Modul Elemente der Algebra und Zahlentheorie AlgZTh

Modul Elemente der Algebra und Zahlentheorie AlgZTh Bernhard Ganter Sommersemester 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Begrisverbände 4 2 Arithmetik 12 3 Axiomatik und Modell der natürlichen Zahlen 19 4 Von N zu Z: Gruppe und Ring 22 5 Der Körper Q der rationalen Zahlen 24 6 Die Unvollständigkeiten der rationalen Zahlen 26 7 Die reellen Zahlen 27 8 Die komplexen Zahlen 29 9 Abstrakte Algebra: Erste Begegnung 31 10 Gruppen 32 11 Vom Rechnen modulo n 35 12 Der euklidische Algorithmus 40 13 Einheiten modulo n 44 14 Das RSA-Kryptoverfahren 48 15 Endliche Körper 49 16 Rechnen mit Polynomen 50 1

17 Körper zwischen Q und C 53 18 Zirkel und Lineal 55 19 Spezial: Wieviele Primzahlen gibt es? 58 20 Spezial: Die Klassikation der endlichen Gruppen 61 21 Spezial: Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers 63 22 Spezial: Das Reziprozitätsgesetz von C.F.Gauss 65 23 Spezial: Die Klassikation der endlichen Körper 68 24 Gesetzbuch 70 24.1 Eigenschaften von Relationen.................... 70 24.2 Eigenschaften von Operationen................... 70 25 Strukturenzoo 71 25.1 Spezielle Relationen.......................... 71 25.2 Spezielle Algebren........................... 71 25.2.1 Verband............................ 71 25.2.2 Halbgruppe.......................... 72 25.2.3 Gruppe............................ 72 25.2.4 Semiring............................ 72 25.2.5 Ring.............................. 72 25.2.6 Körper............................. 72 2

Einführung Was man lernen muss: 83 Zahlen. Auswendig! Wovon handelt diese Vorlesung? Vom Rechnen! Aber es ist nicht ganz oensichtlich, was Rechnen bedeutet. Wir rechnen mit Zahlen, aber nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Mengen, Polynomen, Vektoren, Matrizen und anderen Gröÿen und kommen dadurch zu verallgemeinerten Zahlbereichen, die wir algebraische Strukturen nennen. Wir beginnen mit dem Rechnen mit formalen Begrien. Dazu wird vorausgesetzt, dass das Rechnen mit Mengen vertraut ist und beherrscht wird. Von den natürlichen Zahlen behandeln wir die elementare Teilbarkeitslehre. Dann kommen wir zu den klassischen Zahlbereichen und ihren mathematischen sowie, ganz kurz, logischen Grundlagen. Dabei werden Strukturgeberie wie Gruppe, Ring, Körper benannt. Etwas Gruppentheorie und ein ganz kleiner Ausug in die allgemeine Algebra schlieÿen sich an. Dann folgt modulare Arithmetik mit einigen Anwendungen. Ein wenig Galoistheorie schlieÿt sich an. Die Lehrveranstaltung wendet sich an unterschiedliche Hörerkreise, die aufgrund der jeweiligen Studienordnungen auch unterschiedliche Studenzahlen angeboten bekommen müssen. Deshalb sind einige Abschnitte der Vorlesung mit dem Wort Spezial gekennzeichnet; diese wenden sich also nur an einen Teil der Hörer. Kein Kapitel dieser Vorlesung hat die Aufgabe, Rechenkunststückchen einzuüben. Mathematiker sehen es nicht als ihre Aufgabe an, besonders gut rechnen zu können, sondern das Rechnen gut zu verstehen. Trotzdem sollte man einige Übung im Kopfrechnen haben, besonders beim Rechnen mit natürlichen Zahlen. Jeder Mathematiker (also auch jeder Mathematiklehrer) sollte z.b. von allen natürlichen Zahlen die Potenzen bis 1024 kennen, also alle Quadrate n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 n 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 n 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 n 2 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 und die höheren Potenzen 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 3 3 3 4 3 5 3 6 5 3 5 4 6 3 7 3 9 3 8 16 32 64 128 256 512 1024 27 81 243 729 125 625 216 343 729. Auÿerdem soll man die kleinen Fakultäten n 0 1 2 3 4 5 6 7 n! 1 1 2 6 24 120 720 5040 auswendig wissen und alle Primzahlen unter 100 als solche erkennen, also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. 3

1 Begrisverbände Was man lernen muss: Formaler Kontext, Ableitungsoperatoren, einfache Regeln, Denition Begri, Umfang, Inhalt, UnterbegriOberbegri, Ordnung, Supremum, Inmum, Verband, Diagramm, reduzierte Beschriftung. Jeder Student sollte in der Lage sein, zu einem gegebenen formalen Kontext alle Begrie und ihre Ordnung zu bestimmen, ein Diagramm des Begrisverbandes zu zeichnen und zu beschriften. Ein formaler Kontext (G, M, I) besteht aus einer Menge G, einer Menge M sowie einer Relation I G M. Man nennt die Elemente von G die Gegenstände, die von M die Merkmale des formalen Kontextes (G, M, I). Statt (g, m) I schreibt man g I m und liest der Gegenstand g hat das Merkmal m. Zu einem formalen Kontext (G, M, I) deniert man für A G und entsprechend für B M A := {m M g I m für alle g A} B := {g G g I m für alle m B}. (A, B) ist genau dann ein formaler Begri des formalen Kontextes (G, M, I), wenn gilt: A G, B M, A = B und A = B. A ist der Umfang und B der Inhalt des formalen Begris (A, B). Die Menge aller formalen Begrie wird mit B(G, M, I) notiert. 1 Sind (A 1, B 1 ) und (A 2, B 2 ) formale Begrie von (G, M, I), dann nennt man (A 1, B 1 ) einen Unterbegri von (A 2, B 2 ), wenn der Umfang von (A 1, B 1 ) eine Teilmenge des Umfanges von (A 2, B 2 ) ist. Als Abkürzung verwendet man dafür das Zeichen, also (A 1, B 1 ) (A 2, B 2 ) : A 1 A 2 ( B 2 B 1 ). Die Menge aller formalen Begrie von (G, M, I), auf diese Weise geordnet, nennt man den Begrisverband des formalen Kontextes (G, M, I), im Zeichen B(G, M, I). Um einzusehen, dass die Ordnungsbedingung an die Inhalte zu der an die Umfänge gleichbedeutend ist, ist der folgende Hilfssatz aufschlussreich: Hilfssatz 1 Für einen formalen Kontext (G, M, I) und Mengen A, A 1, A 2 G sowie B, B 1, B 2 M gilt stets 1 In der Vorlesung wird an Beispielen gezeigt, dass man endliche formale Kontexte durch Kreuztabellen anschaulich machen kann. Die formalen Begrie entsprechen darin den maximalen vollen Rechtecken. Ein Beispiel ndet man auch unten auf Seite 5. 4

