Drehzahlregelung eines Gleichstrommotors kleiner Leistung

Labor Energie- und Automatisierungstechnik bzw. Mikroelektronik und Automatisierungstechnik Regelungstechnischer Versuch Versuch 9 (ENT-AUT) bzw. 5 (MEL-AUT) Drehzahlregelung eines Gleichstrommotors kleiner Leistung Version: 17.04.2012 Prof. Dr.-Ing. S. Liu Lehrstuhl für Regelungssysteme Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Technische Universität Kaiserslautern

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Theoretische Grundlagen - Verfahren zur Auslegung von Reglern 4 2.1 Das Betragsoptimum.......................... 4 2.2 Das Symmetrische Optimum...................... 6 2.3 Die Kaskadenregelung......................... 11 2.3.1 Allgemein............................ 11 2.3.2 Entwurf einer Kaskadenregelung (allgemein)......... 13 2.4 Die Regelung im Versuch........................ 14 3 Das physikalische Strukturbild des Regelkreises 15 4 Das mathematische Strukturbild des Regelkreises 16 4.1 Die mathematische Modellbildung................... 16 4.2 Der Tachogenerator........................... 17 4.2.1 Theoretische Modellbildung.................. 17 4.2.2 Bestimmung von k T...................... 17 4.3 Glättungstiefpass............................ 18 4.3.1 Theoretische Modellbildung.................. 18 4.3.2 Bestimmung von k fil und T fil................. 18 4.4 Gleichstrommotor............................ 19 4.4.1 Theoretische Modellbildung.................. 19 4.4.2 Bestimmung von k p....................... 21 4.4.3 Bestimmung von k a....................... 22 4.4.4 Bestimmung von T a....................... 22 4.4.5 Bestimmung von k i....................... 23 4.5 Ankerstromregelung.......................... 25 4.5.1 Stromregler........................... 25 4.5.1.1 Theoretische Modellbildung............. 25 4.5.1.2 Bestimmung von k s und T s............. 25 4.5.2 Linearverstärker......................... 28 4.5.3 Ankerstromgeber........................ 29 5 Modellvereinfachung 29 5.1 Gesamtstrukturbild........................... 29 5.2 Begründung der Modellvereinfachung................. 30 5.3 Vereinfachungsmaßnahmen....................... 30 6 Entwurf des Drehzahlreglers 33 6.1 Verfahren des Symmetrischen Optimums............... 33 I

6.2 Entwurf des Drehzahlreglers...................... 34 6.2.1 Zeichnerischer Entwurf des Drehzahlreglers.......... 35 6.2.2 Ermittlung der Knickfrequenzen T n für vorgegebene Werte der Phasenreserve mit Hilfe von MATLAB (Empfohlen!).. 35 6.3 Dimensionierung des Drehzahlreglers................. 38 7 Versuchsaufbau 40 7.1 Hardwareaufbau............................. 40 7.2 Bedienung des Oszilloskops....................... 41 8 Messung der Antriebseigenschaften 42 8.1 Untersuchung des Führungsverhaltens................. 43 8.1.1 PI-Regler............................ 43 8.1.2 P-Regler............................. 43 8.2 Untersuchung des Störverhaltens................... 43 8.2.1 PI-Regler............................ 44 8.2.2 P-Regler............................. 44 9 Versuchsauswertung 44 10 Auslaufdiagramm 45 Literaturverzeichnis 46 II

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1 Einleitung Eine wichtige Voraussetzung für die zunehmende Automatisierung industrieller Prozesse ist der Einsatz elektrischer Antriebe. Um die Drehzahlen der Antriebe unabhängig von der Last schnell und präzise einzustellen bzw. zu verändern, ist eine Regelung zwingend erforderlich. Um eine erste Vorstellung der dabei auftretenden physikalischen Größen zu erlangen, sind in Abbildung 1 zwei über eine Welle gekoppelte Maschinen, eine für den eigentlichen Antriebsmotor und die andere als Ersatzschaltung für die anzutreibende Last, dargestellt. Abbildung 1: Grundsätzlicher Aufbau eines Antriebs Bei den eingetragenen physikalischen Größen handelt es sich um: M a : Motordrehmoment (Antriebsmoment) M L : Drehmoment der Lastmaschine (Lastmoment) n : Drehzahl J R : Trägheitsmoment des Motorrotors J W : Trägheitsmoment der Welle J L : Trägheitsmoment der Lastmaschine Als Last bzw. Lastmaschine kommen dabei die unterschiedlichsten technischen Apparaturen in Betracht. Eine Last könnte z.b. ein Aufzug, ein Elektroauto, eine Automatisierungsstraße oder eine Pumpe sein. Alle diese möglichen Lasten unterscheiden sich durch ihr unterschiedliches Kraft-/Geschwindigkeits-Verhalten und fordern je nach Drehzahl vom Antriebsmotor ein entsprechendes Drehmoment M L ab, mit dem der Motor belastet wird. Die Auswahl des Motors für eine Antriebsaufgabe ist von sehr vielen unterschiedlichen Faktoren (Leistung, Dynamik, Bauform, Schutzart, Kosten, Wartung, Störanfälligkeit,... ) abhängig. Wird jedoch ein möglichst gutes Verhalten sowohl in der 1

