Protokoll zum Grundversuch Geometrische Optik Fabian Schmid-Michels Nils Brüdigam Universität Bielefeld Wintersemester 2006/2007 Grundpraktikum I Tutorin: Jana Muenchenberger 01.02.2007 Inhaltsverzeichnis 1 Ziel 2 2 Theorie 2 3 Versuch 3 3.1 Versuch A: Bestimmung der Brennweite einer dünnen Sammellinse.. 3 3.2 Versuch B: Verizierung der Linsengleichung.............. 4 3.3 Versuch C: Hauptebenen und Brennweite eines Linsensystems..... 5 3.4 Versuch D: Untersuchung der chromatischen und sphärischen Aberration mit dem Besselverfahren........................ 8 4 Quellen 9 1
1 Ziel Bestimmung von Brennweiten und der Lage von Hauptebenen bei Linsen und Linsensystemen mit verschiedenen Verfahren. 2 Theorie Als Linsen bezeichnet man Körper, die aus lichtdurchlässigen Materialien bestehen und von zwei Kugeloberfächen begrenzt werden. Die Verbindungslinie der beiden zugehörigen Kugelmittelpunkte ist deniert als optische Achse. Auftreffende Lichstrahlen werden gemäÿ dem Brechungsgesetz gebrochen. Bei dünnen Linsen kann man sich die zweimalige Brechung an den Kugeloberächen durch eine Brechung an der Mittelebene (Hauptachse) ersetzt denken. Linsen, die in der Mitte dicker sind als am Rand (konvex), nennt man Sammellinsen. Sie brechen die parallel zur optischen Achse einfallendne Lichtstrahlen so, dass sie in dem Brennpunkt F gesammelt werden. Der Abstand des Brennpunktes von der Mittelebene ist die Brennweite f der Linse. Linsen, die in der Mitte dünner sind als am Rand (konkav), nennt man Zerstreungslinsen. Die parallel zur optischen Achse einfallenden Strahlen werden so gebrochen, als ob sie von einem (virtuellen ) Brennpunkt F vor der Linse ausgehen würden. Die Brennweite f ist also negativ. Abbildung 1: Strahlenverlauf an Sammelund Streulinse [Quelle (1)] Abbildung 2: Geometrische Bildkonstruktion [Quelle (1)] Zur Bildkonstruktion werden drei ausgezeichnete Strahlen verwendet: 1. Der Parallelstrahl, welcher parallel zur optischen Achse verläuft. Er wird so gebrochen, dass er durch den Brennpunkt hinter der Linse verläuft. 2. Der Mittelpunktsstrahl, der durch die Mitte der Linse verläuft, ohne gebrochen zu werden. 3. Der Brennpunktstrahl, der durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt verläuft und nachher parallel zur optischen Achse verläuft. 2
Kenngröÿen sind: die Gegenstandsgröÿe G, die Bildgröÿe B, die Gegenstandsweite g und die Bildweite b. Aus Abbildung (2) ndet man die folgenden Beziehungen. Für den Abbildungsmaÿstab V (Vergröÿerung) gilt: V = B G = b g (1) Die Linsengleichung: 1 f = 1 g = 1 b Für Zerstreuungslinsen gilt dies ebenso, b und f haben dann ein negatives Vorzeichen. (2) Linsenfehler Bei realen Linsen ndet man, dass es verschiedene Abbildungsfehler gibt, die sich in unscharfen Bildern zeigen. Bei sphärischen Linsen wird ein Punkt nur wieder dann als Punkt abgebildet, wenn die auftretenden Winkel klein sind. Die oben gemachten Annahmen gelten nur daher nur für Strahlen, die nah an der optischen Achse liegen. Je weiter ein Strahl von der optischen Achse entfernt ist, desto gröÿer wird der Winkel, unter dem der Strahl auf die Linse trit und somit auch die Brechnung. Diesen Abbildungsfehler nennt man sphärige Aberration. Werden achsferne Strahlen ausgeblendet entsteht eine schärfere Abbildung. Der Brechungsindex von Linsen ist auch von der Wellenlänge abhängig. Je nach Lichtfarbe ergibt sich also ein anderer Brennpunkt, welcher für blaues Licht näher an der Linse liegt als für rotes Licht. Dies wird chromatische Aberration gennant. Durch geschickte Kombination von verschiedenen Linsen kann man dies kompensieren. Es gibt noch weitere Linsenfehler, auf diese wird hier jedoch nicht eingegangen. Abbildung 3: shärische Aberration [Quelle (1)] Abbildung 4: chromatische Aberration [Quelle (1)] 3 Versuch Versuchsaufbau Der Versuchsaufbau besteht aus einer Lichtquelle (Halogenlampe), einer oder mehreren Linsen, einem Schirm und einer sogenannten Perl-Eins (als Gegenstand), deren Perlen bei Beleuchtung von hinten wie selbstleuchtende Punkte erscheinen. Dies alles ist verschiebbar auf einer optischen Bank angebracht, die über eine geeichte Längeneinteilung verfügt. 