(G1) A 1 A 2 A 2 A 1, (G2) A A, (M1) B 1 B 2 B 2 B 1, (M2) B B, (G3) A = A. (M3) B = B. Wie bestimmt man alle formalen Begrie von (G, M, I)? Folgende Vorüberlegungen zeigen Wege dazu auf: Es genügt, alle Begrisumfänge oder alle Begrisinhalte von (G, M, I) zu bestimmen; der jeweils andere Teil der Begrie kann mit Hilfe der Ableitungsoperatoren A A bestimmt werden. Der Durchschnitt beliebig vieler Begrisumfänge ist Begrisumfang, der Durchschnitt beliebig vieler Begrisinhalte ist Begrisinhalt. Eine auf den ersten Blick absurde Vereinbarung erlaubt dabei, unter beliebig viele auch den Fall Null zuzulassen. Der Durchschnitt von Null Begrisinhalten ist M, der Durchschnitt von Null Begrisumfängen ist G. Es genügt, alle Gegenstandsinhalte {g}, g G oder alle Merkmalumfänge {m}, m M zu kennen, denn jeder Begrisumfang ist Durchschnitt von Merkmalumfängen, jeder Begrisinhalt ist Durchschnitt von Gegenstandsinhalten. Für jede Teilmenge A G ist (A, A ) ein formaler Begri von (G, M, I); ebenso ist für jede Teilmenge B M das Paar (B, B ) ein formaler Begri. Anleitung zur Bestimmung aller formalen Begrie eines kleinen formalen Kontextes 1. Lege eine Liste von Begrisumfängen an. In diese Liste wird zunächst für jedes Merkmal m M der Merkmalumfang {m} eingetragen. Dabei sind Doppeleintragungen zu vermeiden. 2. Von je zwei Mengen dieser Liste bilde den Durchschnitt. Wenn sich dabei eine Menge ergibt, die noch nicht in der Liste steht, dann füge sie zur Liste dazu. Mit der erweiterten Liste wird weitergearbeitet wie zuvor. 3. Wenn für je zwei Mengen in der Liste auch der Durchschnitt der beiden Mengen in der Liste steht, dann erweitere die Liste um die Menge G, sofern diese noch nicht in der Liste steht. Danach enthält die Liste alle Begrisumfänge. 4. Berechne zu jedem Begrisumfang A in der Liste den zugehörigen Begrisinhalt A und erhalte so eine Liste aller Begrie. 5

Zur Illustration betrachten wir ein Beispiel aus der Elementargeometrie. Als Gegenstände nehmen wir sieben Dreiecke, dazu fünf Standardeigenschaften von Dreiecken als Merkmale: Name Koordinaten D 1 (0, 0) (6, 0) (3, 1) D 2 (0, 0) (1, 0) (1, 1) D 3 (0, 0) (4, 0) (1, 2) D 4 (0, 0) (2, 0) (1, 3) D 5 (0, 0) (2, 0) (5, 1) D 6 (0, 0) (2, 0) (1, 3) D 7 (0, 0) (2, 0) (0, 1) Man erhält den folgenden formalen Kontext: Symbol a b c d e a b c d e D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 Eigenschaft gleichseitig gleichschenklig spitzwinklig stumpfwinklig rechtwinklig Die Begrie dieses Kontextes bestimmen wir nun wie oben im Kasten angegeben: 1. Die Merkmalumfänge sind {a} = {D 4 } {b} = {D 1, D 2, D 4, D 6 } {c} = {D 3, D 4, D 6 } {d} = {D 1, D 5 } {e} = {D 2, D 7 } 2. Bildet man die Durchschnitte dieser Mengen, so erhält man auÿerdem {a} {d} = {b} {c} = {D 4, D 6 } {b} {d} = {D 1 } {b} {e} = {D 2 } 3. Für je zwei Mengen der so erweiterten Liste steht auch ihr Durchschnitt in der Liste. Wir erweitern noch um die Menge aller Gegenstände G = {D 1, D 2, D 3, D 4, D 5, D 6, D 7 } und haben nun eine Liste aller Begrisumfänge des Kontextes. 6..

4. Für jeden Umfang A berechnen wir den Inhalt A und erhalten so die folgende Liste aller Begrie dieses Kontextes: Nummer (Umfang, Inhalt) 1 ({D 4 }, {a, b, c}) 2 ({D 1, D 2, D 4, D 6 }, {b}) 3 ({D 3, D 4, D 6 }, {c}) 4 ({D 1, D 5 }, {d}) 5 ({D 2, D 7 }, {e}) 6 ({ }, {a, b, c, d, e}) 7 ({D 4, D 6 }, {b, c}) 8 ({D 1 }, {b, d}) 9 ({D 2 }, {b, e}) 10 ({D 1, D 2, D 3, D 4, D 5, D 6, D 7 }, ) Nun können wir daran gehen, ein Diagramm des Begrisverbandes zu zeichnen. Um die Vorgehensweise leichter beschreiben zu können, geben wir vorab noch zwei Denitionen. Dabei sollen (A 1, B 1 ), (A 2, B 2 ) Begrie eines Kontextes (G, M, I) sein. Man nennt (A 1, B 1 ) einen echten Unterbegri von (A 2, B 2 ), wenn (A 1, B 1 ) (A 2, B 2 ) und auÿerdem (A 1, B 1 ) (A 2, B 2 ) gilt. Man schreibt (A 1, B 1 ) < (A 2, B 2 ) als Abkürzung dafür. Man nennt (A 1, B 1 ) einen unteren Nachbarn von (A 2, B 2 ), wenn (A 1, B 1 ) < (A 2, B 2 ) ist, aber kein Begri (A, B) von (G, M, I) existiert mit (A 1, B 1 ) < (A, B) < (A 2, B 2 ). Die Abkürzung dafür ist (A 1, B 1 ) (A 2, B 2 ). Anleitung zum Zeichnen eines Liniendiagrammes eines kleinen Begrisverbandes. 5. Lege ein Blatt Papier bereit und zeichne für jeden Begri einen kleinen Kreis darauf, und zwar so, dass der Kreis für einen Begri stets höher gezeichnet wird als die Kreise für seine echten Unterbegrie. 6. Verbinde den Kreis für einen Begri jeweils mit den Kreisen seiner unteren Nachbarn. 7. Beschrifte mit den Merkmalnamen: Trage jeweils das Merkmal m am Merkmalbegri ({m}, {m} ) ein. 8. Beschrifte mit den Gegenstandsnamen: Trage jeweils den Gegenstand g am Gegenstandsbegri ({g}, {g} ) ein. 7

Wir führen dies am oben angefangenen Beispiel durch: 5. Für jeden Begri ein kleiner Kreis aufs Papier: 10 5 2 4 3 9 8 7 1 6 6. Mit den unteren Nachbarn verbinden: 5 2 4 3 9 8 7 1 7. Merkmale eintragen: 6 8

e b d c a 8. Gegenstandsbegrie bestimmen Gegenstand g Gegenstandsinhalt {g} Nummer des Begris D 1 {b, d} 8 D 2 {b, e} 9 D 3 {c} 3 D 4 {a, b, c} 1 D 5 {d} 4 D 6 {b, c} 7 D 7 {e} 5 und eintragen: e b d c D 7 D 5 D 3 D 2 D 1 a D 6 D 4 9

Fertig! Gewöhnlich braucht man einige Versuche, bis man ein schönes, gut lesbares Diagramm zuwege gebracht hat. Man kann sich dann noch die Mühe machen, auf Abkürzungen weitgehend zu verzichten und so die Lesbarkeit zu erhöhen: gleichschenklig rechtwinklig stumpfwinklig spitzwinklig gleichseitig Nun kann man leicht nachprüfen, ob alles seine Richtigkeit hat. Die mühsame Arbeit, ein Begrisverbandsdiagramm aus einem formalen Kontext zu bestimmen, kann man durch Computerunterstützung erheblich vereinfachen. Dazu gibt es mehrere frei verfügbare Programme, zum Beispiel das Java- Programm Conexp von Serhi Yevtushenko. Rechnen mit Begrien Hilfssatz 2 Für jede Menge X G von Gegenständen eines formalen Kontextes (G, M, I) ist (X, X ) ein formaler Begri. Ebenso ist für jede Menge Y M von Merkmalen (Y, Y ) ein formaler Begri. Der Beweis ist einfach. Hilfssatz 3 Ist (G, M, I) ein formaler Kontext und sind A 1, A 2 G Mengen von Gegenständen, dann gilt (A 1 A 2 ) = A 1 A 2. Entsprechendes gilt für Mengen von Merkmalen. 10