Dynamik als auch in der Genauigkeit gefordert, fällt die Wahl trotz immer wachsender Bedeutung der Drehstrommotoren oft noch auf den Gleichstrommotor. Die gute Regelbarkeit des Gleichstrommotors liegt in erster Linie in seiner einfachen Systemstruktur (weitgehend lineares System niedriger Ordnung) begründet, wodurch komplizierte Regelstrategien und aufwendige Signalverarbeitung wegfallen. Eine wichtige Aufgabe im industriellen Alltag besteht darin, die Drehzahl bei verändernder Last exakt vorzugeben. Am besten lässt sich dies am Beispiel einer Walzstraße für die Herstellung von Stahlblechen einer bestimmten Dicke veranschaulichen. Abbildung 2: Grundsätzlicher Aufbau einer Walzstraße Stark vereinfacht kann der Vorgang folgendermaßen beschrieben werden: Das zu dicke Ausgangsmaterial befindet sich auf einer Haspel (Abwickelhaspel), die drehend gelagert ist und mit Hilfe eines elektrischen Antriebs mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit abgerollt, unter mehreren Walzen durchgezogen und nach erreichen der gewünschten Dicke mit Hilfe eines weiteren Motors auf eine zweite Haspel wieder aufgerollt wird. Die Anforderung an die Zugkraftregelung des Motors ist extrem hoch. Jede Veränderung der Zugkraft wirkt sich unweigerlich auf die Banddicke aus, bei der, je nach Sorte des Stahlbleches, maximal erlaubte Abweichungen trotz der hohen Walzgeschwindigkeit (bis zu ca. 2000 m/min), der schweren Masse (bis zu ca. 40 t), der 2

hohen Kraftanforderungen (bis zu ca. 20 MN) im Mikrometer-Bereich (bis zu 1 µm) liegen dürfen. Ein Problem beim Durchziehen mit einer gleich bleibenden Geschwindigkeit (also einer gleich bleibenden Zugkraft) liegt in dem abnehmenden Gewicht des Bandes auf der Abwickelhaspel (und dem zunehmenden auf der Aufwickelhaspel). Denn in Abhängigkeit von diesen Gewichtsverhältnissen muss die Drehzahl des zuständigen Gleichstrommotors ständig an die sich ändernde Belastung angepasst werden. Dynamische Drehzahländerungen sowohl in der Anfahr- bzw. Bremsphase wie auch bei Herstellung unterschiedlicher Blechprofile sind ebenfalls erforderlich. Ein weiteres Beispiel für die Erfordernis, die Drehzahl bei unterschiedlicher Last gleich zu halten, ist die Regelung der Fahrgeschwindigkeit eines Aufzugs. Dieser soll mit 5 Personen genauso schnell die Distanz zwischen Stockwerk 1 und 10 zurück legen wie mit 2 Personen. Doch nicht nur das Konstanthalten der Drehzahl bei unterschiedlichen Lastmomenten ist von Interesse, vielmehr kann es auch erforderlich sein, die Drehzahl schnell und exakt an einen vorgegebenen Wert anzupassen (gutes Führungsverhalten). Dies könnte z.b. bei einer Werkzeugmaschine erforderlich sein, die für unterschiedliche Materialien auf unterschiedliche Bohrgeschwindigkeiten umgestellt wird. Im vorliegenden Versuch besteht die Hauptaufgabe darin, mit Hilfe regelungstechnischer Verfahren die Parameter für die Regelung eines permanenterregten Gleichstrommotors kleiner Leistung zu bestimmen. Ein Transistorverstärker wird als Stellglied in einem unterlagerten (kaskadierten) Ankerstromregelkreis verwendet. Der Ankerstromgeber besteht aus einem Messwiderstand (Shunt). Ein Tiefpass erster Ordnung glättet das drehzahlproportionale Ausgangssignal des Tachogenerators im überlagerten Drehzahlregelkreis. Der Ankerstromregelkreis ist bereits optimal ausgelegt. Zur Bestimmung der im Sinne der Entwurfskriterien optimalen Reglerparameter wird das Verfahren des Symmetrischen Optimums eingesetzt. Im nachfolgenden Kapitel werden alle, für die Versuchsdurchführung erforderlichen, theoretischen Grundlagen vermittelt. Um einen möglichst umfassenden Überblick über die Regelung von Motoren zu geben wurden auch einige Unterpunkte aufgenommen, die nicht direkt zur Versuchsdurchführung erforderlich sind. Besonders wichtig für das Verständnis des Versuchs ist jedoch das Kapitel über das Symmetrische Optimum. Dieses sollte daher besonders gründlich durchgearbeitet werden. Die im Rahmen dieser Anleitung eingefügten Aufgaben gliedern sich in zwei Typen, 3

