Aus dem Schulunterricht ist bekannt, dass die Seitenlängen a, b, c eines rechtwinkligen Dreiecks die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 erfüllen, wobei c die Seitenlänge der Hypothenuse und a, b die beiden übrigen Seitenlängen bezeichnen. Die Gleichung ist als Satz des Pythagoras bekannt und motiviert die folgende Definition. Definition Ein pythagoräisches Tripel ist ein Tripel (a, b, c) natürlicher Zahlen, welche die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 erfüllen (also als Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks auftreten).
Beispiele für pythagoräische Tripel sind (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29),... Seit der Antike ist bekannt, dass es unendlich viele pythagoräische Tripel gibt. Es gibt sogar eine einfache Formel zur Erzeugung solcher Tripel: Sind m, n N mit m > n, dann bilden die Zahlen (a, b, c) gegeben durch a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2 ein Pythagoräisches Tripel.
Der französische Jurist und Hobbymathematiker Pierre de Fermat las im Jahre 1637 in einer Ausgabe der Arithmetica des griechischen Mathematiker Diophantos. Der Abschnitt über die pythagoräischen Tripel veranlasste ihn zu folgender Randbemerkung. Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen, oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate, oder allgemein irgendeine Potenz größer als die zweite in Potenzen gleichen Grades. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen. Satz (Großer Fermatscher Satz) Sei n N, n > 2. Dann gibt es keine x, y, z Z mit x n + y n = z n und xyz 0. Vollständig bewiesen wurde dieser Satz erst mehr als 350 Jahre später, im Jahre 1994 vom Engländer Andrew Wiles.
In Fermats Aufzeichnungen findet sich ein Beweis nur für den Fall n = 4. Er basiert auf der Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahlen. Genauer zeigte Fermat sogar Satz (*) Es gibt keine ganzen Zahlen x, y, z mit x 4 + y 4 = z 2 mit xyz 0. Daraus ergibt sich unmittelbar auch der Fermatsche Satz für n = 4. Wäre nämlich (a, b, c) ein Tripel mit a 4 + b 4 = c 4 und abc 0, dann erhält man wegen a 4 + b 4 = (c 2 ) 2 auch ein Tripel, dass die Gleichung (*) erfüllt.
Der Beweis von (*) beruht auf der sogenannten Abstiegsmethode. Für jedes m N 0 betrachten wir die Aussage Aussage (A m ) Es gibt paarweise teilerfremde Zahlen a, b, c N mit 2 (abc), so dass a 4 + (2 m b) 4 = c 2 erfüllt ist. Zunächst zeigen wir Proposition Besitzt die Gleichung (*) eine Lösung (x, y, z) mit xyz 0, dann ist (A m ) für ein m N 0 erfüllt. Beweis: Angenommen, (x, y, z) erfüllt die Gleichung (*), aber die Zahlen x, y, z sind nicht paarweise teilerfremd. Dann gibt es eine Primzahl p, die zwei der drei Zahlen x, y, z teilt. Auf Grund der Gleichung teilt p dann auch die dritte Zahl. (*) x 4 + y 4 = z 2
Aus p x, p y, p z folgt p 4 x 4 und p 4 y 4, damit auch p 4 z 2 und p 2 z. Wir ersetzen nun x, y, z durch die Zahlen x = x p, y = y p und z = z p 2. Wegen x 4 + y 4 = z 2 ( ) x 4 + p ( ) y 4 = p ( ) z 2 p ist die Gleichung (*) weiterhin erfüllt. Wir wiederholen diesen Schritt nun so oft, bis die Zahlen x, y, z keinen gemeinsamen Primteiler mehr besitzen. Damit ist gezeigt: Besitzt (*) eine Lösung, dann gibt es auch eine Lösung mit paarweise teilerfremden x, y, z.
Sei nun (x, y, z) eine solche Lösung. Von den drei Zahlen x, y, z kann dann höchstens eine gerade sein. Wäre z gerade, dann müssten also x und y ungerade sein. Nun ist das Quadrat einer geraden Zahl immer 0 mod 4, denn (2k) 2 = 4k 2 0 mod 4 während das Quadrat einer ungeraden Zahl immer 1 mod 4 ist, denn (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 1 mod 4. Aus der Annahme x, y ungerade, z gerade folgt 0 z 2 x 4 + y 4 (x 2 ) 2 + (y 2 ) 2 1 + 1 2 mod 4 Es gilt aber 2 0 mod 4, denn 4 teilt nicht 2 0. Also muss z auf jeden Fall ungerade sein.
