Kolloquium zum Modul Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der BWL SS 2011

Transkript

1 Kolloquium zum Modul Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der BWL SS 2011 Teil III: Entscheidungstheoretische Grundlagen (KE 5 und KE 6) 1 Entscheidungsregeln bei Risiko 2 μ-σ-prinzip und Portefeuilletheorie 3 Bernoulli-Prinzip 4 Übungsaufgaben 1

2 1. Entscheidungsregeln bei Risiko 2

3 3

4 2. μ-σ-prinzip und Portefeuilletheorie 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 u = e α e 2 u = 1 2α e = 0 e* = 1 2α 9

10 Beispiel: Portefeuilletheorie s 1 p 1 = 0,25 s 2 p 2 = 0,25 s 3 p 3 = 0,25 s 4 p 4 = 0,25 Rendite A μ σ Rendite B Rendite C Rendite D

11 μ σ A 2 A 4 = e p = j = 1 4 Aj = (e μ ) p = j = 1 j Aj A 2 j σ A = 11

12 Fragen: μ = x μ + x μ? AB A A B B σ = x σ + x σ? AB A A B B Beispielhafte Überprüfung: je zur Hälfte A+B / A+C / A+D 12

13 p1 = p2 = p3 = p4 = 0,25 s 1 s 2 s 3 s 4 μ σ Rendite A+B Rendite A+C Rendite A+D ,9 13

14 Korrelationskoeffizient: ρ AC = cov σ σ A AC C 4 cov AC = = j 1 ( e μ )( e μ Aj A Cj C ) p j 14

15 ρ AC = = 1 ρ AB = = + 1 ρ AD = = 0 15

16 σ 2 2 σ 2 2 = + σ 2 x x + 2 x x σ σ ρ p = x + x + 2 x x 2 2 ( σ ) ( σ ) ( σ1) ( σ ) ρ für ρ=+ 1 σ = x σ + x σ p für ρ= 1 σ = x σ x σ p für ρ= 0 σ = x σ + x σ p

17 17

18 σ = x σ x σ AC A A C C σ = 0 x σ (1 X ) σ = 0 AC A A A C σ x C A = σ A + σ C x A = = xc = ( ) μ σ = 0 = x μ + x μ AC AC A A C C = = 8,

19 19

20 AD A A D D σ = x s + x σ 2 2 A A = x ( 1 x ) = 884 x A 968x A σ x A = 0 x = 0,5475 X = 0,4525 A D μ AD ( min σ ) AD =8,19 σ min AD = 14,8 20

21 Beispiel: Optimale Portefeuillezusammensetzung (nicht prüfungsrelevant) ϕ = μ 0,5σ μ = 10 σ = 20 A A μ = 6 σ = 22 ρ = 0 D D AD Gesucht ist die optimale Portefeuillezusammensetzung für einen Investor, der einen gegebenen Betrag nur in die Wertpapiere A und/oder B investieren kann und obiger Präferenzfunktion folgt. 21

22 22 0,79 14,8 8,19 0,4525 X 0,5475 x P P D A = ϕ = σ = μ = = σ μ = ϕ 5 0, 1, ,3655 8,7463 0,3134 X 0,6866 x P P D A = ϕ = σ = μ = = 0,79 14,8 8,19 0,4525 X P P D A = ϕ = σ = μ = ϕ = 0 ϕ = 1,0635 ϕ = 2,3 1, ,3655 8,7463 0,3134 X P P D A = ϕ = σ = μ =

23 2 2 A A A A ϕ = 10x + 6 (1 x ) 0,5 400 x (1 x ) ϕ x A 1768 xa 968 = 4 0,5 = x 968x A A x = 0,6866 A μ = p σ = p 8, ,3655 ϕ = 1,

24 3. Bernoulli Prinzip a) Das Petersburger-Spiel als Ausgangspunkt Eine ideale Münze mit den Seiten Adler und Zahl wird solange geworfen, bis zum ersten Mal Adler erscheint. Fällt die Münze im n-ten Wurf zum ersten Mal auf Adler, so erhält der Spieler eine Zahlung von 2 n GE 24

25 Daraus resultiert folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Zahlungen an den Spieler: e 2 (=2 1 ) 4 (=2 2 ) 8 (=2 3 ) 2 n p(e) 1 2 (=2-1) 1 4 (=2-2) 1 8 (=2-3) 2-n μ = = (2n 2 n) = 1 = 2 4 n= 1 n= 1 25

