c Doris Samm 2008 1 Spektralzerlegung von Licht 1 Der Versuch im Überblick Ein Blick ins Universum zeigt, dass nicht alle Sterne dieselbe Farbe haben: manche sind gelb, manche rot und manche blau. Unsere Sonne erscheint als gelber Feuerball. Dieses Licht ist aber nur ein kleiner Teil der Strahlung, die die Sonne aussendet. Der Mensch kann nicht das gesamte Spektrum der elektromagnetischen Strahlung sehen, sondern nur den kleinen optischen Bereich (Abb. 1). Abbildung 1: Gesamtes elektromagnetisches Spektrum und optischer Bereich. In Abb. 2 ist links die Sonne dargestellt, wie sie im optischen Bereich erscheint. Die anderen beiden Bilder zeigen die Sonne in ihrer Ultravioletten- bzw. Röntgenstrahlung. Da diese Strahlung nicht im optischen Bereich liegt, wurde sie in sogenannten Falschfarben dargestellt. Dies sind willkürliche Farben, die zwar nicht der Wirklichkeit entsprechen, aber hier für uns sichtbar sind. Abbildung 2: Die Sonnenstrahlung im optischen und ultravioletten Bereich, sowie die Sonne als Röntgenstrahler.
c Doris Samm 2008 2 Woher kommt die elektromagnetische Strahlung? Eine Ursache ist die sogenannte Temperaturstrahlung. So sendet jedes Objekt mit einer Temperatur oberhalb des absoluten Nullpunktes elektromagnetische Strahlung aus. Manchmal ist das Objekt so heiß, dass die Strahlung im optischen Bereich liegt, wie z.b. bei einer Glühbirne. Ist die Temperatur dagegen klein, wie z.b. beim Menschen, wird infrarote Strahlung ausgesandt, die man als Wärmestrahlung spüren kann. Das Spektrum der Temperaturstrahlung ist ein kontinuierliches Spektrum. Mit Hilfe von Spektrometern kann man die elektromagnetische Strahlung in seine spektralen Bestandteile zerlegen. Ein Beispiel für ein Spektrometer ist das Prisma. In Abb. 3 ist schematisch dargestellt, wie das Sonnenlicht nach Durchgang durch ein Prisma in seine spektralen Komponenten zerlegt wird. Abbildung 3: Das kontinuierliche Spektrum des Sonnenlichts wird durch ein Prisma in seine spektralen Anteile zerlegt. Eine weitere Ursache der Strahlung von Objekten basiert auf atomaren Übergängen. Elektronen in einem Atom springen von einem Zustand großer Energie in einen Zustand kleiner Energie. Die überschüssige Energie wird in Form elektromagnetischer Strahlung abgegeben. Es wird in diesem Fall kein kontinuierliches Spektrum sondern ein Linienspektrum emittiert. Da die Sonne im Wesentlichen aus Wasserstoff besteht, emittiert sie die charakteristischen Linien von Wasserstoff (Abb.4). Abbildung 4: Spektrallinien von Wasserstoff. Zur Aufnahme der Spektrallinien reicht ein Prisma als Spektrometer nicht aus. Man benötigt hochauflösende Gitterspektrometer. Im Rahmen des Praktikumsversuchs sollen Sie mit Hilfe eines Spektrometers die Wellenlängen der Spektrallinien einer Lichtquelle bestimmen. Hierzu wird die Aufspaltung der Lichtwellen in seine Spektralfarben sowohl über ein optisches Gitter als auch über ein Prisma durchgeführt. Im Fall des Prismas soll die Dispersionskurve aufgenommen und der brechende Winkel des Prismas gemessen werden.
