Tragfähigkeit von Stäben aus Baustahl Nichtlineares Tragverhalten, Stabilität, Nachweisverfahren

Tragfähigkeit von Stäben aus Baustahl Nichtlineares Tragverhalten, Stabilität, Nachweisverfahren Von der Fakultät für Bauingenieurwesen der Ruhr-Universität Bochum genehmigte Dissertation zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.) von Christian Wolf Bochum, Mai 26

Doktorarbeit eingereicht am: 26. Januar 26 Tag der mündlichen Prüfung: 18. Mai 26 Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann, Ruhr-Universität Bochum Prof. Dr.-Ing. W. Willems, Ruhr-Universität Bochum

Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 2 26 während meiner Tätigkeit als Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Konstruktiven Ingenieurbau der Ruhr-Universität Bochum. Sie wurde von der Fakultät für Bauingenieurwesen als Dissertation angenommen. Mein besonderer Dank gilt Herrn Professor Dr.-Ing. R. Kindmann für die Betreuung und Unterstützung während der Entstehung dieser Arbeit sowie die Übernahme des Referates. Herrn Professor Dr.-Ing. W. Willems danke ich recht herzlich für die Übernahme des Koreferates. Weiterhin gilt mein Dank allen meinen Kollegen, die durch ihre Diskussionsbereitschaft zum Entstehen dieser Arbeit beigetragen haben. Schließlich danke ich meiner Frau und meiner Familie für die außerordentliche Unterstützung während der Erstellung dieser Arbeit. Mai 26 Christian Wolf

Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Problemstellung und Zielsetzung 1 1.2 Stand der Forschung 5 1.3 Bezeichnungen 8 1.4 Annahmen, Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen 11 2 Experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Tragverhalten 15 2.1 Einleitung 15 2.2 Stäbe mit überwiegender Drucknormalkraft 21 2.2.1 Reine Drucknormalkraft 21 2.2.2 Drucknormalkraft und zweiachsige Biegung 31 2.3 I-Träger mit überwiegender Biegung 39 2.3.1 Biegung um die starke Achse 39 2.3.2 Zweiachsige Biegung und Torsion 45 2.4 U-Träger mit Biegung und Torsion 54 2.4.1 Querschnittstragfähigkeit für Biegung um die starke Achse 54 2.4.2 Bauteiltragfähigkeit bei Biegung und Torsion 57 3 Nachweisverfahren 59 3.1 Einleitung 59 3.2 κ-verfahren 61 3.2.1 Vorbemerkungen 61 3.2.2 Biegeknicken 62 3.2.3 Biegedrillknicken 66 3.3 Ersatzimperfektionsverfahren 68 3.3.1 Grundsätzliche Aspekte 68 3.3.2 Form und Größe geometrischer Ersatzimperfektionen 69 3.3.3 Begrenzung von α pl 71 3.3.4 Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit 72 4 Fließzonentheorie 73 4.1 Vorbemerkungen 73 4.2 Physikalische Nichtlinearität 73 4.3 Geometrische Nichtlinearität 79 4.4 Verfahren zur Gleichgewichtsermittlung 86 4.5 Material- und Imperfektionsannahmen 88 4.5.1 Materialgesetz 88 4.5.2 Eigenspannungen 9 4.5.3 Fließgrenzenstreuung 94 4.5.4 Vorverformungen 95

VI Inhaltsverzeichnis 4.6 Hinweise zu FE-Programmen 97 4.6.1 Verwendete Programmsysteme 97 4.6.2 Einfachsymmetrische Querschnitte 98 4.6.3 Berücksichtigung von Schubspannungen 99 4.6.4 Verzweigungsprobleme 1 5 Abminderungsfaktoren κ für Biegeknicken 11 5.1 Vorbemerkungen 11 5.2 Berechnungsparameter und -annahmen 11 5.2.1 Parameter 11 5.2.2 Annahmen 12 5.3 Die Basis Eulerfall 2 14 5.3.1 Profilabhängigkeit 14 5.3.2 Einfluss von Eigenspannungen und Vergleich mit den Europäischen Knickspannungslinien 18 5.3.3 Überprüfung und Absicherung der Berechnungsergebnisse 113 5.4 Andere statische Systeme 114 5.4.1 Eulerfälle 3 und 4 114 5.4.2 Eulerfall 1 115 5.5 Einfluss der Stahlgüte 118 5.5.1 Grenzlasten für S 355 118 5.5.2 Tragfähigkeitsunterschiede für höhere Stahlgüten 12 5.6 κ-werte und Zuordnung von Knickspannungslinien 122 6 Geometrische Ersatzimperfektionen für Biegeknicken 124 6.1 Vorbemerkungen 124 6.2 Analytische Lösung für Eulerfall 2 124 6.2.1 Herleitung der Bestimmungsgleichungen 124 6.2.2 Auswertung 127 6.3 Numerische Auswertung für die anderen Eulerfälle 134 6.3.1 Eulerfälle 3 und 4 134 6.3.2 Eulerfall 1 136 6.4 Stahlgüte S 355 138 6.5 Festlegung der geometrischen Ersatzimperfektionen 14 7 Zusammenfassung 142 Literatur 146

Kurzfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Ermittlung der Tragfähigkeit von Stäben aus Baustahl unter Berücksichtigung des nichtlinearen Tragverhaltens und von Stabilitätseinflüssen. Das Tragverhalten wird anhand theoretischer und experimenteller Untersuchungen eingehend analysiert. Es wird gezeigt, dass das Eigenwertversagen des teilplastizierten Systems in vielen Fällen die maßgebliche Versagensursache darstellt. Darüber hinaus werden Nachweisverfahren und -methoden hinsichtlich ihrer Eignung zur Erfassung des Tragverhaltens und der sicheren Ermittlung der Tragfähigkeit untersucht. Für das Biegeknicken gewalzter I-Profile unter planmäßiger Druckbeanspruchung werden genaue Grenztragfähigkeiten für unterschiedliche Stahlgüten ermittelt und davon ausgehend geometrische Ersatzimperfektionen abgeleitet sowie Abminderungsfaktoren κ festgelegt. Dadurch wird für einen Großteil der Anwendungsfälle eine wirtschaftlichere Bemessung als bisher ermöglicht.

