Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 1 Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 (WS 2008/2009) Inhaltlicher Bezug: KE 4, 5 und 6 Aufgabe 1 15 Punkte a) Was versteht man in der Investitionstheorie unter dem Nominalwert einer Zahlungsreihe (5 P.) Der Nominalwert einer Zahlungsreihe entspricht dem Ordinatenschnittpunkt der Kapitalwertfunktion dieser Zahlungsreihe und errechnet sich als einfache Summe aller Ein- und Auszahlungen. b) Neben der Unterlassensalternative stehen zwei einander ausschließende Investitionsprojekte A 1 und A 2 zur Auswahl; bei beiden Projekten handelt es sich um Normalinvestitionen. Die auf der Basis des Kalkulationszinsfusses r ermittelten Kapitalwerte seien mit K 1 und K 2 bezeichnet, die internen Zinsfüße mit r* 1 und r* 2. (10 P.) Geben Sie zu den nachfolgenden Aussagen (ohne Begründungen anzuführen) an, ob diese richtig sind (Markierung: R), falsch sind (Markierung: F) oder je nach den weiteren, hier nicht näher bekannten Rahmendaten richtig sein können, aber nicht müssen (Markierung: )! i) Wenn 0 > K 2 > K 1 ist, ist die Optimalalternative im Sinne einer Endvermögensmaximierung (1) U R (2) A 1 F (3) A 2 F ii) Wenn r* 2 > r* 1 > r ist, ist die Optimalalternative (1) U F (2) A 1 (3) A 2
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 2 iii) Wenn r* 1 > r > r* 2 ist, ist die Optimalalternative (1) U F (2) A 1 R (3) A 2 F iv) Wenn K 1 > K 2 und r* 2 < r ist, ist die Optimalalternative (1) U (2) A 1 (3) A 2 F v) Wenn r > r* 1 und K 1 > K 2 ist, ist die Optimalalternative (1) U R (2) A 1 F (3) A 2 F zu i) Der Kapitalwert eines Investitionsprojektes gibt den auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Wert an, um den das Endvermögen bei Realisierung der Investition größer (oder kleiner) sein wird, als bei Wahl der Unterlassensalternative. Die Präferenzordnung nach dem Kapitalwertkriterium entspricht daher unmittelbar der Präferenzordnung nach dem Endvermögenskriterium: K 2 > K 1 EV 2 > EV 1. Da für K < 0 gilt, EV I > EV U, ist U die Optimalalternative. zu ii) Der interne Zinsfuß einer Normalinvestition kann als Verzinsung des durchschnittlich gebundenen Kapitals des betrachteten Investitionsprojektes interpretiert werden. Von r* 2 > r* 1 > r kann allein noch nicht auf K 2 > K 1 oder EV 2 > EV 1 geschlossen werden, da Angaben über die Höhe des durchschnittlich gebundenen Kapitals beider Investitionsalternativen fehlen. zu iii) Normalinvestitionen weisen genau einen internen Zinsfuß auf. Für r* > r gilt also K > 0 und für r* < r gilt K < 0. Aus r* 1 > r > r* 2 kann aber K 1 > 0 > K 2 gefolgert werden. Diese Präferenzordnung nach dem Kapitalwertkriterium gilt auch nach dem Endvermögenskriterium. zu iv) Da nur Normalinvestitionen betrachtet werden, kann aus r* 2 < r auf K 2 < 0 und aus K 1 > K 2 damit insgesamt keine eindeutige Aussage über das Vorzeichen von K 1 abgeleitet werden. Damit bleibt offen, ob Projekt 1 oder die Unterlassensalternative zum maximal erreichbaren Endvermögen führt. zu v) Da nur Normalinvestitionen betrachtet werden, kann aus r > r* 1 auf K 1 < 0 und aus K 1 > K 2 damit insgesamt auf 0 > K 1 > K 2 geschlossen werden. Wegen der Äquivalenz von Kapitalwertkriterium und Endvermögenskriterium stellt also die Unterlassensalternative die Optimalalternative dar.