Lebensversicherungsmathematik mit Mathematica

Aleksandar Karakas Lebensversicherungsmathematik mit Mathematica Bachelorarbeit Technische Universität Graz Institut für Analysis und Computational Number Theory Leiter: O.Univ.-Prof. Dr.phil. Robert Tichy Betreuer: Hans-Peter Schrei Graz, Oktober 2013

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Eidesstattliche Erklärung 1 Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst, andere als die angegebenen Quellen/Hilfsmittel nicht benutzt, und die den benutzten Quellen wörtlich und inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. Graz, am Datum Unterschrift 1 Beschluss der Curricula-Kommission für Bachelor-, Master- und Diplomstudien vom 10.11.2008; Genehmigung des Senates am 1.12.2008 iii

Abstract This thesis gives a short theoretical overview of life insurance mathematics and describes the functionality and usage of the Mathematica package RandInsure. This software was developed within the scope of this thesis and solves common problems in life insurance mathematics symbolically. The usage of this package is not restricted to insurances of one life and can handle computations involving an arbitrary number of insured. iv

Inhaltsverzeichnis Abstract iv 1. Einleitung 1 2. Elementare Versicherungsmathematik 3 2.1. Sterbetafeln und daraus ableitbare Größen........... 3 2.2. Versicherungen........................... 5 2.2.1. Eine einfache Todesfallversicherung........... 5 2.2.2. Allgemeine Todesfallversicherungen........... 6 2.2.3. Weitere Versicherungen.................. 7 2.3. Leibrenten.............................. 7 2.4. Nettoprämien............................ 7 3. Versicherungen mehrerer Leben 8 3.1. Der Zustand verbundener Leben................. 8 3.2. Der Zustand des letzten Lebens.................. 9 3.3. Der allgemeine symmetrische Zustand............. 11 4. Zusammenfassung 15 A. Installieren von RandInsure 17 B. Dokumentation von RandInsure 20 B.1. Dokumentation für Anwender.................. 20 B.2. Dokumentation für Entwickler.................. 22 Literatur 24 v

Abbildungsverzeichnis A.1..................................... 18 A.2..................................... 19 B.1..................................... 21 B.2..................................... 23 vi

1. Einleitung Seit dem Jahr 2000 stiegen die weltweiten jährlichen Beitragseinnahmen im Bereich der Lebensversicherungen um ca. 69 % auf $ 2,62 Billionen im Jahr 2012 an. Auch Unfall- und Krankenversicherungsbeiträge weisen eine ähnliche Entwicklung auf. Jedoch generierten diese beiden Versicherungstypen zusammen seit 1987 jedes Jahr weniger Prämieneinnahmen als Lebensversicherungen. 1 Angesichts dieser bedeutenden Stellung der Lebensversicherungen wird die Notwendigkeit zuverlässiger Software zur Kalkulation von Prämien und damit zusammenhängenden Größen deutlich. Bereits 1994 wurde an der Technischen Universität Graz eine Software veröffentlicht, die die Berechnung von lebensversicherungsmathematischen Größen auf symbolische Art und Weise ermöglicht. Auch Pensions und Krankenversicherungen zählen zum Einsatzgebiet dieses Programms, das als Maple Package realisiert wurde. 2 Im Jahr 1999 wurde die Software um eine Komponente zur stochastischen Zinsmodellierung erweitert und erhielt den Namen RandInsure. 3 Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein Package geschrieben, dass eine ähnliche Funktionalität für das CAS Mathematica zur Verfügung stellen soll; es soll den Namen des Maple-Packages erben. Dennoch ist es keine exakte Kopie des Maple-Pakets, das vorwiegend prozedural implementiert wurde. Stattdessen wurde der Kern des Programms Regel basiert 4 umgesetzt. Auch die Tatsache, dass funktionale Programmierung 5 in Mathematica meist perfor- 1 Vgl. Swiss Re, 2013. 2 Vgl. Aschenwald, 1994; Aschenwald, Siegl und Tichy, 1996. 3 Vgl. Predota, 1999. 4 Vgl. Wagner, 1996, 141 ff. 5 Vgl. ebd., 97 ff. 1

