Grundwissen Mathematik

Grundwissen Mathematik Algebra Terme und Gleichungen Jeder Abschnitt weist einen und einen teil auf. Der teil sollte gleichzeitig mit dem bearbeitet werden. Während die bearbeitet werden, sollte man den studieren, um die Lösungen erarbeiten zu können. Clemens Kink im April 006

1 Natürliche Zahlen Teilbarkeit 1 Natürliche Zahlen Teilbarkeit Voraussetzungen: keine Quersummen Gegeben ist die natürliche Zahl, z. B. 1 4 567. Die Summe aller Ziffern heißt Quersumme (QS) der Zahl. QS(1 4 567) = 1 + + + 4 + 5 + 6 + 7 = 8 Teilbarkeitsregeln Eine natürliche Zahl... thze mit Einerziffer e, Zehnerziffer z, Hunderterziffer h,... ist teilbar... durch 10, wenn e = 0, z.b. 0, 40, 500; durch 5, wenn e = 0 oder e = 5, z.b. 0, 45; durch, wenn e gleich 0 oder, 4, 6, 8, z.b. 90, 8; durch 4, wenn ze = 00 oder eine 4er Zahl, z.b. 100, 8, 40; durch 8, wenn hze = 000 oder eine 8er Zahl, z.b. 1000, 56, 4. Eine natürliche Zahl ist teilbar... durch, wenn ihre Quersumme durch teilbar ist, z.b. 67 oder 67, denn 6 + 7 + = 15; durch 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist, z.b. 457, dennn 4 + + 5 + 7 = 18; durch 6, wenn sie durch und teilbar ist z.b. 67, nicht aber 67; Beispiele: Als Abkürzung stehen für,,ist Teiler von und für,,ist kein Teiler von. 198 198 198 4 198 5 198 6 198 8 198 9 198 10 198 715 715 715 4 715 5 715 6 715 8 715 9 715 10 715 Andere Teiler müssen durch Nachrechnen überprüft werden: 574: Teiler 7? 574 = 100 + 474 = 100 + 40 + 54 7 574 Teiler 1? 574 = 600 6 1 574

1 Natürliche Zahlen Teilbarkeit Teilbarkeitsregeln 1. Überprüfe auf Teilbarkeit Beispiele 4... 60 schreibe: 4 60 8... 60 schreibe: 8 60 übernimm die Anordnung der auf dein Blatt! a) 4... 14 b)... 14 c) 6... 77 d) 5... 0 e) 8... 500 f) 11... 49 g) 7... 87 h) 8... 548 i) 8... 600 j) 4... 68 k)... 56 l) 6... 456 Selbstkontrolle: Die bzw. ergeben eine horizontal und vertikal symmetrische Figur.

Natürliche Zahlen Primfaktoren 4 Natürliche Zahlen Primfaktoren Voraussetzungen: Natürliche Zahlen Teilbarkeit (1) Primzahlen Natürliche Zahlen mit genau zwei Teilern heißen Primzahlen. (Diese Teiler sind: die Eins und die Zahl selbst) Die Eins ist keine Primzahl! { } ; ; 5; 7; 11; 1; 17; ; 9; 1; 7; 41; 4; Primzahlen = 47; 5; 59; 61; 67; 71; 7; 79; 8; 89; 97;... unendlich viele Primzahlen! Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl größer Eins kann man als Produkt von endlich vielen Primzahlen schreiben. Das Produkt ist eindeutig, wenn man die Faktoren der Größe nach ordnet. 108 = 9 1 = 4 = = bis nur noch Primzahlen vorliegen 154 000 = 154 10 = 154 ( 5) = 77 5 = 7 11 5 = 4 5 7 11

Natürliche Zahlen Primfaktoren 5 Primfaktorzerlegung 1. Schreibe die Zahlen in ihrer Primfaktorzerlegung (ohne Potenzschreibweise). Notiere als Kontrollzahl die Summe aller Faktoren. Beispiele 100 = 4 5 = 5 5 Kontrollzahl: 14 (14 = + + 5 + 5) 7 = 8 9 = 1 a) 75 b) 65 c) 10 d) 54 e) 50 f) 60 g) 44 h) 9 Selbstkontrolle: Als Kontrollzahlen treten alle Zahlen von Elf bis Achtzehn auf.