Nach eventueller Vertauschung von x und y können wir annehmen, dass x, z ungerade und y gerade ist. Sei m N die Vielfachheit des Primfaktors 2 in y. Ersetzen wir y durch y = 2 m y, dann sind x, y, z alle ungerade, und es gilt x 4 + (2 m y) 4 = z 2. Die Aussage (A m ) ist also für dieses m erfüllt.
Auf Grund unserer Vorüberlegungen ist der Fermatsche Satz also bewiesen, wenn Aussage (A m ) Es gibt paarweise teilerfremde Zahlen a, b, c N mit 2 (abc), so dass a 4 + (2 m b) 4 = c 2 erfüllt ist. für kein m N erfüllt ist. Fermats Abstiegsargument: Ist (A m ) für ein m N erfüllt, dann gibt es auch ein minimales m mit dieser Eigenschaft. Wenn nun aus (A m ) abgeleitet werden kann, dass die Ausage auch für ein m < m gilt, so ist dies ein Widerspruch zur Minimalität von m. Die Annahme, dass (A m ) für ein (minimales) m N gilt, war also falsch.
Nehmen wir also an, m ist minimal, so dass (A m ) gilt, mit a, b, c N. Wir zeigen, dass dann auch (A m 1 ) erfüllt ist und unterteilen den Beweis dazu in vier Einzelschritte. (1) Es gilt 2 4m b 4 = (c a 2 )(c + a 2 ), und der ggt der Faktoren rechts ist 2. (2) Es gibt teilerfremde, ungerade u, v N mit c + a 2 = 2u 4 und c a 2 = 2 4m 1 v 4. (3) Es gilt 2 4m 2 v 4 = (u 2 a)(u 2 + a), und der ggt der Faktoren rechts ist gleich 2. (4) Es gibt paarweise teilerfremde a, b, c N mit 2 (a b c ) und (a ) 4 + (2 m 1 b ) 4 = (c ) 2.
zum 1. Schritt: Aus der Voraussetzung a 4 + (2 m b) 4 = c 2 folgt 2 4m b 4 = c 2 a 4 = (c a 2 )(c + a 2 ). Angenommen, p ist eine ungerade Primzahl mit p (c a 2 ) und p (c + a 2 ). Dann teilt p auch (c + a 2 ) + (c a 2 ) = 2c und (c + a 2 ) (c a 2 ) = 2a 2. Es folgt p a und p c. Widerspruch zur Teilerfremdheit von a und c Da a und c beide ungerade sind, gilt 2 (c a 2 ) und 2 (c + a 2 ). Angenommen, es gilt 4 (c a 2 ) und 4 (c + a 2 ). Dann teilt 4 auch (c + a 2 ) + (c a 2 ) = 2c, und 2 c. Widerspruch, denn c ist ungerade ggt(c + a 2, c a 2 ) = 2.
zum 2. Schritt: Sei p eine ungerade Primzahl. Dann teilt p die Zahl 2 4m b 4 mit Vielfachheit 4k für ein k N 0. Da die Faktoren c ± a 2 nach (1) die Zahl 2 als ggt haben, kommt p in einem der Faktoren mit Vielfachheit 4k vor, im anderen gar nicht. Also kommen alle ungeraden Primzahlen in c a 2 und c + a 2 mit einer durch 4 teilbaren Vielfachheit vor. Es gibt also ungerade u, v N und r, s N mit c + a 2 = 2 r u 4 und c a 2 = 2 s v 4. Wegen ggt(c + a 2, c a 2 ) = 2 sind u, v teilerfremd, und r + s = 4m mit entweder (i) r = 1 oder (ii) s = 1.