1. Einleitung manter 6 ist als prozedurale Programmierung, wurde berücksichtigt. Weiters wurden die von Mathematica gebotenen Dokumentationsmöglichkeiten genutzt. Dies soll sowohl die Nutzung als auch die Weiterentwicklung des Programms erleichtern. Der Funktionsumfang von RandInsure ist in der ersten Version auf lebensversicherungsmathematische Berechnungen beschränkt. Diese sollen in den folgenden Kapiteln näher vorgestellt werden. Kapitel 2 gibt dazu eine Einführung in die elementare Lebensversicherungsmathematik und demonstriert die Umsetzung einiger Berechnungen mit RandInsure. In Kapitel 3 wird die Theorie im Zusammenhang mit Versicherungen mehrerer Leben kurz dargestellt. Auch in diesem Kapitel werden die Einsatzmöglichkeiten von RandInsure aufgezeigt. Kapitel 4 beinhaltet eine Zusammenfassung und liefert einen Ausblick auf etwaige zukünftige Versionen dieser Software. Eine Installationsanweisung des Mathematica-Packages ist in Anhang A zu finden. Anhang B enthält Informationen zum Dokumentationssystem von RandInsure. 6 Vgl. Wagner, 1996, S. 299. 2

2. Elementare Versicherungsmathematik Dieses Kapitel dient der Einführung einiger wichtiger lebensversicherungsmathematischer Begriffe. Es werden auch Möglichkeiten aufgezeigt, die definierten Größen in Mathematica mit dem Package RandInsure zu berechnen. 2.1. Sterbetafeln und daraus ableitbare Größen 1 Als Ausgangspunkt für die folgenden Definitionen soll der Begriff der Sterbetafel dienen. Eine Sterbetafel enthält für x {0, 1,..., ω} empirisch gewonnene Wahrscheinlichkeiten, dass eine x jährige Person das Alter x + 1 nicht erreicht, wobei ω das angenommene Höchstalter bezeichnet. Derartige Wahrscheinlichkeiten werden Sterbewahrscheinlichkeiten genannt und mit dem Symbol q x abgekürzt. Mit Hilfe der Sterbewahrscheinlichkeiten kann ausgehend von 100.000 0-jährigen Personen die Anzahl von x-jährigen Personen l x modelliert werden. Es gilt somit l x := l 0 x 1 i=0 (1 q i) mit l 0 := 100.000. Weiters sei d x := l x l x+1. Über p x := 1 q x sind die einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten definiert. Es gilt auch die Beziehung p x = l x+1 l x. Für mehrjährige Überlebenswahrscheinlichkeiten t p x := t 1 k=0 p x+k gilt analog t p x = l x+t l x. 1 Vgl. Gerber, 1986, S. 16 22 und 114. 3

2. Elementare Versicherungsmathematik In RandInsure wird q 80 beispielsweise durch qx[80] repräsentiert. Für die Größen p 80, 5 p 80, l 80 und d 80 werden die Befehle px[80], tpx[5,80], lx [80] und dx[80] verwendet. Zu beachten ist, dass die Ausführung eines dieser Befehle keinen numerischen Ausdruck liefert. Stattdessen bleiben die Ausdrücke unausgewertet, solange der Benutzer keine entsprechende Funktion aufruft. Dies entspricht nicht dem Standardverhalten eingebauter Mathematica Befehle 2, gibt dem Anwender jedoch ein Höchstmaß an Kontrolle über den Auswertungsprozess. Die Auswertungsfunktionen sind insertdefinitions und insertnumbers. Ihr Einsatz soll anhand eines kleinen Beispiels demonstriert werden. Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein 80 jähriger die nächsten fünf Jahre überlebt. Werden die Auswertungsfunktionen auf tpx[5,80] angewandt also insertdefinitions@tpx[5,80] bzw. insertnumbers@tpx [5,80] kommt als Ergebnis lx[85] lx[80] bzw. 0.670745 zum Vorschein. Das erste Resultat zeigt, wie der ausgewertete Ausdruck in RandInsure definiert ist. Beim zweiten Ergebnis wurden zusätzlich die Informationen aus der Sterbetafel eingesetzt. Die Sterbetafeln sind bei RandInsure in der Datei LifeTable.dat (im Dateibaum in Abbildung B.2 zu sehen) gespeichert. Die Daten stammen von Statistik Austria und beziehen sich auf das Jahr 2011. 3 Der Wert von 0.670745 bezieht sich auf die Sterbetafel für Männer. Für ein entsprechendes Ergebnis für Frauen benötigt insertnumbers den Namen der zu verwendenden Sterbetafel als zweites Argument. 4 insertnumbers[ tpx[5,80],"f"] liefert 0.770018 als Ergebnis. Dass Versicherungestarife in der eu geschlechtsunabhängig 5 gestaltet werden müssen, sei hier nur am Rande bemerkt. 2 Vgl. Wagner, 1996, 185 ff. 3 Vgl. Statistik Austria, 2013. 4 Die Namen der Sterbetafeln in LifeTable.dat sind M für Männer und F für Frauen. 5 Vgl. apa, 2011. 4

