Tag der Mathematik 2007 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Speed-Wettbewerb Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Aufgaben bitte nur auf den Aufgabenblättern bearbeiten und abgeben!
Aufgabe G1 (8 Punkte) In ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a wird ein gleichseitiges Dreieck so eingezeichnet, dass die Ecken die Mitte der Sechsecksseiten sind. Wie groß ist das Verhältnis der Flächeninhalte von Dreieck und Sechseck? Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Der Flächeninhalt des Sechsecks ist: 6 a2 3 4 Für die Mittelparallele EG des Trapezes ABCD gilt Die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ist: Also ist das gesuchte Verhältnis: EG = 1 2 (AB + CD) = 1 2 (a + 2a) = 3 2 a ( ) 2 1 3 4 2 a 3 ( 1 3 a) 2 4 2 3 = 3 6 a2 4 3 8
Aufgabe G2 (8 Punkte) Gegeben ist ein Viereck ABCD mit AD = 5, BC = 8, A = 70, B = 50. Seien P und R die Seitenmitten von AB bzw. CD, sowie Q und S die Mittelpunkte der Diagonalen BD bzw. AC. Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms PQRS? RS = 1 2 AD = 5 2 QR = 1 2 BC = 4 SRQ = 180 50 70 = 60 Fläche: RS QR sin 60 = 5 3
Aufgabe G3 (8 Punkte) Die fünf Gebiete A, B, C, D und E sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Gebiete verschiedene Farben haben. a) Wenn man 4 Farben hat, auf wie viele Arten kann man färben? b) Auf wie viele Arten kann man mit 5 Farben färben? Hinweis: Es ist nicht erforderlich, alle Farben zu benutzen. a) A, B, C können auf 4 3 2 Arten gefärbt werden. D und B haben (i) gleiche Färbung: 2 Farben für E (ii) verschiedene Färbung: 1 Farbe für E Also gibt es 4 3 2 (2 + 1) = 72 Färbungen. b) A, B, C können auf 5 4 3 Arten gefärbt werden. D und B haben (i) gleiche Farbe: 3 Farben für E (ii) verschiedene Farbe: 2 Farbe für E und 2 für D. Also gibt es 5 4 3 (3 + 2 2) = 420 Färbungen.
Aufgabe G4 (8 Punkte) [ x Für 1 x 45 sei f(x) = 7] [ ] 37. x Wie viele verschiedene Werte kann f annehmen? Hinweis: [x] ist die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x. Zum Beispiel: [1, 9] = 1, [2] = 2, [ 1 5 ] = 0 [ x 7 ] [ ] 37 x f(x) 1 x < 7 0... 0 7 x < 14 1 5, 4, 3, 2 5, 4, 3, 2 14 x < 21 2 2, 1 4, 2 21 x < 28 3 1 3 28 x < 35 4 1 4 35 x 37 5 1 5 37 < x 45 0 0 f(x) kann die Werte 0, 2, 3, 4, 5 annehmen.
Aufgabe E1 (8 Punkte) Man kann auf folgende Weise eine Spirale bilden: An einen Halbkreis mit Radius r wird ein zweiter Halbkreis mit halbem Radius angesetzt usw. Wie lang ist die gesamte Spirale? (Hinweis: für x < 1 gilt 1+x+x 2 +x 3 = 1 1 x ) Die Länge der Spirale ist: πr + π r 2 + πr 4 + +πr 8 + = πr ( 1 + 1 2 + ( 1 2) 2 + ( ) 3 ( ) 1 1 + ) = πr 2 1 1 = 2πr 2
Aufgabe E2 (8 Punkte) Alle Punkte (x y) im Koordinatensystem mit x + y 1 bilden ein Quadrat der Fläche 2 (siehe Abbildung). Alle Punkte (x y) mit x 1 + y 1 2 bilden auch ein Vieleck. a) Wie viele Seiten hat dieses Vieleck? b) Wie groß ist seine Fläche? Das Vieleck ist symmetrisch zur x- und y-achse, daher reicht es, das Vieleck im 1. Quadranten zu untersuchen. Dort ist x = x und y = y. Also gilt x 1 + y 1 2. Dies ist ein Verschiebung von x + y 2. a) Das Polygon hat 12 Seiten. b) Die Fläche ist 24.
Aufgabe E3 (8 Punkte) Wirft man einem Hund einen Stock ins Wasser, den er apportieren soll, so beobachtet man Folgendes: Der Hund läuft von A aus erst ein Stück am Ufer entlang bis zu einem Punkt D und schwimmt von dort aus zum Stock bei B, um ihn aufzunehmen. An welcher Stelle D muss der Hund ins Wasser springen, wenn er den Stock schnellstmöglich erreichen will? Die kürzeste Strecke zwischen Stock und Ufer ist BC. Rechnen Sie mit folgenden Werten: Geschwindigkeit des Hundes an Land: v L = 10 m, s Geschwindigkeit des Hundes im Wasser: v W = 2 m, s AC = BC = 20m Gesamtzeit t = t L +t W = AD v L + DB v W Aus t = 1 10 + x 2 x 2 + 20 2 = 0 folgt x2 + 400 = 5x, also ist 24x 2 = 400. = 20 x x2 + 20 + 2 10 2 Näherungsweise gilt x 2 16, d.h. x 4 Der Hund muss also ca. 4m vor C ins Wasser springen.
Aufgabe S1 (3 Punkte) Aus einem regelmäßigen Sechseck werden gleichschenkligrechtwinklige Dreiecke ausgeschnitten. Übrig bleibt ein Stern (siehe Abbildung). Wie groß ist der Winkel β an der Spitze des Sterns? 1. Summe der Innenwinkel beim Sechseck: (6 2) 180 = 720 Innenwinkel des regelmäßigen Sechsecks: 720 : 6 = 120 β = 120 2 45 = 30 2. β = 360 (2 135 + 60 ) = 30
Aufgabe S2 (3 Punkte) In jedem der 25 Quadrate steht eine Ziffer, und zwar sollen in jeder Zeile und jeder Spalte die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 genau einmal vorkommen. Welche Ziffer steht in der rechten unteren Ecke? Die letzte Zahl in der 1. Spalte muss 5 sein. In der letzten Zeile kann 3 nicht an 2., 3. oder 4. Stelle stehen, also muss 3 an der letzten Stelle stehen.
Aufgabe S3 (3 Punkte) Auf wie viele Arten kann das Quadrat an die L-förmige Figur so angesetzt werden, dass eine Figur mit einer Symmetrieachse entsteht? Auf drei Arten:
Aufgabe S4 (3 Punkte) Wie viele Teiler hat 60 5? Es gilt 60 5 = (2 2 3 5) 5 = 2 10 3 5 5 5, also gibt es (10 + 1) (5 + 1) (5 + 1) = 396 Teiler.
Aufgabe S5 (3 Punkte) Berechnen Sie die Länge der kürzesten Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13. Das Dreieck ist rechtwinklig (13 2 = 12 2 + 5 2 ), also gilt für die gesuchte Höhe h: 13 h = 5 12, somit ist h = 60 13.
Aufgabe S6 (3 Punkte) Berechne x, wenn gilt (x!)! x! = 120. Aus (x!)! x! = (x! 1)! und 120 = 1 2 3 4 5 = 5! folgt x! 1 = 5, also x = 3.