Angenommen, es gilt (ii). Dann gilt c + a 2 = 2 4m 1 u 4 und c a 2 = 2v 4. Es folgt 2a 2 = (c+a 2 ) (c a 2 ) = 2 4m 1 u 4 2v 4 2v 4 mod 8 und somit a 2 v 4 1 mod 4. Widerspruch, denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer kongruent zu 1 modulo 4. Also gilt r = 1, s = 4m 1, c + a 2 = 2u 4, c a 2 = 2 4m 1 v 4.
zum 3. Schritt: Es gilt 2a 2 = (c + a 2 ) (c a 2 ) = 2u 4 2 4m 1 v 4, also a 2 = u 4 2 4m 2 v 4 und somit 2 4m 2 v 4 = u 4 a 2 = (u 2 a)(u 2 + a). Sei nun p eine ungerade Primzahl. Angenommen, es gilt p (u 2 a) und p (u 2 + a). Dann folgt p (2u 2 ) und p (2a), also auch p u und p a. Wegen c + a 2 = 2u 4 folgt p c und p a. Widerspruch zur Teilerfremdheit von a und c. Da a und u ungerade sind, gilt 2 (u 2 a) und 2 (u 2 + a). Angenommen, es gilt 4 (u 2 a) und 4 (u 2 + a). Dann folgt 4 (2a) und 2 a. Widerspruch, da a ungerade. ggt(u 2 a, u 2 + a) = 2.
zum 4. Schritt: Wie im 2. Schritt folgt aus der Gleichung 2 4m 2 v 4 = (u 2 a)(u 2 + a) und ggt(u 2 a, u 2 + a) = 2, dass ungerade, teilerfremde a, b N und r, s N existieren mit u 2 a = 2 r (a ) 4, u 2 + a = 2 s (b ) 4 wobei r + s = 4m 2 und r = 1 oder s = 1 gilt. Setzen wir c = u, dann folgt 2 r (a ) 4 + 2 s (b ) 4 = 2(c ) 2, somit 2 r 1 (a ) 4 + 2 s 1 (b ) 4 = (a ) 2, im Fall (i) also im Fall (ii) (a ) 4 + (2 m 1 b ) 4 = (c ) 2, ( ) (2 m 1 a) 4 + (b ) 4 = (c ) 2. Nach eventueller Vertauschung von a und b können wir annehmen, dass ( ) gilt.
Die Zahlen a, b, c sind ungerade, a und b teilerfremd. Ist p ein gemeinsamer Teiler von a und c, dann ist p ungerade, und es folgt p ((c ) 2 (a ) 4 ) ( ) p (2 m 1 b ) 4 p b im Widerspruch zur Teilerfremdheit von a und b. Also sind a und c teilerfremd. Genauso zeigt man, dass b und c teilerfremd sind.
Die Unlösbarkeit der Gleichung x 4 + y 4 = z 2 wurde dadurch bewiesen, dass sie zu y 4 = (z x 2 )(z + x 2 ) umgeformt und die Primfaktorzerlegungen der Zahlen links und rechts miteinander verglichen wurden. Frage: Lässt sich dieselbe Idee verwenden, um das Fermatsche Problem für n 4 zu lösen? Lässt sich beispielsweise die rechte Seite der Gleichung y 3 = z 3 x 3 auf ähnliche Weise faktorisieren und damit die Unlösbarkeit der Gleichung beweisen? Über dem Ring Z der gewöhnlichen ganzen Zahlen nicht! Aber wenn man Z auf geeignete Weise erweitert...
Komplexe Zahlen In den reellen Zahlen ist die Gleichung x 2 + 1 = 0 unlösbar. Aber in der Algebra-Vorlesung wird gezeigt, dass sich R so erweitern lässt, dass die Gleichung lösbar wird. Satz (Existenz der komplexen Zahlen) Es gibt einen Körper C R mit einem Element i C, so dass i 2 = 1 gilt und jedes Element z C auf eindeutige Weise in der Form z = a + bi mit a, b R dargestellt werden kann. Man nennt C den Körper der komplexen Zahlen. Die Zuordnung a + bi (a, b) ermöglicht eine Identizierung der komplexen Zahlen mit den Punkten der reellen Ebene. (a = Real-, b = Imaginärteil von a + ib)
Rechenoperationen von C Addition (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Multiplikation (a+bi)(c+di) = ac+bci+adi+bdi 2 = (ac bd)+i(bc+ad) Kehrwertbildung 1 a + bi = = a bi (a bi)(a + bi) = a a 2 + b 2 + ( b) a 2 + b 2 i a bi a 2 + b 2
Definition Ist z = a + bi C mit a, b R, dann heißt z = a bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Die Zahl N(z) = z z = a 2 + b 2 nennen wir die Norm, die Quadratwurzel z = N(z) den Betrag von z. Der Betrag z gibt die Entfernung des Punktes z vom Nullpunkt der Ebene an. Für z, w C gilt zw = z w und folglich N(zw) = N(z)N(w) und zw = z w.
