 11 = 1 n stetig: t 11 = Aufgabe 4 ln(1.11) ln (1+ 0.075 n ) ln (1.11) 0.075 = 1, 39. ) ; jährlich: (n = 1): t 11 = 1.44; monatlich (n = 12): t 11 = 1,40; Eine Person nimmt am Jahresbeginn einen Kredit in Höhe von e 10.000 mit einem Jahreszins von 6% auf. Der Kredit ist in gleichen Jahresraten der Höhe a (jeweils am Jahresende) zurückzuzahlen. (a) Welche Werte darf a annehmen, wenn der Kredit nach maximal 10 Jahren getilgt sein soll? Die minimale Laufzeit ist ein Jahr. Geben Sie die obere und untere Grenze von a an! (b) Für welche Werte von a liegt die Laufzeit zwischen 15 und 20 Jahren? (c) Für welche Werte von a würde die Laufzeit unendlich groß? Es gilt die Formel für Annuitäten: mit P n = 10.000 und r = 0.06. Umgeformt erhält man P n = a r 1 1 (1 + r) n 1 1 a = rp n 1 (1 + r) n (1) (a) Für n = 10 folgt a 10 = 1.358,68. Da a mit sinkender Laufzeit wächst, muss a a 10 sein, damit die Laufzeit 10 Jahre nicht überschreitet. Die obere Grenze ergibt sich durch die minimale Laufzeit von einem Jahr (n = 1): a 1 = 10.600,00. Es gilt also: 1.358,68 a 10.600,00 (b) Nach Gl. (1) ist a 15 = 1.029,63 und a 20 = 871,85. Wegen der Monotonie von a bzgl. n muss a 20 a a 15 sein. (c) Nach Gl. (1) ist a = rp n = 600. Wenn die Rate 600 ist (also kleiner als die erste Zinszahlung), würde das zu einer unendlich langen Laufzeit führen. 3
Aufgabe 5 Für Absatzmengen q > 0 einer Ware seien die Preis-Absatz-Funktion p(q) = 222 6q und die Kostenfunktion C(q) = 293 + 159q 12q 2 + q 3 gegeben. (a) Berechnen Sie die Elastizität des Preises p(q) bezüglich des Absatzes q. (b) Zeigen Sie, dass C(q) für alle zulässigen Werte von q streng monoton wachsend ist. (c) Zeigen Sie, dass es eine Absatzmenge q gibt, die die Gewinnfunktion π(q) = p(q) q C(q) maximiert. Berechnen Sie q und den Gewinn, den diese Menge einträgt. (a) Elastizität: ǫ p (q) = q p(q) p (q) = 6q 222 6q. (b) Hier ist zu zeigen, dass C (q) > 0 ist für alle q > 0. Berechnung und geeignete Darstellung von C (q) mit quadratischer Ergänzung: C (q) = 3q 2 24q + 159 = 3(q 2 8q + 16 16 + 53) = 3 (q 4) 2 + 37 = 3(q 4) 2 + 111. Die Funktion C (q) ist also eine nach oben geöffnete (positiver Faktor 3) Parabel, die ihr (globales!) Minimum bei q min = 4 mit dem Funktionswert 111 annimmt. Also ist C(q) für alle q > 0 (im übrigen auch für die ökonomisch nicht-zulässigen Werte q 0) positiv und die Funktion C(q) ist somit überall streng monoton wachsend. (c) π(q) = 222q 6q 2 293 159q + 12q 2 q 3 = q 3 + 6q 2 + 63q 293 Erste Ableitung: π (q) = 3q 2 + 12q + 63. Suche nach Nullstellen von π (q) (notwendige Bedingung für lokales Extremum): q 2 4q + 21 = 0 q 1/2 = 2 ± 25 q 1 = 7,q 2 = 3. Die Nullstelle q 2 < 0 entspricht einer (ökonomisch unsinnigen) negativen Absatzmenge und wird daher verworfen. Für q 1 = 7 wird die hinreichende Bedingung geprüft: π (q 1 ) = 6q 1 + 12 π (7) = 30 Wegen π (q 1 ) < 0, liegt bei q 1 ein lokales Maximum mit π(q 1 ) = 99. Für die Werte q (0,+ ) handelt es sich gleichzeitig um das globale Maximum, da π(0) = 293 < 99 und lim q π(q) ist. Aufgabe 6 Ein Sparer verteilt sein Geld zur Zeit t = 0 auf drei Konten: der Betrag a 0 wird auf Konto 1 angelegt, der Betrag b 0 auf Konto 2 und der Betrag c 0 auf Konto 3. Die Verzinsung ist wie folgt: Konto 1: Jährliche Zinsrate r 1 und jährliche Zinsgutschrift. Konto 2: Jährliche Zinsrate r 2 und halbjährliche Zinsgutschrift. Konto 3: Jährliche Zinsrate r 3 und stetige Verzinsung. 4
Der Vektor u = a 1 b 1 c 1 gibt die Beträge auf den drei Konten zur Zeit t = 1 an. (a) Bestimmen Sie eine Matrix A, sodass A u die Beträge auf den Konten nach einem Jahr (t = 2) angibt. (b) Schließen Sie von der Matrix A auf eine Matrix A n, sodass A n u die Beträge auf den Konten nach n Jahren angibt. (c) Bestimmen Sie eine Matrix B, sodass B u den Barwert der Beträge auf den Konten zur Zeit t = 0 angibt. Welche Beziehung muss zwischen den Matrizen A und B bestehen? (a) 1 + r 1 0 0 ( A = 0 1 + r 22 ) 2 0. (2) 0 0 e r (b) A n = A }... {{ A} = A n. n mal (c) (1 + r 1 ) 1 0 0 ( B = 0 1 + r 22 ) 2 0. (3) 0 0 e r A und B müssen zueinander invers sein: A 1 = B bzw. B 1 = A. Stimmt auch, wie man sofort sieht. 5