26 b) Kernidee des Bernoulli-Prinzips Gehe bei der Beurteilung von Glücksspielen nicht vom Erwartungswert der möglichen Gewinne aus, sondern von dem Erwartungswert des aus den Gewinnen resultierenden Nutzens. Daraus resultiert eine zweistufige Vorgehensweise. Allen Ergebniswerten eij eine Alternative ai wird zunächst mittels einer Nutzenfunktion u(e) ein Nutzenwert u ij = u(p ij ) zugeordnet. Der entscheidungsrelevante Präferenzwert Ф(a i ) einer Alternative a i wird anschließend als Erwartungswert dieser Nutzwerte ermittelt. 26

27 Für die Zielfunktion des Bernoulli-Prinzips gilt folglich: max : φ (a i) = u(e ij) P n j= 1 j Wesentliches Charakteristikum des Bernoulli-Prinzips ist die Transformation der Ergebniswerte in Nutzenwerte. 27

28 c) Axiomatische Fundierung des Bernoulli-Prinzips Es werden solche Postulate als Axiome formuliert, die von möglichst vielen Entscheidungsträgern als plausible Voraussetzungen rationalen Entscheidungsverhaltens akzeptiert werden. Gesucht ist ein geschlossenes präskriptives Entscheidungskonzept auf Basis eines möglichst plausiblen und zugleich einfachen Axiomensystems. 28

29 Ordinalprinzip Vergleichbarkeit: Alternativen müssen grundsätzlich vergleichbar sein. Es soll stets genau eine der folgenden Relationen erfüllt sein: a 1 a 2 bzw. a 1 a 2 bzw. a 1 ~a 2. Transitivität: Gilt a 1 a 2 und a 2 a 3, so gilt zwingend a 1 a 3. 29

30 Dominanzprinzip Gilt a 1 (e ; p 1 ; e ) und a 2 (e ; p 2 ; e ) so gilt für p 1 > p 2 zwingend a 1 a 2. Es gilt folglich das Prinzip der Wahrscheinlichkeitsdominanz. 30

31 Experiment zum Dominanzprinzip: a) Sie haben die Möglichkeit (kostenlos) an einem Würfelspiel teilzunehmen, bei dem Sie abhängig von der gewürfelten Zahl und der gewählten Spielvariante A oder B folgende Auszahlung in Euro erhalten. Variante A B Zahl b) Sie haben die Möglichkeit (kostenlos) an einer Lotterie teilzunehmen, bei der Sie abhängig von der gezogenen Kugel (Kugeln mit den Nummern 1, 2,, 1.000) und der gewählten Spielvariante folgende Auszahlungen in Euro erhalten. Variante C D Zahl Ich wähle: A und C A und D B und C B und D Keine Entscheidung möglich, weil 31

32 Stetigkeitsprinzip _ Gilt e > e > e, so existiert eine kritische Erfolgswahrscheinlichkeit p* (0 < p* < 1), für die das sichere Ergebnis e _ und die einfache Chance (e ; p*; e ) als gerade gleichwertig angesehen werden. 32

33 Substitutionsprinzip (Unabhängigkeitsprinzip): Gilt für 2 Lotterien a b, so muss für alle Lotterien c und alle Wahrscheinlichkeit p gelten: p a + (1 p) c p b (1 p) c. Die Präferenz zwischen a und b soll sich also nicht ändern, wenn beide Lotterien mit ein- und derselben (somit für die Entscheidung irrelevanten) Alternative verknüpft werden. Beispiel a (100; 0,5; 0) b (60; 0,7; 10) c (50; 1) Für a b, muss also z.b. auch gelten: 0,8 a + 0,2 c 0,8 b + 0,2 c. 33

34 0, ,7 60 0,8 0,5 0 0,8 0,3 10 0,2 50 0,2 50 0,4 0, ,56 0, ,4 0 0,

35 d) Ableitung des Bernoulli-Prinzips aus den Kernaxiomen Die beste und die schlechteste Konsequenz aller zu bewertender Alternativen werden mit e max und e min bezeichnet. Nach dem Stetigkeitsprinzip existiert zu jeder Konsequenz e i (e min e i e max ) eine Lotterie (e max, p*; e min, 1 p*), so dass gilt: e i ( e max, p*; e min, 1 p*) Nach dem Unabhängigkeitsprinzip (Substitutionsprinzip) kann jede Konsequenz e i durch eine gleichwertige Lotterie ersetzt werden und können gleiche Konsequenzen zusammengefasst werden. Nach dem Dominanzprinzip ist eine Lotterie a einer Lotterie b genau dann vorzuziehen, wenn die Gesamtwahrscheinlichkeit e max zu erzielen für die zu a gleichwertige Lotterie a größer ist als für die zu b gleichwertige Lotterie b. 35

