1 Operationsverstärker

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 1 von 10 1 Operationsverstärker 1.1 Opamp Schaltungen allgemein gilt: V out = V + V A ol 1.1.1 Invertierender Verstärker Closed-Loop Verstärkung inkl. Offsetspannung V out = + R 1+A ol 1 V out = A ol = + A ol R 1+Aol 1 + [ V AGND + V OS V in ] + für Aol gross Ausgangswiderstand V out = R1+R2 r out = 0Ω V AGND + V OS R2 Eingangswiderstand r in = 1.1.2 Nichtinvertierender Verstärker Closed-Loop Verstärkung V out = inkl. Offsetspannung V out = für Aol gross V out = Ausgangswiderstand Eingangswiderstand r out = 0Ω r in = A ol R 1+A ol 1 A ol R 1+A ol 1 = 1 + R2 + V in + V OS + 1 + R2 V in + V OS 1.1.3 Invertierender Addierer 1 1 Closed-Loop Verstärkung V out = R F 1 + V in2 +... A CL1 = R F ; A CL2 = R F ;... 1.1.4 Verstärker mit mehreren Eingängen Closed-Loop Verstärkung V out = R F A CL1 = R F 1 R F 2 + R F +// // 3 ; A CL2 = R F ; A CL3 = R F +// // 1.1.5 Mehrfach-Addierer-Subtrahierer 1. Man wählt R F 2. Man wählt R P, wobei oft R P = R F gesetzt wird. optional 3. R n = R F A oder R n n = R P A n 4. Verst rkungsbedingung: A N1 +... + A Nn = A P 1 +... + A P n Falls unerfüllt, muss ein Dummyeingang hinzugefügt werden!

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 2 von 10 1.1.6 Gewichteter Subtrahierer Closed-Loop Verstärkung V out = R3 +R 3 1 + R F 2 R F 1 für R 3 = R F und = V out = R F V in2 V in1 1.1.7 Differenzverstärker Closed-Loop Verstärkung für = R 3 und = R 4 V out = R3+R4 R 3 + V ref + R2 V out = V ref + R4 R 3 V in1 V in2 + 1 R4 R 3 2 1.1.8 Instrumentenverstärker Stufe 1 Pos Eingang Stufe 1 Neg Eingang Closed-Loop Verstärkung V opo2 = V in2 + R f2 R G V in2 V in1 V opo1 = V in1 R f1 R G V in2 V in1 V out = V ref + R4 R 3 1 + R f1+r f2 R G V in1 V in2 1.1.9 Integrator Closed-Loop Verstärkung V out = 1 R C Vin dt + V out Anfang dv out dt = vin RC 1.1.10 Differentiator Beim Differentiator gilt V out = v N i 1 R F wobei v N = 0 Closed-Loop Verstärkung V out = R F C 1 dv in dt i 1 = C 1 dv C dt Die Elemente C F und sind optional. Sie beheben jedoch Probleme die ohne sie entstehen siehe elemenarer Differentieator. Mit C F und : - Keine differentiation bei hoeheren Frequenzen. - Limitierte Verstaerkuing bei hoeheren Frequenzen. - Eingangswiderstand immer groesser keine Belastung der Signalquelle

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 3 von 10 1.1.11 Buffer Spannungsfolger / Impedanzwandler Closed-Loop Verstärkung V out = A ol 1+A ol = Vin inkl. Offsetspannung V out = A ol 1+A ol V in + V os = V in + V os 1.2 Schmitt-Trigger 1.2.1 Nicht invertierender Schmitt-Trigger obere Schaltschwelle V T + = V ref R1+R f R f V outmin R1 R f untere Schaltschwelle Hysteresespannung V T = V ref R1+R f R f V outmax R1 R f V H = V T + V T = V outmax V outmin R1 R f 1.2.2 Invertierender Schmitt-Trigger obere Schaltschwelle V T + = V ref R f +V outmax +R f untere Schaltschwelle V T = V ref R f +V outmin +R f Hysteresespannung V H = V T + V T = V outmax V outmin +R f 1.2.3 Invertierender Schmitt-Trigger mit freien Schwellen Schaltschwelle V opp = V ref R f //R 0 +R f //R 0 + V out //R 0 R f +//R 0 Dimensionierung des Schmitt-Triggers: Gegeben: V ref, V T +, V T 1. V outmax und V outmin ermitteln aus Datenblatt meistens V DD, GND 2. R f wählen: typisch 100kΩ 3. Widerstände und R 0 dimensionieren 1.3 Nichtidealitäten des Operationsverstärkers 1.3.1 Eingangsstromkompensation Bias-Strom ohne AC-Zweige Kondensatoren Spannungsfolger sei ein gegebener Quellenwiderstand R F muss eingefügt werden Nichtinvertierender Verstärker Hier sei der Quellenwiderstand vernachlässigbar. muss eingefügt werden Invertierender Verstärker muss eingefügt werden R F = = R F // = R F // Ausgangsspannungsfehler auf Grund des nicht kompensierbaren Offsetstroms nur bei Kompensation: V out E = R f I N I P = R F I OS

