Beispiel... Ist die Lichtuhr parallel zur Flugrichtung orientiert, dann ist für den ruhenden Beobachter der Hinweg länger, der Rückweg kürzer

612 12. Relativistische Physik Spiegel 2 Wasserbad Laser Spiegel 1 Beobachtungsfernrohr Strahlteilerplatte Kompensatorplatte Lichtquelle Atomuhr Abb. 12.4. Oben: Im ersten Kennedy- Thorndike-Experiment von 1932 betrug der Armlängenunterschied 30 cm. Um das Interferometer stabil zu halten, wurde die Anordnung in einem Wasserbad mit 1/1 000 Grad Temperaturkonstanz gehalten. Unten: Heute wird bei Experimenten zur Konstanz oder Anisotropie der Lichtgeschwindigkeit mit einer Laboruhr (Atomuhr) die Frequenz eines Lasers stabilisiert und dessen Lichtlaufzeit in einem tiefgekühlten optischen Resonator in Abhängigkeit vom Rotationswinkel oder der Erdgeschwindgkeit gemessen, deren Variation durch die Jahreszeiten oder in geringerem Maß durch den Tagesgang verursacht wird (12.3) näherungsweise angeben nach c/c = 1 + A(v/c) 2 + B cos θ(v/c) 2. (12.4) Einsteins Postulate fordern, wie wir sehen werden, exakt A = B = 0. Weil experimentelle Ergebnisse immer streuen, kann man aber aus Experimenten nur obere Schranken für die Größen { A, B} angeben. Beide Koeffizienten beschreiben eine Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit von der Bewegung des Beobachters, B cos θ charakterisiert darüber hinaus die Abhängigkeit der Lichtausbreitung von der Richtung im, beschreibt die Anisotropie des es. Bei Experimenten vom Typ Michelson-Morley werden Lichtlaufzeiten auf gleich langen Strecken in orthogonalen richtungen verglichen, so dass Beiträge der absoluten Geschwindigkeit des Beobachters gerade kompensiert werden. Dort wird also gerade der Koeffizient B bestimmt. Der Einfluss der absoluten Bewegung auf die Lichtgeschwindigkeit, der A-Koeffizient, wurde zunächst getestet, indem das Michelson-Experiment mit Sternenlicht ausgeführt wurde. Später haben Kennedy und Thorndike eine Variante des Michelson-Interferometers verwendet, bei der ein Arm sehr viel länger als der andere ist, Abb. 12.4. Wegen der sehr unterschiedlichen Lichtlaufzeiten spielt nun auch die absolute Geschwindigkeit eine Rolle (also A und B), auch wenn sie sich in beiden Armen gleich auswirkte und mit dem Michelson-Morley-Aufbau nicht beobachtbar wäre. Hat das Michelson-Experiment bereits B = 0 ergeben, wird mit dem Kennedy-Thorndike-Experiment nur noch der A- Koeffizient getestet. Um Verschiebungen des Interferenzmusters durch Umwelteinflüsse auszuschließen, wurde das Interferometer im ersten Kennedy-Thorndike-Experiment in einem auf 1/1 000 Grad stabilisierten Wasserbad ausgeführt. Man kann das Experiment auch so verstehen, dass ein Arm als Lichtuhr verwendet wird (s. Beispiel), während im anderen die Laufzeit gemessen wird. Heute wird stattdessen eine atomare Schwingung als Uhr verwendet, eine Atomuhr, die mit einem optischen Resonator verglichen wird, der aus zwei Spiegeln in festem Abstand besteht (s. auch Abschn. 15.2.2). In Tabelle 12.1 sind historische und jüngere Messergebnisse zusammengefasst. Beispiel... Lichtuhren. Ein zwischen zwei Spiegeln mit festem Abstand L hin und herlaufender Lichtstrahl erfüllt alle Anforderungen an eine Uhr mit dem takt T = 2L/c. Wenn eine bewegte Lichtuhr senkrecht zur Flugrichtung orientiert ist, und das Lichtsignal nach der T v seinen Umlauf beendet, sieht der ruhende Beobachter den längeren Weg (2L v ) 2 = (2L) 2 + (vt v ) 2. In der bewegten Uhr wird aber wiederum T v = 2L v /c gemessen, deshalb muss gelten T v = T/(1 (v/c) 2 ) 1/2. Dieses Phänomen nennt man dilatation, es wird noch näher in Abschn. 12.2.4 beschrieben. Ist die Lichtuhr parallel zur Flugrichtung orientiert, dann ist für den ruhenden Beobachter der Hinweg länger, der Rückweg kürzer