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 3 Aufgabe 2 15 Punkte Die ALPHA-AG hat für den Kapitalwert eines Investitionsprojektes, bei dem auf eine Anfangsauszahlung nur noch Einzahlungsüberschüsse folgen, exakt den Wert K = +10 ermittelt. Markieren Sie die folgenden Aussagen über den entsprechenden Endwert (EW), die zugehörige Annuität (e*) und den internen Zinsfuß (r*) des Investitionsprojektes in der bekannten Weise mit R, F oder. Gehen Sie dabei davon aus, dass Geldbeträge jeweils auf ganzzahlige Werte und Prozentsätze auf zwei Stellen nach dem Komma genau gerundet werden! a) Nehmen Sie zunächst an, die Laufzeit des Projektes betrage 6 Jahre und der maßgebliche Kalkulationszins 7,00 %. Markieren sie die folgenden Aussagen! (6 P.) EW = 12 F EW = 15 EW > 12 R EW > 15 R F e* > 0 R e* = 2 e* > 3 F e* = 1 R F r* = 7,00 % F r* = 10,00 % r* > 7,00 % R r* > 10,00 % Für Aufzinsungs- und Annuitätenfaktor gilt 1,5007 bzw. 0,2098 und somit (unter Beachtung der Rundungsregel) EW = 15 und e* = 2. Der interne Zinsfuß muss auf jeden Fall größer als 7,00 % sein.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 4 b) Unterstellen Sie nun, es sei nur bekannt, dass (9 P.) die Laufzeit des Projektes nicht kürzer als 2 Jahre, aber nicht länger als 14 Jahre ist und der den Rechnungen zugrunde gelegte Kalkulationszins nicht kleiner als 4 % und nicht größer als 20 % ist. EW = 6 F EW = + 10 EW = 0 F EW = + 12 EW = + 6 F EW = + 16 F Der für die Verknüpfung von K und EW maßgebliche Aufzinsungsfaktor ist auf jeden Fall größer als 1 und bewegt sich im konkreten Fall im Größenbereich zwischen 1,04 2 = 1,0816 und 1,2 14 = 12,8392. e* = 2 F e* = + 2 e* = 0 F e* = + 3 e* = + 1 e* = + 7 F Der für die Verknüpfung von K und e* maßgebliche Annuitätenfaktor ist auf jeden Fall positiver und bewegt sich im konkreten Fall im Größenbereich zwischen ANF (4%; 14 J.) = 0,0947 und ANF (20%; 2 J.) = 0,6545. r* = 0,00 % F r* = 4,00 % r* = 2,75 % F r* > 4,00 % r* = 3,86 % F r* > 8,00 % F R Die Kapitalwertfunktion hat im relevanten Bereich einen monoton fallenden Verlauf und weist bei dem maßgeblichen Kalkulationszins einen positiven Wert auf; mithin muss r* größer als der Kalkulationszins und damit auf jeden Fall größer als dessen Mindestwert von 4 % sein.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 5 Aufgabe 3 20 Punkte Ein Investor betrachtet die beiden folgenden Investitionsprojekte a 4 und a 5 mit den Zahlungsreihen: e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 a 4 456 +20 +100 +144 +328 a 5 368 +218 +20 +188 a) Stellen Sie die Differenzzahlungsreihe nach der Ihnen aus dem Kursmaterial bekannten Vorgehensweise auf! Welches Projekt sollte der Investor unter der Zielsetzung einer Endvermögensmaximierung durchführen, wenn der für die gesamte Laufzeit geltende Zins 10% p.a. beträgt und auf jeden Fall eines der beiden Projekte realisiert werden soll (5 P.) Die sich zu den jeweiligen Zeitpunkten ergebenden Differenzzahlungen werden ermittelt, indem