Beweis m (A 1 A 2 ) g I m für alle g A 1 A 2 g I m für alle g A 1 und g I m für alle g A 2 m A 1 und m A 2 m A 1 A 2. Hilfssatz 4 Sind (A, B) und (C, D) formale Begrie eines formalen Kontextes (G, M, I), dann sind auch (A C, (B D) ) und ((A C), B D) formale Begrie von (G, M, I), genauer: (A C, (B D) ) ist der gröÿte gemeinsame Unterbegri von (A, B) und (C, D). ((A C), B D) ist der kleinste gemeinsame Oberbegri von (A, B) und (C, D). Beweis Wir zeigen zunächst, dass (A C, (B D) ) ein Begri ist. Weil A = B und C = D gilt, erhält man aus Hilfssatz 3 (A C, (B D) ) = (B D, (B D) ) = ((B D), (B D) ). Nach Hilfssatz 2 ist deshalb (A C, (B D) ) ein Begri. Dass (A C, (B D) ) Unterbegri sowohl von (A, B) als auch von (C, D) ist, ist oensichtlich. Sei nun (X, X ) ein gemeinsamer Unterbegri von (A, B) und (C, D). Dann muss X A und X B gelten, also X A B. Deshalb muss (X, X ) ein Unterbegri von (A C, (B D) ) sein, (A C, (B D) ) ist also der gröÿte gemeinsame Unterbegri von (A, B) und (C, D). Die restlichen Behauptungen beweist man entsprechend. Die Ausagen von Hilfssatz 4 lassen sich noch verschärfen. Man erhält dann den Hauptsatz der Formalen Begrisanalyse, für den wir auf die Literatur verweisen. Wir haben nun die Möglichkeit, mit formalen Begrien zu rechnen, mit den im Hilfssatz 4 angegebenen Rechenoperationen. Dazu führt man folgende Abkürzungen ein: (A, B) (C, D) := (A C, (B D) ) (A, B) (C, D) := ((A C), B D) und nennt (A, B) (C, D) das Inmum der Begrie (A, B) und (C, D) und (A, B) (C, D) ihr Supremum. Satz 1 Die eben eingeführten Operationen und für Begrie erfüllen die folgenden Rechenregeln für alle x, y, z: x (y z) = (x y) z x (y z) = (x y) z Assoziativität x y = y y x y = y x Kommutativität x x = x x x = x Idempotenz x (x y) = x x (x y) = x Absorption 11

Eine algebraische Struktur mit zwei zweistelligen Operationen, die die im Satz genannten Gleichungen erfüllen, nennt man einen Verband. Aus jedem formalen Kontext erhalten wir also ein Beispiel eines Verbandes, eben den Begrisverband. 2 2 Arithmetik 15.4.2010 Was man lernen muss: Natürliche Zahlen, Regeln der Arithmetik, Wohlordnung und Induktion, mod, div, Teilbarkeit, Primzahlen, kanonische Darstellung, ggt, kgv, Teilerverband. Jeder Student sollte den Fundamentalsatz beweisen und anwenden können, z.b. um die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl anzugeben. Auch Diagramme von Teilerverbänden muss man zeichnen können. Jeder kennt die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,.... Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ, auÿerdem ist die Multiplikation über der Addition distributiv 3. Die Menge N der natürlichen Zahlen ist mit diesen Operationen ein kommutativer Halbring. Die Theorie der natürlichen Zahlen nennt man die Arithmetik. Die natürlichen Zahlen tragen eine Ordnung, die durch a b : k N a + k = b deniert werden kann. Die arithmetischen Operationen sind mit dieser Ordnung verträglich, denn es gilt und ebenso a 1 a 2, b 1 b 2 a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 1 a 2, b 1 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 für alle a 1, a 2, b 1, b 2 N. Diese Ordnungsrelation hat eine ganz besondere Eigenschaft: Es handelt sich um eine Wohlordnung, was folgendes bedeutet: Satz 2 Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen enthält ein kleinstes Element. Diese Eigenschaft der natürlichen Zahlen ist ein wichtiges Beweisprinzip, das man als eine Variante der vollständigen Induktion verstehen kann. 4 Jede endliche nichtleere Menge T N natürlicher Zahlen enthält ein kleinstes und ein gröÿtes Element. Diese werden mit min T und max T bezeichnet. Fasst 2 Begrisverbände sind sogar vollständige Verbände, was bedeutet, dass Supremum und Inmum nicht nur von jeweils zwei, sondern von beliebig vielen Elementen gebildet werden können. Jeder vollständige Verband ist isomorph zu einem Begrisverband. 3 Denitionen dieser Begrie ndet man im Abschnitt 24, dem Gesetzbuch. 4 Zum Beweis der Wohlordnungseigenschaft und der vorher gemachten Behauptungen wird später noch etwas gesagt. 12

man min und max als zweistellige Operationen auf, so werden die natürlichen Zahlen damit zu einem Verband. Sind a und b natürliche Zahlen und b > 0, dann gibt es eine gröÿte natürliche Zahl q mit q b a. Anders gesagt: Es gibt eindeutig bestimmte Zahlen q und r mit q b + r = a und 0 r < b. Man nennt r den Rest bei der ganzzahligen Division von a durch b. Statt q und r schreibt man auch a div b und a mod b. Man hat also stets a = (a div b) b + a mod b. Verwendet man die Gaussklammer, so hat man 5 a a div b = und a mod b = a b b Wir denieren auf N die Teilbarkeitsrelation durch a b : k a k = b a b. und erhalten dadurch eine (weitere) Ordnungsrelation. Eine natürliche Zahl p ist eine Primzahl, wenn sie gröÿer als 1 ist und nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Beachte: 1 ist keine Primzahl. Jede natürliche Zahl teilt 0. Wenn a ein Teiler von b ist und b > 0, dann ist a b. Teilt a sowohl b 1 als auch b 2, dann teilt a auch b 1 + b 2 und b 1 b 2. a b ist gleichbedeutend zu a mod b = 0. Hilfssatz 5 Jede natürliche Zahl n > 1 ist durch eine Primzahl teilbar. Beweis durch vollständige Induktion. Die Menge G aller natürliche Zahlen n > 1, die durch keine Primzahl teilbar sind, ist entweder leer oder enthält ein kleinstes Element. Die Annahme, die Menge G sei nicht leer und habe das kleinste Element k, führt auf einen Widerspruch, denn entweder ist k eine Primzahl (und dann natürlich auch durch eine Primzahl teilbar, nämlich durch k), oder k hat einen Teiler t mit 1 < t < k, der, weil kleiner als k, nicht in G liegen kann und deshalb durch eine Primzahl p teilbar ist. Wegen der Transitivität der Teilbarkeit ist p dann auch Teiler von k. Also muss G leer sind. 5 Die Subtraktion, die wir in dieser Denition und danach verwenden, ist vorläug nur eingeschränkt deniert: Für a b sei b a diejenige Zahl k mit a + k = b. Die Eindeutigkeit von k werden wir erst später beweisen. 13