die Vorbereitungsaufgaben (als Aufgaben gekennzeichnet) und die Versuchsaufgaben. Die Vorbereitungsaufgaben sind, wie der Name schon andeutet, vor dem Versuch zu beantworten. Außerdem sind schon während der Vorbereitung Überlegungen anzustellen, wie die Versuchsaufgaben gelöst werden können. Die eigentliche Bearbeitung der Versuchsaufgaben erfolgt dann im Labor während der Versuchsausführung. Die Möglichkeit zur Durchführung des Versuchs hängt von einem erfolgreichen Testat vor Versuchbeginn ab. Zum Testat gehört auch das Vorlegen der Vorbereitungsaufgaben. Wenn diese nicht oder nur teilweise gelöst wurden, kann der Verusch nicht durchgeführt werden. Insbesondere der Regelerentwurf muss vorab durchgeführt worden sein (Aufgabe 7). Für Versuchsaufgabe 2 sollte Millimeterpapier mitgebracht werden. Nach Versuchsdurchführung ist eine ausführliche Auswertung anzufertigen (vgl. Hinweise in Kapitel 9) und innerhalb von 14 Tagen abzugeben. Eine verspätete Abgabe führt zur Nichtanerkennung der kompletten Versuchsdurchführung. Für Hinweise auf eventuell vorhandene Fehler in dieser Versuchsanleitung sind wir stets dankbar. Sollten im Rahmen der Versuchsvorbereitung Fragen oder Unklarheiten auftauchen, wenden Sie sich an den zuständigen Mitarbeiter. Fragen können bis einen Tag vor Versuchsdurchführung gestellt werden, am Tag der Versuchsdurchführung werden Fragen nur in Ausnahmefällen beantwortet. 2 Theoretische Grundlagen - Verfahren zur Auslegung von Reglern Aufgabe 1: Machen Sie sich klar wie ein Regelkreis prinzipiell funktioniert. Zeichnen sie ein verallgemeinertes Blockschaltbild und erläutern Sie kurz die Funktion der einzelnen Komponenten! 2.1 Das Betragsoptimum Das Betragsoptimum ist ein analytisches Verfahren zur Reglerauslegung. Aufgrund seiner Einfachheit wird es sehr häufig bei P T n -Strecken mit PI-Regler eingesetzt. In der elektrischen Antriebstechnik wird dieses Verfahren vor allem für die Stromregelung in kaskadierten Regelstrukturen verwendet, da der nach dem Betragsoptimum eingestellte Regelkreis eine besonders gute Dynamik besitzt und nur wenig Über- 4

schwingen zulässt. Die Regelstrecke G S (s) und der Regler G R (s) seien für die folgenden Erläuterungen durch G S (s) = K S (1 + st 1 )(1 + st σ ) ; G 1 + st n R = K P T n s (1) beschrieben, wobei T 1 die größere der beiden Streckenzeitkonstanten ist, d.h. T 1 > T σ. Bei der Regelstrecke handelt es sich also offenbar um ein nicht schwingungsfähiges System zweiter Ordnung. Um die Ordnung des gesamten Systems möglichst niedrig zu halten, wird zunächst mit der Wahl der Nachstellzeitkonstante T n des Reglers die langsamere Polstelle (größere Zeitkonstanten) der Strecke kompensiert. Damit gilt: T n = T 1. (2) Die Übertragungsfunktion des resultierenden geschlossenen Regelkreises ist damit: T (s) = mit dem dazugehörigen Frequenzgang K S K P T 1 T σ s 2 + T 1 s + K S K P (3) beziehungsweise F T (jω) = K S K P (K S K P T 1 T σ ω 2 ) + jωt 1 (4) F T (jω) = F T (jω) = K S K P (KS K P T 1 T σ ω 2 ) 2 + (ωt 1 ) 2 (5) K S K P T 2 1 T 2 σ ω 4 + [T 2 1 2K S K P T 1 T σ ]ω 2 + (K S K P ) 2. (6) Ein optimales Führungsverhalten ist gegeben, wenn der Betrag des Frequenzganges für alle Werte von ω den Wert eins hätte: F T (jω) 1 (d.h. Führungs- und Regelgröße stimmen für alle Frequenzen in Betrag und Phase überein). Dies ist aber praktisch nicht zu verwirklichen. Ein Grundgedanke, diesem Ideal 5