36 36

37 e) Beispielhafte Verdeutlichung des Bewertungskonzeptes Ausgangssituation p 1 = 0,1 p 2 = 0,4 p 3 = 0,5 a a μ(a1) = 48,5 μ(a2) = 51,6 37

38 Äquivalenzbedingung e (100; p*(e); 0) e Erfolgswahrscheinlichkeit p*(e) des äquivalenten Loses 0 0%; d.h. 0 (100; 0%; 0) 36 60%; d.h. 36 (100; 60%; 0) 49 70%; d.h. 49 (100; 70%; 0) 64 80%; d.h. 64 (100; 80%; 0) 38

39 0,1 49 a 1 0,4 64 0,5 36 (100; 70%; 0) a * 1 0,1 (100; 80%; 0) 0,4 0,5 (100; 60%; 0) 39

40 wenn a 1 a * 1 dann: a1 (100; p*(a 1 ); 0) mit p*(a1) = 0,1 70% + 0,4 80% + 0,5 60% p*(a1) = 69% a1 (100; 69%; 0) 40

41 0,1 0 a 2 0,4 49 0,5 64 (100; 0%; 0) a * 2 0,1 (100; 70%; 0) 0,4 0,5 (100; 80%; 0) 41

42 wenn a 2 a * 2 dann: a2 (100; p*(a2); 0) mit p*(a2) = 0,1 0% + 0,4 70% + 0,5 80% p*(a2) = 68% a 2 (100; 68%; 0) 42

43 Für u(e) = 0,1 e ergibt sich für die Präferenzwerte der beiden Alternativen: 1 3 ϕ (a ) = u(e ) p j1 = 1 j = (0,1 49) 0,1 + (0,1 64) 0,4 + (0,1 36) 0,5 = 0,7+ 0,32 + 0,30 = 0,69 3 ϕ (a ) = u(e ) p 2 2j j j1 = = (0,1 0) 0,1 + (0,1 49) 0,4 + (0,1 64) 0,5 = 0 + 0,28 + 0,40 = 0,68 43

44 f) Sicherheitsäquivalente RNF: u(e) = p*(e) = 0,1 e Ordnet jedem sicheren Ergebnis e ein äquivalentes Standardlos mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p*(e) zu. Umkehrfunktion: e = 10 p* e = 100 (p*) 2 Ordnet jedem Standardlos mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p* ein äquivalentes sicheres Ergebnis zu. Die Umkehrfunktion bestimmt also das Sicherheitsäquivalent eines beliebigen Standardloses. 44

45 Aus u(e) = p*(e) = 0,1 e folgt somit: S(p*) = 100 (p*) 2 Beispiel: a 1 (100; 69%; 0) (100; 69%; 0) S(0,69) = 100 0,69 2, a 1 (100; 69%; 0) 47,6 a 1 47,6 oder S 1 = 47,6 45

46 g) Risikoeinstellung Degressive Steigung der RNF Risikoscheu Lineare Steigung der RNF Risikoneutralität Progressive Steigung der RNF Risikofreude 46

47 h) Welche Präferenzen berücksichtigt das Bernoulli-Prinzip? RNF verläuft linear (Ausdruck einer risikoneutralen Einstellung) degressiv (Ausdruck einer risikoscheuen Einstellung) progressiv (Ausdruck einer risikofreudigen Einstellung) Beachte: Der Verlauf der RNF hängt nicht nur von der reinen Einstellung des Entscheiders gegenüber dem Risiko ab (Risikopräferenz i.e.s.), sondern wird auch durch den subjektiven Geldnutzen (Höhenpräferenz) bestimmt. 47

48 Beispiel: Zu bewerten ist folgende Lotterie (100; 0,5; 0). Trifft der Entscheider seine Entscheidung gemäß der RNF u(e) = e, so schätzt der Entscheider den Wert dieses Loses exakt so ein, wie den Besitz von sicheren 25 GE. Da die RNF und darauf aufbauende Bewertungen sowohl die Höhenpräferenz des Entscheiders als auch dessen Risikopräferenz i. e. S. berücksichtigen, muss diese Bewertung des Loses keineswegs zwingend aus einer Abneigung gegenüber dem Risiko resultieren. Verdeutlichung: Ein Entscheider A bewertet den Nutzenzuwachs des Übergangs von 0 GE auf 25 GE exakt so wie den Nutzenzuwachs beim Übergang von 25 GE auf 100 GE. Wenn A im engeren Sinne risikoneutral eingestellt ist, bewertet er das Los trotzdem nur mit genau 25 GE. 48