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 4 von 10 1.3.2 Zusammenfassung aller Fehlereinflüsse Gleichtaktunterdrückung Common-Mode-Rejection Ratio CM RR Offsetspannung V OS = V CM CMRR lin mit V CM = V opp = V opn Lineare Definition CMRR lin = dv CM dv OS = 10 CMRR db 20 Logarithmische Definition CMRR db = 20 logcmrr lin = 20 log dvcm dv OS Ausgangs-Fehlerspannung V V out E = V OS A CL+ = CM CMRR ACL+ lin Power-Supply-Fehler Power-Supply-Rejection Ratio P SRR Offsetspannung V OS = V Supply P SRR lin Lineare Definition P SRR lin = dv Supply dv OS = 10 P SRR db 20 Logarithmische Definition P SRR db = 20 logp SRR lin = 20 log Ausgangs-Fehlerspannung V out E = V OS A CL+ = V Supply P SRR ACL+ lin dvsupply dv OS Gesamtfehlerspannung [ ] V out E total = A CL+ V OS + V CM CMRR + V Supply P SRR + I OS R F 2 Halbleiter 2.1 Diode Temperaturverhalten Thermospannung Sperrbetrieb U np > 5.7V : Temp-Koeff: +2mV/K U np < 5.7V : Temp-Koeff: 0.5mV/K Strom-Spannungs-Verhalten V T = k B T q V T23 C = 25.5mV k B = 1.38065 10 23 J/K; q = 1.6021765 10 19 C; T =Temp [K] Durchlassbetrieb Temp-Koeff: 2mV/K V f I S =Sättigungssperrstrom < pa Vorwärtsstrom I f I f = I S m V e T 1 m= Emissionskoeff. 1 < m < 2, meist ca. 1 V T =Thermospannung Sperrstrom I SP I SP T = I SP T 0 e C R T T 0 temperaturabhängig C RSi = Wg 2 k B T 2 0 = 0.07K 1 C RSi für Silizium bei Raumtemp. Faustregel: Verdoppelung des Sperrstroms bei einer Temperaturerhöhung um 10 C Grosssignalwiderstand Kleinsignalwiderstand R D = V0 I 0 r d = V T I0 V 0 = Arbeitspunkt-Spannung I 0 = Arbeitspunkt-Strom V T =Thermospannung

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 5 von 10 Kleinsignalersatzschaltbild R B : Bahnwiderstand Zuleitung, Kontaktierung : gerader Verlauf der Kennlinie ab U f > 0.6V r d : differentieller Widerstand des pn-übergangs C D : Diffusionskapazität bei positiver Diodenspannung C S : Sperrschichtkapazität bei negativer Diodenspannung Zener-Diode Stabilisierungsfaktor S S = U E U A = r Z+R V r Z = r Z//R L +R V r Z //R L norm. Stab.-Faktor S S = S UA U E Kapazitätsdiode Varicap q C S = C S0 1 + U SP U D q = 0.5 U SP : gewählte Sperrspannung C S : resultierende Kapazität 2.2 Bipolar-Transistor 2.2.1 Ebers-Moll-Ersatzschaltbild Kollektorstrom I C = A N I SE e U BE U T 1 I SC e U BC U T 1 Emitterrstrom I E = I SE e U BE U T 1 A I I SC e U BC U T 1 Basisstrom I B = I E I C I SE /I SC : Sättigungssperrstrom von Emitter/Kollektor U T : Thermospannung A N /A I : Verstärkungsfaktoren I ED /I CD : Diodenvorwärtsströme siehe Diode 2.2.2 Stromverstärkungsfaktoren Basisschaltung A N = I C IE Emitterschaltung B N = I C IB = A N 1 A N Kollektorschaltung C N = I E IB = 1 1 A N 2.2.3 Kennlinienfelder Ausgangskennlinie I typ.: V CEsat = 0.3V und Ausgangswiderstand r CE = V Early I C0 Stromübertragungskennlinie II Kollektorstrom: I C = A N 1 A N I B + A N 1 A I 1 A N I SC = B N I B + I CE0 = BN I B Eingangskennlinie III Basisstrom: I B = I SE e V BE V T 1 Kleinsignalwiderstand: r BE = m V T I B0 mit I B0 : Arbeitspunktstrom Spannungsrückwirkungskennlinie IV V BE = η V CE mit η = 0.1% kann meist vernachlässigt werden!