möglichst nahe zu kommen, ist es nun, den Betrag des Frequenzganges ausgehend von ω = 0, bis auf möglichst hohe Werte von ω auf dem Wert eins zu halten. Um diese Forderung zu erfüllen, müssen möglichst viele Ableitungen d n dω n F T (jω) mit n = 1, 2,... (7) zu Null gemacht werden. Führt man die Differentiation nach ω der Einfachheit halber nicht an F T (jω) selbst, sondern am Quadrat des Kehrwerts durch, so erhält man nach kurzer Rechnung das Ergebnis, dass im Ausdruck F T (jω) der Koeffizient bei ω 2 verschwinden muss. Damit ergibt sich unmittelbar die Einstellvorschrift für den Verstärkungsfaktor des PI-Reglers zu K P = 1 2 T 1 T σ K S. (8) Die Einstellung eines Regelkreises nach den obigen Vorschriften wird auch als Betragsoptimum bezeichnet. Diese Namensgebung ist auch einleuchtend, wenn man bedenkt, dass die oben stehenden Vorschriften vom Betrag des Frequenzgangs ausgehen. Durch Vergleich mit der Normalform der Übertragungsfunktion für ein System 2. Ordnung lässt sich leicht feststellen, dass die Dämpfung hierbei den Wert d = 1 2 0,7 aufweist. Im Vergleich zu anderen Optimierungsverfahren stellt die Betragsoptimierung eine Kompromisslösung zwischen dem zu stark gedämpften linearen Optimum und dem zu schwach gedämpften quadratischen Optimum dar. 2.2 Das Symmetrische Optimum Wird eine schnellere Regelung (als mit dem Betragsoptimum möglich) benötigt, so kann die Methode des Symmetrischen Optimums eingesetzt werden. Im Vergleich zum Betragsoptimum wird die Regelung zwar schneller, zeichnet sich jedoch auch durch eine schlechtere Dämpfung und ein schlechteres Führungsverhalten aus. Das Symmetrische Optimum ist eine Einstellregel für die Bestimmung der Reglerparameter von insbesondere PI-Reglern. Bei der Regelung von Gleichstrommotoren ist es in der Praxis weit verbreitet und wird deshalb zur Auslegung des Drehzahlreglers im Rahmen dieses Versuchs eingesetzt. Die Reglereinstellung wird im Folgenden beispielhaft für die Regelstrecke G S (s) und den Regler G R (s) hergeleitet. Bei der Strecke handelt es sich um einen in der Antriebstechnik häufig auftretenden Streckentyp: 6

G S (s) = K S s(1 + st 1 )(1 + st σ ) ; G 1 + st n R = K P T n s (9) Da T 1 >> T σ gilt, ergeben sich zwei reele Polstellen und der Term (1 + st σ ) kann vernachlässigt werden (im Detail noch in Kapitel 5 erläutert). 1 + jωt n L(jω) = K P K S ω 2 T n (1 + jωt 1 ) (10) beschreibt den Frequenzgang des offenen Regelkreises, in Amplituden- und Phasengang zerlegt ergibt sich: L ( jω) = K P K S ω 2 T n 1 + (ωt n ) 2 1 + (ωt 1 ) 2 (11) ϕ(jω) = L(jω) = π + arctan(ωt n ) arctan(ωt 1 ). (12) Gemäß Nyquist-Kriterium ist der geschlossene Regelkreis nur dann stabil, wenn bei der Durchtrittsfrequenz ω d (Frequenz, bei derdas Bode-Diagramm des offenen Regelkreises die 0dB-Linie schneidet, also L(jω) = 1) der Phasengang ϕ(jω d ) > 180 ist. Die Parameter T n und K P des PI-Reglers sollen nun so gewählt werden, dass ϕ(jω d ) maximal wird (d.h. Phasenreserve des Regelkreises am größten). Dieses Maximum wird bekanntlich erreicht bei ϕ(ω) ω = T n 1 + (ωt n ) 2 T 1 1 + (ωt 1 ) 2 = 0 ω d,max = Daraus lässt sich eine Randbedingung für die Reglerparameter herleiten: 1 Tn T 1. (13) L ( jω) = K P K S ω 2 d,max T n 1 + (ω d,max T n ) 2 1 + (ω d,max T 1 ) 2 = 1 K P K S = ω d,max = 1 Tn T 1. (14) Solange also die Erfüllung der obigen Gleichung durch geeignete Wahl der Reglerparameter sichergestellt ist, liegt die Durchtrittsfrequenz beim Phasenmaximum. Allerdings lassen sich mit dieser Bedingung die beiden Reglerparameter noch nicht eindeutig festlegen. Es ist daher notwendig, eine weitere Randbedingung für die Reglerparameter zu bestimmen. Unter Berücksichtigung der bereits hergeleiteten Randbedingung lässt sich, nach 7