Variablen Ausmultiplizieren 6 Variablen Ausmultiplizieren Voraussetzungen: keine Distributivgesetze Für a, b, c Q: (a + b) c = ac + bc Beispiele: (a b) c = ac bc (a + b) : c = a : c + b : c bzw. (a b) : c = a : c b : c bzw. (x y) x = x (x y) = 6x 4xy 5 (4x 1y) = 10x 10y 6 a + b c a b c = a c + b c = a c b c Produkte von Summen Prinzip: Jeder mit jedem: ( ) ( ) a + b c + d = ac + ad + bc + bd Tipp: Summanden beim Abarbeiten markieren! Reihenfolge: Vorzeichen - Zahlen - Buchstaben (Variablen). (jeweils sofort notieren) ( 4 x 1 xy) (10x y) = 15... = 15 x... = 15 x... = 15 x 9 4... = 15 x 9 4 x y.... = 15 x 9 4 x y 5x y + xy = 15 x 9 4 x y + xy

Variablen Ausmultiplizieren 7 1. Distributivgesetze Multipliziere aus. a) (6x y) 4x b) (18y z) 9 c) 15x ( x + 6 10 y) d) 5 (a + b c). Produkte von Summen Multipliziere aus. a) (4x + 5y) (6x y) b) ( 9 9 4 c) (a b) ( 4b + a) d) (1, u, 6v) (5v 15u). Mehrfache Produkte Multipliziere aus. a) 5 (x y) (y x) = 5 [... ] =... b) a ( 1 b + 5 4 a) (1a 6b) c) (1a + 6c) ( 6c + 1a) = [... ] =... d) (1 + x) ( + x) ( x) = (1 + x) [... ] =... Selbstkontrolle: Ergebnisse: 1. a) 4x 1xy b) 4y z c) 9xy + 10x d) 15a + 10b 5c. a) xy + 4x 10y b) x xy + y c) a 11ab + 1b d) 60uv 18u 18v. a) 5xy 10x 10y b) 15a a b ab c) 6c 144a d) 7x x + 6

4 Variablen binomische Formeln 8 4 Variablen binomische Formeln Voraussetzungen: Variablen Ausmultiplizieren () Binome Für a, b Q: (a + b) = (a + b) (a + b) = a + ab + b Beispiele: (x + y) = 9x + 6xy + y (x y) = 9x 1xy + 4y ( 1 a b) ( 1 a + b) = 1 4 a 4b (a b) = (a b) (a b) = a ab + b (a + b) (a b) = a b ( 4x y) = [ (4x + y)] = ( 1) (4x + y) }{{} wird normalerweise nicht angeschrieben = (4x + y) = 16xy + 16x + 4y

4 Variablen binomische Formeln 9 1. Binomische Formeln Multipliziere aus. a) (5x + y) b) (4x y) c) ( 1 1 4 4 d) ( 5x y) e) (7x + y) ( 7x + y) f) (0, u 0, 4v) Selbstkontrolle: Ergebnisse falsch sortiert!: 1. 0, 04u 0, 16uv + 0, 16v 1 16 a 9b 5x + 10xy + y 16x 4xy + 9y 5x + 0xy + 9y 59y 49x

5 Variablen Faktorisieren 10 5 Variablen Faktorisieren Voraussetzungen: Variablen Binomische Formeln (4) Faktorisieren Viele Terme kann man als nichttriviales Produkt schreiben (d. h. ohne Faktor Eins) Werkzeuge 1. Ausklammern gemeinsamer Faktoren 18xy 1xy = 6xy ( y). Binomische Formeln 4a + 4ab + b = (a + b) 9x 1xy + 4y = (x y) = (y x) 9x 4y = (x + y) (x y) Erste und zweite binomische Formeln erfordern immer eine Probe des gemischten Gliedes ab : 9x + 1xy + 16y hier geht nichts, denn (x + 4y) = 9x + 4xy + 16y. Mathematisches Geschick (schwer!) ax + bx + a + b = x (a + b) + (a + b) = (x + ) (a + b) ax bx + a + b = x (a b) 1 (a b) = (x 1) (a b) 4. Kombination von 1. und.: 1x 7x + 108 = 1 (x 6x + 9) = 1 (x ) erst ausklammern! 5. Evtl.: Umstellen oder Ausklammern eines Minuszeichens: 4x + 9y = 9y 4x = (y + x) (y x) 4ab + 4a + b = 4a + 4ab + b = (a + b) 0x +0xy 5y = (0x 0xy + 5y ) = 5 (4x 4xy + y ) = 5 (x + y) 1ab 4a 9b = (4a 1ab + 9b ) = (b a)