(a) (b) (c) L c (d) L v = 0 L' c 12.1 Maßstäbe und Uhren und 613 Abb. 12.5a d. In einer Lichtuhr wird der takt durch die Umlaufzeit T = 2L/c definiert. Ein bewegter Beobachter (b und d) sieht unterschiedliche Laufwege für die ruhende und die bewegte Lichtuhr v = 0 v v als bei der ruhenden Uhr. Die Laufzeit von links nach rechts beträgt ct v1 = L v + vt v1, die von rechts nach links ct v2 = L v vt v2, und die Gesamtlaufzeit beträgt danach für den ruhenden Beobachter T v = T v1 + T v2 = (2L v /c)/(1 (v/c) 2 ). Aus der vorangegangenen Überlegung wissen wir, dass die im ruhenden System nach T = 2L/c = T v (1 (v/c) 2 ) 1/2 schneller vergeht. Daraus können wir schließen, dass die Länge für den ruhenden Beobachter verkürzt erscheint: L v = L (1 (v/c) 2 ) 1/2.DieLängenkontraktion untersuchen wir noch einmal in Abschn. 12.2.6. 12.1.3 Das Relativitätspostulat Die fehlgeschlagenen Versuche, mit Hilfe des Michelson-Experiments einen Äther zu identifizieren, haben Poincaré letztlich veranlasst vorzuschlagen, dass es ein Naturgesetz sei, dass man ihn nicht entdecken könne. Man hat Lorentz Hilfshypothese auch als den Todesschrei des Äthers bezeichnet. Einstein übernahm sie zwar, aber er baute sie in einen weitaus größeren Rahmen ein, in dem der so widerspruchsvolle Begriff des Äthers ganz verschwand. Die Schwierigkeiten der Äthertheorie waren Einstein natürlich wohl bekannt. Entscheidender war aus seiner Sicht aber die Rolle von bewegten Körpern also Ladungen und Strömen in der Elektrodynamik, die mindestens widerspruchsfrei zu den Maxwell-Gleichungen sein sollte. Deshalb lautet der Titel seines berühmten Aufsatzes aus dem Jahr 1905, in dem der die Spezielle Relativitätstheorie vorstellt,,,zur Elektrodynamik bewegter Körper. Wir formulieren den Ausgangspunkt der speziellen Relativitätstheorie nach Einstein in zwei Postulaten, die durch die Experimente z. B. aus Tabelle 12.1, bestens gesichert sind. Das erste Relativitätspostulat stellt fest, dass weder durch mechanische noch elektromagnetische noch durch andere Experimente entschieden werden kann, ob ein unbeschleunigter Beobachter in Ruhe ist oder ob er sich bewegt: Einsteins beste Frage: Was sehe ich, wenn ich neben einem Lichtstrahl herlaufe? 1) Es gibt kein physikalisches Verfahren, um absolute Geschwindigkeiten oder Richtungen zu messen. Als direkte Konsequenz aus diesem Prinzip gibt es im freien auch keinen Punkt, der als Ursprung ausgezeichnet ist. Etwas genauer müssen wir heute formulieren, dass sich diese Forderung auf den leeren, auf

614 12. Relativistische Physik das Vakuum bezieht. Und wir wissen, dass der eben nicht leer ist, er ist erfüllt von der 3 K-Hintergrundstrahlung, die ihm eine Temperatur verleiht. Skizze Die Wiederkehr des Äthers? Wir wissen heute, dass der Kosmos von der 3 K-Hintergrundstrahlung erfüllt ist, die wir als ein,,nachleuchten des Urknalls interpretieren. Dieses Strahlungsfeld bietet in gewisser Weise doch so etwas wie ein bevorzugtes Bezugssystem, denn von der Erde aus betrachtet erscheint die Temperaturstrahlung in der einen Richtung aufgrund des Dopplereffektes etwas kälter, in der anderen etwas wärmer, wie die Messungen des COBE-Satelliten in Abschn. 11.2.6 zeigen. Aus der Dipolasymmetrie in Abb. 11.18 bestimmt man eine Relativgeschwindigkeit des Sonnensystems von v CMB = 377 km/s. Ein neuer Äther wird damit allerdings nicht etabliert, denn die Relativitätspostulate (und die noch zu besprechenden Transformationsvorschriften, Abschn. 12.3) gelten für dieses ausgezeichnete wie für alle anderen Bezugssysteme. Das zweite Relativitätspostulat, das streng genommen aus dem ersten schon folgt, stellt fest: 2) Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle. Ursprünglich wurde auch dieses Postulat von dem Verlangen nach Widerspruchsfreiheit der mechanischen Bewegung zu den Maxwell- Gleichungen angeregt. Erst später, 1932, wurde dann mit dem Kennedy-Thorndike-Experiment (Abb. 12.4) die alternative Mitführhypothese widerlegt und damit auch dieses Postulat mit den quantitativen Experimenten aus Tabelle 12.1 untermauert. Das Michelson-Morley- Experiment verwendet ein Interferometer mit Armen identischer Länge und testet allein die Richtungsabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit, nicht den Einfluss der angenommenen absoluten Geschwindigkeit. v Orb = 30 km/s v CMB = 377 km/s Abb. 12.6. Die 3 K-Hintergrundstrahlung (Cosmic Background, CMB) definiert ein ausgezeichnetes Bezugssystem im Kosmos. Die Graphik zeigt die wichtigsten Geschwindigkeiten von Sonne und Erde relativ zu diesem Inertialsystem 1,47 Mio km 1,52 Mio km v rot = 0,464 km/s sin(θ)