49 i) Einschränkung zulässiger Präferenzen Zu beurteilen sind Lotterien mit den drei möglichen Ergebnissen en < em < eh, die mit den Wahrscheinlichkeiten pn bzw. pm bzw. ph (pn + pm + ph = 1) eintreten. Für den entscheidungsrelevanten Präferenzwert eines Loses gilt: EU = u(e n) pn + u(e m) pm + u(e n) p n Umgeformt nach ph ergibt sich für beliebige Nutzenniveaus EU*: p h u(e = m) u(e n) EU * u(e + m) pn u(e ) u(e ) u(e ) u(e ) Beispiel: h m n m Für en=36, em=49, eh=64 und u(e)= e gilt: 7 6 7,3 7 ph = pn ph = pn + 0,3 (mit p n,p m,ph 0 und p + p + p = 1) 49 n m h

50 Dies bedeutet, dass das Bernoulli-Prinzip in Bezug auf die Bewertungsrelevanz von Wahrscheinlichkeiten zwingend lineare Präferenzen voraussetzt. Die Lose L1 = (36, 0,2; 49, 0,3; 64; 0,5) L2 = (36, 0,3; 49, 0,1; 64; 0,6)... Ln = (36, 0,35; 49, 0; 64; 0,65) werden wegen Geltung von ph = pn + 0,3 alle mit einem identischen Präferenzwert bewertet. 50

51 4 Übungsaufgaben Aufgabe 1 Betrachtet seien die Alternativen a1 und a2. Die zugehörige Ergebnismatrix hat folgendes Aussehen: p1 = 0,25 s1 p2 = 0,25 s2 p3 = 0,25 s3 p4 = 0,25 s4 a a a) Berechnen Sie die μ-und σ-werte der beiden Alternativen! b) Angenommen, ein Entscheider wähle immer die Alternative mit dem höchsten Präferenzwert und gehe von folgender Präferenzfunktion aus: ϕ(μi,σi) = μi 1,5 σi 1. Für welche Alternative wird er sich entscheiden? 2. Kann diese Entscheidung als vernünftig angesehen werden? 3. Wie groß dürfte der Risikoparameter maximal sein, damit auf Basis obiger Präferenzfunktion im vorliegenden Fall eine mit dem Dominanzprinzip vereinbare Entscheidung getroffen wird? 51

52 c) Gegeben seien zwei Lotterien a1 und a2 mit folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der möglichen Gewinne: e e a 1 a 2 p 0,5 0,5 p 0,9 0,1 Einem Entscheidungssubjekt werde nach seiner Wahl ein Los für eine der beiden Lotterien zum Geschenk angeboten. Wie wäre nach der Präferenzfunktion gemäß b) zu entscheiden, wenn für den Risikoparameter der Wert 0,1 gilt? d) Wie hoch sind nach der Präferenzfunktion gemäß b) die Sicherheitsäquivalente der Lotterien a1 und a2? 52

53 Aufgabe 2 Der risikoscheue Anleger FORTUNA sucht nach einer Anlagemöglichkeit für ein Jahr. Dabei ist er auf 4 Wertpapiere a 1 a 4 gestoßen, deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Jahresrendite durch folgende Werte gekennzeichnet sind: μ σ a1 4 2 a a a a) Ist es sinnvoll, dass FORTUNA alle diese Wertpapiere in seine Anlageüberlegungen mit einbezieht, wenn er sich nach dem μ-σ-prinzip richten will? Begründen Sie Ihre Antwort bitte kurz! b) Gehen Sie davon aus, dass der Korrelationskoeffizient ρ 14 einen Wert von +1 aufweist! Zeichnen Sie für alle denkbaren Mischungen dieser beiden Wertpapiere den Verlauf der Portefeuillelinie in ein μ-σ-diagramm ein! c) Gehen Sie davon aus, dass sich eine risikolose Mischung aus den Wertpapieren a 1 und a 3 mit folgenden Anteilen erstellen lässt: x 1 = 0,9 und x 3 = 0,1. In welcher Weise korrelieren die Wertpapiere a1 und a3 miteinander? 53

54 Aufgabe 3 ALPHA will einen fest vorgegebenen Geldbetrag für genau 1 Jahr anlegen. Er orientiert sich dabei an dem portefeuilletheoretischen Grundmodell. Als Anlagemöglichkeiten zieht er die Wertpapiere A und B sowie beliebige Mischungen in Betracht. Dazu ermittelt er zunächst die Kennzahlenwerte μ (Erwartungswert) und σ (Standardabweichung) der Papiere A und B. Markieren Sie die in den folgenden Teilaufgaben präsentierten Aussagen mit R, wenn Sie sie für zutreffend halten, F, wenn Sie sie nicht für zutreffend halten und?, wenn die Aussage je nach den weiteren Rahmendaten zutreffen kann, aber nicht zwingend muss. a) Nehmen Sie an, für die Erwartungswerte seien μ A = 5 und μ B = 10 ermittelt worden. Außerdem können alle A-B-Mischungen durch die nachfolgend abgebildete Portefeuillelinie mit dem Scheitelpunkt M bei μ M = 7 gekennzeichnet werden. 54