die einzelnen Zahlungen des einen Projektes von denen des jeweils anderen Projektes zeitpunktbezogen subtrahiert werden. Dabei ist zu beachten, dass die erste von Null verschiedene Zahlung der Differenzzahlungsreihe ein negatives Vorzeichen hat. Um im konkreten Fall die gesuchte Differenzzahlungsreihe zu erhalten, ist jeweils zeitpunktbezogen a 4 a 5 zu berechnen. e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 D 4,5 88 198 +80 44 +328 Die Berechnung des Kapitalwertes der Differenzzahlungsreihe für r = 0,10 ergibt: 4,5 1 2 3 4 K = 88 198 1,1 + 80 1,1 44 1,1 + 328 1,1 = 10, 91. Der negative Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe entspricht definitionsgemäß gerade der Differenz der Kapitalwerte der Projekte a 4 und a 5. Da diese Differenz negativ ist, ist das Investitionsprojekt a 5 dem Investitionsprojekt a 4 unter der Zielsetzung Endvermögensmaximierung eindeutig vorzuziehen.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 6 b) Führt die von Ihnen in Aufgabenteil a) als vorteilhaft erkannte Investition auch zu einem höheren Endvermögen als die Unterlassensalternative Begründen Sie Ihre Meinung! (5 P.) 5 1 2 3 K = 368 + 218 1,1 + 20 1,1 + 188 1,1 = 12, 04. Das in Aufgabenteil a) als (relativ) vorteilhaft erkannte Projekt a 5 weist einen negativen Kapitalwert auf. Die Unterlassensalternative führt folglich zu einem höheren Endvermögen als das bessere der beiden Investitionsprojekte a 4 und a 5. U ist Optimalalternative. c) Ändern sich die Ergebnisse gemäß Teilaufgabe a) bzw. Teilaufgabe b), wenn der am Finanzmarkt geltende Zinssatz nicht konstant 10% p.a. beträgt, sondern in den ersten beiden Jahren jeweils 4% und anschließend jeweils 16% beträgt (5 P.) Für den Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe ergibt sich: 4,5 1 2 2 1 2 2 K = 88 198 1, 04 + 80 1, 04 44 1, 04 1,16 + 328 1, 04 1,16 = 14,12. Der erneut negative Wert des Kapitalwerts der Differenzzahlungsreihe zeigt, dass Projekt a 5 dem Projekt a 4 auch unter den geänderten Zinsbedingungen am Finanzmarkt vorzuziehen ist. Die relative Vorteilhaftigkeit des Projektes a 5 bleibt erhalten. Für den Kapitalwert des relativ vorteilhaften Projektes a 5 ergibt sich: 5 1 2 2 1 K = 368 + 218 1, 04 + 20 1, 04 + 188 1, 04 1,16 = + 9, 95. Das Projekt a5 weist nunmehr einen positiven Kapitalwert auf und ist jetzt auch im Vergleich zur Unterlassensalternative vorteilhaft.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 7 d) Diskutieren Sie kurz die Aussagekraft und den Nutzen bzw. die Einsatzmöglichkeiten von Differenzzahlungsreihen bei Investitionsentscheidungen! (5 P.) Differenzzahlungsreihen sind geeignet, die relative Vorteilhaftigkeit zweier Investitionsprojekte zu beurteilen. Es kann also eine Rangordnung zwischen den betrachteten Investitionsprojekten erstellt werden. Aufgrund der Differenzzahlungsreihe kann aber nicht beurteilt werden, ob die betrachteten Investitionsprojekte im Vergleich zur Unterlassensalternative vorteilhaft sind. Hierzu ist es zwingend notwendig, die einzelnen Zahlungen der Projekte zu berücksichtigen; es ist somit der jeweilige Kapitalwert der Investitionsprojekte