1 Einführung 1.1 Problemstellung und Zielsetzung Die Tragfähigkeit von Stäben aus Baustahl, deren Querschnitte vollständig oder teilweise durch Druckspannungen beansprucht sind, wird wesentlich durch ihr nichtlineares Tragverhalten beeinflusst. Dabei ist sowohl die geometrische als auch die physikalische Nichtlinearität von Bedeutung. Im Bauteil vorhandene Druckspannungen führen in Verbindung mit Systemverformungen oder Vorverformungen zu einem nichtlinearen Last-Verformungs-Verhalten, welches in Bild 1.1 exemplarisch für einen Druckstab dargestellt ist. N [kn] 18 176,4 176,4 18 16 16 14 14 12 12 1 1 8 8 6 6 4 4 2 w [cm] 1 2 M y [kncm] 2 1 2 3 Bild 1.1 Nichtlineares Tragverhalten eines Druckstabes unter Berücksichtigung von geometrischen und strukturellen Imperfektionen Korrespondierend zu der nichtlinearen Zunahme der Verformungen wachsen auch die Beanspruchungen überproportional an, in diesem Fall die Biegemomente M y, s. Bild 1.1 rechts. Die erhebliche Vergrößerung der Biegemomente gegenüber einer linearen Schnittgrößenberechnung (Theorie I. Ordnung) ist für die Ermittlung der Tragfähigkeit des Stabes zu berücksichtigen. Hierzu muss das Gleichgewicht

2 1 Einführung zwischen äußeren (= Belastungen) und inneren Kräften (= Schnittgrößen) mit Hilfe einer geometrisch nichtlinearen Berechnung für die verformte Lage des Stabes bestimmt werden. Man spricht von einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung, wenn kleine Verformungen im Vergleich zu den Systemabmessungen vorausgesetzt werden. Die in Bild 1.1 dargestellte Berechnung wurde mit ABAQUS [24] nach der Theorie großer Verformungen durchgeführt, weil diese im Programm implementiert ist. Für das untersuchte Beispiel sind aber auch noch die Anwendungsgrenzen der Theorie II. Ordnung erfüllt. Neben der geometrischen Nichtlinearität wurde in der Berechnung auch die physikalische Nichtlinearität berücksichtigt, die sich aus dem Werkstoffverhalten von Stahl ergibt, s. Bild 1.2 Bild 1.2 Spannungs-Dehnungs-Beziehung für Baustähle Bei der Berechnung mit ABAQUS handelt sich demnach um eine Berechnung nach der Fließzonentheorie. Durch Einbeziehung des Werkstoffverhaltens in die Ermittlung der Schnittgrößen und Verformungen ergibt sich aus der Berechnung auch die maximale Tragfähigkeit des untersuchten Druckstabes, wie die Last- Verformungs-Kurven in Bild 1.1 zeigen. Die Grenzlast von N u = 176,4 kn, die sich unter Berücksichtigung von Eigenspannungen ergibt, bedeutet gegenüber der vollplastischen Tragfähigkeit des geraden Stabes eine Abminderung um etwa 49 % (κ = N u /N pl =,514). Das Versagen des Stabes ist eine Folge der Ausbreitung von Fließzonen, durch die die Steifigkeit des Systems zunehmend reduziert wird. Dies führt zu einem instabilen Versagen des teilplastizierten Systems, was aber nicht direkt aus der Berechnung hervorgeht, sondern anhand ergänzender Untersuchungen festgestellt werden kann. Bei einer baupraktischen Bemessung ist das geschilderte, nichtlineare Tragverhalten und vor allem die daraus resultierende, verminderte Tragfähigkeit des Stabes zu berücksichtigen. Die Fließzonentheorie stellt dazu ein mögliches und sehr genaues Verfahren dar, was aber für die baupraktische Anwendung nicht geeignet ist. Üblich ist die Verwendung von vereinfachten Verfahren, die auch in den gültigen Regelwerken [14] und [16] zur Bemessung stabilitätsgefährdeter Stäbe angegeben