c Doris Samm 2008 3 2 Grundlagen Lichtquellen emittieren im Allgemeinen nicht Lichtwellen einer Wellenlänge sondern ein Spektrum aus unterschiedlichen Wellenlängen. Das Emissionsspektrum einer Lichtquelle lässt Rückschlüsse auf die chemische Zusammensetzung einer Probe zu. So weiß man z.b. sehr genau, aus welchen Elementen die Sonne und andere Sterne aufgebaut sind. Gewonnen wird diese Kenntnis durch Zerlegung der ausgesandten Strahlung in seine Spektralfarben mit Hilfe eines Spektrometers. Spektrometer sind z.b. Prismen oder optische Gitter. Mit ihrer Hilfe kann, z.b. weißes Licht, in seine Spektralfarben zerlegt werden. Die physikalischen Phänomene, die bei der Zerlegung von Licht eine Rolle spielen, sind im Fall des Prismas die Brechung, im Fall des Gitters die Beugung. 2.1 Brechung Trifft Licht von einem Medium 1 in ein anderes Medium 2, wird es von seiner geradlinigen Bahn abgelenkt: Es wird gebrochen oder reflektiert. Ursache für die Brechung sind die unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten in den Medien. Abbildung 5: Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in unterschiedlichen Medien. Die Brechung eines Mediums wird durch die Brechzahl n charakterisiert. Die Brechzahl eines Stoffes ist der Quotient aus der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und der Lichtgeschwindigkeit in dem Medium c M :
c Doris Samm 2008 4 n = c c M mit c M < c (1) Quantitativ wird die Brechung durch das Snellius sche Brechungsgesetz beschrieben. Es verknüpft den Einfallswinkel mit dem Ausfallswinkel. Abbildung 6: Lichtstrahlen werden beim Übergang in ein Medium gebrochen. Fällt ein Lichtstrahl z.b. aus der Luft unter dem Einfallswinkel α 1 auf die Oberfläche eines Glaskörpers (Abb. 6) gilt: 2.1.1 Brechung durch ein Prisma n 1 sin α 1 = n 2 sin α 2 mit n 1 = 1 folgt (2) n 2 = sin α 1 sin α 2 (3) Bei einem Prisma ist der Zusammenhang zwischen Einfallswinkel und Ausfallswinkel etwas komplizierter, da das Licht zweimal gebrochen wird. Ein Prisma ist allgemein ein von ebenen Flächen begrenzter durchsichtiger Körper. Wir betrachten hier ein Dreikantprisma mit dem Scheitelwinkel γ und der Basis b (Abb. 7); die der Basis gegenüberliegende Kante heißt brechende Kante. Der unter dem Winkel α 1 einfallende Strahl wird an den Prismengrenzflächen zweimal gebrochen. Die totale Strahlablenkung δ erhält man mit Hilfe des Brechungsgesetzes. Hierzu werden sowohl die Brechung in das Prisma mit der Brechzahl n M, als auch die Brechung vom Prisma in die Luft (n L = 1) betrachtet. Es gilt: sin α 1 = n M sin β 1 und sin α 2 = n M sin β 2 (4) Mit Hilfe geometrischer Überlegungen erhält man aus den beiden Dreiecken ABC und ABD (Abb. 7): δ = (α 1 β 1 ) + (α 2 β 2 ) = (α 1 + α 2 ) (β 1 + β 2 ) (5)
c Doris Samm 2008 5 Abbildung 7: Strahlverlauf im Dreikantprisma. Diese Gleichung kann man durch weitere geometrische Betrachtungen vereinfachen. So tritt der Winkel γ des Prismas sowohl bei D als Winkel zwischen den Grenzflächenloten, als auch als Außenwinkel im Dreieck ABD auf. Aus Abb. 7 folgt: γ = β 1 + β 2. (6) Beschränkt man sich auf kleine Winkel gilt näherungsweise: α i n M β i. (7) Setzt man Gl. 6 und Gl. 7 in Gl. 5 ein, erhält man für die Gesamtstrahlablenkung δ des Prismas: δ (n M 1) γ (8) 2.1.2 Minimale Ablenkung eines Prismas Bei einem Prisma erreicht die Ablenkung eines Lichstrahls ihren kleinsten Wert, wenn Eintritts- und Austrittswinkel gleich sind, d.h. wenn der Strahl das Prisma symmetrisch durchläuft. Der im Prisma verlaufende Strahl ist senkrecht auf der Winkelhalbierenden des brechenden Winkels γ(abb. 8). Für den minimalen Ablenkwinkel (siehe mittleres Bild von Abb. 8) gilt: α = α 1 = α 2 = α min und β = β 1 = β 2 = γ 2.