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 6 von 10 2.2.4 Ersatzschaltung: Transistor als spannungsgesteuerte Stromquelle Steilheit S = b r BE = I C0 m V T Stromverstärkung b = h F E = B N = g m = di OUT dv IN 1 + U CE0 U Early = BN 2.2.5 Kleinsignal-Ersatzschaltung der Emitterschaltung Ausgangsspannung U a = b I B R C //r CE Basisstrom Verstärkung I B = Ue r BE V U = Ua U e = b r BE R C //r CE = S R C //r CE 2.2.6 Frequenzabhängigkeit des Bipolartransistors Stromverstärkung h 21e ω b 1+jω r BE C E +C BE bei ω = Transitfrequenz ω T ist die Stromverstärkung h 21e = 1 Transitfrequenz wird ebenfalls als Gain-Bandwith-Product GBP bezeichnet 2.2.7 Temperaturverhalten von Bipolartransistoren Temperaturabhängigkeit von V BE : 2mV/K und somit Verdoppelung des Sperrstromes bei Temperaturerhöhung um 10K Stromverstärkungsfaktor B N T = B N T 0 e C b T T 0 mit C b 0.6% K 1 2.2.8 Transistor als Schalter Bei der Verwendung des Transistors als Schalter berechnet man den Basisstrom aufgrund des erforderlichen Kollektorstromes und dem vorhandenen Stromverstärkungsfaktor und vergrössert den Basisstrom dann anschliessend noch um den Faktor 2 bis 5. Dadurch wird erreicht, dass der Transistor auf jeden Fall völlig durchgeschaltet wird. 2.2.9 Gegenkopplungsschaltungen zur Reduktion der Abhängigkeit von Temperatur und Tolleranzen Gegenkopplung durch R 4 Gegenkopplung durch V out = R3 R 4 Verstärkung viel kleiner als ohne Gegenkopplung 2.2.10 Transistorverstärkerschaltungen Emitterschaltung mit Stromgegenkopplung Emitterschaltung mit Spannungsgegenkopplung Basisschaltung Kollektorschaltung

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 7 von 10 2.2.11 Differenzverstärker Differenz-Verstärkung Gleichtaktverstärkung Gleichtaktunterdrückung v d = U A d U Ed = S R C //r CE S R C ; S = Steilheit v gl = R C 2 R E G = v d v gl = 2 S R E 2.2.12 Leistungsendstufen Klasse A-Verstärker Klasse B-Verstärker Klasse AB-Verstärker Arbeitspunkte jeweiler Klassen 2.3 FET-Transistor 2.3.1 JFET Junction Field Effect Transistor JFET als Konstantstromquelle: benötigter Strom I D = U GS R S U GS entsprechend benötigem Strom aus Kennlinie lesen bei der Pinch-off-Grenze Abschnürgrenze sperrt der JFET 2.3.2 MOSFET Metal Oxide Silicon Field Effect Transistor Sperrbereich Widerstands-/Triodenbereich linear Sättigungs-/Pentodenbereich V GS < V th I D = 0 typische V th = 0.5... 1.5V V GS > V th und V DS > 0 I D fliesst V DS > V GS V th Kanal wird abgeschnürt 2.3.3 Steuerkennlinien von verschiedenen MOSFETs a n-kanal Anreicherungs-Typ selbstsperrend b n-kanal Verarmungs-Typ selbstleitend c p-kanal Anreicherungs-Typ selbstsperrend d p-kanal Verarmungs-Typ selbstleitend