1.1 Problemstellung und Zielsetzung 3 sind. Dabei dürfen die Stabilitätsfälle Biegeknicken und Biegedrillknicken getrennt nachgewiesen werden. Man unterscheidet die beiden Fälle in Abhängigkeit von den auftretenden Verformungen. Treten lediglich Verformungen v und/oder w auf, so spricht man von Biegeknicken. Kommt es auch zu einer Verdrehung ϑ, so wird das Stabilitätsproblem als Biegedrillknicken bezeichnet, wobei das Drillknicken, mit ausschließlicher Verdrehung ϑ, als Sonderfall enthalten ist. In beiden Fällen kann der Tragsicherheitsnachweis mit einem der folgenden Verfahren geführt werden: κ-verfahren Schnittgrößenberechnung nach Elastizitätstheorie I. Ordnung und Nachweis der Tragfähigkeit mit Abminderungsfaktoren κ Ersatzimperfektionsverfahren Schnittgrößenberechnung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung mit Ansatz geometrischer Ersatzimperfektionen und Nachweis der Querschnittstragfähigkeit Bei beiden Verfahren handelt es sich um vereinfachte Verfahren oder Näherungsverfahren da vereinfachende Annahmen getroffen werden, die mehr oder weniger von der Wirklichkeit abweichen. Die κ-verfahren bieten für den Anwender den Vorteil, dass sie eine Schnittgrößenermittlung nach Theorie I. Ordnung vorsehen und die real auftretenden Effekte indirekt durch Abminderungsfaktoren κ berücksichtigen. Das setzt allerdings voraus, dass diese Faktoren anhand genauerer Berechnungen oder anhand von Versuchen festgelegt werden. Für das Biegeknicken stehen beispielsweise κ-werte in Form der Europäischen Knickspannungslinien zur Verfügung, die in Bild 1.3 dargestellt sind. 1, κ=n N u pl,8,6,4,2,,4,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 λ = K N N pl Ki Bild 1.3 Europäische Knickspannungslinien für Biegeknicken

4 1 Einführung Der Vorteil der einfachen Schnittgrößenermittlung nach Theorie I. Ordnung bedeutet bei den κ-verfahren gleichzeitig auch den Nachteil, das dem Anwender das wirkliche, nichtlineare Tragverhalten des untersuchten Systems in keiner Weise deutlich wird. Beim Ersatzimperfektionsverfahren wird dieser Mangel zumindest teilweise behoben, weil das geometrisch nichtlineare Tragverhalten durch eine Berechnung nach Elastizitätstheorie II. Ordnung direkt erfasst wird. Aufgrund der Vernachlässigung der physikalischen Nichtlinearität bei der Systemberechnung ist es aber erforderlich, geometrische Ersatzimperfektionen anzusetzen, um dadurch die traglastmindernden Einflüsse aus der Ausbreitung von Fließzonen und strukturellen Imperfektionen, wie z. B. Eigenspannungen, abzudecken. Zur Festlegung der geometrischen Ersatzimperfektionen muss also, wie bei den κ-verfahren, die wirkliche Tragfähigkeit bekannt sein, damit die Größe der Vorverformungen entsprechend angepasst werden kann. Für alle Nachweisverfahren gilt die grundlegende Voraussetzung, dass sie eine sichere Ermittlung der Tragfähigkeit gewährleisten müssen. Wünschenswert ist zudem, dass die Tragfähigkeit möglichst wenig von der wirklichen Traglast abweicht, damit eine wirtschaftliche Bemessung sichergestellt ist. Für den in Bild 1.1 gezeigten Druckstab sind in Tabelle 1.1 die Grenzlasten nach den oben erläuterten Verfahren angegeben. Tabelle 1.1 Grenzlasten für den Druckstab in Bild 1.1 Verfahren Grenzlast N u [kn] % Fließzonentheorie großer Verformungen mit w = L/1 und Ansatz von Eigenspannungen 176,4 1 κ-verfahren mit Knickspannungslinie b 1586,4 93, Ersatzimperfektionsverfahren mit w = L/25 und Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach der Plastizitätstheorie 155,9 88,3 Die Zusammenstellung zeigt, dass die vereinfachten Verfahren die Grenzlasten in Bezug zur Berechnung nach der Fließzonentheorie auf der sicheren Seite liegend ermitteln und im Hinblick auf die Wirtschaftlichkeit noch deutliche Reserven vorhanden sind. Vor dem Hintergrund der exemplarisch dargestellten Abweichungen stellt sich generell die Frage, wie sicher und genau die Tragfähigkeiten von druckbeanspruchten Stäben durch die baupraktisch relevanten Näherungsverfahren ermittelt werden können. Das gilt in besonderem Maße für Profile aus S 355, da hierfür keine gesonderten Regelungen vorhanden sind. Zur Klärung dieser Fragestellung ist die Bereitstellung von genauen Grenzlasten erforderlich. Aus der skizzierten Problemstellung zur sicheren und genauen Ermittlung der Tragfähigkeit von Stäben unter Berücksichtigung des nichtlinearen Tragverhaltens leitet sich die Zielsetzung der vorliegenden Arbeit ab. Neben der Untersuchung des