2.2. Versicherungen 2. Elementare Versicherungsmathematik 2.2.1. Eine einfache Todesfallversicherung 6 Mit Hilfe der bisher eingeführten Symbole und des Abzinsungsfaktors v lassen sich verschiedene Versicherungen bewerten. Eine Todesfallversicherung zahle eine Geldeinheit am Ende des Jahres, in dem der Versicherte stirbt. Der erwartete Barwert auch Nettoeinmalprämie (nep) genannt einer solchen Versicherung beträgt A x := E[v K+1 ] = v k+1 kp x q x+k. k=0 Dabei bezeichnet die Zufallsvariable K die Anzahl der Jahre, die der Versicherte noch leben wird. In RandInsure wird die nep einer Todesfallversicherung mit Ax dargestellt. Somit kann die nep für einen 94 Jährigen wie folgt berechnet werden. In[1]:= insertnumbers @ Ax [94] Out[1]= 0.000145867(1566.99v 95 +1620.9v 96 +3667.68v 97 ) v 94 Der Wert des Abzinsungsfaktors kann dabei mit der in Mathematica eingebauten Funktion ReplaceAll (/.) eingesetzt werden. Der folgende Befehl ersetzt v im letzten Output durch 1 1,03. In[2]:= % /. v - >(1/1.03) Out[2]= 0.934372 Wie Ax in RandInsure definiert ist, zeigt das folgende Beispiel. In[3]:= insertdefinitions @ Ax [94] Out[3]= v 95 dx[94]+v 96 dx[95]+v 97 dx[96] v 94 lx[94] Anhand dieses Beispiels kann auch gezeigt werden, inwieweit der Benutzer in den Auswertungsprozess von insertdefinitions eingreifen kann. Das 6 Vgl. Gerber, 1986, S. 24. 5

2. Elementare Versicherungsmathematik eben genannte Resultat spiegelt nämlich nicht die direkte Definition von Ax[94] in RandInsure wider. Es ist vielmehr das Ergebnis von mehreren hintereinander ausgeführten Ersetzungen, die so lange ausgeführt werden, bis keine Ersetzungsregeln mehr anwendbar sind. Wird nur ein Substitutionsschritt gewünscht, kann dies durch die Angabe der auszutauschenden Symbole realisiert werden. So gibt beispielsweise insertdefinitions [Ax[94],Ax] den Ausdruck Mx[94] Dx[94] zurück, der die Kommutationszahlen7 D x := v x l x und M x := v x+1 d x + v x+2 d x+1 +... enthält. Sollen neben Ax auch Mx und Dx durch ihre jeweiligen Definitionen ersetzt werden, so würde der entsprechende Befehl insertdefinitions[ax[94],ax,mx,dx] lauten. RandInsure bietet mit usecommnum eine Funktion, die den Substitutionsprozess teilweise umkehrt. Angewandt auf insertdefinitions@ax[94] liefert diese Funktion beispielsweise Mx[94] Dx[94]. 2.2.2. Allgemeine Todesfallversicherungen 8 Die nep kann auch für Versicherungen berechnet werden, deren Auszahlungshöhe vom Auszahlungszeitpunkt abhängt. Zu diesem Zweck kann die Auszahlungsstruktur in Form einer Liste an Ax übergeben werden. Dies deckt auch die Spezialfälle, wie Versicherungen vom Typ standard increasing 9 oder standard decreasing 10, ab. Der erste dieser Spezialfälle wird z.b. für einen 50 Jährigen mittels In[4]:= x = 50; Ax[x, Range [\[ Omega ]+1 -x] umgesetzt. Dabei erspart der Range Befehl die Schreibarbeit für die Liste {1, 2,..., ω + 1 x}. 7 Vgl. Gerber, 1986, 115 f. 8 Vgl. ebd., S. 28 32. 9 Vgl. ebd., S. 30. 10 Vgl. ebd. 6