zu ermitteln. Anwendungsmöglichkeiten, bei denen die Differenzzahlungsreihe Verwendung findet, sind immer dann gegeben, wenn der Investor bereits die Entscheidung über die Durchführung einer Investition getroffen hat, die Unterlassensalternative also nicht mehr zur Disposition steht bzw. die zu untersuchenden Investitionsprojekte im Vergleich zum Unterlassen bereits als vorteilhaft identifiziert wurden. Der Nutzen, den der Entscheidungsträger dabei aus der Verwendung der Differenzzahlungsreihe zieht, ist darin zu sehen, dass er unnötig viele Diskontierungsrechnungen vermeiden kann.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 8 Aufgabe 4 15 Punkte In einem Spielcasino wird als besondere Attraktion für entscheidungstheoretisch geschulte Spieler das aus den Kursmaterialien bekannte Petersburger Spiel eingeführt. Der Spieleinsatz beträgt nur 6 GE. Damit aus Sicht der Bank der ohnehin negative Erwartungswert dieses Spiels den Gesamtgewinn des Casinos nicht zu stark vermindert, ist die maximale Auszahlung des Casinos auf 64 GE begrenzt worden, d.h., auch bei höheren rechnerischen Gewinnen werden nur 64 GE ausgezahlt! a) Beschreiben Sie kurz in eigenen Worten eine mögliche Regel für obige Variante des Petersburger Spiels! (5 P.) Beispiel 1: Bei einem Spieleinsatz von 6 GE wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum ersten Mal Adler erscheint. Ist das beim n-ten Wurf (n = 1, 2, 3, ) der Fall, so beträgt die Auszahlung an den Spieler 2 n GE für n 5 und 64 GE für n > 5. Beispiel 2: Bei einem Spieleinsatz von 6 GE wird eine ideale Münze maximal fünfmal geworfen. Erscheint beim n-ten Wurf (n = 1, 2,, 5) zum ersten Mal Adler, so wird das Spiel abgebrochen und es erfolgt eine Auszahlung an den Spieler in Höhe von 2 n GE. Zeigt die Münze hingegen bei allen fünf Würfen Zahl, so beträgt die Auszahlung 64 GE. b) Gehen Sie von der einmaligen Spielteilnahme eines Spielers aus! Verdeutlichen Sie für diesen Spieler die monetären Konsequenzen durch die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Verluste und Gewinne (:= Auszahlung des Casinos abzüglich Spieleinsatz)! (6 P.)
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 9 Bei einem Spieleinsatz von 6 GE ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Gewinne und Verluste (in GE): e p (e) 1 4 ( = 2 6) 1 2 ( = 2 1 ) 2 2 ( = 2 6) 1 4 ( = 2 2 ) 3 + 2 ( = 2 6) 1 8 ( = 2 3 ) 4 + 10 ( = 2 6) 1 16 ( = 2 4 ) 5 + 26 ( = 2 6) 1 32 ( = 2 5 ) 6 + 58 ( = 2 6) 1 32 ( 2 5 ) = * *: Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Gewinns von 58 GE beträgt nicht (wie möglicherweise angenommen) 1/64, sondern ist exakt doppelt so groß. Summiert man die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die kleiner als 58 GE sind, so ergibt sich mit 31 16 8 4 2 1 32 = + + + + die Wahrscheinlichkeit, dass spätestens im fünften 32 32 32 32 32 Wurf erstmals Adler erscheint. Die Wahrscheinlichkeit, dass erst in einem späteren als dem fünften Wurf (vgl. Spielregel in Beispiel 1) oder in keinem der fünf Würfe (vgl. Spielregel in Beispiel 2) Adler erscheint, beträgt folglich 1 ( 1 31 ) 32 = 32. c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung des Ergebnisses (Gewinn oder Verlust) für diese Variante des Petersburger Spiels! (4 P.) ( ) ( ) μ = 4 1 1 1 1 1 1 2 + 2 4 + 2 8 + 10 16 + 26 32 + 58 32 = 1 oder 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 μ = 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 6 = 1 2 2 2 2 2 σ = ( 4 1) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 + 2 1 4 + 2 1 8 + 10 1 16 2 2 + ( 26 1) 1 ( ) 1 32 + 58 1 32 = 141 2 2 σ = σ = 2 141 = 11,874.