5 Variablen Faktorisieren 11 Bei allen ist vollständig zu faktorisieren. 1. a) x y + 6x y b) 1ab 8a b + 0abc. a) 6xy + 9x + y b) 49x 70xy + 5y c) 1 4 x 4y d) 144u 169v e) 16a 8ab + 4b f) 89x 4y. a) x + y + ax + ay b) v u + ux vx 4. a) 48xy + 6x + 16y b) 6x 84xy + 8y c) 75a 48b d) 94x 54y 5. a) 9 + 4x b) 40ab + 5a + 16b c) 6x 48x 16 d) 60uv 6u 5v Selbstkontrolle: Ergebnisse falsch sortiert! 1. yx (1 + xy) 4ba (b a + 5c). (7x 5y) ( 1 x + y) ( 1 x y) (x + y) 16a 8ab + 4b (1u + 1v) (1u 1v) (17x + 18y) (17x 18y). (x ) (u v) (a + ) (x + y) 4. 6 (7x + y) (7x y) (5a + 4b) (5a 4b) 7 (x y) 4 (x + y) 5. (6u 5v) (x + ) (x ) (5a + 4b) 4 (x + )

6 Natürliche Zahlen kgv und ggt 1 6 Natürliche Zahlen kgv und ggt Voraussetzungen: Natürliche Zahlen Primfaktorzerlegung () Vielfachenmengen V 4 = {4; 8; 1; 16; 0; 4; 8; ; 6; 40; 44; 48;... } V 6 = {6; 1; 18; 4; 0; 6; 4; 48; 54;... } V 4 V 1 = {1; 4; 6; 48;... } = V 1 Gemeinsame Vielfache sind V. des kgv Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv) kgv(4; 6) = 1 Schnellverfahren: Vielfache der größten Zahl abchecken 6 nein, 6 = 1 = 4 kgv(18; 7) = 81 7 nein, 7 = 54 nein, 7 = 81 = 4 18 kgv(1; 15; 6) = 60 15 nein, 15 = 0 nein, 15 = 45 nein, 4 15 = 60 = 5 1 = 10 6 kgv(105; 45) = 5 7 = 75 Alle Primfaktoren in größter Potenz 105 = 5 7; 45 = 5 7 kgv(60; 4; 7) = 5 = 60 60 = 5; 4 = ; 4 = Teilermengen T 60 = {1; ; ; 4; 5; 6; 10; 1; 15; 0; 0; 60} 7 60 8 ab 8 kann gerechnet werden: 60 : 6 = 10 etc. T 90 = {1; ; ; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 0; 45; 90} T 15 = {1; ; 5; 7; 9; 15; 1; 5; 45; 6; 105; 15} T 90 T 15 = {1; ; 5; 9; 15; 45} = T 45 Gemeinsame Teiler sind Teiler des ggt Größter gemeinsamer Teiler (ggt) ggt(4; 6) = 1 Schnellverfahren: Teiler der kleinsten Zahl abchecken ggt(70; 15) = 5 = 45 Gemeinsame Primfaktoren 70 = 5 (= 5) 15 = 5 7

6 Natürliche Zahlen kgv und ggt 1 1. Gib das kgv an: a) kgv(6; 15) b) kgv(7; 11) c) kgv(15; 5) d) kgv(0; 60) e) kgv(; 4; 9) f) kgv(; ; 7). Gib den ggt an: a) ggt(48; ) b) ggt(10; 7) c) ggt(5; 11) d) ggt(111; 74) Selbstkontrolle: Richtige Ergebnisse sind hier dabei (einige falsche auch!): 0 16 80 60 55 90 77 55 1 4 6 75 7 6 4