2. Elementare Versicherungsmathematik 2.2.3. Weitere Versicherungen Weitere von RandInsure unterstützte Versicherungstypen umfassen temporäre Todesfallversicherungen, Erlebensfallversicherungen und gemischte Versicherungen. Diese werden in der vorliegenden Arbeit nicht besprochen. Für diese Arten von Versicherungen sei auf die Literatur 11 bzw. auf das Hilfesystem von RandInsure 12 verwiesen. 2.3. Leibrenten 13 Eine Leibrente besteht aus einer Reihe von Zahlungen, die gemacht werden, solange eine bestimmte Person [... ] lebt. 14 Beträgt die Höhe der Leibrente 1 und wird dieser Betrag jährlich vorschüssig ausbezahlt, so ergibt sich für den erwarteten Barwert ä x := E[ k=0 K vk ] = k=0 vk kp x. In RandInsure wird diese nep durch äx (mit dem Anfangsalter als Argument) symbolisiert. Wie bei den Versicherungen gibt es bei Leibrenten eine zeitlich beschränkte Variante. Sie wird in RandInsure durch äxn repräsentiert. Dieser Befehl erhält als erstes Argument das Anfangsalter, während das zweite Argument die maximale Dauer der Rente angibt. 2.4. Nettoprämien Mit RandInsure können nicht nur Nettoeinmalprämien kalkuliert werden. Auch jährlich zu zahlende Nettoprämien lassen sich berechnen. Sie sollen hier jedoch nicht näher besprochen werden. Weitere Informationen finden sich z.b. bei Gerber 15 bzw. in der RandInsure Hilfe 16. 11 Vgl. Gerber, 1986, S. 25 f. 12 Vgl. Anhang B.1 auf Seite 20. 13 Vgl. Gerber, 1986, S. 35 f. 14 Ebd., S. 35. 15 Vgl. ebd., S. 48 54. 16 Vgl. Anhang B.1 auf Seite 20. 7

3. Versicherungen mehrerer Leben Im vorangegangenen Kapitel war der Zeitpunkt der Versicherungsleistung bzw. die Dauer einer Leibrente eindeutig über den Zeitpunkt des Ablebens des Versicherten definiert. Mit anderen Worten, die Versicherungsleistung wurde dann fällig, nachdem der Zustand eines lebenden Versicherten erlosch bzw. die Leibrente erfolgte, solange dieser Zustand aufrecht war. Im Falle mehrerer Versicherter kann dieser Zustand, über den die Auszahlungsfunktionen von Versicherungen und Leibrenten definiert sind, auf verschiedene Arten festgesetzt werden: Der Zustand verbundener Leben (intakt, solange alle Versicherten leben) Der Zustand des letzten Lebens (intakt, solange mindestens ein Versicherter lebt) Der allgemeine symmetrische Zustand (intakt, solange eine bestimmte Anzahl (exakt oder mindestens) an Versicherten lebt) In den folgenden Abschnitten werden diese drei Definitionsmöglichkeiten besprochen. Dabei wird stets angenommen, dass die zukünftigen Lebensdauern der Versicherten unabhängig sind. 3.1. Der Zustand verbundener Leben 1 Lebensversicherungsmathematische Größen erhielten in Kapitel 2 das Alter des Versicherten als Index. Damit wurde der Zustand angedeutet, von dem das indizierte Symbol abhängt. Im Falle m verbundener Leben, in dem der Zustand als erloschen gilt, sobald der erste Versicherte stirbt, lautet der Index 1 Vgl. Gerber, 1986, S. 80 f. 8

3. Versicherungen mehrerer Leben x 1 : x 2 :... : x m. Dabei bezeichnet x i für i {1, 2,..., m} das Anfangsalter des i ten Versicherten. Aufgrund der angenommen Unabhängigkeit der zukünftigen Lebensdauern ergibt sich beispielsweise für die t jährige Überlebenswahrscheinlichkeit t p x1 :x 2 :...:x m = m k=1 tp xk. Für die nep von Leibrenten und Todesfallversicherungen ergeben sich die Beziehungen ä x1 :x 2 :...:x m = v k kp x1 :x 2 :...:x m bzw. k=1 A x1 :x 2 :...:x m = v k+1 kp x1 :x 2 :...:x m q x1 +k:x 2 +k:...:x m +k. k=1 Die in Kapitel 2 vorgestellten RandInsure Befehle bleiben auch im Fall verbundener Leben gültig. Die einzige Änderung bezieht sich auf das Argument, das das Alter eines Versicherten angibt. Da nun mehrere Personen versichert sind, werden ihre Anfangsalter in Form einer Liste übergeben. Als Beispiel diene die zweijährige Überlebenswahrscheinlichkeit dreier Personen mit den Altern 92, 88 und 91. Mit insertdefinitions kann die oben angegebene Beziehung reproduziert werden. In[1]:= insertdefinitions [ tpx [2,{92,88,91}], tpx ] Out[1]= tpx [2,88,id - >2] tpx [2,91,id - >3] tpx [2,92,id - >1] Jeder Faktor wird mittels id Option eindeutig einem der drei Versicherten zugewiesen. Dies ist dann wichtig, wenn für die Versicherten verschiedene Sterbetafeln zum Einsatz kommen sollen. 3.2. Der Zustand des letzten Lebens 2 Falls der Zustand als intakt erachtet wird, solange mindestens ein Versicherter lebt, wird x 1 : x 2 :... : x m als Index verwendet. Es soll nun gezeigt werden, dass sich der Zustand des letzten Lebens auf jenen verbundener Leben zurückführen lässt. 2 Vgl. Gerber, 1986, S. 82 84. 9