Satz Der Körper C ist algebraisch abgeschlossen. Das bedeutet: Jedes Polynom f C[x] vom Grad n besitzt genau n Nullstellen in C (evtl. mit Vielfachheiten). Insbesondere besitzt die Gleichung x n 1 genau n komplexe Nullstellen. Man bezeichnet sie als n-te Einheitswurzeln. x 4 1 = (x 2 1)(x 2 + 1) = (x 1)(x + 1)(x i)(x + i) Also sind ±1, ±i die vierten Einheitswurzeln.
Sei ζ = 1 2 + 1 2 3i = 1 2 + 1 2 3. Dann sind 1, ζ, ζ 2 die dritten Einheitswurzeln. Dazu rechnet man nach, dass Daraus folgt ζ 2 = 1 2 1 2 3 und ζ 3 = 1 gilt. (x ζ)(x ζ 2 ) = x 2 (ζ + ζ 2 )x + ζζ 2 = x 2 + x + 1 und (x 1)(x ζ)(x ζ 2 ) = (x 1)(x 2 + x + 1) = x 3 1.
Mit Hilfe der dritten Einheitswurzel ζ lässt sich die Ausdruch z 3 x 3 der Fermatschen Gleichung faktorisieren! Es gilt (z x)(z ζx)(z ζ 2 x) = (z x)(z 2 (ζ + ζ 2 )xz + ζ 3 x 2 ) = (z x)(z 2 + xz + x 2 ) = z 3 xz 2 + xz 2 x 2 z + x 2 z x 3 = z 3 x 3 Ansatz zur Lösung des Fermatschen Problems für n = 3 Erweitere die ganzen Zahlen Z durch das Element ζ und betrachte die Primfaktorzerlegung von z 3 x 3 in diesem erweiterten Ring.
Definition Der Ring der Eisensteinzahlen ist definiert durch Z[ζ] = {u + vζ u, v Z} = { 1 2 a + 1 2 3b a, b Z, a b mod 2} Unser Ziel besteht darin, das Konzept der eindeutigen Primfaktorzerlegung von den natürlichen Zahlen auf die Ringe Z und Z[ζ] zu übertragen. Dabei stößt man auf das Problem, dass die Zerlegung durch die Einheiten des Rings nicht mehr völlig eindeutig ist. Beispiel: Die Einheiten des Rings Z sind ±1. Für die Zahl 30 führt die zu den unterschiedlichen Zerlegungen der Zahl 30 gegeben durch 30 = 2 3 5 = ( 2) ( 3) 5 = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) 3 ( 5).
Definition Ein Element π 0 in Z oder Z[ζ] wird Primelement genannt, wenn π selbst keine Einheit ist und in jeder Darstellung von π als Produkt von zwei Ringelementen jeweils ein Faktor eine Einheit ist. Zum Beispiel ist 5 in Z ein Primelement. Mögliche Darstellungen von 5 als Produkt sind 5 = 5 ( 1) = ( 5) 1. Definition Zwei Elemente α, β in Z oder Z[ζ] werden assoziiert zueinander genannt, wenn eine Einheit ε im Ring existiert, so dass β = εα erfüllt ist. Zum Beispiel sind die Elemente 15 und 15 in Z assoziiert.
Der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt nun für Z[ζ] in der folgenden Fassung. Theorem Jedes Element α 0 in Z[ζ], das keine Einheit ist, lässt sich auf eindeutige Weise als Produkt von Primelementen darstellen. Dabei bedeutet die Eindeutigkeit: Sind π 1... π r = α = π 1... π s zwei solche Produktdarstellungen, dann gilt r = s, und nach geeigneter Sortierung der Faktoren ist π k assoziiert zu π k für 1 k r. Entsprechendes gilt auch für Z. In dieser Fassung werden die Zerlegungen 30 = 2 3 5 = ( 2) ( 3) 5 als im wesentlichen gleich angesehen. Es drängt sich nun folgende Frage auf: Was sind die Einheiten von Z[ζ]?
wichtige Beobachtung: Die Normfunktion N(z) = z z nimmt auf den Elementen von Z[ζ] nur Werte aus N an. denn: Ist α Z[ζ], dann gibt es a, b Z mit α = 1 2 a + 1 2 b 3 und a b mod 2. Daraus folgt, dass a 2 + 3b 2 durch 4 teilbar ist. Also ist N(α) = αᾱ = ( 1 2 a + b 1 2 3i)( 1 2 a b 1 2 3i) = ( 1 2 a)2 + 3( 1 2 b)2 = 1 4 a2 + 3 4 b2 eine ganze Zahl, außerdem offenbar positiv.