einigen Umrechnungen, das charakteristische Polynom des geschlossenen Regelkreises ausdrücken als N(s) = T n T 1 (s + K P K S ) [ s 2 + 1 T n T 1 Damit ist die Dämpfung des geschlossenen Systems d = 1 2 T n T 1 }{{} k ( ) ] Tn 1 s + 1. (15) T 1 T n T 1 1. (16) Durch die Festlegung der gewünschten Dämpfung des Systems erhält man die 2. Randbedingung für die Bestimmung der Reglerparameter: Für eine Dämpfung d = 0,5 ergibt sich k = 4 und somit T n = 4T 1. Aus der ersten Bestimmungsgleichung lässt sich dann K P zu K P = 1 2K S T 1 bestimmen. Diese Einstellung wird manchmal auch als Standard-Symmetrisches-Optimum bezeichnet, da das Verfahren ursprünglich für diesen Fall entwickelt wurde. Der Begriff Symmetrisches Optimum rührt vom symmetrischen Verlauf des Amplitudenund Phasengangs des offenen Frequenzgangs zur Durchtrittsfrequenz ( L(jω) = 1 = 0dB) her. Wie oben erläutert wird beim Symmetrischen Optimum der Regler so eingestellt, dass die Durchtrittsfrequenz ω d = ω m das geometrische Mittel der beiden Eckfrequenzen ω E1 = 1 T n und ω E2 = 1 T 1 annimmt. Dafür wird der Faktor k = T n T 1 bzw. T n = kt 1 (17) eingeführt. Daraus folgt ω E1 = 1 T n = ωm k und ω E2 = 1 T 1 = ω m k. Aus Stabilitätsgründen muss T n > T 1 gewählt werden, d.h. es gilt die Bedingung k > 1. Durch Variation der Regelparameter mittels des Koeffizienten k kann die Überschwingweite beeinflusst werden. Je größer k gewählt wird, umso höher ist die Dämpfung des Übergangsverhaltens. Diese Einstellregel wird gelegentlich auch als variables Symmetrisches Optimum bezeichnet. Nach Kessler wird als Standardeinstellung für das Symmetrische Optimum k = 4 empfohlen. Dies entspricht einer Dämpfung von d = 0,5. Dieser Dämpfungswert führt zu großen Überschwingern und zu einem schlechteren Führungsverhalten. Jedoch ergibt sich durch den relativ kleinen d-wert ein deutlich besseres Störverhalten. Möchte man ein besseres Führungsverhalten auf Kosten einer Verschlech- 8

terung des Störverhaltens erzielen so bietet sich ein d von 0,7 (größeres k) an. Das Bode-Diagramm des offenen Regelkreises lässt sich unter Verwendung der Methode des Symmetrischen Optimums, wie in Abbildung 3 zu sehen, symmetrisch bezüglich der Durchtrittsfrequenz ω d = ω m darstellen. Abbildung 3: Bodediagramm nach Symmetrischem Optimum (D = 1 2 ) Bestimmt man die Führungsübertragungsfunktion G W (s) des geschlossenen Kreises für k = 4 zu: G W (s) = so ergeben sich die folgenden drei Polstellen 1 + st n (1 + s 2T 1 )(s 2 2 2 T 2 1 + s 2T 1 + 1), (18) s 1 = 1 = ω m und s 2,3 = 1 ± j 3. (19) 2T 1 4T 1 Die Übertragungsfunktion (18) mit der Polstelle s 1 wird wie folgt dargestellt: 9

G W (s) = 1 + st n β 2 1 mit α = 1 und β 2 = 1. (20) s s 1 s 2 + s2α + β 2 4T 1 2 2 T1 2 Die beiden anderen Pole s 2,3 = β(d ± d 2 1) sind für 0 < d < 1 konjugiert komplex, d.h. s 2,3 = α±jβ 1 d 2, und liegen, wie Abbildung 4 zeigt, auf einem Kreis mit dem Radius ω m. Ihre Dämpfung kann über cosϕ = d berechnet werden. Abbildung 4: Polverteilung in der s-ebene Um den Zusammenhang zwischen der Lage der Polstellen in der komplexen Ebene und der Dämpfung des Systems besser zu veranschaulichen ist dieser in Abbildung 5 entsprechend visualisiert. Bestehen keine konkreten Spezifikationen für den geschlossenen Regelkreis, werden allgemein günstige Gebiete für die gewünschte Lage der Polstellen für den Reglerentwurf verwendet. Diese sind durch eine optimale Dämpfung und eine angemessene Bandbreite gekennzeichnet. Für k = 1 ist T n = T 1 sowie d = cos(90 ) = 0 und der Kreis instabil. Liegt k im Bereich 1 < k < 9 bzw. 0 < d < 1, so treten zwei konjugiert komplexe Pole mit negativem Realteil auf. Für k = 9 bzw. d = 1 sind die Pole gleich und reell mit s 1 = s 2 = s 3 = ω m was einem aperiodischen Grenzfall entspricht. Zur Veranschaulichung des Dämpfungsverhalten ist in Abbildung 6 die Sprungantwort des Systems für k = 4 (und somit einer Dämpfung von d = 0,5) dargestellt. Es ergibt sich eine maximale Überschwingweite von x m = 43,4%. Bei einer Dämpfung von d = 1 2 = 0,707 (die dem Betragsoptimum entspricht) beträgt die Überschwingweite hingegen lediglich x m = 30% bei einer Phasenreserve von ϕ R = 45. 10