12.1 Maßstäbe und Uhren und 615 Tabelle 12.2. und zeit zeit Orte, Punkte Ereignisse, Weltpunkte Koordinaten (x, y, z) Koordinaten (ct, x, y, z) Geometrische Objekte und Kurven Vorgänge, Weltlinien Euklidische Geometrie Minkowski-Geometrie ct 1s 300 000 km Abb. 12.7. Die Weltlinie eines materiellen Teilchens muss in jedem Weltpunkt innerhalb des Lichtkegels liegen. Deshalb muss ihre Geschwindigkeit v<c betragen 12.1.4 Die 4. Dimension: Die Ausgehend von der Frage, was Gleichzeitigkeit bedeutet, erzwingen die Relativitätspostulate die Aufgabe der als absolute Größe. Wir werden in Abschn. 12.3 näher untersuchen, wie sich die, die wir jedem Bezugssystem individuell zuordnen, beim Wechsel des Systems ändert. In jedem konkreten Bezugssystem messen wir Abstände in der mit einer darin ruhenden Uhr. Aus dem ersten Relativitätspostulat folgt, dass die Periodendauer der Uhr eine unveränderliche Material- oder Systemgröße ist, dass ihre Ganggenauigkeit gemessen in ihrem eigenen Bezugssystem durch die Bewegung ihres Bezugssystems nicht beeinflusst wird. Als Uhren eignen sich im Prinzip alle zeitlich periodischen Vorgänge. Unsere genauesten technischen Uhren sind die Atomuhren (Abschn. 14.9.7), und wir können sogar jede atomare oder molekulare Schwingung als natürliche Uhren auffassen. Wenn wir z. B. Fraunhofer- Linien im Spektrum der Sonne oder anderer Sterne beobachten, gehen wir davon aus, dass ihre Wellenlängen im lokalen Bezugsystem noch immer identisch mit den in irdischen Labors gemessen Wellenlängen sind. Modifikationen solcher beobachteten Absorptionslinien geben dann Aufschluss etwa über die lokale Bewegung oder Temperatur des Gases. Zu den -Koordinaten {x, y, z} kommt also die t hinzu, die durch Multiplikation mit der Lichtgeschwindigkeit (ct) auf natürliche Weise ebenfalls die Dimensionen einer Länge erhält. Wir werden sie von jetzt an als vierte Dimension eines --Kontinuums (,,zeit ) auffassen, dessen geometrische Eigenschaften allein aus den Prinzipien der Relativität folgen. In Tabelle 12.2 vergleichen wir die zeit mit dem dreidimensionalen, der unseren Sinnen näher liegt. Weltpunkte und Weltlinien Die Welt ist keine statische Anordnung von Körpern in der recht willkürlich herausgegriffenen Gegenwart, sondern ein Prozess. Erst durch Einbeziehung aller vergangenen und zukünftigen Zustände ergibt sich ein vollständiges und verständliches Bild. Die Grundeinheit dieses Bildes ist nicht der Körper, sondern das Ereignis, auch Punktereignis oder Weltpunkt genannt. Ein Punktereignis ist ein Ereignis, das sich in einem hinreichend kleinen - und bereich abspielt, es wird durch 4 Koordinaten E = (ct, x, y, z) dargestellt. Was hinreichend klein heißen soll, hängt vom praktischen Standpunkt ab: Die Eruption eines Vulkans ist ein Punktereignis für Geologen, aber bestimmt nicht für die Betroffenen. Eine Folge von Punktereignissen nennt man die Weltlinie des Körpers. Dies alles ist formal nicht komplizierter als ein graphischer Fahrplan, in welchem Ankunftszeiten t an verschiedenen Orten r = (x, y, z) einx

616 12. Relativistische Physik getragen sind; die als vierte Dimension hat in diesem Bild nichts Mysteriöses. Für die Zeichnung auf dem Papier muss man ohnehin zwei der dimensionen opfern. Eine solche Zeichnung (wohlgemerkt: von mir angelegt; das Relativitätspostulat gibt mir volles Recht zu meinem individuellen Standpunkt) enthält also zunächst meine Weltlinie, etwa bei x = 0. Ferner gibt es,,gleichzeitigskeitslinien, die alle Ereignisse enthalten, die sich gleichzeitig, wenn auch vielleicht anderswo abspielen. Das räumlich eindimensionale {ct, x}-beispiel in Abb. 12.7 zeigt die Bewegung eines materiellen Teilchens in einer Dimension mit seiner Weltlinie. Von jedem (Welt-)Punkt der Linie gehen Lichtstrahlen in die positive und in die negative x-richtung aus, die sich im Bezugssystem