Satz 3 Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis durch Widerspruch: Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, sagen wir p 1, p 2,..., p r. Die Zahl n := p 1 p 2... p r + 1 ist nach Hilfssatz 5 durch eine Primzahl p teilbar, denn sie ist eine natürliche Zahl > 1. p kann aber nicht gleich einer der Primzahlen p i sein, denn dann wären sowohl n als auch n 1 durch p teilbar und damit auch n (n 1) = 1, was unmöglich ist. Also führt die Annahme, es gäbe keine Primzahlen auÿer p 1,..., p r, zu einem Widerspruch und ist deshalb falsch. Hilfssatz 6 Ist p eine Primzahl, dann existiert zu jeder kleineren natürlichen Zahl r > 0 eine Zahl s mit der Eigenschaft, dass r s 1 durch p teilbar ist. Beweis Sei r eine Zahl mit 1 < r < p (p prim), und die Behauptung sei richtig für jede Zahl r 0 mit 0 < r 0 < r. Es sei r 0 := p mod r und k := p div r, also k r = p r 0. Weil r 0 kleiner ist als r, muss es eine Zahl t geben, für die t r 0 1 durch p teilbar ist, also t r 0 1 = v p gilt für eine natürliche Zahl v. Dann ist (p 1) t k r = (p 1) t (p r 0 ) = (p 1) t p (p 1) t r 0 = p t (p 1) (p 1) (v p + 1) = p t (p 1) p (v p + 1) + (v p + 1) = p (t (p 1) (v p + 1) + v) + 1. Jedenfalls gibt es ein Vielfaches von r, das um 1 gröÿer ist als ein Vielfaches von p, was zu beweisen war. Hilfssatz 7 Teilt eine Primzahl p ein Produkt zweier natürlicher Zahlen r 1, r 1, die beide kleiner als p sind, dann ist eine dieser beiden Zahlen gleich Null. Beweis Sind r 1 und r 2 beide ungleich Null, dann existieren nach dem vorigen Hilfssatz Zahlen s 1, s 2, für die r 1 s 1 und r 2 s 2 jeweils um 1 gröÿer als eine durch p teilbare Zahl sind, also auch r 1 s 1 r 2 s 2. Die Zahl r 1 s 1 r 2 s 2 ist also sowohl um 1 gröÿer als eine durch p teilbare Zahl als auch durch p teilbar (weil durch r 1 r 2 teilbar): Wir erhalten zwei Zahlen mit Dierenz 1, die beide durch p teilbar sind, ein Widerspruch! Hilfssatz 8 Teilt eine Primzahl p ein Produkt a b zweier natürlicher Zahlen, dann teilt sie einen der Faktoren. Beweis Wenn p das Produkt a b teilt, dann teilt p wegen a b = ((a div p) p + a mod p) ((b div p) p + b mod p) = p (...) + (a mod p) (b mod p) auch (a mod p) (b mod p). Nach dem vorigen Hilfssatz muss eine dieser beiden Zahlen gleich Null sein, also a oder b durch p teilbar sein. 14

Korollar 1 Teilt eine Primzahl p ein Produkt natürlicher Zahlen, dann teilt sie einen der Faktoren. Es gilt der Satz 4 (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl n > 0 kann auf genau eine Weise als ein Produkt n = p α 1 1 p α 2 2... p α k k geschrieben werden, wobei k eine natürliche Zahl ist, p 1 < p 2 < < p k Primzahlen und α 1,... α k positive natürliche Zahlen sind. Man nennt dieses Produkt die kanonische Darstellung der natürlichen Zahl n. Für das leere Produkt (also den Fall k = 0) hat man dabei den Wert 1 vereinbart. Beweis Zu zeigen ist die Existenz und die Eindeutigkeit der kanonischen Darstellung, und beide Beweise führen wir mit vollständiger Induktion. Die Zahl 1 besitzt oenbar eine eindeutige kanonische Darstellung, die Menge der natürlichen Zahlen, für die der Satz richtig ist, ist also nicht leer. Existenz: Sei nun n eine natürliche Zahl > 1 mit der Eigenschaft, dass der Satz für jede kleinere natürliche Zahl richtig ist. Nach Hilfssatz 5 ist n durch eine Primzahl p teilbar. Wenn n = p ist, dann ist das bereits eine kanonische Darstellung. Anderenfalls ist n = p t für eine Zahl t mit 1 < t < n, die eine kanonische Darstellung t = p α 1 1 pα 2 2... pα k k besitzt, und es gilt n = p p α 1 1 pα 2 2... pα k k, woraus sich durch Umsortieren der Faktoren leicht eine kanonische Darstellung für n ergibt. Eindeutigkeit: Es sei n > 1 eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass jede kleinere positive natürliche Zahl eine eindeutige kanonische Darstellung hat, und es sei p α 1 1 pα 2 2... pα k k = n = q β 1 1 qβ 2 2... qβ l l, wobei die p i und die q j Primzahlen und die α i, β j positive natürliche Zahlen sind. p 1 teilt die rechte Seite und damit eine der Primzahlen q j (nach Korollar 1). Die natürliche n Zahl p 1 hat deshalb die Darstellungen p α 1 1 1 p α 2 2... pα k k = n p 1 = q β 1 1 qβ 2 2... qβ j 1 j... q β l l, und diese Darstellungen sind bis auf triviale Faktoren kanonisch. Da n p 1 eine eindeutige kanonische Darstellung hat, müssen linke und rechte Seite identisch sein, also k = l, p i = q i und α i = β i für i := 1,..., k gelten, was zeigt, dass auch die beiden Darstellungen von n identisch sein müssen. 15

240 120 80 48 60 40 24 16 30 20 12 8 15 10 6 4 5 3 2 1 Abbildung 1: Teilerdiagramm der Zahl 240. Der Fundamentalsatz ist eine gute Grundlage für das Verständnis der natürlichen Zahlen. Hier sind einige einfache Konsequenzen: Hilfssatz 9 Die Teiler einer natürlichen Zahl n mit der kanonischen Darstellung sind genau die Zahlen t der Form n = p α 1 1 p α 2 2... p α k k t = p β 1 1 p β 2 2... p β k k, wobei die β i natürliche Zahlen sind mit 0 β i α i für alle i {1,..., n}. Korollar 2 Die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl mit der kanonischen Darstellung n = p α 1 1 p α 2 2... p α k k ist k (α i + 1) = (α 1 + 1) (α 2 + 1)... (α k + 1). i=1 Beispiel 1 Die Zahl 240 = 2 4 3 5 hat genau (4 + 1) (1 + 1) (1 + 1) Teiler. 16

Unter einem Teilerdiagramm eine natürlichen Zahl n versteht man ein Ordnungsdiagramm der Menge der Teiler von n, geordnet durch die Teilbarkeitsrelation. Abbildung 1 zeigt ein Beispiel. Man hat darin noch zwei Operationen, den gröÿten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache. Mit Hilfe der kanonischen Darstellung sind diese leicht auszurechnen. Wir zeigen das zuerst am Beispiel der Zahlen 20 und 24. Deren kanonische Darstellungen sind 20 = 2 2 5 und 24 = 2 3 3. Vereinheitlichen wir die Darstellungen durch Hinzufügen trivialer Faktoren zu 20 = 2 2 3 0 5 1 und 24 = 2 3 3 1 5 0, dann kann man den ggt und das kgv leicht ablesen. Den ggt erhält man, indem man bei jedem Primfaktor den jeweils kleineren Exponenten nimmt, für das kgv nimmt man den jeweils gröÿeren Exponenten: ggt(20, 24) = 2 2 3 0 5 0 = 4, kgv(20, 24) = 2 3 3 1 5 1 = 120. Das funktioniert gleichermaÿen für beliebige natürliche Zahlen > 0. Sind nämlich m und n natürliche Zahlen mit den kanonischen Darstellungen und ist m = p α 1 1 p α 2 2... p α k 1 k 1 n = q α 1 1 q α 2 2... q α k 2 k 2 {r 1, r 2,..., r k } := {p 1,..., p k1 } {q 1,..., q k2 }, wobei r 1 < r 2 <... < r k ist, dann können wir die kanonischen Darstellungen durch das Hinzufügen trivialer Faktoren folgendermaÿen vereinheitlichen: wobei und entsprechend m = r γ 1 1 r γ 2 2... r γ k k n = r δ 1 1 r δ 2 2... r δ k k, { 0 falls r1 / {p γ i := 1,..., p k1 } α j falls r i = p j. { 0 falls r1 / {q δ i := 1,..., q k2 } β j falls r i = q j. Die beiden Operationen 6 ggt und kgv machen die Menge der natürlichen Zahlen zu einem distributiven Verband. Es gelten also die Verbandsgesetze, z.b. ggt(a, ggt(b, c)) = ggt(ggt(a, b), c), 6 Man deniert noch zusätzlich ggt(0, a) := ggt(a, 0) := a sowie kgv(a, 0) := kgv(0, a) := 0 für beliebige natürlichen Zahlen a. 17