Abbildung 5: Zusammenhang zwischen der Pollage und der Dämpfung 2.3 Die Kaskadenregelung 2.3.1 Allgemein Eine Kaskadenstruktur stellt einen wichtigen Spezialfall der so genannten Regelung mit Hilfsgrößen dar. Sie entsteht, wie in Abbildung 7 dargestellt, dadurch, dass man außer der Regelgröße weitere Systemgrößen messtechnisch erfasst, sie als Hilfsregelgröße zurückführt und auf diese Weise unterlagerte Regelkreise (innere Schleifen) bildet. Wie in Abbildung 7 zu sehen, werden im Gegensatz zu einschleifigen Regelungen mehrere Regler eingesetzt (pro Schleife einer). In Abbildung 7 ist G R1 (s) für die Regelung des unterlagerten Regelkreises mit der Teilstrecke G S1 (s) verantwortlich. Dazu wird eine zusätzliche Mess- bzw. Hilfsgröße y H als zweite Eingangsgröße an G S1 (s) gelegt. Der innere Kreis hat das Ziel, seine Regelgröße y H (s) dem Sollwert w H nachzuführen. Dieser Sollwert wird vom Regler G R2 (s) des äußeren Kreises geliefert. Mit dem Einsatz eines zweiten Reglers G R2 (s) in der äußeren Schleife entstehen zwei einander überlagerte Regelkreise. Die äußere Schleife besteht aus der Reihenschaltung von innerem Kreis und der Teilstrecke G S2 (s). Eine Kaskadenstruktur der Regelung hat gegenüber einschleifigen Regelkreisen einige entscheidende Vorteile: Für die verschiedenen Regelkreise können unterschiedliche Dynamiken festgelegt werden, die den Zeitkonstanten der Teilstrecken entsprechen. Daraus resultiert ein insgesamt günstigeres Regelverhalten. 11

Abbildung 6: Führungssprungantwort für k = 4 und d = 0, 5 des Symmetrischen Optimums Der zweite große Vorteil besteht darin, dass im inneren Kreis angreifende Störgrößen schneller als in einem einschleifigen Kreis ausgeregelt werden können. Ohne innere Rückführung muss die Störung erst die u. U. großen Zeitkonstanten im äußeren Streckenteil passieren, ehe sie vom Regler bemerkt wird. Sie kann bis zu einem Eingreifen der Regelung schon zu unangenehmen Folgen, wie z.b. einem Einbrechen der Regelgröße, führen. Außerdem wird die Komplexität des Reglerentwurfs durch eine Kaskadenstruktur reduziert. Der Entwurf des inneren Kreises ist für ein Teilsystem niedriger Ordnung (immer kleiner als die Ordnung des Gesamtsystems) möglich. Darüberhinaus ist es bei Kaskadenstrukturen in der Praxis üblich für die innere Schleife ein P T 1 -Verhalten anzusetzen (dieses soll mit dem Regler G R1 (s) erzielt werden). Ist die Zeitkonstante des inneren Kreises sehr viel kleiner als die Zeitkonstante der äußeren Schleife, so kann die innere geschlossene Schleife sogar als P -Glied mit der Verstärkung K = 1 approximiert werden. Erst nach erfolgreichem Entwurf und Paramtrierung von G R1 (s) (dynamisches Verhalten der inneren geschlossene Schleife möglichst optimal) wird der äußere Regler G R2 (s) entworfen und eingestellt. Ein weiterer, für die Praxis sehr wichtiger Faktor ergibt sich aus dem Entwurf des Gesamtregelungskonzepts in zwei Schritten. Diese Aufteilung gestattet es, die einzelnen Regelkreise (innere und äußere Schleife) nacheinander in Betrieb zu nehmen, zu parametrieren und zu testen. Zunächst wird der innere 12