c Doris Samm 2008 6 Abbildung 8: Beim symmetrischen Strahlengang (mittleres Bild) ist der Ablenkwinkel δ am kleinsten. Weiterhin gilt: sin α min = n M sin(γ/2). (9) Aus Abb. 8 können Sie die Beziehung zwischen dem Winkel α und dem minimalen Ablenkwinkel δ min ablesen. Sie lautet: α = α 1 = α min = 1 2 (δ min + γ). (10) Setzt man Gl. 10 in Gl. 9 ein, erhält man für die Brechzahl des Prismas: n M = sin[ 1 2 (δ min + γ)] sin( 1 2 γ). (11) Mit Hilfe von Gl. 11 ist man in der Lage, Brechzahlen von lichtdurchlässigen Materialien zu bestimmen. Man muss nur den brechenden Winkel γ sowie das Minimum der Ablenkung δ min messen und kann dann die Brechzahl des Prismenmaterials berechnen. 2.1.3 Spektralzerlegung durch ein Prisma Mit Hilfe des Prismas kann man Licht in seine Spektralfarben zerlegen, weil sich in einem Medium Wellen unterschiedlicher Wellenlänge mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Da z.b. violettes Licht langsamer läuft als rotes, gilt nach Gleichung (4) für die Brechzahlen: n rot < n violett Die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit und damit der Brechzahl von der Wellenlänge nennt man Dispersion.
c Doris Samm 2008 7 Nach Gleichung (9) wird auch der Ablenkwinkel α min eine Funktion der Wellenlänge des Lichts und sorgt somit für die Zerlegung des weißen Lichtes in seine Spektralfarben (Abb. 9). Abbildung 9: Spektralzerlegung von weißem Licht. 2.2 Beugung Beugung tritt auf, wenn eine Welle auf ein festes Hindernis trifft, dessen Abmessungen vergleichbar mit der Wellenlänge sind. Dabei läuft die Welle um das Hindernis herum. Grundsätzlich versteht man unter der Beugung einer Welle eine Abweichung von der geradlinigen Ausbreitung, die nicht durch Reflexion oder Brechung hervorgerufen wird (Abb. 10). Abbildung 10: Reflexion, Brechung, Beugung. In Abb. 11 ist dargestellt, wie eine ebene Welle auf einen Spalt fällt. Hinter dem Spalt bewegt sich die Welle nicht als ebene Welle weiter, sondern sie wird zu einer kreisförmigen Welle: Sie wird gebeugt (Abb. 11)! Zur theoretischen Beschreibung des Phänomens müssten wir die Wechselwirkung der Welle an der Blende beschreiben. Dies hätte zur Konsequenz, dass wir eine komplizierte Wellengleichung mit den entsprechenden Randbedingungen lösen müssten. Sehr kompliziert!
c Doris Samm 2008 8 Abbildung 11: Reflexion, Brechung, Beugung. Man kann das Phänomen der Beugung aber auch mit Hilfe einfacher Prinzipien lösen, nämlich mit dem Prinzip der ungestörten Superposition und dem Huygen schen Prinzip. 2.2.1 Ungestörte Superposition und Huygen sches Prinzip Das Prinzip der ungestörten Superposition besagt: Treffen in einem Raumbereich zwei oder mehrere z.b. ebene Wellen aufeinander, dann überlagern sie sich zu einer resultierenden Welle. Da eine Welle der Amplitude A, der Wellenzahl k und der Kreisfrequenz ω z.b. durch die Wellenfunktion Ψ 1 (x, t) = A 1 sin(k 1 x ω 1 t) (12) beschrieben werden kann, wird die Gesamtwelle Ψ res durch Addition der einzelnen Wellen erhalten Ψ res = Ψ 1 + Ψ 2 +... = A 1 sin(k 1 x ω 1 t) + A 2 sin(k 2 x ω 2 t) +... (13) Eine im Prinzip einfache Sache. Wie kann man das Prinzip der ungestörten Superposition zur Erklärung der Beugung nutzen? Betrachten wir hierzu ein Beispiel. Eine Welle trifft auf ein Hindernis. Es wird eine vom Hindernis ausgehende Sekundärwelle erzeugt, die sich mit der Primärwelle überlagert (superponiert) und sich gemeinsam mit ihr ausbreitet (Abb. 12). Diese an einem materiellen Hindernis beobachtete Erscheinung erhebt man nun zu einem Prinzip, indem man auch immaterielle Hindernisse also mathematische Punkte zum Ursprung von Sekundärwellen erhebt. Es gilt folgendes Prinzip: Jeder Punkt des Raumes, der von einer Primärwelle getroffen wird, ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle. Die Superposition aller Elementarwellen ergibt die resultierende Welle (Huygen sches Prinzip).