Satz Die Einheiten von Z[ζ] sind genau die Elemente α mit N(α) = 1. Dies sind die sechs Elemente ±1, ± 1 2 ± 1 2 3 Beweis: Angenommen, α = 1 2 a + 1 2 b 3 ist eine Einheit, mit a, b Z, a b mod 2. Dann gibt es ein β Z[ζ] mit αβ = 1. Es folgt N(α)N(β) = N(αβ) = N(1) = 1.Weil aber N(α) und N(β) natürliche Zahlen sind, muss N(α) = N(β) = 1 gelten. Aus N(α) = 1 folgt 1 4 a2 + 3 4 b2 = 1 und a 2 + 3b 2 = 4.
Die einzigen ganzzaligen Lösungen dieser Gleichung sind {(2, 0), ( 2, 0), (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1)}. Ist a = 2 und b = 0, dann ist α = 1.Die anderen fünf Lösungen entsprechen den Elementen 1 1, 2 + 1 2 3, 1 2 2 1 3, 1 2 + 1 2 3, 1 2 1 2 3. Das die angegebenen sechs Elemente tatsächlich Einheiten sind, rechnet man direkt nach: 1 1 = ( 1) ( 1) = ( 1 2 + 1 2 3)( 1 2 1 2 3) = ( 1 2 + 1 2 3)( 1 2 1 2 3) = 1.
Die Primelemente in Z[ζ] erhält man durch Betrachtung der Primzahlen. Eine Primzahl p ist entweder auch ein Primelement in Z[ζ], oder sie ist Produkt von zwei Primelementen. 2 ist prim, 3 = ( 3)( 3), 5 ist prim, 7 = ( 5 2 + 1 2 3)( 5 2 1 2 3), 11 ist prim, 13 = ( 7 2 + 1 2 3)( 7 2 1 2 3), 17 ist prim, 19 = (4 + 3 3)(4 3 3), 23 ist prim, 29 ist prim, 31 = ( 11 2 + 7 2 3)( 11 2 7 2 3),... Wie beweist man, dass die angegebenen Elemente tatsächlich Primelemente sind? Wieder mit der Normfunktion!
Behauptung: π = 5 2 + 1 2 3 ist Primelement in Z[ζ] Begründung: Wegen N(π) = ( 5 2 )2 + 3( 1 2 )2 = 7 > 1 ist π jedenfalls keine Einheit. Ist α nicht prim, dann gibt es zwei Nicht-Einheiten α, β in Z[ζ] mit π = αβ. Es folgt 7 = N(π) = N(α)N(β). Weil 7 eine Primzahl und N(α) und N(β) natürliche Zahlen sind, muss N(α) = 1 oder N(β) = 1 gelten. Dann wäre aber α oder β doch eine Einheit. Widerspruch! Also ist π ein Primelement.
Behauptung: Die Zahl 2 ist ein Primelement in Z[ζ] Begründung: Wegen N(2) = 2 2 = 4 > 1 ist 2 jedenfalls keine Einheit. Ist 2 nicht prim, dann gibt es zwei Nicht-Einheiten α, β in Z[ζ] mit 2 = αβ. Es folgt 2 2 = N(2) = N(α)N(β). Weil α, β keine Einheiten sind, gilt N(α), N(β) > 1. Auf Grund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgt N(α) = N(β) = 2. Wir schreiben nun α = 1 2 a + 1 2 b 3, mit a, b Z. Dann folgt 2 = N(α) = 1 4 a2 + 3 4 b2 und somit a 2 + 3b 2 = 8. Aber diese Gleichung ist mit a, b Z unlösbar, wie man durch Einsetzen der Werte b = 0 und 1 sieht. Also gibt es eine Zerlegung wie angegeben nicht, und 2 ist Primelement.