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 8 von 10 2.3.4 Berechnung des Drainstromes I D 0 für V GS V th Sperrbereich β V GS V th 2 1 + λ V DS I D = Pentodenbereich PB Sättigungsbereich für 0 V GS V th V DS β 2V GS V th V DS VDS 2 1 + λ V DS Triodenbereich TB linearer Bereich für 0 V GS V th V DS b: Kanalbreite L: Kanallänge µ n : Leitfähigkeit Kanal ɛ ox : Dielektrizität Oxidschicht λ: Pinch-off-Konstante d ox : Oxiddicke V th : Threshold-Spannung β: Steilheitsparameter K: Steilheitskoeffizient Steilheitsparameter β = K 2 = µnɛox 2d ox b L 2.3.5 Kleinsignalmodell des MOSFET Steilheit S = g m = 2βV GS V th = 4β I D Ausgangsleitwert g d = βλv GS V th 2 Drain-Source-Widerstand r DS = 1 λ I D0 Gate-Source-Spannung V GS = IDβ + V th 2.3.6 Differenzverstärker Ausgangswiderstand Verstärkung r out = R//r DS A D = S R D //r DS S R D Ausgansdifferenzspannung V outdiff = A diff 3 Referenzspannungsquellen 3.1 Dioden-Referenz Referenzspannung V Ref = k B T q ln Sensitivität S = 1 1 I ln I S I I S I S =Sättigungssperrstrom k B = Boltzmann-Konstante V T =Thermospannung 3.2 Bandgap-Referenz Ziel der Bandgap-Referenz: Die enthaltene PTAT-Stromquelle hat einen positiven und die enthaltene als Transistor realisierte Diode einen negativen Temperaturkoeffizienten. Dadurch kann eine nahezu temperaturunabhängige Spannungsreferenz mit V ref 1.2V realisiert werden.

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 9 von 10 4 Spannungsregler Qualitätsmasse Ausg.-spannung bestimmt durch: relativen Stabilisierungsfaktor S S = Ue Ue Ua Ua Temperaturverhalten: Temperaturkoeffizient T K U T K U = 1 du a U a dt Lastabhängigkeit: dynamischer Ausgangswiderstand r a r a = dua di a 4.1 Linearer Regler Ausgangsspannung V out = 1 + R1 V ref 4.2 Einstellbarer Regler Vref Ausgangsspannung V out = V ref + + I adj 1 + R2 V ref 4.3 Aufwärtswandler Step up, Boost Lade-Phase S geschlossen I L on = 1 L V in t on Entlade-Phase S offen I L off = 1 L V in V out t off Gleichgewicht I L on = I L off Ausgangsspannung V out = V in 1 + ton t off 4.4 Abwärtswandler Step Down, Buck Lade-Phase S geschlossen Entlade-Phase S offen Ausgangsspannung I L on = 1 L Ti 0 V in V out dt = 1 L V in V out T i TS I L off = 1 L T i V out + V Df dt = 1 L V out + V Df T S T i V out = Ti T S 1 Ti T S V Df Ti T S 4.5 Invertierender Wandler Buck-Boost Ausgangsspannung V out = Ti T S T i T i = Einschaltzeit T s = Periodendauer 4.6 Ladepumpen Charge-Pumps V out = Q1 C 1+C L = C1Vin Vout C 1+C L = Vin Vout 1+ C L C1 Q = C L V out = C1C L C 1+C L V in V out I out = Q T S = C1C L C 1+C L V in V out T S Veränderung der Ausgangsspannung durch verändern der Schaltfrequenz

Elektronik 1 - Formelsammlung gemäss Unterricht Guido Keel HS12/13 powered by LATEX Seite 10 von 10 4.7 Wichtiges zu Spule / Kondensator Energie im Mag.-Feld W m = 1 2 L I2 = 1 2 N I Φ Energie im El.-Feld W E = 1 2 C U 2 } {{ } U=konst = 1 2 Q U = 1 2 Q2 C }{{} Q=konst Spule Kondensator u L t = L dit dt i L t = 1 L u C t = 1 C t 0 t 0 i C t = C dut dt uτdτ + i0 iτdτ + u0 5 Oszillatoren 5.1 Oszillatorübersicht 5.2 Ringoszillator Oszillatorfrequenz f OSC = 1 2 n t g t g : Time-Delay pro Inverter n: ungerade Anzahl Inverter Schaltung ist jedoch nicht vernachlässigbar abhängig von Technologie, Speisung und Temperatur 5.3 LC-Oszillator Oszillatorfrequenz ω 0 = 1 LC 5.4 CMOS-Inverter mit Quarz