des ruhenden Beobachters immer mit der Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen. Die Weltlinie muss sich also immer innerhalb des Lichtkegels aufhalten.,,es ist schwierig, das qualitative Problem der Gleichzeitigkeit von dem quantitativen Problem der messung zu trennen: Sei es, dass man sich einer Uhr bedient, sei es, dass man einer Übertragungsgeschwindigkeit, wie der des Lichtes, Rechnung zu tragen hat, da man eine solche Geschwindigkeit nicht messen kann, ohne eine zu messen.... Wir haben keine unmittelbare Anschauung für Gleichzeitigkeit, ebensowenig für die Gleichheit zweier intervalle. (H. Poincaré, Rev. Métaphys. Morale, 6 (1898) dt. Übersetzung bei Teubner 1906) 12.2 Gleichzeitigkeit Poincarés und Einsteins Überlegungen führen zwangsläufig dazu, sich über den Einfluss von Bewegung auf die - und Längenmessung genauestens Rechenschaft abzulegen. In Abb. 12.8 sind die Weltlinien für einen ruhenden und einen bewegten Beobachter dargestellt, die jeder über eine genau gehende Uhr verfügen aber nicht darin übereinstimmen werden, welche Ereignisse {E 1, E 2 } gleichzeitig stattfinden. Wir definieren die Gleichzeitigkeit durch eine Messvorschrift, die zur Synchronisation genutzt werden kann: Zum punkt T für den ruhenden bzw. T für den bewegten Beobachter werden zwei Lichtblitze in entgegengesetzte Richtungen losgeschickt. Sie werden an zwei Spiegeln, die die Ereignisse {E 1 = (ct 1, x 1 ), E 2 = (ct 2, x 2 ) bzw. E 1, E 2 } definieren, wie Billardbälle an der Bande reflektiert und von den Beobachtern empfangen. Für den ruhenden Beobachter B 0 im oberen Bild, das unserer nicht-relativistischen Intuition nahe ist, entnehmen wir die Definition für die Gleichzeitigkeit: Falls die reflektierten Signale gleichzeitig zum punkt T + eintreffen, haben die beiden Ereignisse gleichzeitig zum punkt t = (T + + T )/2 (12.5) stattgefunden im Sinne des Lichtuhren-Beispiels aus Abschn. 12.1.2 haben die Uhren gleich getickt. Durch Dehnen oder Schrumpfen des Quadrats T E 1 T + E 2 stellen wir leicht fest, dass alle Ereignisse auf der horizontalen Linie für den unbewegten Beobachter B 0 gleichzeitig auftreten. Wenden wir dieselbe Prozedur aber auf Beobachter an, stellen wir fest, dass er ganz andere Ereignisse als gleichzeitig wahrnimmt, nämlich per Definition diejenigen, bei denen die Signale T E 1 T + und T E 2 T + auf seiner Weltlinie zusammenfallen. Und wieder gilt dieser Zusammenhang für alle Ereignisse auf der Diagonalen des Rechtecks T E 1 T +E 2!Mit x = (ct + ct )/2 (12.6) kann man auch den räumlichen Abstand der beiden Ereignisse für den ruhenden Betrachter definieren.

12.2 Gleichzeitigkeit 617 B 0 T + Abb. 12.8. Gleichzeitigkeit für einen ruhenden (oben, B 0 ) und einen bewegten Beobachter (mitte, ). Gleichzeitige Ereignisse liegen für die jeweiligen Beobachter auf den gestrichelten Linien. Vom Bezugssystem aus betrachtet sind die Ereignisse {E 1, E 2 } nicht gleichzeitig (unten) t E 1 E 2 T T' + E 1 ' t' E 2 ' ct' T' x' B 0 t E 1 E 2 T Abb. 12.9. Die Gleichzeitigkeitslinie entspricht der x -Achse des bewegten Beobachters. Wenn die Weltlinie die Form (x, y) = (vt, ct) hat, dann gilt für die x -Achse die parametrische Beschreibung (x, y) = (ct,vt) Damit ist klar, dass die keine absolute Größe mehr ist, die vielleicht revolutionärste Erkenntnis von Einstein, denn im Bezugssystem B 0 in Abb. 12.8 sind andere Ereignisse gleichzeitig als im System.Und welche t Beobachter auf seiner Uhr abliest, das wird noch zu ermitteln sein. Gleichzeitigkeit, müssen wir erstaunt feststellen, besitzt physikalisch keine invariante Bedeutung: Begeben wir uns in das Bezugssystem, und betrachten von dort das nunmehr bewegte System B 0,dann finden die ehemals gleichzeitigen Ereignisse {E 1, E 2 } zu verschiedenen en statt! Die geometrische Deutung erlaubt eine schnelle Beantwortung der Frage, wo denn die Orte der Gleichzeitigkeit die x -Achse eines beweg-