7 Brüche Kürzen und Erweitern 14 7 Brüche Kürzen und Erweitern Voraussetzungen: Natürliche Zahlen kgv und ggt (6) Brüche kürzen und erweitern 1 = 1 75 105 = 15 1 = 6 = = = 6 = 4 Zähler und Nenner mit gleicher Zahl multiplizieren! 6 1 5 Zähler und Nenner durch gleiche Zahl dividieren! 7 Erweitere auf Stufenzahl-Nenner: 6 5 = 6 4 5 4 = 4 100 Mache 5 18 und 7 15 gleichnamig: 5 18 = 5 90 ; 7 15 = 4 90 kgv(18; 15) = 90 4 1 Brüche frei von Dezimalbrüchen schreiben 0,4 1,8 0,4 100 1,8 10 = = 4 18 = = = 7 0,51 1000 7 0,51 100 10 7 51 10 10 5 45 7 0,51 0,4 100 1,8 10 = = 7 51 10 = 10 = 5 = 45 = 1 0,4 1,8 1000 7 0,51 100 10 4 18 Aus Produkten kürzen 18 98 = 18 14 = 14 = = 4 6 105 6 15 7 15 1 15 15 18 75 6 5 = 1 1 = 9 Distributiv kürzen 18+7+54 6+7 = 9 (++6) 9 (7+8) = ++6 7+8 = 11 15 kürze aus jedem Summanden! Aus Differenzen und Summen... 5+49 5+7 kann nicht gekürzt werden!

7 Brüche Kürzen und Erweitern 15 1. Erweitere auf den nächsten Stufenzahl-Nenner und wandle in eine Dezimalzahl: Beispiel: = 0, 15 0 100 7 a) 5 b) 4 c) 9 5 d) 8. Mache die Brüche gleichnamig: Beispiel: 4 10 Schreibe auf dein Blatt: 1 5 15 15 a) 4 5 b) 1 1 9 6 c) 10 4 15 d) 6 1 7 4. Schreibe frei von Dezimalbrüchen und kürze vollständig: a) 0,6 b) 1,,6 0,7 4,8 6 c) 0,4 0,6 1, d) 0,5 1,5,6 0,8 1,5 4. Kürze durch Ausklammern: 6+9 a) b) 75+100 15+18 50 Selbstkontrolle: Ergebnisse falsch sortiert! 1. 1, 8 0, 75 0, 8 0, 75. 4 7 9 8 8 15 6 6 4 4 0 0 18 18. 6 1 7 10 0 10 4. + = 5 +4 = 7 5+6 11

8 Brüche Grundrechenarten 16 8 Brüche Grundrechenarten Natürliche Zahlen kgv und ggt (6) Brüche Kürzen und Erwei- Voraussetzungen: tern (7) Addition und Subtraktion von Brüchen 7 + = 7 + = 1 + 4 = 5 = 1 Auf den Hauptnenner erweitern! 4 6 4 6 1 1 1 1 5 5 = 15 5 = 10 = 5 8 4 4 4 4 1 67 1 55 = 67 1 55 4 = 66 7 55 4 = 11 = 11 1 Borgen! 6 6 6 6 6 6 Multiplikation von Brüchen Zähler 1 Zähler Nenner 1 Nenner = Zähler 1 Zähler Nenner 1 Nenner 1 4 4 4 8 8 keine gemischten Zahlen! 18 5 7 5 7 1 frühzeitig kürzen! 15 14 14 natürliche Zahlen direkt in den Zähler! Division von Brüchen Zähler 1 Nenner 1 : Zähler Nenner = Zähler 1 Nenner 1 Nenner Zähler,,mal Kehrbruch! 1 : 1 7 = 8 : = 8 15 keine gemischten Zahlen! 5 15 5 15 5 65 : 91 = 65 55 5 55 5 = 5 11 = 55 91 7 7 49 frühzeitig kürzen! 1 4 : 7 = 1 = 4 7 4 natürliche Zahlen direkt in den Nenner! Mehrfachbrüche 1 + 1 4 1 6 4 16 15 100 km 0 km h = 6 + 6 9 1 1 = 5 6 7 1 = 5 6 : 7 1 = 5 6 1 7 = 10 7 = 1 1 7 Zählerbruch : Nennerbruch! = 4 15 16 = 5 4 Nenner des Nenners Zähler etc. (vgl. ( 1) ( 1) = +1) = 5 h

