1 Grundbegriffe S DC- und Kleinsignal-Ersatzschaltung S Verstärkertypen S1-26

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1 Elektronik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 1 von 9 1 Grundbegriffe S1 1.1 DC- und Kleinsignal-Ersatzschaltung S Verstärkertypen S1-6 Verstärkerfaktoren: - Spannungs-Verstärkerfaktor A v (ohne Einheit) - Strom-Verstärkungsfaktor A i (ohne Einheit) - Transkonduktanz g m (Einheit Ω 1 ) - Transresistanz r m (Einheit Ω) Dynam. Eingangswiderstand Dynam. Ausgangswiderstand r in (Ω) r out (Ω) Bei idealen gesteuerten Quellen gelten folgende Werte für r in und r out : Bei Stromsteuerung ist r in = 0Ω Bei Spannungssteuerung ist r in = Ω Beim Stromausgang ist r out = Ω Beim Spannungsausgang ist r out = 0Ω Invertierender Verstärker: Verstarkungsfaktor ist negativ (A < 0) v out verläuft gegenphasig zu v in Nichtinvertierender Verstärker: Verstärkungsfaktor ist positiv (A > 0) v out verläuft gleichphasig zu v in

2 Elektronik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite von Dezibel (db) S1-5 Das Dezibel der Verhältniszahl V wird wie folgt berechnet: V db = 0log V Aus der gegebenen Dezibel-Zahl V db lineare Verhältniszahl: V = 10 V db 0dB 1.4 Übertragungsfaktoren S Grosssignalwiderstand S1-11 Gleichstromwiderstand R R = V R IR ( ) Gleichspannung im Arbeitspunkt Gleichstrom im Arbeitspunkt Bei linearen Widerständen hängt der Grosssignalwiderstand nicht vom Arbeitspunkt ab. Bei nicht linearen Widerständen hängt der Grosssignalwiderstand vom Arbeitspunkt ab. Interessiert aber in der Elektronik nicht. Sind immer am Kleinsignalwiderstand r intressiert. 1.6 Kleinsignalwiderstand (dynamischer oder differenzieller Widerstand) S1-13 Kleinsignalwiderstand r r L = dv L di L In der Praxis verwenden wir die Näherung r L = dv L di L V L I L Wenn die Strom-Spannungskennlinie V = f(i) mathematisch gegeben ist, erhalten wir den Kleinsignalwiderstand r L durch Differenzierung der Kennliniengleichung V L = f(i L ) im Arbeitspunkt (I L, V L ). Bei nichtlinearen Zweipolen hängt der Kleinsignalwiderstand r vom Arbeitspunkt ab, aber r R Bei linearen Zweipolen ist der Kleinsignalwiderstand r identisch mit dem DC-Widerstand R. Desshalb ist r bei linearen Zweipolen vom Arbeitspunkt unabhängig. 1.7 Überlagerungssatz für lineare Systeme S1-14 Wenn das Eingangssignal eines linearen Verstärkers (oder allgemein eines linearen Netzwerkes) aus einer Summe von zwei verschiedenen Signalen besteht, dürfen wir die beiden Teilsignale getrennt mit dem Verstärkungsfaktor multiplizieren und die beiden resultierenden Ausgangssignale am Ausgang addieren. v out total = (v in1 + v in )A = v in1 A + v in A = v out1 + v out = v in total A

3 Elektronik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 3 von 9 Operationsverstärker S3.1 Opamp Schaltungen.1.1 Invertierender Verstärker S3-7 Bein invertierenden Verstärker ist die Ausgangsspannung gegenphasig zur Eingangsspannung. Closed-Loop Spannung: i 1 = vin+v d A CL = vout v in i F = vout+v d Ausgangswiderstand des I-Verstärkers: r out = 0Ω Eingangswiderstand des I-Verstärkers: r in = =.1. Nichtinvertierender Verstärker S3-10 Bein nichtinvertierenden Verstärker ist die Ausgangsspannung gleichphasig zur Eingangsspannung. Closed-Loop Gain: A CL = vout v in i 1 = vin v d i F = vout + Ausgangswiderstand des NI-Verstärkers: r out = 0Ω Eingangswiderstand des NI-Verstärkers: r in = = Verstärker mit mehreren Eingängen S3-1 A CL1 = A CL3 = +(//R ) (//R ) A CL = R v out = A CL1 v 1 + A CL v + A CL3 v 3 = v 1 R v + +(//R ) (//R ).1.4 Invertierender Addierer S3-0 V out = A CL1 V IN1 + A CL V IN +... A CL1 = A CL = R.1.5 Gewichteter Subtrahierer S3-0 A CL1 = A CL = v out = ( ) R3 R 3+R 1 + ( ) R3 R 3+R 1 + v in v in1

4 Elektronik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 4 von Mehrfach-Addierer-Subtrahierer S Man waehlt. Man waehlt R P, wobei oft R P = gesetzt wird. (optional) 3. R n = A oder R n n = R P A n 4. Verstärkungsbedingung: A N A Nn = A P A P n Falls unerfüllt, muss ein Dummyeingang hinzugefügt werden!.1.7 Instrumentenverstärker S3-5 A diff = Vout V diff = V P V N V inp V inn = R1+P P = R1 P Differenzverstärker S3-1 A diff = v out (v in v in1) Widerstandsbedingung für den Differenzverstärker = R3 R A diff = = R3 R