und ggt(a, kgv(a, b)) = a, und auch die beiden Distributivgesetze ggt(a, kgv(b, c)) = kgv(ggt(a, b), ggt(a, c)), kgv(a, ggt(b, c)) = ggt(kgv(a, b), kgv(a, c)). Natürlich kann man zu den Teilerverbänden auch formale Kontexte angeben. Zu einer natürlichen Zahl n > 0 sei Q(n) die Menge der Primzahlpotenzen, die n teilen. Der Begrisverband des formalen Kontextes 22.4.2010 (Q(n), Q(n), I) mit r I s : (r s) n ist auf natürliche Weise isomorph zum Teilerverband von n, denn die Abbildung t ({s Q(n) s teilt t}, {u Q(n) u teilt n t }) ist ein Ordnungsisomorphismus vom Teilerverband auf den Begrisverband von (Q(n), Q(n), I). Diese formalen Kontexte sind von sehr einfacher Gestalt, denn für n = p α 1 1 p α 2 2 p α k k gilt p r i I p s j { i j oder i = j und r + s α i, was einen Diagonalaufbau zur Folge hat. Am Beispiel n := 10800 = 2 4 3 3 5 2 wird dies augenfällig: 2 4 8 16 3 9 27 5 25 2 4 8 16 3 9 27 5 25 In der Fachsprache ausgedrückt: Diese formalen Kontexte sind Summen von eindimensionalen Ordinalskalen, die zugehörigen Verbände deshalb direkte Produkte von Ketten. 18

3 Axiomatik und Modell der natürlichen Zahlen Was man lernen muss: Wie begründet und rechtfertigt die moderne Mathematik die natürlichen Zahlen? Welche Gewissheit bedeutet diese Rechtfertigung? Ein mengensprachliches Modell. Die besondere Rolle des Induktionsaxioms. Wie entstehen Addition und Multiplikation? Die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen lassen sich Schritt für Schritt wie oben angedeutet herleiten. Dabei ist der Fundamentalsatz ein wichtiges Hilfsmittel. Aber es ist längst nicht jede Frage über die natürlichen Zahlen gelöst, tatsächlich gilt die Zahlentheorie als ein besonders schwieriges Gebiet der heutigen Mathematik. 7 Bei der obigen Argumentation haben wir allerdings einen Sprung gemacht und einen Beweis des Satzes über die Wohlordnung ausgelassen. Wie können wir den beweisen? Konsequentes Nachdenken über diese Frage führt auf ein tieiegendes Problem: Wie können wir überhaupt etwas über die natürlichen Zahlen beweisen? Und noch weiter gehend muss man dann fragen: Gibt es die natürlichen Zahlen überhaupt? Vielleicht erscheint Ihnen diese Frage lächerlich. Natürlich, die natürlichen Zahlen kenne ich: 0, 1, 2, 3, 4,.... Ich kann sie hinschreiben, mit ihnen rechnen. Wo ist da ein Problem? Ganz so einfach dürfen wir es uns aber nicht machen. Wir kennen nur einige wenige der unendlich vielen (!) natürlichen Zahlen. Deshalb benötigen wir eine bessere Fundierung. Es besteht Konsens in der heutigen Mathematik darüber, wie man das macht: Man benutzt die axiomatische Methode. Für unsere Fragestellung bedeutet das folgendes: Man schreibt ein möglichst einfaches System von Regeln auf, von denen man meint, dass sie für die natürlichen Zahlen gelten. Diese Regeln nennt man Axiome. Sie bleiben unbewiesen, denn es handelt sich nicht um Behauptungen, sondern um Denitionen: Diese Regeln meinen wir, wenn wir von natürlichen Zahlen sprechen. Das bekannteste Axiomensystem für die natürlichen Zahlen stammt von Dedekind und Peano. Richard Dedekind hatte es sprachlich formuliert, Guiseppe Peano gab eine formale Fassung an. Wir geben hier eine Mischform an, die der besseren Verständlichkeit dienen soll. 1. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine natürliche Zahl n +, genannt der Nachfolger von n. 2. Aus m + = n + folgt stets m = n, d.h., jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl. 7 Der Abel-Preis, den die norwegische Akademie der Wissenschaften verleiht und der mit einer Million US-Dollar dotiert ist, ging 2010 an den Zahlentheoretiker John Tate (Austin, Texas). 19

3. Es gibt eine natürliche Zahl 0, die nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl ist. Es gibt also keine natürliche Zahl n mit 0 = n +. 4. Ist S eine Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 0 enthält und die die Eigenschaft hat, dass für jedes n S auch n + S gilt, dann ist S die Menge aller natürlichen Zahlen. 8 Man untersucht dann nur noch, welche Gesetze aus diesen Axiomen folgen. Die Frage nach der wahren Natur der natürlichen Zahlen erübrigt sich dadurch. Auf diese Axiome kann man die Zahlennamen sowie Denitionen der Addition und der Multiplikation aufbauen, z.b. so: Addition 1. n + 0 := n, 2. n + m + := (n + m) +. Multiplikation 1. n 0 := 0, 2. n m + := n m + n. Auch der schon benutzte Satz über die Wohlordnung der natürlichen Zahlen kann aus den Peano-Axiomen hergeleitet werden. Das ist nicht wirklich schwierig, aber mühsam. Deshalb verweisen wir dafür auf die Literatur. Der Rückzug auf ein solches Axiomensystem birgt allerdings ein Risiko: Es könnte sein, dass man die Axiome so ungeschickt gewählt hat, dass das Axiomensystem in sich widersprüchlich ist. Um das zu vermeiden, vergewissert man sich, dass es mindestens ein Modell der gewählten Axiome gibt, d.h. eine mathematisch wohldenierte Struktur, in der diese Axiome gelten. Mathematisch wohldeniert bedeutet nach heutigem Verständnis: Begründet auf die Begrie Menge und Element und die Axiome der Mengenlehre 9. Auf die folgende Weise kann man vorgehen: Man deniert für Mengen S + := S {S} und betrachtet, beginnend mit S :=, die Folge, +, ( + ) +,..., also + = { } ++ = {, { }} +++ = {, { }, {, { }}}... 8 Dieses Axiom nennt man das Induktionsaxiom. 9 Die Mengenlehre ist die Grundlage der heutigen Mathematik, sie ist aber nicht Gegenstand dieses Moduls. Wir empfehlen dazu das Buch Naive Mengenlehre von Paul R. Halmos. 20