1.2 Stand der Forschung 5 nichtlinearen Tragverhaltens von Stäben steht dabei die Ermittlung von genauen Grenztragfähigkeiten für das Biegeknicken gewalzter I-Profile aus S 235 und S 355 bei planmäßiger Druckbeanspruchung im Vordergrund. Dabei soll der Einfluss unterschiedlicher Parameter, wie z. B. Eigenspannungen oder unterschiedliche statische Systeme, geklärt werden. Anhand der genauen Werte sollen die vereinfachten Nachweisverfahren überprüft und entsprechend angepasst werden, um in Zukunft eine wirtschaftlichere Bemessung zu ermöglichen. Daraus ergeben sich im Detail die folgenden Ziele: Untersuchung des nichtlinearen Tragverhaltens von Stäben mit Identifikation der auftretenden Versagenszustände und -ursachen Bereitstellung von neuen κ-werten für den Nachweis des Biegeknickens von gewalzten I-Profilen unter planmäßiger Druckbeanspruchung um dadurch eine wirtschaftlichere Bemessung zu ermöglichen, insbesondere für S 355 Verbesserung der vereinfachten Nachweisverfahren für Biegeknicken durch eine neue Zuordnung von Knickspannungslinien sowie neue geometrische Ersatzimperfektionen ohne Begrenzung von α pl 1.2 Stand der Forschung Die Problemstellung, die Tragfähigkeit von Stäben unter Berücksichtigung von Stabilitätseinflüssen und des nichtlinearen Tragverhaltens zu ermitteln, ist im Stahlbau aufgrund der Ausführung schlanker Konstruktionen seit jeher von großer Bedeutung und daher Gegenstand zahlreicher Forschungsarbeiten. Im Folgenden wird deshalb nur ein kurzer Überblick über die veröffentlichten Erkenntnisse gegeben, die im Rahmen dieser Arbeit von besonderem Interesse sind. Die genaue Ermittlung der Traglast unter Einbeziehung der geometrischen und physikalischen Nichtlinearität stellt hohe Anforderungen an ein Berechnungsverfahren und ist nur durch die Anwendung numerischer Methoden sinnvoll lösbar. Dies gilt umso mehr, wenn das Tragverhalten bei räumlicher Verformungsmöglichkeit untersucht werden soll, was z. B. beim Biegedrillknicken erforderlich ist. Kindmann leitet in [58] ein entsprechendes Verfahren für ebene Stabwerke mit dünnwandigen Querschnitten und räumlicher Beanspruchung her. Für zweiachsige Biegung mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion ermöglicht es eine geometrisch und physikalisch nichtlineare Berechnung nach der Fließzonentheorie II. Ordnung. Zur Lösung des Problems wird das allgemeine Weggrößenverfahren in einer inkrementellen Formulierung verwendet. Lindner [79], [8], [77] verwendet die Energiemethode, um die Traglasten gabelgelagerter Einfeldträger unter räumlicher Beanspruchung zu ermitteln. Durch numerische Integration der Krümmungen erhält er iterativ die Zustandsgrößen nach Theorie II. Ordnung, wobei das nichtlineare Materialverhalten über die Bestimmung elastischer Restquerschnitte in die Berechnung eingeht. Die Traglasten von Durchlaufträgern werden von Heil [33] und

6 1 Einführung Meister [88] ermittelt. Heil entwickelt hierzu ein Übertragungsmatrizenverfahren mit beliebigem Bezugssystem, während Meister zur Lösung der Differentialgleichungen ein Reduktionsverfahren anwendet. Die heutzutage zur Verfügung stehenden kommerziellen Programmsysteme wie ABAQUS [24] oder ANSYS [25] verwenden die Methode der Finiten Elemente (FEM), die auf dem allgemeinen Weggrößenverfahren basiert. Das Stabilitätsproblem des Biegeknickens wurde erstmalig von Euler [22] untersucht. Für den gelenkig gelagerten Druckstab mit ideal gerader Stabachse und ideal elastischem Materialverhalten erkannte er das Problem der Gleichgewichtsverzweigung und gab die heute noch verwendete Lösung N 2 π E I = (1.1) L Ki 2 zur Ermittlung der idealen Biegeknicklast an. Diese Last stellt unter den oben genannten idealen Bedingungen die Grenzlast des Druckstabes dar. Engesser ergänzte die Verzweigungstheorie von Euler dahingehend, dass er ein bilineares Materialverhalten mit einem abgerundeten Übergang ab der Proportionalitätsgrenze σ P zugrunde legte (s. Bild 4.16). Zur Lösung des Problems führte Engesser statt des E-Moduls einen veränderlichen Tangentenmodul ein und erhielt dadurch im Übergangsbereich die (unelastische) Verzweigungslast des Stabes als Grenzlast. Im unteren Schlankheitsbereich war diese durch die maximale Tragfähigkeit des Querschnitts gegeben (N u = A σ P ). Von Karman [44] behandelte als erster das Stabilitätsproblem des Biegeknickens nicht mehr als Verzweigungs- sondern als Traglastproblem. Dazu betrachtete er den Druckstab mit kleinen, unvermeidbaren Exzentrizitäten des Kraftangriffs und ermittelte dafür die Traglast. Grundlegende Untersuchungen von Chwalla [11], [12] und Jezek [39], [38] führten zur Ermittlung der Traglast in Abhängigkeit von der Querschnittsform, wobei Jezek von ideal elasto-plastischem Materialverhalten ausgeht. Die Arbeiten von Jezek bilden die Grundlage der Regelungen in DIN 4114 [15] zur Ermittlung der Traglastspannung eines planmäßig mittig gedrückten Stabes mit baupraktisch unvermeidbaren Außermittigkeiten. Den dabei verwendeten Knickzahlen (ω-werte) liegen Traglastberechnungen mit einem Doppelwinkel als Querschnitt zugrunde, weil sich damit die kleinsten Traglasten bei sonst gleichen Bedingungen ergaben. Für andere Querschnittsformen liegen die ermittelbaren Grenzlasten somit auf der sicheren Seite. Umfangreiche Forschungsarbeiten in den 6er und 7er Jahren führten schließlich zur Berücksichtigung des Einflusses der Querschnittsform durch die Festlegung von 5 unterschiedlichen Europäischen Knickspannungskurven [2], [3], [21]. Zu deren Herleitung wurde die Tragfähigkeit von Stahlstützen aus Walzprofilen oder geschweißten Profilen zum einen in über 1 Versuchen bestimmt und zum anderen wurden numerische Untersuchungen von Schulz [117] durchgeführt. Dabei stellte Schulz einen erheblichen Einfluss von Eigenspannungen auf die Tragfähigkeit fest und ermittelte für verschiedene Querschnittstypen und Herstellungsprozesse charakteristische Eigenspannungsverteilungen.