8 Brüche Grundrechenarten 17 1. Fasse zusammen: a) 1 + 1 b) 4 5 c) 5 4 d) 1 4. Fasse zusammen und kürze vollständig: a) 5 15 8 b) 0 8 45 c) 5 6 15 d) 4 1. Fasse zusammen und kürze vollständig: a) : 5 b) 1 : 4 1 c) 1 1 : 1 d) : 1 1 6 5 5 5 4. Fasse zusammen und kürze vollständig: a) 4 5 10 b) 4 5 6 c) 4 m s m s d) 7 kg m s kg m 4 m s Selbstkontrolle: Ergebnisse falsch sortiert! 1. 11 7 5 1 0 6 0. 4 1 1 1 1 75. 1 5 4 10 6 5 5 4. 9 m 1 1 s 75

9 Dezimalbrüche Grundrechenarten 18 9 Dezimalbrüche Grundrechenarten Voraussetzungen: Brüche Kürzen und Erweitern (7) Gewöhnliche Brüche in Dezimalbrüche wandeln Auf Stufenzahlen erweitern: = 6 = 0, 6 5 10 1 = 5 =, 5 4 100 Durchdividieren: = : 5 = 0, 6 5 = 5 : = 1, 66 = 1, 6 5 Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche wandeln Als Stufenzahl-Bruch schreiben und kürzen: 0, 8 = 8 10 = 4 5, 75 = 75 100 = 4 Trick bei periodischen Dezimalbrüchen:, = = 1 9 0, = 99 Dezimalbrüche addieren und subtrahieren Kommas untereinander schreiben: 1, 9 1, 9 + 5, 6 1 5, 6 1 18, 01 6, 77 Dezimalbrüche multiplizieren und dividieren Erst ohne Komma rechnen, dann Anzahl der Nachkommastellen addieren: 17 1, 7 = 8, 9 0, 17 0, 17 = 0, 0 89 Quotienten erweitern bis Divisor ganzzahlig ist: 4 : 1, 7 = 40 : 17 = 0 0, 4 : 1, 7 =, 4 : 17 = 0, 0, 4 : 17 = 0, 4 : 17 = 0, 0

9 Dezimalbrüche Grundrechenarten 19 1. Wandle um in Dezimalbrüche: a) 0 b) 4 7 5 c) 4 9 d) 7. Wandle um in gewöhnliche Brüche: a) 0, 75 b) 0, 4 c) 1, 6 d) 4, 15. Berechne (ohne Taschenrechner): a), 56 + 4, 58 b), 47, 95 c), 0, 6 d) 1, 5 15 e) 0, 0, f) 6 : 0, 9 g) 4, 5 : 9 h) 50 : 0, Selbstkontrolle: Ergebnisse falsch sortiert! 1. 5, 4 0, 4 0, 15 0, 48 571. 1 6 4 5 0 4. 0, 5 7, 14 0, 5 50 1,, 5 40 0, 06