Abbildung 7: Kaskadenreglung Regelkreis so eingestellt, dass er gutes Stör- oder Führungsverhalten zeigt, erst danach erfolgt die Einstellung des äußeren Reglers (G R2 (s)). 2.3.2 Entwurf einer Kaskadenregelung (allgemein) Ausgehend von einer Reihenschaltung aus G S1 (s) und G S2 (s) (vergleiche Abbildung 7) und entsprechenden Gütekriterien werden die folgenden Schritte abgearbeitet: 1. Entwurf des inneren Reglers. Dabei ist es das Ziel mit Hilfe des inneren Kreises die Störung d 1 soweit auszuregeln, dass sie keinen wesentlichen Einfluss auf den äußeren Kreis hat. Vorgriff: Innerhalb des Strukturbilds (Abbildung 24) stellt die induzierte Gegenspannung e die Störgröße dar. 2. Zusammenfassen der inneren, geregelten Schleife zu einem Block (Eingangsgröße w H und Ausgangsgröße y H ) und Ermittlung der Zeitkonstante des gewonnenen Ersatz-P T 1 -Glieds. Dieses bildet zusammen mit G S2 (s) die Regelstrecke für den äußeren Regler G R2 (s). Bei der Wahl des äußeren Reglers liegt wieder ein einschleifiger Kreis vor. 3. Entwurf des äußeren Reglers. Der äußere Kreis wird so entworfen, dass die Regelgröße y ein gutes Führungsverhalten bezüglich w besitzt. Bei diesem Entwurf fordert man, dass der innere Kreis auch ohne das Wirken des äußeren Kreises stabil ist, also nicht erst eine Stabilisierung durch G R2 (s) erfolgt. 13

Außerdem ist es zweckmäßig zu fordern, dass der innere Kreis schneller als der äußere Kreis ist und beim Entwurf des äußeren Kreises als P T 1 (oder sogar P - Glied) aufgefasst werden kann. Für langsame Veränderungen des Sollwertes w H und niederfrequente Störungen (Führungs- und Störsignale mit Frequenz ω < ω gr ) gilt dann: Y H (jω) W H (jω) (21) Im Idealfall ist der innere Kreis dann unabhängig von der Störung d 1 (kompensiert dies vollständig) und folgt der Führungsgröße w H nahezu verzögerungsfrei. Der innere Kreis tritt für diesen Fall gar nicht mehr in der Beschreibung des äußeren Kreises auf. Der äußere Kreis kann für ω < ω gr so entworfen werden, als würde der innere Kreis gar nicht existieren. Die größere Leistungsfähigkeit einer Kaskadenregelung gegenüber der Reihenstabilisierung muss man mit einem höheren Aufwand bezahlen. Dabei ist die Verwendung mehrerer Regler sekundär. Vielmehr fällt die Tatsache ins Gewicht, dass neben der Regelgröße weitere zeitveränderliche Systemgrößen erfasst werden müssen. Diese Erfassung macht zusätzliche Messeinrichtungen erforderlich. Die Grundvoraussetzung ist dabei außerdem, dass man überhaupt dazu in der Lage ist, entsprechende Größen messtechnisch zu erfassen. Diese Vorraussetzung ist jedoch im Rahmen des Versuchs erfüllt, da es sich nur um messbare, physikalische Größen handelt. Es ist also beim Einsatz einer Kaskadenregelung immer abzuwägen, ob der erforderliche Mehraufwand vertretbar ist. 2.4 Die Regelung im Versuch Auch in diesem Versuch wird die Kaskadenregelung aufgrund der mit ihr verbundenen Vorteile eingesetzt. Der elektrische Teil (Regelung des Ankerstroms als innere Schleife) der Drehzahlregelung besitzt eine bessere Dynamik als der langsamere mechanische Teil und kann in einer ersten Näherung als P T 1 -Glied aufgefasst werden. Aufgrund seiner im Vergleich zu den anderen Gliedern kleinen Zeiktonstante kann es sogar später durch ein P -Glied angenähert werden. Häufig (so auch hier) werden die Reglerparameter der Drehzahlregelung (äußere Schleife) nach der Methode des Symmetrischen Optimums und die der Stromregelung (innere Schleife) nach dem Betragsoptimum eingestellt. Die Methode des Symmetrischen Optimums bietet sich insbesondere dann an, wenn die Strecke I-Verhalten besitzt. Doch wieso wird eine Kombination aus zwei PI- 14