c Doris Samm 2008 9 Abbildung 12: Eine Wasserwelle trifft auf ein Hindernis. In Abb. 13 sind zwei Beispiele zur Wellenkonstruktion nach dem Huygen schen Prinzip dargestellt. Bei einer ebenen Welle überlagern sich die von den getroffenen Raumpunkten ausgehenden Elementarwellen wieder zu einer ebenen Welle, bei einer Kreiswelle überlagern sie sich zur resultierenden Kreiswelle. Die Einhüllende der Elementarwellen ist die Gesamtwellenfläche. Abbildung 13: Wellenkonstruktion nach dem Huygen schen Prinzip, links für eine ebene Welle, rechts für eine kreisförmige Welle. Mit Hilfe des Prinzips der ungestörten Superposition und des Huygen schen Prinzips können wir das Phänomen der Beugung erklären. Hierzu betrachten wir das klassische Beispiel der Beugung am Doppelspalt.
c Doris Samm 2008 10 2.3 Beugung am Doppelspalt Fällt eine Welle auf einen Doppelspalt, werden an beiden Spalten kreisförmige Elementarwellen erzeugt. Hinter den Spalten überlagern sich die Elementarwellen. Dabei gibt es Richtungen, in denen sich die Wellen phasengleich überlagern und verstärkt werden. Die Lichtintensitäten geben dort Maxima. In anderen Richtungen schwächen sich die Wellen ab oder löschen sich sogar vollständig aus. Macht man die Wellen auf einer Mattscheibe sichtbar, zeigt sich eine Vielzahl äquidistanter Linien (Abb. 14), abwechselnd hell und dunkel. Die Interferenzmuster sind die Abbildungen des Spaltes. Abbildung 14: Beugungsbild am Doppelspalt. Mit Hilfe von Abb. 14 kann quantitativ die Lage der Minima und Maxima der Interferenzstreifen angeben werden. Abbildung 15: Zwei Wellenfronten überlagern sich zu Maxima oder Minima. Hierzu nimmt man vereinfachend an, dass die Breite d der Spalte so klein sei, dass jeweils nur eine Elementarwelle gebildet wird. Für die Interferenzbedingung gilt:
c Doris Samm 2008 11 Maxima: Minima: D sin α = mλ D sin α = (2m + 1) λ 2 mit m = 0, 1, 2, 3,... m ist die Ordnungszahl der Interferenzmaxima. m = 1 liefert das Spektrum 1. Ordnung, m = 2 das Spektrum 2. Ordnung usw.. Das ungebeugte Licht ist das Spektrum 0. Ordnung. Die in diesem Abschnitt gewonnenen Erkenntnisse übertragen wir nun auf ein Gitter. 2.3.1 Beugung am Strichgitter Optische Gitter bestehen aus einer hohen Zahl paralleler durchsichtiger und undurchsichtiger Streifen. Die Breite der durchsichtigen Streifen heißt Spaltbreite. Sie muss von der Größenordnung des zu beugenden Lichts sein. Der Abstand zweier Spalte, von Mitte zu Mitte gemessen, heißt Gitterkonstante D. Abbildung 16: Beugung am Strichgitter mit Beugungsmaxima. Aus Abbildung 16 erhält man für die Maxima: D sin α = mλ m = 0, 1, 2,... (14) Wie aus Gl. 14 ersichtlich, gehören zu jeder Wellenlänge λ andere Winkel, deshalb wird buntes oder weißes Licht in seine Spektralfarben zerlegt (Abb. 17).
c Doris Samm 2008 12 Abbildung 17: Zerlegung in Spektralfarben am optischen Gitter. 3 Versuchsanordnung Die Messungen werden mit Hilfe eines Spektrometers (Abb. 18) durchgeführt. Abbildung 18: Aufbau des Spektrometer: schematisch mit Prisma, Photo mit Gitter. Eine Lichtquelle L beleuchtet einen Spalt Sp. Der Spalt steht in der Brennebene der Linse L1. Das Licht wird nun entweder durch ein Gitter (Gitterspektrometer) gebeugt oder in einem Prisma (Prismenspektrometer) gebrochen. Durch die Objektivlinse L2 werden die parallelen Lichtstrahlen in der Ebene bei F gesammelt; hier entstehen die Bilder des Spaltes Sp. Das Okular O ist eine Lupe, mit der die Spaltbilder betrachtet werden. Das Fernrohr kann um die Spektrometerachse in die Richtungen der gebeugten oder gebrochenen Lichtbündel geschwenkt werden. Mit einer Winkelskala misst man die Richtungen.