10 Bruchterme Kürzen und Erweitern 0 10 Bruchterme Kürzen und Erweitern Voraussetzungen: Variablen Faktorisieren (5) Brüche Kürzen und Erweitern (7) Bruchterme kürzen und erweitern x = x+y x (x y) (x+y) (x y) = x xy = x(x y) = 4x y (x+y)(x y) x xy (x+y)(x y) x x+y Zähler und Nenner mit gleichem Term multiplizieren! Zähler und Nenner durch gleichen Term (hier: x y) dividieren! Bruchterme kürzen Erst Zähler und Nenner faktorisieren 6x 4x+4 4x 16 = 6(x 4x+4) 4(x 4) = 6(x ) 4(x+)(x ) = Den Hauptnenner suchen Hauptnenner aus den Zahlen 4 und 6 : 4 = ; 6 = ; HN =kgv(4; 6) = = 1 6(x ) = 6(x ) 4(x+)(x ) 4(x+) Hauptnenner der Terme 4x 4 und 6x + 1x + 6 : 4x 4 = 4 (x 1) = (x + 1) (x 1); 6x + 1x + 6 = 6 (x + x + 1) = (x + 1) = (x + 1) (x + 1); HN = (x + 1) (x + 1) (x 1) = 1 (x + 1) (x 1) Bruchterme gleichnamig machen Auf den Hauptnenner erweitern x+1 = x+1 = 4x 4 4 (x+1)(x 1) x = 6x +1x+6 x = 6(x+1) kann man auch auf einen Bruchstrich schreiben {}}{ x + 1 (x + 1) 4 (x + 1) (x 1) (x + 1) = (x+1)(x+1) 1(x+1) (x 1) x (x 1) 6 (x + 1) (x 1) }{{} kann man auch auf einen Bruchstrich schreiben Aus Differenzen und Summen... = 6x(x 1) 1(x+1) (x 1) 8x+y 4x kann nicht gekürzt werden!

10 Bruchterme Kürzen und Erweitern 1 1. Kürze vollständig: a) xy y x 9y b) 1x a 1x a c) 16a +48ab+6b d) x +x 4a 54b x e) x 8 x f) 8 x x. Erweitere auf den Hauptnenner: a) c) e) 5 1 xy x+ 5 18 b) x y d) x 4 f) x x x+ x xy x x 4 Selbstkontrolle: Ergebnisse falsch sortiert! 1. (a+b) y (a b) x+y x 4 x + 1x a x + 4 1x a. = 4y x 6xy = (x ) x x 4 5 = 15 1 6 = 9 xy 6xy = x 4 x 4 5 = 10 18 6 = (x ) x+ x 4 = x 4 x 4 = x = y xy x y x y x y x = x(x ) x+ x 4 = (x+) x x 4

11 Bruchterme Grundrechenarten 11 Bruchterme Grundrechenarten Brüche Grundrechenarten (8) Bruchterme Kürzen und Erwei- Voraussetzungen: tern (10) Kürzen, Kürzen, Kürzen Vor und nach irgendwelchen Berechnungen: Kann ich kürzen? Bruchterme addieren Brüche auf Hauptnenner erweitern, Zähler addieren (subtrahieren), Nenner belassen: a a + a 4a+4 = a(a ) + (a ) = a 6+a a(a ) = 5a 6 a(a ) = (a )+a a(a ) Nenner faktorisiert lassen! x x 4 x+ = x (x )(x+) x+ = x (x ) (x )(x+) = x x+6 (x )(x+) = 6 x (x )(x+) Bruchterme multiplizieren Nenner faktorisiert lassen! Zähler Zähler, Nenner Nenner: x+1 6x +1x+6 = (x+1) 6(x+1) 4x 4 x 4(x+1)(x 1) x = (x+1)(x+1) x(x 1) x 1 x x = x 1 x(x ) = (1 x) x(x ) x x x+1 x( x) x+1 (x(x )) x+1 = 1 x x(x ) = 1 x 1 = 1 x x(x ) x+1 1 x+1 x+1 Bruchterme dividieren mit dem Kehrbruch multiplizieren: x 6x +1x+6 : x+1 4x 4 = x 6x +1x+6 4x 4 x+1 = x 6(x+1) 4(x+1)(x 1) (x+1) = x(x 1) (x+1)(x+1)

11 Bruchterme Grundrechenarten 1. Fasse zusammen und kürze vollständig: a) a a + 5 4a 4a+1 b) (x ) x 6x+9. Fasse zusammen und kürze vollständig: a) 8x+8x + x c) 4 x 5 x x 1 4x+ b) 1 x x + x x d) x(x ) x 1 : x x x x+1 Selbstkontrolle: Hier sind die richtigen Ergebnisse dabei: x 9 (x ) x 1 x x 1 x x x +9 9 x 9a 4a 4a +a x 9 9a x 6x+9 a(a 1) (x+1)(x 1) x x+ x 4 x x 1 x a a(a 1)