1.2 Stand der Forschung 7 Mit Hilfe der Knickspannungskurven kann die Traglast von gelenkig gelagerten Druckstäben ermittelt werden. Durch Verwendung der Systemknicklänge s K anstelle der wirklichen Stablänge L in Gl. (1.1) lässt sich dieses Verfahren für andere statische Systeme nutzen und wird deshalb auch als Ersatzstabverfahren bezeichnet. Von Roik/Kindmann wurde das Verfahren für Stäbe mit Normalkraft und einachsiger Biegung entwickelt [13], [14] und von Roik/Kuhlmann [15] für zweiachsige Biegung erweitert. Eine alternative Lösung für diesen Fall geben Lindner/Gietzelt in [72] und [3] enthält die Regelungen, die im Rahmen der Überarbeitung des Eurocode 3 [16] entstanden sind. Das Ersatzimperfektionsverfahren Schnittgrößenermittlung nach Theorie II. Ordnung mit Ansatz geometrischer Ersatzimperfektionen und Nachweis der Querschnittstragfähigkeit wurde in der Vergangenheit hauptsächlich zur Bemessung von seitlich verschieblichen Rahmensystemen verwendet. Bei Ansatz geometrischer Ersatzimperfektionen in der Ebene werden durch die erläuterte Vorgehensweise die Nachweise für Biegeknicken erbracht. Bei Anwendung der Fließgelenktheorie II. Ordnung (Nachweisverfahren Plastisch-Plastisch (P-P)) ist eine besonders wirtschaftliche Bemessung möglich, wobei aufgrund von Verformungsbeschränkungen in der Regel nur bis zur Entstehung des 1. Fließgelenkes gerechnet wird. Das entspricht dann einer Bemessung nach dem Verfahren Elastisch-Plastisch (E-P). Schwerpunkte der Forschung lagen in dem geschilderten Zusammenhang bei der Grenzlastberechnung nach der Fließgelenktheorie II. Ordnung (s. [58] und darin angegebene Literaturstellen) und bei der Entwicklung von Verfahren zum Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach der Plastizitätstheorie (z. B. [111], [112]). Dabei ist insbesondere das Teilschnittgrößenverfahren (TSV) von Kindmann/Frickel [46], [47], [48] zu nennen ist, weil es als einziges Verfahren für beliebige 3- Blechquerschnitte die Berücksichtigung aller Schnittgrößen ermöglicht. Die Berücksichtigung der Torsionsschnittgrößen M ω, M xp und M xs, die bei der Stabtheorie offener Querschnitte auftreten, ist zum einen für Systeme mit planmäßiger Torsionsbeanspruchung von Bedeutung und zum anderen für den Nachweis des Biegedrillknickens nach dem Ersatzimperfektionsverfahren, weil durch den Ansatz von Vorverformungen aus der Ebene heraus auch dabei Torsionsschnittgrößen entstehen. Erläuterungen zur Anwendung des Ersatzimperfektionsverfahrens bei planmäßiger Torsion oder beim Biegedrillknicken finden sich u. a. in [18], [26] und [56]. Friemann befasst sich in [27] mit geometrischen Ersatzimperfektionen für Fließzonenberechnungen, durch die der Einfluss von Eigenspannungen abgedeckt werden soll.

8 1 Einführung 1.3 Bezeichnungen Nachfolgend werden die wichtigsten in dieser Arbeit verwendeten Formelzeichen und Definitionen angegeben. Weitere Variablen werden bei ihrer erstmaligen Verwendung erläutert. Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte x Stablängsrichtung y, z Hauptachsen in der Querschnittsebene ω normierte Wölbordinate s Profilordinate S Schwerpunkt M Schubmittelpunkt Verschiebungsgrößen u, v, w Verschiebungen in x-, y-, z-richtung ϑ, w, v Verdrehungen um die x-, y-, z-achse ϑ Verdrillung Bild 1.4 Verschiebungsgrößen und Bezugspunkte S und M [46] Querschnittskennwerte und -abmessungen A I y, I z I ω I T W y, W z S y, S z Fläche Hauptträgheitsmomente Wölbwiderstand St. Venantsches Torsionsträgheitsmoment Widerstandsmomente statische Momente

1.3 Bezeichnungen 9 i M, r y, r z, r ω b t g h s t s a g Größen für Theorie II. Ordnung und Stabilität Gurtbreite Gurtdicke Steghöhe Stegdicke Abstand der Gurtmittelpunkte Last- und Schnittgrößen q x, q y, q z F x, F y, F z m x M xl M yl, M zl M ωl N V y, V z M y, M z M x M xp, M xs M ω Streckenlasten Einzellasten Streckentorsionsmoment Lasttorsionsmoment Lastbiegemomente Lastwölbbimoment Längskraft, Normalkraft Querkräfte Biegemomente Torsionsmoment primäres und sekundäres Torsionsmoment Wölbbimoment Bild 1.5 Last- und Schnittgrößen am Stababschnitt dx (Th. I. O.) [46]