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 10 Aufgabe 5 15 Punkte a) Ein Entscheidungssubjekt A weist eine lineare Risikonutzenfunktion auf. A wird ein Lotteriespiel angeboten, bei dem mit der Wahrscheinlichkeit w genau 200 Euro und mit der Gegenwahrscheinlichkeit (1-w) genau 100 Euro gewinnen kann. Sein Sicherheitsäquivalent beträgt 600 Euro. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w (6 P.) Eine lineare RNF impliziert Risikoneutralität, d.h. das Sicherheitsäquivalent entspricht dem Erwartungswert der Lotterie. Es gilt: 200 = 600 w + 100 (1 w) w = 0,2 b) Ein Entscheidungssubjekt B handelt (für nichtnegative Ergebnisse e) entsprechend der Risikonutzenfunktion ue ()= e. Ihm wird ein Spiel angeboten, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ein Ergebnis von 400 liefert; mit der Wahrscheinlichkeit von 80% ist das Ergebnis Null. (9 P.) (b1) Welches Sicherheitsäquivalent weist dieses Spiel für B auf Das Spiel hat für B einen Risikonutzen von u(e) = 0, 2 400 + 0, 8 0 = 4. Das Sicherheitsäquivalent beträgt: 4 = SÄ, d.h. SÄ = 16 (b2) Ist B risikofreudig, risikoscheu oder risikoneutral Begründen Sie Ihre Einschätzung kurz! B ist risikoscheu, da das Sicherheitsäquivalent geringer als der Erwartungswert der Lotterie ( μ= 0,2 400 + 0,8 0 = 80 ) ist.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 11 Aufgabe 6 20 Punkte Gehen sie nachfolgend von der in der Tabelle dargestellten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen der Wertpapiere A,B und C aus: S 1 S 2 S 3 S 4 p 1 = 0,25 p 2 = 0,25 p 3 = 0,25 p 4 = 0,25 Rendite A 4 +24 4 +24 Rendite B +12 +2 +12 +2 Rendite C +3 +3 +11 +11 a) Bestimmen Sie für jedes der drei Wertpapiere sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung der Renditen! (12 P.) μ A = 0, 5 4 + 0, 5 24 = + 10 μ B = 0,5 2 + 0,5 12 = + 7 μ C = 0, 5 3 + 0, 5 11 = + 7 A B 2 2 σ = ( 4 10) 0,5 + (24 10) 0,5 = + 14 2 2 σ = (2 7) 0,5 + (12 7) 0,5 = + 5 C 2 2 σ = (3 7) 0,5 + (11 7) 0,5 = + 4 Hinweis: Die σ-werte hätten auch ohne konkrete Rechnung leicht aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen abgeleitet werden können. Jedes konkrete Ergebnis e ij weicht jeweils vom Mittelwert der korrespondierenden Verteilung um den oben angegebenen σ-wert ab.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 12 b) Bestimmen Sie die Korrelationskoeffizienten ρ AB, ρ AC und ρ BC! (8 P.) cov AB = ( 14) 5 0, 25 + 14 ( 5) 0,25 + ( 14) 5 0, 25 + 14 ( 5) 0,25 = 70 covac = 0 covbc = 0 ρ AB = covab 70 = σa σb 14 5 = 1 ρ AC = 0 14 4 = 0 ρ BC = 0 5 4 = 0 Hinweis: Die Werte für cov BC und ρ BC hätten nicht konkret ermittelt werden müssen. Aus ρ AB = 1 und ρ AC = 0 folgt direkt: ρ BC = 0.