1 Gleichungen 4 1 Gleichungen Voraussetzungen: keine Äquivalente Gleichungen Gleichungen behalten ihre Lösungsmenge, wenn man auf beiden Seiten... 1.... den gleichen Term addiert.... den gleichen Term subtrahiert.... mit dem gleichen Term multipliziert, wenn dieser 0 ist. 4.... durch den gleichen Term dividiert, wenn dieser 0 ist. Lösung von Gleichungen Beispiel: (x + 1) = 4 (x ) + 15 ggf. ausmultiplizieren 4x + 4x + 1 = 4x 16x + 16 + 15 1 4x + 16x Sortieren: x-terme nach links, Zahlen nach rechts: Zusammenfassen: 4x + 16x = 16 + 15 1 0x = 0 : 0 0 x = 0 0 = L = { } Brüche am Ende: (beide Seiten) mal Kehrbruch: 4 x = 6 4 x = 6 4 = 9 L = { } 9

1 Gleichungen 5 1. Gib die Lösungsmenge aus der Grundmenge Q an: a) (x + ) = 9 (x 1) + 1 b) 1 x + 1 = 1 4 x + 1 Selbstkontrolle: Hier sind die richtigen Ergebnisse dabei: L = { } 1 L = { } L = { } 5 L = {7}

1 Bruchgleichungen 6 1 Bruchgleichungen Bruchterme Grundrechenarten (11) Natürliche Zahlen Gleichun- Voraussetzungen: gen (1) Gleichung x + 4x x + 4x + 4 16 x 4 = D = Q \ { ; } (Zähler und) Nenner faktorisieren x (x + ) 16 (x + ) (x + ) (x ) = Definitionsmenge festlegen Für welche x werden Zähler gleich null? (D oben anschreiben!) Kürzen, Kürzen, Kürzen x x + 16 (x + ) (x ) D = Q \ { ; } = (x + ) (x ) Beide Seiten: mal Hauptnenner x (x + ) (x ) x + 16 (x + ) (x ) = (x + ) (x ) (x + ) (x ) (Geübte lassen die Zeile oben weg) x (x ) 16 = ( x 4 ) Gleichung auflösen x 4x 16 = x 8 4x = 8 x = Lösungsmenge muss Teil der Definitionsmenge sein L =

1 Bruchgleichungen 7 1. Gib die Lösungsmenge aus der Grundmenge Q an: x + 9x x + 6x + 9 54 x 9 = Selbstkontrolle: Der Wert Drei ist nicht in der Definitionsmenge enthalten. Die Lösungsmenge ist also die Leere Menge

14 Variablen Gleichungen 8 14 Variablen Gleichungen Voraussetzungen: Natürliche Zahlen Gleichungen (1) Bruchgleichungen (1) Auflösen von Gleichungen mit Formvariablen Auflösen heißt: wir lösen (meist) ohne Fallunterscheidungen nach der Lösungsvariable auf (ohne Angabe der Lösungsmenge). Einfache Gleichung a x = x + 1 b Q \ { } 0; 1 b Bruchfrei schreiben und ausmultiplizieren: a x = (x + 1) b a x = bx + b Sortieren (x-terme nach links, andere nach rechts) x ausklammern und auflösen: a b = bx + x bx + x = a b Echte Bruchgleichung x (b + 1) = a b : (b + 1) 0, denn b 1 x = a b b + 1 a 16 x = 4 a Q \ {} (a Q \ {} vorgegeben Fallunterscheidung überflüssig.) Lösung: Bruchfrei schreiben a 16 x = 4 D = Q \ {} (x ) 0 a (x ) 16 = 4 (x ) Sortieren (x-terme nach links, andere nach rechts) x ausklammern und auflösen: ax 4a 16 = 4x 8 ax 4x = 4a + 8 x (a 4) = 4a + 8 : (a 4) 0, denn a x = 4a + 8 a 4 = 4 (a + ) (a ) = (a + ) a

14 Variablen Gleichungen 9 1. Löse nach x auf: a) b x = x + 1 a a Q \ { } 0; 1 b) b 16 = 10 x 1 b Q \ {5} Selbstkontrolle: Hier sind die richtigen Ergebnisse dabei: x = 5+b b x = b+a x = +b 4a+1 b 5 x = b a a+1