1 1 Einführung Werkstoffkennwerte E G ν f y f u ε u Spannungen, Dehnungen σ τ σ v ε Weitere Bezeichnungen L ε T K G K T v p s η Ki η K Elastizitätsmodul Schubmodul Querkontraktion, Poissonsche Zahl Streckgrenze Zugfestigkeit Bruchdehnung Normalspannung in x-richtung Schubspannungen in y-z-ebene Vergleichsspannung nach von Mises Dehnung in Stablängsrichtung Systemlänge Stabkennzahl für Torsion Steifigkeitsmatrix Theorie I. Ordnung geometrische Steifigkeitsmatrix Theorie II. Ordnung tangentiale Gesamtsteifigkeitsmatrix Verformungsgrößenvektor Lastgrößenvektor Schnittgrößenvektor 1. positiver Eigenwert bei Annahme idealisierender Bedingungen (ideal elastisches Werkstoffverhalten und ideal gerade Stabachse), Verzweigungslastfaktor 1. positiver Eigenwert, wenn Plastizierungen und/oder die Verformung der Stabachse berücksichtigt werden Indices el pl u Ki K elastisch plastisch Grenzlast (ultimate) ideelle kritische Last, Verzweigungslast (s. a. η Ki ), z. B. P Ki = η Ki P kritische Last (s. a. η K ), z. B. P K = η K P

1.4 Annahmen, Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen 11 1.4 Annahmen, Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen Für die Untersuchungen und Herleitungen in der vorliegenden Arbeit gelten die folgenden Annahmen und Voraussetzungen: Die Querschnittsabmessungen sind gegenüber der Tragwerkslänge klein, so dass die Grundgleichungen der Biegetorsionstheorie für Stäbe gültig sind. Die Querschnittsform bleibt auch bei Verformung des Stabes erhalten. Es werden dünnwandige Querschnitte untersucht, deren Verwölbung infolge Torsion näherungsweise durch die linearisierte Verwölbung der Profilmittellinie idealisiert wird (Wagner- bzw. erweiterte Bernoulli- Hypothese). Das Werkstoffverhalten wird als ideal-elastoplastisch ohne Verfestigung idealisiert, was einer bilinearen Spannungs-Dehnungs-Beziehung entspricht. Lokale Stabilitätseinflüsse (Beulen) treten nicht auf. Die Querschnitte müssen also entsprechend dem gewählten Nachweisverfahren die grenz (b/t)-werte nach DIN 188 [14] erfüllen oder im Sinne von DIN EN 1993-1-1 [16] den Anforderungen an die entsprechende Querschnittsklasse genügen. Sofern von diesen Annahmen und Voraussetzungen abgewichen wird, finden sich an den entsprechenden Stellen diesbezügliche Hinweise. Kinematik Durch die kinematischen Beziehungen am differentiellen Stabelement werden die äußeren Weggrößen (Verschiebungen) mit den inneren Weggrößen (Verzerrungen) verknüpft. Die Verzerrungen können näherungsweise aus den Ableitungen der Verschiebungsfunktionen u, v und w berechnet werden. Nach [7] lauten die Beziehungen zwischen den Verzerrungen und Verschiebungen für die lineare Stabtheorie u v w ε xx =, ε yy =, ε zz = x y z (1.2) 1 v u ε xy =ε yx = + 2 x y 1 w u ε xz =ε zx = + 2 x z 1 w v ε yz =ε zy = + 2 y z (1.3) (1.4) (1.5)

12 1 Einführung Werkstoffgesetz Durch Werkstoffgesetze werden die inneren Kraftgrößen (Spannungen) mit den inneren Weggrößen (Verzerrungen) verknüpft. Für isotrope, linearelastische Werkstoffe gilt das Hookesche Gesetz. Bei Stäben sind die Normalspannungen σ y und σ z in der Regel vernachlässigbar klein, so dass gilt σ = E ε (1.6) x x Schnittgrößen Durch Integration über den gesamten Querschnitt können Spannungen zu Schnittgrößen zusammengefasst werden, so dass sich die Schnittgrößendefinitionen gemäß Tabelle 1.2 ergeben. Tabelle 1.2 Schnittgrößen als Resultierende der Spannungen Bedingung Schnittgröße Definition F x = : Normalkraft N = σx da V y = : Querkraft V y = τxy da V z = : Querkraft V z = τxz da = : M x Torsionsmoment M τ ( y y ) τ ( z z ) M x x A A A = A = M A [ ] xp xz + M M y = : Biegemoment M y = σx z da M z = : Biegemoment M z = σx y da Wölbbimoment M = σ ω da ω A A x xs M xy M da Verknüpfung von Schnittgrößen und Verschiebungen Bei Vernachlässigung der Schubverzerrungen (Bernoulli-Hypothese und Wagner- Hypothese) und Linearisierung der Verschiebungsbeziehungen für kleine Drehwinkel erhält man unter Verwendung des beliebigen Bezugssystems für die Verschiebungen in Stablängsrichtung die Formulierung u = u y v z w ω ϑ (1.7) B D D Unter Verwendung von Gl. (1.7) und unter Berücksichtigung des Hookeschen Gesetzes nach Gl. (1.6) ergibt sich die Normalspannung zu ( ) σ = E ε = E u = E u y v z w ω ϑ (1.8) x x B D D