55 μ Wenn ALPHA sich risikoscheu im Sinne des μ-σ-prinzips verhält und ein effizientes Portefeuille anstrebt, so wird der Anteil von Wertpapier A an seinem Portefeuille % betragen... 0% betragen... 80% betragen... 20% betragen... kleiner als 65% sein 55

56 b) Zusätzlich zur Anlage in A und B oder beliebigen Mischungen aus beiden zieht ALPHA nun auch die Anlage in einem sicheren Wertpapier in Betracht. Die von ihm zusätzlich ins Kalkül gezogenen Anlagemöglichkeiten werden durch die Strecke ST in folgender Abbildung verdeutlicht (ST tangiert die Portefeullelinie bei μm = 8). μ 56

57 Wenn ALPHA nach wie vor risikoscheu im Sinne des μ-σ-prinzips eingestellt ist, so wird das für ihn optimale Portefeuille folgende Zusammensetzung aufweisen: Anteil von S A B 100% 0% 0% 0% 100% 0% 0% 0% 100% 0% 40% 60% 50% 20% 30% 50% 0% 50% < 100% < 100% < 100% 57

58 Aufgabe 4 (Klausur 3/2011) Gehen Sie von folgender Ergebnismatrix aus: s1 s2 s3 p1 = 0,25 p2 = 0,5 p3 = 0,25 a a a) Für welche Alternative würde man sich entscheiden, wenn man von folgender Risiko-Nutzen-Funktion ausgeht: U(e) = 10 1 e2 e 10? b) Die angegebene RNF impliziert für den hier relevanten Wertbereich eine bestimmte Risikoeinstellung. Um welche handelt es sich? Begründen Sie Ihre Einschätzung! 58

59 Aufgabe 5 (Klausur 3/2011) Einem Geldanleger stehen 2 Wertpapiere a1 und a2 zur Auswahl, deren mögliche Renditen durch folgende Ergebnismatrix verdeutlicht werden: s1 s2 a a Die beiden Umweltzustände werden als gleich wahrscheinlich angenommen (also p1 = p2 = 0,5). Geben Sie jeweils an, ob Sie die nachfolgenden Aussagen für richtig ( Markierung R ) oder falsch ( Markierung F ) halten und machen Sie Ihre Berechnungen deutlich! Versuchen Sie dabei unter Rückgriff auf vorangegangene Aufgabenteile mit möglichst wenigen Rechnungen auszukommen! a) Angenommen, der Anleger könne nur a1 oder a2 wählen, jedoch keine Mischung aus beiden Alternativen. Sind folgende Aussagen zu (1) bis (3) richtig oder falsch? (1) Wenn er die Präferenzfunktion ϕ = μ 0,8 σ zugrunde legt,... (1.1)... ist a1 allein die O i l l i (1.2)... ist er indifferent zwischen a1 d (1.3)... ist a2 allein die O i l l i R 59 F

60 (2) Falls er dem BERNOULLI-Prinzip mit der RNF u(e) = 17,89 + e folgt, (2.1)... ist a1 allein die O i l l i (2.2)... ist a2 allein die O i l l i (2.3)... richtet sich der Anleger nur nach dem Erwartungswert der Rendite. (2.4)... verhält er sich risikoscheu. (2.5)... verhält er sich risikoneutral. R F (3) Falls er für Renditen in dem oben angegebenen Wertebereich dem BERNOULLI-Prinzip mit der RNF u = e 0,01e2 folgt, (4.4)... verhält er sich risikoscheu. (4.5)... verhält er sich risikoneutral. (4.6)... wendet er eine spezielle Form des μ-σ-prinzips an. R F 60

61 b) Nun sei angenommen, der Anleger könne die beiden Wertpapiere in beliebigen Bruchstücken miteinander zu einem Portefeuille mischen. Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Die Berechnung der Korrelation zwischen den beiden Wertpapieren zeigt, dass. R F (1)... ein völlig risikoloses Portefeuille nicht erreicht werden kann. (2)... genau ein völlig risikoloses Portefeuille erreichbar ist. (3)...eine größere Zahl risikoloser Portefeuilles erreicht werden kann. 61