3. Versicherungen mehrerer Leben Für die t jährige Überlebenswahrscheinlichkeit gilt tp x1 :x 2 :...:x m = P(B 1 B 2 B m ), wobei B i für i {1, 2,..., m} das Ereignis bezeichnet, dass der i te Versicherte t Jahre überlebt. Nun ist ist die Anwendbarkeit der Inklusions- Exklusions-Formel ersichtlich. Es gilt somit mit Sk t wird. tp x1 :x 2 :...:x m = S t 1 St 2 + St 3 + ( 1)m 1 S t m := tp xj1 :x j2 :...:x jk, wobei über alle ( m k ) Möglichkeiten summiert Daraus kann nun die Beziehung ä x1 :x 2 :...:x m = Sä1 Sä2 + Sä3 + ( 1)m 1 Säm mit Säk := ä xj1 :x j2 :...:x jk gewonnen werden. Mit S A k := A xj1 :x j2 :...:x jk gilt auch A x1 :x 2 :...:x m = S A 1 SA 2 + SA 3 + ( 1)m 1 S A m. In RandInsure wird der Zustand des letzten Lebens durch 1 als letztes Argument angezeigt. Dieses Argument soll verdeutlichen, dass der Zustand intakt ist, solange mindestens ein Versicherter am Leben ist. Beispielsweise stellt In[2]:= insertdefinitions [ tpx [2,{92,88,91},1], tpx ] Out[2]= Stk [2,{92,88,91},1] - Stk [2,{92,88,91},2] + Stk [2,{92,88,91},3] die 2 jährige Überlebenswahrscheinlichkeit für dieselben Versicherten wie im letzten Abschnitt symbolisch dar dieses Mal wird das Überleben jedoch durch den Zustand des letzten Lebens definiert. Dabei steht Stk für die Größe Sk t, wobei t dem ersten und k dem letzten Argument entspricht. 10

3. Versicherungen mehrerer Leben 3.3. Der allgemeine symmetrische Zustand 3 Der Zustand, der intakt ist, solange mindestens k der m Versicherten am Leben sind, wird durch den Index x 1 : x 2 :... : x m angedeutet. Ist der Zustand [k] nur dann intakt, falls exakt k der m Personen leben, so wird x 1 : x 2 :... : x m verwendet. Dieser zweite Zustand kann für k < m bei Vertragsabschluss niemals intakt sein. Dennoch erweist er sich bei der Berechnung von Überlebenswahrscheinlichkeiten sowie nep als wertvoll. Mit Hilfe der Formel von Schuette Nesbitt lassen sich nämlich mit diesem Zustand Größen berechnen, die an den Zustand mindestens k Personen leben gebunden sind. Satz (Formel von Schuette Nesbitt). Seien B 1, B 2,..., B m beliebige Ereignisse und sei die Zufallsvariable N definiert als die Anzahl dieser Ereignisse, die eintreffen. Dann gilt mit S 0 = 1 und S k = P(B j1 B j2... B jk ) für beliebige Koeffizienten c 0, c 1,..., c m m m c n P(N = n) = k c 0 S k. n=0 k=0 Damit ergeben sich für Überlebenswahrscheinlichkeiten sowie die nep einfacher Leibrenten die Beziehungen und m k=0 m k=0 c k t p c k ä k [k] = x 1 :x 2 :...:x m [k] = x 1 :x 2 :...:x m m j c 0 S t j (3.1) j=0 m j c 0 Säj, (3.2) j=0 wobei S0 t = 1 und Sä0 dem Barwert der ewigen Rente entspricht. Für beliebige Koeffizienten d 1, d 2,..., d m ergeben sich aus (3.1) und (3.2) durch 3 Vgl. Gerber, 1986, S. 84 87. c 0 = 0 und c k = d 1 +... + d k (3.3) 11