3.1 Versuch A: Bestimmung der Brennweite einer dünnen Sammellinse Auf der optischen Bank wird die Perleins, ein Sammellinse (Konvexlinse) und der Schirm angebracht. Für verschiedene Gegenstandsweiten g wird der Schirm verschoben, bis die Abbildung scharf ist. Die zugehrige Bildweite b wird gemessen. Aus den Messwerten wird mit der Linsengleichung die Brennweite der Linse bestimmt. Aus Gleichung (2) wird durch umformen: f = b g b + g (3) 3
Für f folgt nach der Gauss'schen Fehlerrechnung: ( f ) 2 ( ) 2 ( ) f b f = b b + g g 2 2 ( ) g = (b + g) 2 b 2 2 + (b + g) 2 g (4) Gegenstandsweite g [mm] Bildweite b [mm] Brennweite f [mm] 150 ± 1 282 ± 10 97.92 ± 4.26 200 ± 1 195 ± 10 98.73 ± 2.45 250 ± 1 165 ± 10 99.40 ± 1.62 300 ± 1 147 ± 10 98.66 ± 1.17 350 ± 1 138.5 ± 10 99.23 ± 0.95 Tabelle 1: Ergebnisse von Versuch A Als arithmetischen Mittel ergibt sich f = 98.79mm. Der Hersteller gibt für die Linse eine Brennweite von 100mm an, bei Berücksichtigung des Messfehlers ist das Ergebnis realistsich. Die Abweichungen vom Herstellerwert kommen dadurch zustande, dass es schwer ist zu entscheiden, wann die Abbildung wirklich scharf ist, da es zu chromatischen und sphärischen Aberrationen kommt. 3.2 Versuch B: Verizierung der Linsengleichung Es wird der gleiche Versuchsaufbau wie bei Versuch A verwendet, es wird jedoch eine andere Sammellinse genommen. Erneut wird für verschiedene Gegenstandsweiten g die Bildweiten b bestimmt. Gegenstandsweite g [mm] Bildweite b [mm] 200 ± 1 349 ± 1 250 ± 1 288 ± 1 300 ± 1 248 ± 1 350 ± 1 224 ± 1 400 ± 1 209 ± 1 Tabelle 2: Ergebnisse von Versuch B Die erhaltenen Wertepaare (g i,b i ) werden in ein Koordinatensystem eingetragen mit der Gegenstandsweite auf der x-achse und der Bildweite auf der y-achse. Die zugehörigen Punkte (0,b i ) und (g i,0) werden durch Geraden verbunden. 4
Abbildung 5: Graph für Versuch B Der Schnittpunkt der Geraden sollte zusammen mit dem Koordinatenursprung ein Quadrat mit der Seitenlänge f bilden. Der Schnittpunkt liegt bei (126;142). Dies ist weder ein Quadrat, noch liegt es nahe an der Herstellerangabe von 150mm. Entweder liegt hier ein etwas zu groÿer Messfehler vor, oder das Verfahren eignet sich nur schlecht zur Bestimmung der Brennweite. 3.3 Versuch C: Hauptebenen und Brennweite eines Linsensystems Die Lage der Hauptebenen und die Brennweite eines Linsensystems können mit dem Verfahren von Abbe bestimmt werden. Hierbei ist der Abbildungsmassstab entscheidend. Aus Gleichung (1) und (2) erhält man: g = f(1 + 1 ) und b = f(1 + V ) (5) V f,g und b werden von den zugehörigen Haupteben aus gerechnet. Da die Lage der Hauptebenen unbekannt ist, können b und g nicht direkt gemessen werden. Man misst daher die Abstände g und b zu einem beliebigen, festen Referenzpunkt K. Die Lage der Hauptebenen ist durch h und h relativ zum Referenzpunkt K festgelegt, wobei h und h positive und negative Werte annehmen können. 5
