Aufgaben zum Stirlingschen Kreisrozess. Ein Stirling-Motor arbeite mit 50 g Luft ( M 0g mol )zwischen den emeraturen 50 C und 50 C sowie den olumina 000cm und 5000 cm. a) Skizzieren Sie das --Diagramm des Stirling-Motors. Erklären Sie seine Arbeitsweise anhand der Skizze und des Arbeitsdiagramms unter Nutzung des. Hautsatzes der hermodynamik. b) Berechnen Sie für die vier Zustände die Drücke und stellen Sie den Kreisrozess qualitativ in einem -- sowie einem --Diagramm grafisch dar. c) Berechnen Sie für einen Durchlauf die Änderung der inneren Energie, die mechanische Arbeit und die Wärme. d) Zeigen Sie, dass sich für diesen Kreisrozess der thermodynamische Wirkungsgrad nach der Beziehung η ergibt und bestimmen Sie ihn.. Eine abgeschlossene Gasmenge ist im Anfangszustand durch folgende Größen gekennzeichnet: 50 cm kpa 7K Beim Stirlingschen Kreisrozess werden von dem Gas nacheinander folgende Zustandsänderungen durchlaufen: - isochore Erwärmung um 0 K - isotherme Exansion auf 90cm³ - isochore Abkühlung auf die Anfangstemeratur - isotherme Komression auf den Anfangszustand a) Ermitteln Sie Druck, olumen und emeratur nach jeder Zustandsänderung. b) Zeichnen Sie ein --Diagramm für diesen Kreisrozess. Berechnen Sie für jede isotherme Zustandsänderung mindestens zwei weitere Werteaare. c) Entscheiden Sie, ob nach Abschluss des Kreisrozesses das System insgesamt Arbeit abgegeben oder aufgenommen hat. Begründen Sie Ihre Antwort. d) Bestimmen Sie diese Arbeit. e) Wie groß ist der thermische Wirkungsgrad dieses Prozesses? Geben Sie eine Möglichkeit an, den Wirkungsgrad zu vergrößern.
Lösungen. -: isotherme Exansion: Die Luft wird erwärmt und dehnt sich aus. Der Arbeitskolben bewegt sich nach oben. Da die Kurbelwelle für den erdrängungskolben im oberen eil ist, bewegt sich dieser raktisch nicht. Die Luft verrichtet Arbeit. Die dafür notwendige Energie wird durch die Erwärmung zugeführt. Da sie sich gleichzeitig ausdehnt, ändert sich die emeratur nicht. -: isochore Abkühlung: Der Arbeitskolben befindet sich im oberen Umkehrunkt und bewegt sich raktisch nicht. Damit bleibt das olumen konstant. Der erdrängungskolben bewegt sich nach unten und schiebt die Luft durch den Zwischenraum zwischen Kolben und Zylinder in den oberen eil. Dort kühlt die Luft ab. U Q + W Da die emeratur konstant bleibt, ändert sich die innerer Energie nicht. Es gilt also U 0 und damit kann schreiben: 0 Q + W Q W Die dem System zugeführte Wärme (ositiv) wird als Arbeit vom Motor abgegeben (negativ). U Q + W Es wird keine Arbeit verrichtet, also ist W 0. Damit wird U Q Da eine Wärmeabgabe erfolgt, sinkt die innere Energie und damit die emeratur von auf.
Da sich der Arbeitskolben nicht bewegt, wird keine Arbeit verrichtet. - isotherme Komression: Auf Grund der Energie des Schwungrades, dass im Bild nicht mit dargestellt ist, bewegt sich der Arbeitskolben jetzt von oben nach unten und drückt die Luft zusammen. Die Luft ist immer noch im kühleren eil des erdrängungszylinders und gibt Wärme ab. Die emeratur bleibt konstant. An der Luft wird Arbeit verrichtet, sie wird zusammengeresst. - isochore emeraturerhöhung Der erdrängungskolben bewegt sich nach oben. Die kalte Luft strömt an ihm vorbei in den unteren eil und wird dort erwärmt. Der Druckt steigt, es wird keine Arbeit verrichtet. U Q + W Da die emeratur konstant bleibt, ist die Änderung der inneren Energie wieder 0. Q 0 Q + W W Da dass System Wärme abgibt, wird daraus Q W Am System wird Arbeit verrichtet. U Q + W Die verrichtete Arbeit ist 0, also wird U Q Da dem System Wärme zugeführt wird, steigt die innere Energie, also die emeratur. Zustand in0 m inmpa in K, 6 5,7 6 5 0,897, -: isotherm Für eine isotherme Zustandsänderung gilt: Die beiden olumina sind gegeben, aber beide Drücke sind unbekannt. Also muss noch eine zweite Gleichung gefunden werden, damit ein Druck berechnet werden kann. Es gilt weiterhin: n R n R n ist die Stoffmenge und für die gilt: m n M Das kann man nun einsetzen und erhält eine Gleichung für den Druck bei Zustand : m R M Damit kann der Druck berechnet werden: 50 0 kg 8,J K mol 6K 0 0 kg mol 0 m,mpa und gleich weiter der Druck für Zustand :