c Doris Samm 2008 13 4 Versuchsdurchführung 4.1 Gitterspektroskopie Stellen Sie das Gitter so auf den Spektrometertisch, dass das Licht aus dem Kollimator senkrecht auf das Gitter fällt (Abb. 19). Abbildung 19: Aufbau Gitterspektrometer. Das Licht der Hg/Cd-Lampe wird durch das Gitter in seine Spektralfarben zerlegt (Abb. 20). Abbildung 20: Spektrallinien der Quecksilberlampe. Suchen Sie im Okular das Spaltbild nullter Ordnung. Stellen Sie das Okular so ein, dass Sie das Spaltbild und das Fadenkreuz scharf sehen. Links und rechts der nullten Ordnung sehen Sie zuerst die Spektrallinien der 1. Ordnung in der Reihenfolge von Violett nach Rot, dann die der 2. Ordnung in der gleichen Reihenfolge. Zur Erhöhung der Helligkeit können Sie den Spalt weiter öffnen. Damit werden aber auch die Spektrallinien breiter und die Messung wird ungenauer. Außerdem überstrahlen die intensiven Linien (gelb-grün, gelb) die schwächeren. Wählen Sie die Spaltweite so, dass Sie die rote Linie noch bequem erkennen können. Messen Sie zuerst die Linien auf einer Seite, und notieren Sie die Winkeleinstellungen des Fernrohrs α links mit Hilfe der Noniusskala auf ein zehntel Grad genau.
c Doris Samm 2008 14 Benutzen Sie hierzu das Fadenkreuz als Andreaskreuz, um einen exakten Schnittpunkt zu erhalten. Abbildung 21: Noniusskala und Einstellung des Fadenkreuzes. Vermerken Sie zur Identifizierung der Linie deren Farbe und Intensität, z.b. blaugrün, stark oder rot, schwach. Schwenken Sie dann das Fernrohr auf die andere Seite, und wiederholen Sie die Messung, jetzt für α rechts. Wegen der symmetrischen Ablenkung ist der gesuchte Beugungswinkel α = 1 2 ( α rechts α links ) (15) Berechnen Sie die Wellenlängen (in nm) der Spektrallinien gemäß (Gl. 14 umgeformt): λ = D sin α mit m = 1, 2, 3,.... (16) m Wenn Sie sowohl in der 1. als auch in der 2. Ordnung gemessen haben, bilden Sie den Mittelwert aus beiden Ergebnissen. Fertigen Sie eine Tabelle nach folgendem Muster an: Farbe Intensität α rechts / α links / (α r α l )/ α/ sin α λ/nm Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Theorie (Internet) und diskutieren Sie Ihr Messergebnis.
c Doris Samm 2008 15 Abbildung 22: Prismenspektrometer. 4.2 Prismenspektrometer Stellen Sie das Prisma mittig auf den Drehteller. Eine Spitze sollte - anders als in Abb. 22 gezeigt - zum Kollimator zeigen. Die Minimalstellung finden Sie folgendermaßen: Drehen Sie das Prisma und verfolgen Sie dabei eine Spektrallinie, z.b. rot. Bei einer bestimmten Stellung des Prismas kehren die Spaltbilder um, obwohl Sie das Prisma in derselben Richtung wie zuvor weiter drehen. Der Umkehrpunkt markiert das Minimum der Ablenkung. Es muss für jede Spektrallinie gesondert eingestellt werden. Lesen Sie zu jeder Linie die Winkelstellung des Fernrohrs im Minimum der Ablenkung α rechts auf 1/10 tel Grad genau ab. Drehen Sie dann das Prisma so, dass der Strahl zur anderen Seite gebrochen wird. Dort messen Sie die Winkelstellungen α links. Die Differenz ist α rechts α links = 2δ min (17) Berechnen Sie n(λ) nach Gleichung (11). Die Prismenwinkel sind 60. Erstellen Sie eine Tabelle nach folgendem Muster: Farbe Intensität λ/nm α rechts / α links / 2δ min / n/1 Zeichnen Sie die Dispersionskurve n = f(λ). Unterdrücken Sie in Ihrer grafischen Darstellung auf beiden Achsen den Nullpunkt. Diskutieren Sie Ihr Messergebnis.