1.4 Annahmen, Voraussetzungen und grundlegende Beziehungen 13 Durch Einsetzen dieser Formulierung in die Schnittgrößendefinitionen nach Tabelle 1.2 ergeben sich die folgenden vier Gleichungen: ( ) x B y D z D (1.9) A N = σ da = E A u A v A w A ω ϑ ( ) M = σ y da = E A u + A v + A w + A ω ϑ (1.1) z x y B yy D yz D y A ( ) M = σ z da = E A u A v A w A ω ϑ (1.11) y x z B zy D zz D z A ( ) M = σ ω da = E A u A v A w A ϑ (1.12) ω x ω B ωy D ωz D ωω A Dabei wurden Abkürzungen für die Flächenintegrale eingeführt, wie z. B. A yz = y z da oder Ay A = y da A (1.13) Zur Verbesserung der Übersichtlichkeit kann für die Gln. (1.9) bis (1.12) auch die Matrizenschreibweise verwendet werden: A A E A A y z ω A A A A y yy zy ωy A A A A z yz zz ωz A A A A ω yω zω ωω u B N v D M = w D M ϑ M z y ω (1.14) Durch Lösen dieses Gleichungssystems können die 4 Unbekannten u B, v D, w D und ϑ bestimmt und somit auch die Normalspannung in jedem beliebigen Punkt des Querschnittes berechnet werden. Diese Vorgehensweise wird unter anderem in den Programmen QST-FZ [129] und KSTAB-FZ [128] angewendet. Für die Handrechnung werden in der Regel die Bezugspunkte B=S und D=M gewählt sowie das normierte Hauptachsensystem y-z als Bezugssystem verwendet. Dadurch ergeben sich die folgenden Flächenintegrale zu Null A y = Az = Aω = A yz = A yω = Azω = (1.15) und man erhält 4 entkoppelte Gleichungen, die die bekannten Differentialgleichungen am Querschnitt sind. In Gl. (1.16) sind diese in Matrizenschreibweise dargestellt. A E I z I y I u S vm w ϑ M N M = M ω M ω z y (1.16)

14 1 Einführung Virtuelle Arbeit Ein Tragwerk befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe der virtuellen Arbeiten gleich Null ist. Die Bedingung δ W = δw + δw (1.17) ext int = ist daher die allgemeine Forderung, dass Gleichgewicht vorhanden ist. Eine Formulierung der virtuellen Arbeit für gerade Stäbe ist in Tabelle 1.3 angegeben. Tabelle 1.3 Virtuelle Arbeit δw = δw ext + δwint für gerade Stäbe [51] Lineare Stabtheorie (Theorie I. Ordnung): ( δu q +δv q +δw q +δϑ m ) dx S x M y M z x +δus Fx +δvm Fy +δwm Fz +δvm MzL δwm MyL +δϑ MxL δϑ MωL δv F y δw F z δϑ F ω δϑ F z z +δϑ F y y ( ) ( ) M x F M x F x F y F M z F M ( S S M z M M y M ω T ) δu EA u +δv EI v +δw EI w +δϑ EI ϑ +δϑ GI ϑ dx 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) S ( z z ) ϑ dx v cv M M v cv M M S M ( ) δvm cv vm +δwm cw wm +δϑ cϑ ϑ+δvm S vm δvm cv zcv zm ϑ δϑ c z z v +δϑ c z z ϑ δv S z z ϑ δϑ S zs zm vm +δϑ S M +δu C u +δv C v +δv C v +δw C w δw C w +δϑ C ϑ+δϑ C ϑ δv C z z ϑ δϑ C z z v S u S M v M M v M M w M M w M ϑ ω 2 v ( cv M) +δϑ C z z ϑ ( ) ( ) M v cv M v cv M M Zusätzliche Arbeitsanteile für die Theorie II. Ordnung und Stabilität: N ( δv v + δw w + δv z ϑ + δϑ z v δw y ϑ δϑ y w ) dx M M M M M M ( δv M ϑ+δϑ M v +δw M ϑ+δϑ M w +δϑ M ϑ ) dx M y y M M z z M rr M M M M ) ( ) ( ) ( δϑ q (y y ) ϑ+δϑ q (z z ) ϑ dx δϑ F y y ϑ δϑ F z z ϑ y q M z q M y F M z F M +δv F z ϑ+δϑ F z v δw F y ϑ δϑ F y w M x F x F M M x F x F M 2 2 mit: M = σ ((z z ) + (y y ) ) 2 M rr 2 p A x 2 M i = i + y + z r y 2 M M 2 p i M I + I da = N i 2 M M z r y + M y r z + M y z 1 2 2 = rω = A ω (y + z ) da 1 2 2 1 2 2 = y (y + z ) da 2 ym rz = I z (y + z ) da 2 z I z A I ω y A A ω r M ω M M