Man kann diesen Mengen abkürzend die vertrauten Namen geben: 0 :=, 1 := +, 2 := ++, 3 := +++,... Ein Axiom der Mengenlehre sichert, dass es nicht nur diese einzelnen Elemente, sondern auch die Menge N := {, +, ++, +++,...} aller dieser Elemente gibt. Man kann dann zeigen, dass die Peanoaxiome für diese Menge gelten (mit 0 = ), und hat damit ein Modell der natürlichen Zahlen. Damit sind aber immer noch nicht alle Zweifel beseitigt, denn auch das Modell haben wir mit einer induktiven Konstruktion angegeben. Zum Glück gibt es ein klärendes Ergebnis dazu: 1936 hat Genzen die Widerspruchsfreiheit der elementaren Arithmetik bewiesen, also nachgewiesen, dass aus den Peano-Axiomen kein Widerspruch hergeleitet werden kann. Vier schwerwiegende Fragen schlieÿen sich an: 1. Ist es (bis auf Isomorphie) das einzige Modell der Peano-Axiome, oder gibt es vielleicht mehrere verschiedene Arten natürlicher Zahlen? (Fachausdruck: Ist das Axiomensystem kategorisch?) 2. Kann das Induktionsaxiom durch ein einfacheres Axiom ersetzt werden? (Können die natürlichen Zahlen in der Logik erster Stufe axiomatisiert werden?) 3. Kann man noch Axiome hinzunehmen, die aus den obigen weder folgen noch zu ihnen im Widerspruch stehen? (Vollständigkeit des Axiomensystems) 4. Reichen die natürliche Zahlen für das Zählen aus? Die Antworten auf diese Fragen deuten wir kurz an: 1. Man kann (leicht) beweisen, dass das System der Peano-Axiome kategorisch ist, was bedeutet, dass je zwei seiner Modelle isomorph sind. Damit ist die Frage nach der Eindeutigkeit der Arithmetik positiv beantwortet: Das Standardmodell ist bis auf Isomorphie das einzige Modell der Peano-Axiome. 2. Nach dem Satz von Skolem aus der mathematischen Logik gibt es zu jeder unendlichen Struktur eine, die zu ihr elementar äquivalent, aber nicht isomorph ist. Das bedeutet, dass das Induktionsaxiom nicht durch ein Axiom in der Logik erster Stufe ersetzt werden kann, ohne dass die Eindeutigkeit des Modells verloren geht. Man erhält bei einer Axiomatisierung in der Logik erster Stufe stets sogenannte Nichtstandardmodelle der Arithmetik. 3. Die Arithmetik ist (nach K. Gödel) in der Prädikatenlogik erster Stufe unvollständig. Es gibt wahre Aussagen, die nicht bewiesen werden können. 4. Die Frage Wieviele natürliche Zahlen gibt es? hat als Antwort jedenfalls keine natürliche Zahl. G. Cantor hat gezeigt, dass man sinnvoll und mathematisch korrekt unendliche Zahlen einführen und damit auch rechnen kann. 21

4 Von N zu Z: Gruppe und Ring Was man lernen muss: Wie man die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruiert, und welche algebraischen Eigenschaften dadurch gewonnen werden. Ringstuktur, Anordnung. Die ganzen Zahlen benötigt man bekanntlich aus Bequemlichkeit beim Rechnen. Führt man nämlich, um Gleichungen auösen zu können, eine Subtraktion ein, dann bleibt diese unvollkommen, solange man nur mit natürlichen Zahlen rechnet. Man setzt deshalb Z := N { n n N + }, aber halt!, man muss dazu denieren, was denn unter n mengensprachlich zu verstehen sein soll. Das geschieht z.b. so: Man bildet zunächst die Menge N N aller Paare natürlicher Zahlen, erklärt darauf eine Äquivalenzrelation durch (u, v) (x, y) : u + y = v + x, und nimmt dann die Äquivalenzklassen als die Elemente von Z, siehe Abbildung 2. Man beachte, dass diese Denition so gemacht ist, dass (u, v) (x, y) u v = x y. Addition, Multiplikation und Ordnung ganzer Zahlen führt man nun ein, indem man mit Hilfe des Induktionsprinzips zeigt, dass die Denitionen (u, v)/ + (x, y)/ := (u + x, v + y)/, (u, v)/ (x, y)/ := (u x + v y, u y + v x)/, (u, v)/ (x, y)/ : u + x v + y unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind (und damit ordentliche De- nitionen sind). Und es ist noch einiges an Arbeit nötig, bis man die ganzen Zahlen richtig begründet hat: Assoziativität, Kommutativität und Kürzbarkeit von Addition und Multiplikation (mit den schon gewohnten Ausnahmen für 0) lassen sich auf die schon bewiesenen Eigenschaften von N zurückführen, ebenso die Distributivität der Multiplikation über der Addition. Die erweiterte Addition ist mit der erweiterten Ordnung verträglich, die Multiplikation nur für positive Zahlen. Wir können nun auch genau sagen, was mit n gemeint ist, denn es gilt allgemein, dass ((x, y)/ ) = (y, x)/. Die natürlichen Zahlen sind dabei nicht verloren gegangen, obwohl streng genommen beispielsweise die natürliche Zahl 3 nicht vorkommt, sie ist ersetzt durch die Äquivalenzklasse (3, 0)/ = {(3, 0), (4, 1), (5, 2),...}. 22

........................................ Abbildung 2: Die Äquivalenzklassen von auf N N 23

Aber die Abbildung n (n, 0)/ ist oenbar eine Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen, und deshalb dürfen wir die natürlichen Zahlen als Teil der so denierten ganzen Zahlen verstehen. Ist das nicht alles viel zu umständlich? Muss man wirklich Äquivalenzklassen benutzen, um mit den ganzen Zahlen zu rechnen? Darauf gibt es wieder zwei Antworten: Natürlich ist die vorgestellte Konstruktion umständlich, und man wird beim Alltagsrechnen die gewohnten Zahlennamen benutzen. Es ging uns aber gar nicht um das Rechnen, sondern darum, die ganzen Zahlen sauber zu begründen. Das Ergebnis dieser Erweiterung ist ein angeordneter kommutativer Ring mit Eins, also eine algebraische Struktur, in der man nach vertrauten Regeln addieren, subtrahieren und multiplizieren kann und auÿerdem noch eine damit verträgliche Ordnungsrelation hat. Man kann weiter gehen, aber der Weg verzweigt sich an dieser Stelle: Nimmt man eine Division hinzu, kommt man zum Körper der rationalen Zahlen, über dem man lineare Algebra betreiben kann. Geht man zu Faktorstrukturen über, dann betritt man das Reich der modularen Arithmetik mit reizvollen Anwendungen der Zahlentheorie. 5 Der Körper Q der rationalen Zahlen Was man lernen muss: Wie die rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen entstehen. Brüche und Bruchzahlen. Übertragung von Addition, Multiplikation und Ordnung. Archimedizität. Einführung einer Division. Der Kunstgri, mit dem wir die ganzen Zahlen aus den natürlichen konstruiert haben, nämlich mit Hilfe einer Faktorisierung, begegnet uns in der Algebra in verschiedenen Variationen immer wieder, zum Beispiel bei der Konstruktion sogenannter freier Algebren. Man benutzt ihn ganz analog zur Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Motivation ist wie zuvor. Nachdem die Subtraktion durch die Erweiterung von N auf Z allgemein möglich geworden ist, möchte man ähnliches für die Division erreichen. Dazu bildet man zunächst die Menge Z (N \ {0}), deren Elemente man die Brüche nennt. Die übliche Notation schreibt z statt (z, n), n einige Beispiele von Brüchen sind also 3 4, 9 12, 5 1, 0 27. 24