3. Versicherungen mehrerer Leben die Gleichungen und m k=1 m k=1 d k t p d k ä k = x 1 :x 2 :...:x m k = x 1 :x 2 :...:x m m j 1 d 1 S t j (3.4) j=1 m j 1 d 1 Säj. (3.5) j=1 Mit Hilfe der Identität 1 = dä x + A x 4 (wobei mit d die Vorauszinsrate bezeichnet wird) lässt sich eine ähnliche Beziehung auch für die nep einer Todesfallversicherung herleiten. Somit gilt m k=1 d k A k = x 1 :x 2 :...:x m m j 1 d 1 Sj A. (3.6) j=1 Mit den Gleichungen (3.4), (3.5) und (3.6) lassen sich nun Überlebenswahrscheinlichkeiten sowie die nep berechnen, die vom Zustand mindestens k Versicherte leben abhängen. Falls etwa solch eine Größe für ein bestimmtes k gesucht ist, kann einfach d k = 1 und d j = 0 für j = k gesetzt werden. Ein Beispiel soll demonstrieren, wie Probleme mit dem allgemeinen symmetrischen Zustand mit RandInsure gelöst werden. Sei dazu die nep einer Leibrente für eine Gruppe von vier Personen zu bestimmen. Diese Personen seien 50, 73, 68 bzw. 45 Jahre alt. Die Leibrente soll derart gestaltet sein, dass die Auszahlungshöhe von der Anzahl der lebenden Personen abhängt. Die Auszahlungshöhe betrage dabei 8, falls alle Personen leben, 4, falls genau drei Personen leben, 2, falls genau zwei Personen leben und 1, falls genau eine Person lebt. Um in RandInsure Größen anzugeben, die sich auf den Zustand exakt k lebender Personen beziehen, erhalten die entsprechenden Symbole {k} als letztes Argument. Also kann nun versucht werden, das Beispiel wie folgt zu lösen. 4 Vgl. Gerber, 1986, S. 36. 12

3. Versicherungen mehrerer Leben In[3]:= insertdefinitions [8 ä x [{50,73,68,45},{4}] + 4 ä x [{50,73,68,45},{3}] + 2 äx [{50,73,68,45},{2}] + äx [{50,73,68,45},{1}], äx ] Out[3]= 8 äx [{50,73,68,45}, {0,0,0,0,1}] + 4 äx [{50,73,68,45}, {0,0,0,1,0}] + 2 äx [{50,73,68,45}, {0,0,1,0,0}] + äx [{50,73,68,45}, {0,1,0,0,0}] Der Output enthält zwar nach einem Substitutionsschritt noch immer das Symbol äx, offenbart jedoch eine weitere Schreibweise des Befehls. So kann äx auch mit einer Liste {c 0,c 1,...,c m } aufgerufen werden, deren Einträge den Koeffizienten in Formel (3.2) entsprechen. Das Ergebnis eines weiteren Ersetzungsschrittes zeigt zunächst noch mehr Summanden als zuvor. In[4]:= insertdefinitions [%, äx] Out[4]= Säk [{50,73,68,45},1] - 2 Säk [{50,73,68,45},2] + 3 Säk [{50,73,68,45},3] + 4 (Säk [{50,73,68,45},3] - 4 Säk [{50,73,68,45},4]) + 4 Säk [{50,73,68,45},4] + 2 (Säk [{50,73,68,45},2] - 3 Säk [{50,73,68,45},3] + 6 Säk [{50,73,68,45},4]) Die meisten dieser Summanden heben sich jedoch gegenseitig auf. Das zeigt z.b. ein Aufruf des Mathematica Befehls Simplify. In[5]:= Simplify @% Out[5]= Säk [{50,73,68,45}, 1] + Säk [{50,73,68,45}, 3] Wäre die an Formel (3.2) angelehnte Schreibweise bereits bei der Beschreibung des Problems zum Einsatz gekommen, dann würde ein Funktionsaufruf ausreichen, um dieses prägnante symbolische Ergebnis zu erhalten. In[6]:= insertdefinitions [äx [{50,73,68,45}, {0,1,2,4,8}], äx] Out[6]= Säk [{50,73,68,45}, 1] + Säk [{50,73,68,45}, 3] Über (3.3) lässt sich das Beispiel in ein Problem überführen, dem der Zustand mindestens k Personen leben zugrunde liegt. Dabei werden die 13

3. Versicherungen mehrerer Leben Koeffizienten d 1 =1, d 2 =1, d 3 =2, d 4 =4 aus Formel (3.5) als Argumente an äx übergeben. In[7]:= insertdefinitions [äx [{50,73,68,45}, 1,1,2,4], äx] Out[7]= Säk [{50,73,68,45}, 1] + Säk [{50,73,68,45}, 3] 14

4. Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit bietet einen kleinen Überblick über die Lebensversicherungsmathematik und beschreibt das Mathematica Package RandInsure. Diese Software wurde im Rahmen dieser Arbeit entwickelt und ermöglicht das symbolische Lösen vieler lebensversicherungsmathematischer Probleme. Die Verwendung dieses Programms ist nicht auf Versicherungen einer Person beschränkt, sondern erlaubt auch Berechnungen mit einer beliebigen Anzahl an Versicherten. Bei der Auswertung von Ausdrücken wird dem Anwender ein Höchstmaß an Kontrolle gegeben. Trotz der gebotenen Möglichkeiten wurde auf Benutzerfreundlichkeit geachtet. So zeichnen sich die Befehle in RandInsure durch ihre syntaktische Konsistenz aus. Darüber hinaus wird eine in Mathematica integrierte Dokumentation zur Verfügung gestellt. Die jetzige Version von RandInsure eignet sich auch gut für Erweiterungen. Die Erweiterungsfähigkeit wird dadurch gewährleistet, dass alle Ersetzungsregeln in einer Liste gespeichert sind. So können neue Substitutionsregeln einfach hinzugefügt werden. Außerdem steht Entwicklern eine eigene Dokumentation zur Verfügung. Um eine vergleichbare Funktionalität wie das gleichnamige Maple Package zu erreichen, könnten Weiterentwicklungen z.b. das Einsatzgebiet von RandInsure auf Kranken und Pensonsversicherungen ausweiten oder eine stochastische Zinsmodellierung in das Programm integrieren. 15

Appendix 16

Anhang A. Installieren von RandInsure Die Installation setzt eine gültige Mathematica-Lizenz voraus. Da RandInsure mit Mathematica 9 geschrieben wurde, wird diese Version zum Einsatz des Packages empfohlen. Die Software liegt im ZIP-Dateiformat vor. Um RandInsure zu installieren, muss lediglich der Inhalt des Archivs (Ordner namens RandInsure) in einen bestimmten Ordner kopiert werden. Der Speicherort wird dabei von Mathematica ausgegeben, wenn der Befehl In[1]:= FileNameJoin [{ $UserBaseDirectory," Applications "}] ausgeführt wird. Wenn der Ordner RandInsure am angegebenen Pfad gespeichert wurde und Mathematica neu gestartet wurde, kann das Package in der Liste der insatllierten Add-Ons gefunden werden. Diese ist über das Documentation Center (Menü Hilfe Documentation Center) zugänglich (siehe Abbildung A.1). In der Liste der installierten Add-Ons kann RandInsure über einen entsprechenden Button (siehe Abbildung A.2) geladen werden und ist ab diesem Zeitpunkt einsatzbereit. Das Laden des Packages ist auch in einem Mathematica-Notebook möglich. Zu diesem Zweck kann der folgende Befehl ausgeführt werden. In[2]:= << RandInsure` 17

Anhang A. Installieren von RandInsure Abbildung A.1.: Mathematicas Documentation Center. 18

Anhang A. Installieren von RandInsure Abbildung A.2.: RandInsure in der Liste der installierten Add-Ons. 19

Anhang B. Dokumentation von RandInsure B.1. Dokumentation für Anwender Die zentrale Hilfeseite von RandInsure erreicht der Benutzer mit der Taste F1 während sich der Cursor im Wort RandInsure oder an dessen Ende befindet. Also führt das Tippen von RandInsure mit einem darauffolgenden Tastendruck auf F1 zu dieser Hilfeseite. Alternativ kann RandInsure im Suchfeld des Documentation Centers eingegeben werden. Eine weitere Möglichkeit stellt der mit documentation beschriftete Button dar, der in Abbildung A.2 ersichtlich ist. Abbildung B.1 zeigt das darauf erscheinende Fenster. Hier sind alle Symbole, die RandInsure dem Anwender zur Verfügung stellt, aufgelistet. Ein Klick auf ein Symbol führt direkt zur entsprechenden Hilfeseite. Im Abschnit Functions stehen die drei öffentlichen Funktionen von RandInsure. Weiter unten befinden sich alle anderen Symbole. Diese sind zunächst verborgen, da sie gruppiert sind. Sichtbar ist nur die Überschrift jeder Gruppe sowie ein Button links davon. Mit diesem Button kann die Gruppe aufgeklappt werden, sodass alle darin enthaltenen Symbole sichtbar werden. In Abbildung B.1 ist dies bei der Gruppe Net single premiums of insurances der Fall. Nun kann die gewünschte Hilfeseite mit einem Klick auf das entsprechende Symbol aufgerufen werden. Eine weitere Möglichkeit, zur Dokumentation eines bestimmten Symbols zu gelangen, ist es, den Namen des Symbols in das Suchfeld des Documentation Centers zu tippen. Das gesuchte Symbol erscheint daraufhin meist oben in der Trefferliste. 20

Anhang B. Dokumentation von RandInsure Abbildung B.1.: Inhaltsverzeichnis der Dokumentation. 21