618 12. Relativistische Physik ten Beobachters liegen müssen. In Abb. 12.9 ist zu erkennen, dass die Weltlinie gerade eine Diagonale der Konstruktions-Rechtecke ist. Die Rechtecke liegen mit ihrer langen Seite immer parallel zur 45 -Diagonalen des (ct, x)-koordinatensystems, deshalb muss die andere Diagonale aus der Weltlinie durch Spiegelung an der 45 -Diagonalen hervorgehen. Die Einheiten des neuen Achsensystems (ct, x ) sind damit allerdings noch nicht festgelegt. 12.2.1 Pythagoras und Minkowski Ereignisse, die in einem gewählten Bezugssystem gleichzeitig stattfinden, haben darin einen raumartigen Abstand, Ereignisse am gleichen Ort (äquilokal) haben einen zeitartigen Abstand. Der zeitartige Abstand zweier Ereignisse ist genau die die auf der Uhr vergeht, die frei durch die beiden Ereignisse hindurch,,fällt. Um diese zu bestimmen, muss man die Uhren verschieden bewegter Beobachter vergleichen, in unserem Beispiel in Abb. 12.10 von B + und B, die sich mit gleicher Geschwindigkeit von einem dritten Beobachter entfernen: Für B 0 sind die Uhren in B + B B + 0 1 2 3 4 τ' τ τ 0 T + T b T τ 0 T a τ 2 =T + T Abb. 12.10. Beschreibung von gleichzeitigen Ereignissen in zwei bewegten Bezugssystemen 0 Abb. 12.11. Die blaue Hyperbel gibt die Ereignisse an, die alle den gleichen zeitlichen Abstand τ von einem gemeinsamen Ereignis 0 haben. Die Beobachter auf den Weltlinien lesen also auf ihren Uhren alle den gleichen Wert ab, wenn sie die Hyperbel kreuzen. Die gestrichelt eingezeichneten Licht- Parallelogramme beweisen, dass für Beobachter 1 (2) die Uhren 0 und 2 (0 und 4) gleiche en anzeigen. (In Abb. 12.17 ist die analoge Situation für die Längenkontraktion vorgestellt.)

12.2 Gleichzeitigkeit 619 und B dann perfekt synchronisiert, weil reflektierte Lichtblitze gleichzeitig zurückkommen. In dieser Situation gilt also τ = τ : Aus dem rechten Teil entnimmt man ohne Schwierigkeiten durch Vergleich der Dreiecke T + T b O mit τt a O und τt b O mit T T a O T + τ = T b T a = τ T. woraus durch Umformung die wichtige Relation folgt: τ 2 = T + T (12.7) In Abb. 12.11 haben wir die Weltlinien mehrerer Uhren dargestellt, die alle zur gleichen vom gleichen Ort gestartet sind. Wir wollen nun feststellen, wann die Uhren die τ, die wir im ruhenden System messen, auf ihrer Uhr messen. Dazu wandeln wir die Gleichzeitigkeitskonstruktion, die in Abb. 12.11 nur für eine ausgewählte Weltlinie dargestellt ist, leicht ab: Vom punkt τ im ruhenden System schicken wir den zeitlich vorwärts und rückwärts laufenden Lichtstrahl bis zur Weltlinie des bewegten Beobachters, der die T und T + -Ereignisse festlegt. Ein gleichzeitiges Ereignis wird wie in Abb. 12.8 konstruiert, alle gleichzeitigen Ereignisse liegen dann wieder auf der Diagonalen. So lässt sich geometrisch Punkt für Punkt die Hyperbel aus (12.7) konstruieren. Die Relation aus (12.7) (noch besser zu erkennen in (12.9)) ist das zeit-äquivalent zu a 2 + b 2 = c 2, dem Satz des Pythagoras im euklidischen. Die ungewohnten, rätselhaften Eigenschaften der zeit werden hier schon deutlich: Obwohl die Abstände auf der Hyperbel in Abb. 12.11 nach unserem intuitiv-euklidischen Verständnis immer weiter entfernt liegen, haben sie in der zeit gleichen Abstand zum Ursprung! 12.2.2 Abstände in der zeit Die Messvorschrift zur Gleichzeitigkeit liefert uns nach (12.5) und (12.6) die Abstände, t = T + + T 2 T + = t + (x/c) x = ct + ct 2 T = t (x/c) (12.8) Setzen wir diese Transformation in τ 2 = T + T (12.7) ein, gewinnen wir das Minkowski-Theorem τ 2 = t 2 (x/c) 2. Es lässt sich zwanglos auf drei Dimensionen erweitern, ( τ 2 = t 2 x 2 + y 2 + z 2) /c 2, (12.9) und übernimmt wie schon erwähnt in der zeit die Rolle des Satzes des Pythagoras. Die Größe τ charakterisiert den raumzeitlichen Abstand zwischen zwei Ereignissen in der Geometrie der zeit. Dieser Abstand ist unabhängig von der Wahl des Bezugssystems, ob ruhend oder bewegt. Insbesondere für zwei Ereignisse am selben Ort gilt τ = t, der Abstand τ