,MPa 0 5 0 m,7mpa m -: isochor Das olumen bleibt konstant und es gilt:,7mpa K 6K 0,897MPa -: isotherm 0,897MPa 5 0 0 m,mpa m --Diagramm --Diagramm
Da für die beiden isochoren Zustandsänderungen gilt:, müssen die beiden Geraden sich im Nullunkt schneiden! c) Es müssen für alle Änderungen die Größen berechnet werden. - isotherm: Die Änderung der inneren Energie ist Null. Für eine isotherme Zustandsänderung berechnet sich die olumenarbeit mit der Gleichung W a d Das ergibt e W a Da für eine isotherme Änderung das Produkt aus und konstant ist, kann man die Werte für Zustand oder Zustand einsetzen: W 6 5 0 m W, 0 Pa 0 m ln 0 m W 7,9kJ In Aufgabe a) wurde gezeigt, dass Q W Damit wird vom System 7,9 kj Arbeit verrichtet und 7,9 kj Wärme aufgenommen. - isochor: om System wird Wärme abgegeben, es gilt: Q m C und eingesetzt:
kj Q 0,05kg 0,7 00K kg K Q 0,8kJ ( ) Das System gibt 0,8 kj Wärme ab. - isotherm: Das wird wieder wie bei der Zustandänderung - gerechnet: W 6 0 m W 0,897 0 Pa 5 0 m ln 5 0 m W,kJ Diese Arbeit von, kj muss in das System gesteckt werden. Dabei wird genau dieser Betrag in Form von Wärme abgegeben. - isochor Es wird wie bei der Änderung - gerechnet und man erhält eine Wärme von 0,8 kj, die das System aufnehmen muss. d) Für eine Maschine, in der ein Kreisrozess abläuft, gilt allgemein für de Wirkungsgrad: Qzu + Qab η Qzu Die in den Änderungen - und - auftretenden Wärmengen heben sich auf, so dass nur noch die Änderungen - und - betrachtet werden müssen. Da entsrechen die Wärmen den verrichteten Arbeiten. η Nun kann man ersetzten: n R n R n R η n R η Da gilt: ln ln und wird
ln + η gekürzt: + η η Mit den gegebenen emeraturen erhält man einen maximalen Wirkungsgrad von 8%. In der Realität ist er kleiner, da in diese Rechnung keine Reibungsverluste eingegangen sind.. a) Die vier Zustände werden in einer abelle dargestellt: Zustand in kpa in cm³ in K 50 7 70 50 (isochor) 87 (7 + 0) 0 90 87 0 90 7 Der Druck beim Übergang von Zustand nach Zustand berechnet sich mit Beim Übergang nach gilt für die isotherme Zustandsänderung:
Beim Übergang nach gilt: b) Für die isothermen Zustandsänderungen werden für selbst gewählte olumen die Drücke berechnet. Dazu wird der in Aufgabe a) gezeigte Zusammenhang zwischen Druck und olumen für die isotherme Zustandsänderung verwendet: konst. Übergang -> (isotherme Exansion) in cm³ 80 0 0 70 in kpa 5 9 69 50 Übergang -> (isotherme Komression) in cm³ 80 0 0 70 in kpa 9 66 5 9 Kreisdiagramm c) Die von einem System abgegeben Arbeit ist allgemein die Fläche unter der Kurve im -- Diagramm. Der organg -> ist eine Exansion, also der organg, bei dem das System Arbeit verrichtet. Der Übergang -> ist eine Komression, am System muss Arbeit verrichtet werden. Der Betrag des Anteils -> ist größer als der Betrag des Anteils ->, insgesamt wird also vom System Arbeit abgegeben. d) Damit ist auch klar, wie sich diese Arbeit berechnen lässt. Es muss die Arbeit für den Übergang -> berechnet werden. Davon zieht man die Arbeit ab, die beim Übergang -> wieder in das System hinein gesteckt wird. Diese Arbeit wird bei einem Motor z.b. in einer Schwungscheibe geseichert. Für eine isotherme Zustandänderung berechnet sich die olumenarbeit nach der Gleichung: A W A A ln E
A kennzeichnet den Anfang und E das Ende. Gibt ein System Arbeit ab, hat die Arbeit ein negatives orzeichen. Nimmt es Arbeit auf, wird das orzeichen automatisch ositiv, da das Endvolumen kleiner ist als das Anfangsvolumen. Die Gesamtarbeit ist dann also: W W + W Plus deshalb, weil sich die orzeichen bei der Berechnung ergeben. W ln + ln 50cm 90cm W,7 0 Pa,5 0 m ln +, 0 Pa,9 0 m ln 90cm 50cm W 5 5 6.7 J+,9 J W,8J Der Stirlingmotor gibt bei jeder Umdrehung,8 J Arbeit ab, e) Der thermische Wirkungsgrad eines Kreisrozesses wird durch die beiden emeraturen bestimmt. Es gilt: η 7K η 87K η 0, η % Der Wirkungsgrad kann nur durch die Änderungen der emeraturen erhöht werden. Entweder wird die große emeratur weiter erhöht oder die niedrige emeratur weiter verkleinert.