Dann wird wieder eine Äquivalenzrelation eingeführt durch u v x y : u y = v x. Die Äquivalenzklassen nennt man Bruchzahlen oder rationale Zahlen. Die Menge dieser Zahlen wird mit Q bezeichnet. Man verzichtet auf eigene Symbole für diese Zahlen und arbeitet stattdessen mit den Brüchen als Repräsentanten, schreibt also einen Bruch hin, wenn man die zugehörige rationale Zahl meint. Das führt oft zu Verwirrung, etwa wenn behauptet wird, 3 7 und 6 14 sind gleich. Gemeint ist dann, dass diese beiden Brüche die gleiche Bruchzahl repräsentieren, also zur gleichen Äquivalenzklasse der Relation gehören. Die Denitionen für Addition, Multiplikation und Ordnung sind allgemein bekannt: x y + u v x y u v x y u v := := x v + u y y v x u y v : x v y u. Man überzeuge sich, dass sie von der Wahl der Repräsentanten unabhängig sind. Die Abbildung z z 1 ist eine Einbettung der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen, die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. Jede rationale Zahl hat ein additiv z n Inverses, nämlich z, und, sofern z 0, auch ein multiplikativ Inverses, nämlich n ( z z 1 z := n) n. z (Gebildet wird hier der Kehrwert. Die etwas komplizierte Formel erklärt sich dadurch, dass wir bei der Denition eine Bruches verlangt haben, dass der Nenner 3 5 stets positiv ist. Der Kehrwert von z.b. kann deshalb nicht sein. Das 5 3 Vorzeichen verbleibt im Zähler, der Kehrwert ist nach dieser Denition also 5.) 3 Man kann nun präzise Argumentationen angeben, also beweisen, dass die ganzen und die rationalen Zahlen die vertrauten Eigenschaften haben. Dazu gehören folgende Beobachtungen: Die Ordnungsrelation ist konnex, d.h. je zwei rationale Zahlen sind vergleichbar. 25

Addition und Multiplikation rationaler Zahlen (und damit insbesondere ganzer Zahlen) sind assoziativ und kommutativ. Die Addition ist kürzbar, d.h. aus a + b = a + c folgt b = c. Entsprechendes gilt auch für die Multiplikation, allerdings nur für die Multiplikation mit Elementen 0. Die Addition ist mit der Ordnung verträglich, d.h. aus a b folgt stets a + c b + c. Entsprechendes gilt für die Multiplikation mit nichtnegativen rationalen Zahlen, d.h. aus a b und 0 c folgt stets a c b c. Die Multiplikation ist über der Addition distributiv. Man kommt so zu folgenden Strukturbegrien: Die ganzen Zahlen mit der Addition bilden eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 0. Nimmt man noch die Multiplikation hinzu, dann bilden die ganzen Zahlen einen kommutativen Ring mit Eins. Wegen der Verträglichkeit mit der Ordnung handelt es sich sogar um einen angeordneten kommutativen Ring mit Eins. Die rationalen Zahlen bilden einen (kommutativen) Körper, sogar einen, der archimedisch angeordnet ist. 6 Die Unvollständigkeiten der rationalen Zahlen Was man lernen muss: Irrationale, algebraische und transzendente Zahlen Schon im Altertum war klar geworden (wenn auch in anderer Denkweise, als wir es heute formulieren), dass ganzzahlige Verhältnisse (also rationale Zahlen) für die Beschreibung der in der Geometrie vorkommenden Gröÿen nicht ausreichen. Die Diagonale eines Quadrats ist um den Faktor 2 länger als jede Seite, und 2 ist nicht rational, wie eine bekannte Argumentation zeigt 10 : 10 Wir argumentieren hier vereinfachend so, als würden wir die reellen Zahlen schon kennen, jedenfalls die reelle Zahl 2. 26

Wäre 2 rational, dann gäbe es ganze Zahlen a und b mit also 2 = a b, a 2 = 2 b 2. Dabei dürfen wir annehmen, dass a und b nicht beide gerade sind, anderenfalls kann der Bruch ja entsprechend gekürzt werden. Weil a 2 durch 2 teilbar ist, muss a nach Hilfssatz 7 gerade sein, also von der Form a = 2 c für eine ganze Zahl c, und wir erhalten 4 c 2 = 2 b 2, also 2 c 2 = b 2. Mit der gleichen Argumentation wie zuvor folgt, dass auch b gerade sein muss. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass nicht beide Zahlen gerade sind. Die rationalen Zahlen reichen nicht aus, und man kann nach der Möglichkeit einer Körpererweiterung von Q fragen, welche 2 enthält. Tatsächlich gibt es solche Erweiterungen. Sie lassen sich leicht konstruieren und sind für viele algebraische und geometrische Fragen relevant. Man kann dabei dem Körper Q der rationalen Zahlen nicht nur die Wurzel aus 2 hinzufügen (Fachwort: adjungieren), sondern auch andere Zahlen. Das können z.b. solche Zahlen sein, die Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koezienten sind. Solche Zahlen nennt man algebraisch. Aber das Problem der Unvollständigkeit 11 von Q wird so nicht gelöst. Tatsächlich bilden diese Zahlen ebenfalls einen Körper, den Körper der algebraischen Zahlen. Aber auch in diesem Körper fehlen Zahlen, die man zur Beschreibung z.b. geometrischer Sachverhalte braucht. Darunter ist die Kreiszahl π. Man kann beweisen, dass π transzendent ist, was nicht algebraisch bedeutet. Auch die Zahl e ist transzendent. Überlegungen der Analysis zu Grenzwerten von Cauchy-Folgen zeigen, dass die rationalen Zahlen von Löchern geradezu zersiebt sind. Um das zu beheben, benötigen wir eine umfangreiche Erweiterung von Q. 7 Die reellen Zahlen Was man lernen muss: Die Konstruktion der reellen Zahlen mit Hilfe Dedekindscher Schnitte. 11 Hier ist nicht der Unvollständigkeitsbegri der Logik gemeint, den wir auf Seite 21 erwähnt haben. 27

Wir benutzen eine Konstruktion, die aus einer beliebigen geordnete Menge (P, ) einen vollständigen Verband erzeugt, und zwar den kleinsten, in den die geordnete Menge eingebettet werden kann. Dazu bilden wir den formalen Kontext (P, P, ). Die formalen Begrie dieses Kontextes nennt man die Schnitte der geordneten Menge. Ein Schnitt von (P, ) ist also ein Paar (A, B) von Teilmengen von P mit folgenden Eigenschaften: A ist die Menge aller unteren Schranken von B und B ist die Menge aller oberen Schranken von A. Beispielsweise ist für jedes Element a P das Paar ein Schnitt, und die Abbildung ( a, a) := ({p P p a}, {q P a q}) a ( a, a) ist die bereits angekündigte Ordnungseinbettung von (P, ) in B(P, P, ). Richard Dedekind hat diese Konstruktion im Jahre 1888 für den Fall der geordneten Menge (Q, ) eingeführt. Ihm zu Ehren spricht man in diesem Fall von den Dedekindschen Schnitten. Ein Dedekindscher Schnitt ist (bei diesem Aufbau des Zahlsystems) also dasselbe wie eine reelle Zahl (einschlieÿlich und ). Man kann die reellen Zahlen auch anders einführen, dann liefert diese Konstruktion einen vollständigen Verband, der isomorph zum Verband der um und erweiterten reellen Zahlen ist. In Formelsprache hat man also (R {, }, ) = B(Q, Q, ). Vieles, was im Laufe dieses Aufbaus zu beweisen ist, haben wir hier noch nicht einmal erwähnt, geschweige denn ordentlich hergeleitet. Man muss nachweisen, dass sich die Körperoperationen von den rationalen auf die reellen Zahlen so erweitern lassen, dass wieder ein Körper entsteht, und muss zeigen, dass in R tatsächlich alle Cauchy-Folgen konvergieren. Das würde den Zeitrahmen dieses Moduls sprengen, und deshalb verweisen wir dafür auf die Literatur. Erwähnt werden soll noch, dass bei dieser Erweiterung gewaltig viele reelle Zahlen entstehen: Es gibt viel mehr transzendente Zahlen als algebraische oder gar rationale. Das kann man präzisieren, und Georg Cantor hat das getan, indem er mit Hilfe seines berühmten Diagonalargumentes gezeigt hat, dass die Menge der reellen Zahlen echt gröÿere Mächtigkeit hat als die der rationalen. Die enge der Dedekindschen Schnitte liefert auch ein schönes Beispiel dafür, wie wenig intuitiv der Umgang mit unendlichen Mengen sein kann: Betrachtet man zu jeder reellen Zahl r die Menge Q r := Q r := {q Q q r} und ordnet die Mengenfamilie {Q r r R} mit der Inklusionsrelation, dann erhält man eine überabzählbare Kette von Mengen, deren Vereinigung abzählbar ist. Selbst erfahrene Mathematiker kann man damit gelegentlich verblüen. 28