620 12. Relativistische Physik B B + E 1 E 2 Tabelle 12.3. Abstände in der zeit Abstand (cτ) 2 Bemerkung zeitartig > 0 Es gibt ein bewegtes Bezugssystem, in welchem zwei Ereignisse mit diesem zeit-abstand am selben Ort geschehen, also innerhalb des Lichtkegels. lichtartig = 0 Diese Weltpunkte liegen genau auf dem Lichtkegel. raumartig < 0 Es gibt ein bewegtes Bezugssystem, in welchem zwei Ereignisse mit diesem zeit-abstand gleichzeitig geschehen, also außerhalb des Lichtkegels. T Abb. 12.12. Bewegte Beobachter können Ereignisse mit vertauschter Reihenfolge wahrnehmen zeitartige Abstnde (Zukunft) raumartige Abstnde zeitartige Abstnde (Vergangenheit) Abb. 12.13. Kausal mit dem Ursprungsereignis verknüpfte Ereignisse müssen innerhalb des Lichtkegels liegen, der hier in einer zweidimensionalen Welt dargestellt ist. Sie haben zeitartige Abstände. Außerhalb des Lichtkegels liegende Ereignisse haben raumartigen Abstand zum Ursprung, sie können kausal nicht verknüpft sein ct y x hat rein zeitlichen Charakter und wird Eigenzeit genannt. Nach dem Mathematiker Minkowski wird ein, in welchem Abstände nach (12.9) gemessen werden, Minkowski- genannt. In Tabelle 12.3 haben wir die Eigenschaften der zeit-abstände zusammengestellt. 12.2.3 Kausalität Kausalität verlangt, dass die Ursache einer Wirkung immer vorausgehen muss, die zeitliche Reihenfolge also festgelegt ist. Kausalität ist eine notwendige Bedingung jeder physikalischen Erfahrung, jedenfalls sind bisher keine gegenteiligen Beobachtungen bekannt geworden. Die Überlegungen über Gleichzeitigkeit lassen es nun zu, dass verschieden schnell bewegte Beobachter (B und B + in Abb. 12.12) bestimmte Ereignisse sogar in vertauschter zeitlicher Reihenfolge erleben! Wenn wir nach aller Erfahrung davon ausgehen, dass jede Wirkung sich nur mit v<c ausbreitet, können solche Ereignisse unmöglich eine kausalen Zusammenhang besitzen. Ein anderer Zusammenhang könnte nur mit hypothetische Teilchen, die sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen und Tachyonen genannt werden, hergestellt werden. Solche Teilchen sind aber nirgends beobachtet worden. Sind zwei Ereignisse in einem Bezugssystem gleichzeitig, dann kann man immer zwei weitere Systeme angeben, in welchen sich die Reihenfolgen gerade vertauschen. Ereignisse mit raumartigen Abständen können also niemals kausal verknüpft sein. Zu Ereignissen mit zeitartigen Abständen kann man dagegen immer ein Bezugssystem angeben, in welchem sie am selben Ort stattfinden. Weil raumartige Abstände von den zeitartigen durch den Lichtkegel getrennt werden, kann sich auch keine kausale Wirkung schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. 12.2.4 Bewegte Uhren gehen langsamer die dilatation Wir haben schon im Lichtuhren-Beispiel in Abschn. 12.1.2 festgestellt, dass die Uhr eines bewegten Beobachters im Vergleich zu unserer eigenen, unbewegten Uhr langsamer zu vergehen scheint. Wir wollen diese dilatation (das bedeutet soviel wie dehnung) noch einmal im Hinblick auf das Relativitätspostulat untersuchen, d. h., keiner der Beobachter soll feststellen können, welcher von beiden der bewegte und welcher der unbewegte wäre. Wenn sich der Beobachter mit der Geschwindigkeit v relativ zu unserem ruhenden Bezugssystem von einem Punkt r(t = 0) = r 0 nach

12.2 Gleichzeitigkeit 621 B 0 ct vt cτ B 0 τ Abb. 12.15. Das Uhren-Paradoxon. Oben wird die Uhr des bewegten Beobachters aus der Sicht des ruhenden Beobachters abgelesen, unten umgekehrt. Beide Beobachter lesen auf der von ihrem Standpunkt bewegten Uhr eine T < T ab. In diesem Beispiel wurde v/c = 3/5 gewählt; dabei ergibt sich eine Verkürzung um jeweils 20% (ct) 2 (vt) 2 = (cτ) 2 Abb. 12.14. Eigenzeitvergleich im ruhenden und im bewegten Bezugssystem B 0 τ r(t) = vt + r 0 geradlinig entfernt, dann sind die Ereignisse auf seiner Weltlinie für ihn äquilokal, in unserem Bezugssystem haben sie aber die Koordinaten (0, x 0, y 0, z 0 ) und (t,v x t + x 0,v y t + y 0,v z t + z 0 ).Aus dem Minkowski-Theorem lässt sich direkt folgern, dass der Abstand τ zwischen den Ereignissen im Bezugssystem allein zeitartig ist und den Wert τ 2 = t 2 (v 2 x t2 + v 2 y t2 + v 2 z t2 )/c 2 = t 2 (1 (v/c) 2 ) annimmt. In Anlehnung an Abb. 12.14 können wir die zeitartigen Abstand auch formulieren als (cτ) 2 = (ct) 2 (vt) 2. Die Uhr im bewegten