Anhang B. Dokumentation von RandInsure Die Hilfeseiten der Funktionen beinhalten in erster Linie Beispiele, die die Verwendung und Syntax des entsprechenden Befehls verdeutlichen sollen. Bei überladenen Funktionen, die je nach Art und Anzahl der übergebenen Argumente eine bestimmte Funktionalität bieten, werden mehrere solcher Beispiele vorgestellt. Bei den anderen Symbolen wird zunächst ihr Zweck dargestellt. Dabei wird oft auch die Beziehung zu anderen Symbolen erwähnt. Im Anschluss daran wird anhand von Beispielen verdeutlicht, wie das Symbol im Kontext von Versicherungen eines Lebens und schließlich unter dem Aspekt mehrerer Versicherter verwendet wird. Den Abschluss bilden Erläuterungen über etwaige Beschränkungen des Einsatzes. Die Bedeutungen vieler Symbole sind eng miteinander verbunden. So stehen etwa qx und px über die Gleichung qx = 1 px in Beziehung. Wenn die Syntax bei derart eng miteinander in Beziehung stehenden Symbolen übereinstimmt, ist nur eines dieser Symbole ausführlich dokumentiert. Die Hilfeseite eines ähnlichen Symbols enthält dann lediglich Erläuterungen über den Zweck des Symbols sowie einen Verweis auf die ausführliche Hilfe. Trotz der konsistenten Syntax innerhalb des gesamten Packages, existiert für fast jede Gruppe auf der zentralen Hilfeseite mindestens ein Symbol mit einer ausführlichen Hilfeseite. B.2. Dokumentation für Entwickler RandInsure besteht im entpackten Zustand aus einem Ordner, der wiederum mehrere Ordner und Dateien enthält. Diese Ordnerstruktur ist in Abbildung B.2 ersichtlich. Der von Mathematica eingelesene Sourcecode befindet sich in RandInsure.m. Diese Datei sollte jedoch nicht verändert werden - sie wird bei jedem Speichern von RandInsure.nb automatisch neu generiert. Somit sollen Änderungen am Code in RandInsure.nb durchgeführt werden. Das nb-dateiformat bietet den Vorteil einer übersichtlicheren Präsentation des Codes. So ist der Code z.b. in verschiedene Abschnitte unterteilt, die auf Wunsch verborgen und wieder eingeblendet werden können. Außerdem sind auf diese Weise formatierte Kommentare und Überschriften möglich. 22

Anhang B. Dokumentation von RandInsure Abbildung B.2.: Dateistruktur von RandInsure. Neben den Zusatzinformationen in RandInsure.nb bietet die Datei Developers- Guide.nb Hinweise zum Editieren des Quellcodes. Außerdem befinden sich darin Anleitungen für das Erstellen von Hilfeseiten sowie das Hinzufügen derselben zu Mathematicas Hilfesystem. 23

Literatur apa (März 2011). Versicherungen müssen Unisex-Tarife anbieten. url: http: //derstandard.at/1297819203836/eugh- Versicherungen- muessen- Unisex-Tarife-anbieten (besucht am 20. 10. 2013) (siehe S. 4). Aschenwald, Dieter (1994). Versicherungsmathematik: Eine Darstellung im Rahmen des Software - Pakets MAPLE. Diplomarbeit. TU Graz (siehe S. 1). Aschenwald, Dieter, Thomas Siegl und Robert F. Tichy (1996). MAPinsure A {MAPLE} Package for Life Insurance. In: Journal of Symbolic Computation 22.2, S. 227 234. issn: 0747-7171. url: http : / / www. sciencedirect.com/science/article/pii/s0747717196900504 (siehe S. 1). Gerber, Hans U. (1986). Lebensversicherungsmathematik. Springer-Verlag. isbn: 9783540166696 (siehe S. 3, 5 9, 11, 12). Predota, Martin (1999). Symbolic Computation in der Pensions- und Krankenversicherungsmathematik. Diplomarbeit. TU Graz (siehe S. 1). Statistik Austria (2013). Jährliche Sterbetafeln 1947 bis 2012 für Österreich. url: http://www.statistik.at/web_de/static/jaehrliche_sterbetafeln_ 1947_bis_2012 fuer_oesterreich_022707.xlsx (besucht am 20. 10. 2013) (siehe S. 4). Swiss Re (2013). Swiss Re Sigma-Explorer. url: http://www.sigma-explorer. com/ (besucht am 13. 10. 2013) (siehe S. 1). Wagner, David B. (1996). Power programming with Mathematica: the Kernel. McGraw-Hill. isbn: 9780079122377 (siehe S. 1, 2, 4). 24