8 Die komplexen Zahlen Enthalten die reelle Zahlen eigentlich alle algebraischen Zahlen? Nein, natürlich nicht, denn keine reelle Zahl ist Nullstelle des Polynoms X 2 + 1. Es lohnt sich deshalb, noch einen Schritt weiter zu gehen zum Körper C der komplexen Zahlen. Die kann man auf verschiedene Weisen einführen. Man deniert auf dem Vektorraum R 2 eine Multiplikation 12 durch (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc). Die Addition ist die übliche Vektorraumaddition Man bildet den Faktorring (a, b) (c, d) := (a + c, b + d). R[X]/X 2 + 1. Das entspricht der Adjunktion (Hinzufügung) einer Nullstelle des Polynoms X 2 + 1, also von 1. Man erhält als Elemente des Faktorringes die Polynome vom Grad 1: {bx + a a, b R} mit der gewöhnlichen Polynomaddition und der Polynommultiplikation modulo X 2 + 1. Man deniert C als eine Menge reeller 2 2-Matrizen, nämlich als {( ) } a b a, b R. b a Die Addition ist die übliche Matrizenaddition ( ) ( ) ( a b c d a + c + = b a c d (b + d) b + d a + c ), die Multiplikation ist die Matrixmultiplikation ( ) ( ) ( a b c d ac bd = b a d c (ad + bc) ad + bc ac bd ). 12 Man beachte, dass die komponentenweise Multiplikation (a, b) (c, d) := (a c, b d) wegen (1, 0) (0, 1) = (0, 0) Nullteiler hat und deshalb keine Körpermultiplikation sein kann. 29

Die drei Denitionen ergeben letzlich das Gleiche: Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen Vektorraum über R. Eine Basis erhält man in allen drei Darstellungsformen, indem man einmal a := 1, b := 0 setzt (diesen Basisvektor nennt man einfach 1, die reelle Einheit) und zweitens a := 0, b := 1 setzt (diesen Basisvektor nennt man i, die imaginäre Einheit). Es gilt i i = 1. Jede komplexe Zahl lässt sich als reelle Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben, man hat also C := {a + bi a, b R}, wobei a eine Abkürzung für a 1 ist. Man nennt a den Realteil und b den Imaginärteil der komplexen Zahl a + bi. Mit der so denierten Addition und Multiplikation bilden die komplexen Zahlen einen Körper, d.h. man kann addieren, subtrahieren, multiplizieren sowie dividieren, und es gelten dabei vertraute Rechenregeln. Subtraktion und Division ergeben sich eindeutig: (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i, a + bi c + di = (a + bi)(c di) c 2 + d 2. Die zu der komplexen Zahl z := a + bi konjugiert komplexe Zahl ist Man rechnet leicht nach, dass z := a bi. z z = a 2 + b 2 gilt; z z ist also stets reell und nichtnegativ. Damit kann man den Betrag einer komplexen Zahl z := a + bi denieren als z := zz = a 2 + b 2. Die komplexen Zahlen veranschaulicht man sich als die Punkte der Anschauungsebene (Gauss'sche Zahlenebene), siehe Abbildung 3. Die reellen Vielfachen von 1 bilden die reelle Achse; sie bilden einen zu den reellen Zahlen isomorphen Teilkörper. Die Vielfachen von i bilden die imaginäre Achse. In der Graphik wird auch der Betrag und die Rolle der konjugiert komplexen Zahl deutlich. Die Abbildung, die jede komplexe Zahl z auf ihre konjugiert komplexe Zahl z abbildet ist ein involutorischer Körperautomorphismus, was u.a. folgendes bedeutet: 1. w + z = w + z, 2. w z = w z, 30

a z z = a + bi i 1 δ b z = a bi Abbildung 3: Veranschaulichung einer komplexen Zahl in der Zahlenebene. Die konjugiert komplexe Zahl erhält man durch Spiegelung an der reellen Achse. 3. z = z. Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen. Er enthält die algebraischen Zahlen, ja sogar alle Nullstellen von Polynomen mit komplexen Koezienten 13. Das ist die Aussage des folgenden Fundamentalsatzes. Satz 5 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes nicht konstante Polynom mit komplexen Koezienten hat eine komplexe Nullstelle. Mit den komplexen Zahlen ndet unsere Serie von Zahlbereichserweiterungen ihren krönenden Abschluss. Man kann zwar noch weiter gehen, etwa zum (über R vierdimensionalen) Körper H der Quaternionen, der in der Physik eine Rolle spielt. Allerdings ist H ein echter Schiefkörper, die Multiplikation ist als nicht kommutativ. 9 Abstrakte Algebra: Erste Begegnung Operationen, Signatur und Typ, Algebra, Beispiele kleiner Algebren, angegeben durch Tafeln. Lücke im Skript 13 Tatsächlich ist jede komplex algebraische Zahl auch reell algebraisch. 31

10 Gruppen Was man lernen muss: Untergruppen, Nebenklassen, Satz vo Lagrange, erzeugen, zyklische Gruppe, Normalteiler, Komplexoperationen, Faktorgruppe, Homomorphismen, der Kern eines Hommorphismus ist ein Normalteiler. Eine Untergruppe einer Gruppe G := (G,, 1, e) ist eine Teilmenge U G, die bezüglich der fundamentalen Operationen abgeschlossen ist, was folgendes bedeutet: e U, aus u U folgt stets u 1 U, und aus u, v U folgt stets u v U. Eine Teilmenge ist also genau dann eine Untergruppe, wenn sie mit den eingeschränkten Operationen selbst eine Gruppe ist. Die (Links-)Nebenklasse einer Untergruppe U durch ein beliebiges Element g G ist die Menge g U := {g u u U}. In den Übungen wurden folgende Eigenschaften von Nebenklassen nachgewiesen: 1. Haben zwei Nebenklassen einer Untergruppe ein Element gemeinsam, dann sind sie gleich. 2. Jede Nebenklasse von U ist zu U gleichmächtig. Daraus erhalten wir sofort den Satz 6 (Satz von Lagrange) Ist U eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G, dann ist die Kardinalität von U ein Teiler der Kardinalität von G. (Kurzfassung: Die Ordnung einer Untergruppe teilt die Gruppenordnung.) Die Potenzen eines beliebigen Gruppenelements g, also die Elemente..., g 2, g 1, g 0, g 1, g 2,..., bilden stets eine Untergruppe, die von g erzeugte Untergruppe. Man nennt solche von einem Element erzeugten Gruppen zyklisch. Zyklische Gruppen sind immer kommutativ. In einer endlichen Gruppe ist natürlich auch jede Untergruppe endlich. In diesem Fall besteht die von einem Element g erzeugte Untergruppe aus den Potenzen g 0, g 1, g 2,..., g n 1, wobei n die Ordnung von g ist, d.h., die kleinste positive ganze Zahl mit g n = e. 32