Bezugssystem zeigt also erst die τ mit τ = 1 (v/c) 2 t, (12.10) wenn die Uhr im ruhenden System schon die t >τ anzeigt. Eine ruhende Uhr zeigt danach immer die Eigenzeit τ an. In Abb. 12.15 haben wir die Gleichzeitigkeitsdiagramme für den ruhenden (links) und bewegten Beobachter (rechts) dargestellt. Man erkennt leicht, dass beide eine gegenüber der eigenen Uhr langsamer gehende Uhr beobachten, eine Situation, die gelegentlich als Uhrenparadoxon bezeichnet wird. Es ist schwer zu akzeptieren, dass meine Uhr für den anderen Beobachter, dessen Uhr ich langsamer gehen sehe, offenbar nicht schneller geht. Nach den Relativitätspostulaten ist diese Situation aber

622 12. Relativistische Physik sogar zwingend sonst könnte man wieder bewegte von unbewegten Bezugssystemen unterscheiden. Wir fassen zusammen: Jeder der Beobachter sieht die Uhr des anderen, bewegten Beobachters langsamer laufen als seine eigene. Die dilatation lässt sich experimentell an zahlreichen mikroskopischen Systemen beobachten nur die können sich so schnell bewegen dass messbare Effekte auftreten. Einstein selber hat Untersuchungen zur dilatation als experimentum crucis für seine Theorie bezeichnet. Ein bekanntes Beispiel ist die Lebensdauer von Myonen, die sich in unserem Bezugssystem schnell bewegen. Myonen sind Elementarteilchen mit der 207-fachen Masse des Elektrons. Die einheit im Bezugssystem der Myonen wird durch ihre Halbwertszeit festgelegt, und ihre Uhr wird abgelesen, indem die relative Zahl der Zerfälle der Myonen gemessen wird. Für ruhende Myonen gehorcht sie einem Exponentialgesetz mit der Zerfallskonstante (Lebensdauer) τ = 2,2 µs. Myonen, die mit Beschleunigern auf eine Energie von 1 GeV beschleunigt werden, erreichen ca. 95% der Lichtgeschwindigkeit. Die Lebensdauer im Labor wird dadurch auf τ = τ/(1 0,95 2 ) 1/2 7 µs verlängert. Die dilatation spielt auch eine entscheidende Rolle für die Beobachtung von Myonen an der Erdoberfläche, die durch kosmische Strahlung in 9 000 m Höhe erzeugt werden (s. Aufgabe 12.2.5). Sie erreichen ebenfalls fast Lichtgeschwindigkeit und werden nur deshalb in größeren Mengen an der Erdoberfläche beobachtet. Besonders effiziente Uhren sind natürliche, d. h. atomare Uhren bzw. deren Übergangsfrequenzen. Allerdings kommt zur dilatation dann noch der relativistische Dopplereffekt hinzu, so dass die Frequenz eines Oszillators mit der Frequenz ν 0 in seinem Ruhesystem im Laborsystem neben der Geschwindigkeit v auch noch vom Winkel θ zwischen Bewegungsrichtung und Beobachtungsrichtung abhängt (s. Abschn. 12.5, (12.22)): ν ν 0 = (1 (v/c) cos θ). 1 (v/c) 2 Die dilatation wird daher auch als transversaler Doppler-Effekt bezeichnet. Einstein hatte schon 1907 den naheliegenden Vorschlag gemacht, die Frequenz des emittierten Lichtes schnell bewegter Atome orthogonal zur Flugrichtung zu messen, dann ist lediglich die dilatation für die Frequenzverschiebungen verantwortlich. Allerdings ist die Justierung eines Experiments genau auf diesen Winkel maximal kritisch, deshalb wurden schon 1938 im ersten Labor-Experiment zur dilatation von Ives und Stilwell die Frequenzen parallel und antiparallel zur Bewegungsrichtung (θ = 0, 180 ) der Atome gemessen: ν ± = ν 0(1 ± (v/c))/ 1 (v/c) 2. Das geometrische Mittel der beiden gemessen Frequenzen sollte identisch sein mit der Frequenz im Ruhesystem, ν + ν = ν2 0. Abweichungen von den Vorhersagen der speziellen Relativitätstheorie können analog zu (12.4) als Beiträge proportional zu (v/c) 2 erwartet werden, ( ν + ν = ν2 0 1 + α(v/c) 2). Das bisher genaueste Experiment (s. 2. Beispiel in Abschn. 12.5) wurde mit gespeicherten Li + -Ionen bei einer Geschwindigkeit von v = 0,064c ausge-