5 Elektronik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 5 von Komparatorschaltung S3-7 Wenn ein Operationsverstärker als Verstärker ohne Gegenkopplung betrieben wird, spricht man von einer Komparatorschaltung. Der Operationsverstärker wird dann als Komparator betrieben. Beim nichtinvertierenden Komparator (links) V out = V out max = V pos V Rand wenn V in > V ref ± V OS bzw. V diff ± V OS > 0 V out = V out min = V neg + V Rand wenn V in < V ref ± V OS bzw. V diff ± V OS < 0 Beim invertierenden Komparator (rechts) V out = V out max = V pos V Rand wenn V in < V ref ± V OS bzw. V diff ± V OS < 0 V out = V out min = V neg + V Rand wenn V in > V ref ± V OS bzw. V diff ± V OS > Schmitt-Trigger S3-31 Nichtinvertierender Schmitt-Trigger Invertierender Schmitt-Trigger Hysteresespannung: Nichtinvertierender Schmitt-Trigger Invertierender Schmitt-Trigger V H = (V out max V out min ) R1 R V H = (V out max V out min ) 1 + Schwellspannung: Nichtinvertierender Schmitt-Trigger Invertierender Schmitt-Trigger V T + = V ref + (V ref V out min ) R1 V T + = V ref + (V out max V ref ) V T = V ref (V out max V ref ) R1 V T = V ref (V ref V out min ) + +

6 Elektronik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 6 von Differentiator S3-4 Beim Differentiator gilt v out = v N i 1 wobei v N = 0 i 1 = C 1 dv C dt v out = C 1 dv in dt Die Elemente C F und sind optional. Sie beheben jedoch Probleme die ohne sie entstehen (siehe elemenarer Differentieator). Mit C F und : - Keine differentiation bei hoeheren Frequenzen. - Limitierte Verstaerkuing bei hoeheren Frequenzen. - Eingangswiderstand immer groesser keine Belastung der Signalquelle.1.1 Integrator S3-45 v out = 1 RC vin dt + v out Anfang dv out dt = vin RC. Fehlereinflüsse des Opamp S Verstärkungsfaktor bei endlicher Closed-Loop-Verstärkung S3-51 beim nichtinvertierenden Verstärker A CL ideal = + 1 beim invertierenden Verstärker A CL ideal = Beim invertierenden Verstärker ist eine kleine Korrektur anzubringen: 1 1 A CL real = A CL real + 1 na OL.. Common-Mode-Fehler S3-60 Mittelspannung: V M = Vpos+Vneg Offsetspannung: V OS = V CM CMRR lin Opamp-Eingangsspannung: V OP IN = V P +V N V Ausgangs-Fehlerspannung: V out E = V OS A CL+ = CM CMRR ACL+ lin Common-Mode-Spannung: V CM = V OP IN V M = V P Vpos+Vneg bzw. V N Vpos+Vneg V CM V P +V N V M Lineare Definition: CMRR lin = dv CM dv OS = 10 CMRR db 0 CMRR lin = A OL A CM Logarithmische Definition: CMRR db = 0 log(cmrr lin ) = 0 log dv CM dv OS

7 Elektronik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 7 von 9..3 Offsetspannungsfehler S3-53 ) Im Closed-Loop-Betrieb ist die Ausgangs-Fehlerspannung: V out E = V OS ( Eingangsstromfehler S3-54 ) Allgemeine Formel für den Eingangsstromfehler: V out E = I N R I P (1 + Widerstandsbedingung für Eingangsstromkompensation: R = + = //..5 Eingangsstromkompensation ohne AC-Zweige S3-54 Spannungsfolger R sei ein gegebener Quellen- Widerstand muss eingefügt werden Nichtinvertierender Verstärker Hier sei der Quellenwiderstand vernachlässigbar. R muss eingefügt werden Invertierender Verstärker R muss eingefügt werden = R R = // R = // Ausgangsspannungsfehler auf Grund des Offsetstromes (nur bei Kompensation(!)): V out E = I OS..6 Power-Supply-Fehler S3-58 Die grösse P SRR (Power Supply Rejection Ratio, Speisespannungsunterdrückung) Offsetspannung: V OS = V Supply P SRR lin Ausgangsspannungsfehler: V out E = V OS A CL+ = V Supply P SRR ACL+ lin Lineare Definition: P SRR lin = dv Supply dv OS = 10 P SRR db 0 Logarithmische Definition: P SRR db = 0logP SRR lin = 0log dv Supply dv OS..7 Zusammenfassung aller Fehlereinflüsse S3-63 [ ] V out E total = A CL+ V OS + V CM CMRR + V Supply P SRR + I OS

8 Elektronik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 8 von 9.3 Dynamische Eigenschaften des Opamp S3-66 db-verstärkung: A db = 0 loga lin lineare Verstärkung: A lin = 10 A db 0 Verstärkungs-Bandbreite-Produkt GBP (Gain-Bandwidth-Product) Bandbreite des gegengekoppelten nichtinvertierenden Verstärkers: f CL+ = GBP A CL lin Bandbreite des gegengekoppelten invertierenden Verstärkers: f CL = GBP A CL lin +1 Gesetz vom Konstanten Verstärkungs-Bandbreite-Produkt: Für jeden Punkt auf der mit -0dB abfallenden Frequenzgang-Gerade ist das Produkt aus Verstärkung und zugehöriger Frequenz konstant gleich GBP, d.h. A lin f = GBP = konst.3.1 Slew-Rate min. SR bei einem Sprungsignal min. SR bei einem Sinussignal SR 0.8Vstep t anstieg SR V amplitude ω = V amplitude πf

9 Elektronik 1 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 9 von 9 3 Kühlung von Bauteilen S4 3.1 Thermisches Schema S4-6 Generell gilt im thermischen (elektrischen) Schema: Jeder Knoten besitzt eine Temperatur gegen die Umgebung (el. Spannung gegen Masse). In jedem Zweig fliesst eine thermische Leistung (el. Strom). Zwischen den Knoten liegen thermische Widerstände (el. Widerstände).