Reglern und nicht etwa eine aus P- und PI-Regler eingesetzt? Der äußere PI-Regler (G R2 (s): in Abbildung 24 durch seine Parameter k n und T n beschrieben) ist erforderlich um die stationäre Genauigkeit bezüglich eines Führungsgrößensprungs zu garantieren. Denn es sieht in Abbildung 24 nur so aus als besitze die Strecke I-Verhalten. Durch die Gegenkopplung über k P erfolgt eine Verschiebung der Eigenwerte, wodurch die Strecke kein I-Verhalten mehr besitzt. 3 Das physikalische Strukturbild des Regelkreises Die physikalischen Komponenten des Drehzahlregelkreises sind in Abbildung 8 dargestellt. Abbildung 8: Physikalisches Strukturbild des Drehzahlregelkreises An der Summierstelle des Drehzahlreglers findet der Vergleich des Drehzahlsollwertes mit dem Drehzahlistwert statt. Ein Sollwertpotentiometer oder eine Sprunggeberbaugruppe liefert die Führungsspannung, die mit der tiefpassgefilterten, drehzahlproportionalen Spannung des Tachogenerators verglichen wird. Je nach Höhe der Drehzahlabweichung tritt am Ausgang des Drehzahlreglers eine Spannung auf, die zur Führung des Ankerstromreglers verwendet wird. Die Ausgangsspannung des übergeordneten Drehzahlreglers wird als Sollwert im 15

unterlagerten Ankerstromregelkreis verwendet. Diese Kaskadenschaltung der Regler hat sich in der Antriebstechnik für die Regelung von Gleichstrommotoren allgemein durchgesetzt, da dadurch, wie oben erläutert, die dynamischen Eigenschaften der Gesamtregelung stark verbessert werden. Der Ankerstromistwert wird von einer geeigneten Messeinrichtung (hier: Messwiderstand) in die Summierstelle des Stromreglers eingespeist. Die Soll-/Istwert- Differenz wird im Stromregler weiterverarbeitet und einem Transistorverstärker zugeführt. Dieser erzeugt den für den Motor erforderlichen Strom. Über die mechanische Kopplung des Motors mit dem Tachogenerator und anschließende Tiefpassfilterung der Ausgangsspannung des Tachogenerators wird der Regelkreis geschlossen. Ein zweiter, baugleicher Motor wird als Belastungsmaschine verwendet, indem ein Widerstand zwischen die Ankerklemmen geschaltet wird. 4 Das mathematische Strukturbild des Regelkreises 4.1 Die mathematische Modellbildung In diesem Laborversuch sind Drehzahlregler (vgl. Abbildung 8) für verschiedene, vorgegebene Phasenreserven geeignet zu entwerfen. Dazu bedarf es zunächst einer möglichst genauen Kenntnis der zu regelnden Strecke. Man braucht ein möglichst genaues Modell. Zur Strecke gehören der innere Stromregelkreis, der Motor (als die eigentliche Strecke), der Tachogenerator (als Messglied) und der Tiefpass (als Messsignalverarbeitungsglied). Die einzelnen Komponenten der Strecke können durch Strukturbilder beschrieben werden. Das Strukturbild eines Systems erhält man in drei Schritten: 1. Die Funktionalbeziehungen zwischen den verschiedenen zeitveränderlichen Größen des Systems werden anhand physikalischer Gesetze ermittelt. 2. Die Funktionalbeziehungen werden durch Übertragungsfunktionen veranschaulicht. 3. Die Parameter der Übertragungsfunktionen werden rechnerisch oder durch Messung bestimmt. Bei der Modellbildung wird mit dem Tachogenerator und dem Glättungstiefpass begonnen, da bei der Aufstellung des Strukturbildes für den Gleichstrommotor Drehzahlmessungen durchgeführt werden müssen und dabei auf den Tachogenerator zurückgegriffen wird. 16

4.2 Der Tachogenerator 4.2.1 Theoretische Modellbildung Die Drehzahl wird mit Hilfe eines Tachogenerators ermittelt. Der Tachogenerator ist eine permanenterregte Gleichstrommaschine. Vorzeichen und Betrag der Ausgangsspannung geben Drehsinn und Höhe der Drehzahl an. Das auf Linearität getrimmte Übertragungsverhalten des Tachogenerators wird durch ein Proportionalglied genügend genau beschrieben (Abbildung 9). Abbildung 9: Tachogenerator als Drehzahlgeber 4.2.2 Bestimmung von k T Zur Bestimmung des Proportionalitätsfaktors k T genügt wegen der guten Linearität die Aufnahme eines Messwertpaares. Die Nenndaten des Antriebsmotors sind: U N = 30 V, n N = 2790 U/min. Versuchsaufgabe 1: Stellen Sie die Drehzahl des Antriebsmotors mit Hilfe des optischen Drehzahlmessgeräts auf Nenndrehzahl ein. Messen Sie die Ausgangsspannung U T des Tachogenerators bei Nenndrehzahl und berechnen Sie den Proportionalitätsfaktor k T. Rechnen mit n in der Einheit U/sec. U T k T 17