12.2 Gleichzeitigkeit 623 führt (G. Saathoff et al., Phys. Rev. Lett. 91,190403 (2003)). Dabei wurde die Vorhersage der speziellen Relativitätstheorie für die dilatation mit einer Unsicherheit von α 1,8 10 7 bestätigt. 12.2.5 Das Zwillingsparadoxon Es gibt kaum ein Phänomen, das unvorbereitete Menschen an der speziellen Relativitätstheorie mehr irritiert als das Zwillingsparadoxon: Beispiel... Von einem Zwillingspaar wird einer zum Astronauten. Er besteigt eine Rakete, die in kurzer auf v/c = 3/5 beschleunigt wird, und fliegt zum nächstgelegenen Stern alpha Centauri, den er in der Entfernung von 4,35 Lichtjahren,,schon nach 7,25 (!) irdischen Kalenderjahren erreicht. Er verbringt dort wenige Tage und macht sich mit gleicher Geschwindigkeit auf die Heimreise, sodass er nach ungefähr 14,5 Jahren eine halbe Generation später wieder auf der Erde eintrifft. Er stellt bei der Ankunft fest, dass sein Kalender dem irdischen um 20% (T = T 1 (v/c) 2 = 0,8 T), also fast 3 Jahre hinterläuft. Das Paradoxon: Der zurückgebliebene Zwilling hat sich doch ebenfalls in der jeweils entgegengesetzten Richtung bewegt, und ein jeder sollte doch die Uhr des anderen langsamer gehen sehen. Wo bleibt da das Relativitätspostulat? Unsere Vorstellungskraft wird durch das Zwillingsparadoxon mächtig strapaziert, auch wenn das Beispiel zeigt, dass die dilatation für Menschen nur theoretisch erlebbar ist man müsste schon kosmische Geschwindigkeiten erreichen und kosmische Entfernungen zurücklegen, damit die Uhren sichtbar auseinander rücken. Andererseits verlassen wir uns heute in großem Ausmaß auf höchst präzise Uhren, die weltweite Navigation wird vom Global Positioning System (GPS) gesteuert. Wie in Abschn. 14.9.7 geschildert befinden sich an Bord der 24 GPS-Satelliten Atomuhren, deren Signale an jedem Ort der Erde eine genaue Peilmessung zur Positionsbestimmung erlauben. Auf ihrer Umlaufbahn verfolgen die Satelliten eine andere zeitbahn als die Erdbewohner. Daher müssen so genannte relativistische Korrekturen bei der Auswertung der Uhrensignale angebracht werden, um die geforderte Genauigkeit von 3 10 9 oder wenigen Metern auf der Erdoberfläche zu erreichen. Wir können das Zwillingsparadoxon mit Hilfe der ungewöhnlichen Geometrie der zeit analysieren. Jedes Kind weiß, dass der Weg vom Start zum Ziel länger ist, wenn ein Umweg gemacht wird. Die Gerade ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte! So ist in Abb. 12.16 links unten der Weg SUZ in der euklidischen Welt natürlich länger als der gerade Weg SZ. Vollkommen anders verhält es sich aber in der zeit die der bewegten Uhren vergeht langsamer, deshalb bleibt bei der Rückkehr des bewegten Beobachters zur unbewegten Uhr eine differenz übrig. Die Beschleunigungsphase als solche spielt keine Rolle, wenn man davon absieht, dass eine Weltlinie, die zum selben räumlichen Ausgangspunkt zurückkehren soll, eben kein ruhendes Bezugssystem repräsentiert,

624 12. Relativistische Physik Abb. 12.16. Ein Vergleich von Strecken gleichen Abstands zum Ursprung O: Im euklidischen (links oben) ist es der Kreis; in der zeit (rechts oben) eine Hyperbel. Der Umweg SUZ im euklidischen Dreieck ist immer länger als der direkte Weg SZ. Die analoge Überlegung für die zeit zeigt: Der (bewegte),,umweg ist kürzer als der direkte (unbewegte) Weg: Darauf beruht das Zwillingsparadoxon Euklidischer y x zeit ct x y Z y ct Z U U S S x x dass sie das Inertialsystem mindestens einmal wechseln muss. Gedanklich könnte man sich auch vorstellen, dass der reisende Zwilling am Umkehrpunkt lediglich von der ankommenden auf eine andere Rakete in der Gegenrichtung umsteigt, die jeweils mit ihren eigenen Uhren ausgestattet sind. Wir könnten den Weg, die Weltlinie des bewegten Beobachters auch noch ganz anders gestalten, seine Uhr würde gegenüber der unbewegten Uhr immer nachgehen. Und bei zwei bewegten Beobachtern geht dessen Uhr vor, der den kürzeren zeit-abstand zurückgelegt hat. Wenn die Weltlinie einer Uhr dargestellt wird mit s (ct(s), x(s), y(s), z(s)), dann wird trägt zu einem kurzen Wegelement, der Bogenlänge ds, nur die Eigenzeit τ bei, ( ds = cdτ = (cdt/ds) 2 (dx/ds) 2 (dy/ds) 2 (dz/ds) 2) 1/2 ds, im Ruhesystem der Uhr mit den Koordinaten (cτ, x, y, z ) gilt dx = dy = dz = 0. Wegen (dx 2 + dy 2 + dz 2 )/dt 2 = v 2 gilt dann dτ = dt 1 (v/c) 2. Die, die auf einer an einer Weltlinie entlang bewegten Uhr zwischen zwei Ereignissen A:(ct A, r A ) und B:(ct B, r B ) verstreicht, lässt sich dann