Abbildung 6: Erläuterung der Variablen Für die gemessenen Abstände g und h gilt: g = g + h = f(1 + 1 V ) + h (6) b = b + h = f(1 + V ) + h (7) Misst man nun für verschiedene g jeweils b und V, so können f, h und h bestimmt werden. Für den Versuch wird aus zwei Linsen ein Linsensysstem mit festem Linsenabstand aufgebaut. In diesem Versuch wurden eine Sammellinse mit f = 100mm und eine Streulinse mit f = 100mm kombiniert. g ± 1 [mm] b ± 10 [mm] G ± 1 [mm] B ± 1 [mm] V V 400 297 30 39 1.30 0.05 450 240 30 27 0.90 0.04 500 205 30 21 0.70 0.04 550 182.5 30 18 0.60 0.04 600 170 30 15 0.50 0.04 Tabelle 3: Ergebnisse von Versuch C Mit Formel (1) kann V bestimmt werden. Mit Gauÿ'scher Fehlerrechnung folgt: ( B ) 2 ( ) 2 B G V = + (8) G G 2 6
Die Regressionsgrade verrät: h = 104 ± 13mm und f 1 = 165 ± 5mm. Die Fehlerangaben beziehen sich auf die asymptotischen Fehler vom 'least squares t'-verfahren. Die Regressionsgrade verrät: h = 71 ± 12mm und f 2 = 161 ± 7mm. 7
Für die Brennweite erhält man nun zwei Werte, die aber recht genau übereinstimmen. Der Referenzpunkt K war in der Mitte der beiden Linsen angesetzt. Jetzt sieht man, dass die Hauptachse nicht in der Mitte zwischen den beiden Linsen liegt. Die Messunsicherheit ist bei diesem Verfahren recht groÿ, kleine Bildweiten können nicht vermessen werden. Die Regressionsgrade verläuft durch einen groÿen Bereich, in dem keine Messpunkte vorliegen. Die erhaltenen Fehler für h und h reektieren dies auch. 3.4 Versuch D: Untersuchung der chromatischen und sphärischen Aberration mit dem Besselverfahren Die Bestimmung von Brennweiten durch Messung der Gegenstands- und Bildweiten ist ungenau, da die Lage der der Mittelebene nicht genau bekannt ist. Um dies zu umgehen bietet sich das Besselverfahren an. f wir hierbei indirekt aus genauer messbaren Abstänbden bestimmt. Bei festem Abstand a = b + g und a > 4f erhält man für die Linsenpostitionen 1 und 2 jeweils ein scharfes Bild auf dem Schirm. Abbildung 7: Besselverfahren [Quelle (1)] Es gilt: (e: Abstand zwischen den Stellungen mit scharfem Bild) f = a2 e 2 4a (9) 8
Für den Fehler gilt (Gauss'sche Fehlerrechnung): ( f ) 2 ( ) 2 (a2 ) f f = a a + e e + e = 2 2 ( e ) 2 4a 2 a + 2a e (10) (Vorraussetzung: dünne Linsen). Die Messungen werden mit monochromatischen Licht durchgeführt, der Versuchsaufbau wird um einen blauen oder roten Farblter erweitert. Ausserdem wird abwechselnd der Zentralbereich und dre Randbereich der Linse abgedeckt. Für drei Abstände a wird dann der Abstand e der Linsenstellungen bei denen ein scharfes vergröÿertes oder verkleinertes Bild erscheint. Lichtfarbe a [mm] e [mm] f [mm] rot 650 ± 1 252 ± 5 138.1 ± 1.0 rot 700 ± 1 321 ± 5 138.2 ± 1.2 rot 750 ± 1 383 ± 5 138.6 ± 1.3 blau 650 ± 1 261 ± 5 136.3 ± 1.0 blau 700 ± 1 327 ± 5 136.8 ± 1.2 blau 750 ± 1 391 ± 5 136.5 ± 1.3 Tabelle 4: Ergebnisse mit abgedecktem Zentralbereich Lichtfarbe a [mm] e [mm] f [mm] rot 650 ± 1 166 ± 5 151.9 ± 0.7 rot 700 ± 1 251 ± 5 152.5 ± 0.9 rot 750 ± 1 324 ± 5 152.5 ± 1.1 blau 650 ± 1 171 ± 5 151.3 ± 0.7 blau 700 ± 1 252 ± 5 152.3 ± 0.9 blau 750 ± 1 332 ± 5 150.8 ± 1.1 Tabelle 5: Ergebnisse mit abgedecktem Randbereich Die Ergebnisse bei abgedecktem Zentralbereich geben Aufschluss über die sphärische Aberration. Die Brennweite ist signikant kleiner als die Herstellerangabe von 150mm (wie nach der theoretischen Überlegung erwartet). Die Ergebnisse bei abgedecktem Randbereich sollten Hinweise zur chromatische Aberration geben. Die Brennweite für blaues Licht ist tendentiell kleiner als die für rotes Licht. Der Eekt der chromatischen Aberration fällt jedoch bei weitem nicht so stark ins Gewicht wie die sphärische Aberration. 4 Quellen 1. Udo Werner. Physikalisches Grundpraktikum I S.89-95. Universität Bielefeld Fakultät für Physik, 2006. 9