2 Experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Tragverhalten 2.1 Einleitung Im Mittelpunkt dieses Kapitels stehen experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Tragverhalten. Dabei werden vor allem die etwa 7 Versuche zugrunde gelegt, die im Rahmen eines gemeinsamen Forschungsvorhabens an den Stahlbaulehrstühlen in Aachen (AC), Berlin (BE) und Bochum (BO) durchgeführt worden sind. Der Forschungsbericht [52] der FOSTA enthält detaillierte Angaben zu den Versuchsaufbauten und der Versuchdurchführung sowie den vorhergehenden und begleitenden Messungen. Erste Erkenntnisse zum Tragverhalten finden sich [55]. Zur Entwicklung und Absicherung von Bemessungsverfahren ist es nach wie vor erforderlich, experimentelle Untersuchungen durchzuführen. Durch entsprechende Versuche soll dabei die Traglast von einzelnen Stäben oder Systemen ermittelt werden. Als Traglast wird die Last bezeichnet, die sich im Versuch als maximal gemessene Kraft der Belastungszylinder ergibt. Weil die Versuche im Allgemeinen weggeregelt gefahren werden, kommt es bei Erreichen dieser Last (= Versagenszustand) nicht zu einem abrupten Zusammenbruch des Systems, sondern lediglich zu einem Abfall der Last bei weiterer Zunahme der Verformungen. Die Traglast muss daher als Extremwert (= horizontale Tangente) der Last-Verformungs-Kurven identifiziert werden. In Bild 2.1 wird als Beispiel die Last-Verformungs-Kurve des Versuchs BO-HEB 2-III/4 [52] gezeigt. Dabei ist die Kraft N des Zylinders über dem Kolbenweg s aufgetragen. Das Maximum der Kurve liegt bei 749,4 kn, was somit die Traglast des untersuchten Systems darstellt. N [kn] 8 749,4 7 6 5 4 3 2 1 Kolbenweg s [cm] 2 4 6 Bild 2.1 System und Last-Verformungskurve des Versuchs BO-HEB 2-III/4 [52]

16 2 Experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Tragverhalten N [kn] 8 7 6 5 749,4 8 7 6 5 4 3 Versuch 4 3 2 2 1 w [cm] M y [kncm] 1 2 4 6 8 2 4 6 8 N [kn] 8 734,4 8 7 7 6 6 5 ABAQUS 5 4 4 3 3 2 2 1 v [cm] M z [kncm] 1-1 -2-3 5 1 15 N [kn] 8 7 6 5 4 3 2 KSTAB-FZ 732,1 8 7 6 5 4 3 2 1 ϑ [rad] M ω [kncm 2 ] 1 -,5 -,1 -,15-5 5 1 15 Bild 2.2 Verformungen und Schnittgrößen in Feldmitte für den Versuch BO-HEB 2-III/4

2.1 Einleitung 17 Neben der Ermittlung der Traglast dienen Versuche auch dazu, mittels geeigneter Messungen Erkenntnisse zum Last-Verformungs-Verhalten des untersuchten Systems zu gewinnen. Trotzdem sind zusätzliche theoretische Untersuchungen unumgänglich, wenn das Tragverhalten und die Versagensursache des Systems vollständig geklärt werden sollen. Dabei ist vor allem die Nachrechnung der Versuche nach der Fließzonentheorie zu nennen. Werden Eingangsgrößen, wie z. B. die Streckgrenze, vorher genau ermittelt, so können Versuche mit einer hohen Genauigkeit nachgerechnet und nachvollzogen werden. Bild 2.2 zeigt die gemessenen und die berechneten Verformungen, die sich für den Versuch BO-HEB 2-III/4 in Feldmitte ergeben. Die Nachrechnungen mit ABAQUS [24] und KSTAB-FZ [128] führen beide zu sehr guten Übereinstimmungen mit dem Versuch. Die Abweichungen liegen für die Traglast unter 2,5 %, wenn der Querschnitt, wie in Bild 2.3 dargestellt, als 3- Blechquerschnitt mit Überlappung des Steges bis zu den Gurtmittellinien (Idealisierung A) abgebildet wird. Werden die Ausrundungsradien gemäß Idealisierung B durch entsprechende Ersatzflächen berücksichtigt, sinken die Abweichungen unter 1 %. Weil die Unterschiede sehr gering sind und das grundsätzliche Verhalten identisch ist, bestehen keine Bedenken, für die weiteren Berechnungen und Auswertungen in der Regel Idealisierung A zu verwenden. Die Torsionssteifigkeit G I T kann bei Bedarf durch einen erhöhten Schubmodul an die Werte des Walzprofils angeglichen werden. Bild 2.3 Querschnittsidealisierung von gewalzten I-Profilen Durch die rechnerische Simulation können zusätzliche Informationen über den Versuch gewonnen werden, wie z. B. die Entwicklung der Schnittgrößen im Verlauf der Laststeigerung, die in Bild 2.2 rechts dargestellt ist. Erst mit diesen Zusatzinformationen ist es möglich, das Tragverhalten des untersuchten Systems weiter zu klären. Dabei stellt sich insbesondere die Frage nach der Versagensursache, also warum die Last im Versuch nicht weiter gesteigert werden konnte. Die sicherlich naheliegendste Versagensursache ist die, dass ein System oder ein Teilsystem kinematisch wird, weil an entsprechend vielen Stellen die plastische Querschnittstragfähigkeit zu 1 % ausgenutzt ist. Im Rahmen der Fließgelenktheorie spricht man in diesem Fall davon, dass sich eine Fließgelenkkette ausbildet. Bei statisch bestimmten Systemen ist dieser Zustand bereits erreicht, wenn es an mindestens einer Stelle des Systems zum Querschnittsversagen kommt. Es soll an dieser Stelle betont werden, dass das Querschnittsversagen die rechnerisch einzig mögliche Versagensursache ist, wenn bei der Ermittlung der Zustandsgrößen unbeschränkt elastisches Materialverhalten zu Grunde gelegt wird. Nur wenn das

18 2 Experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Tragverhalten nichtlineare Materialverhalten von Stahl bereits bei der Systemberechnung berücksichtigt wird, kann festgestellt werden, ob es vor Erreichen des Querschnittsversagens zum Eigenwertversagen des Systems kommt. Diese Art des Versagens ist von der Bemessung statisch unbestimmter Rahmentragwerke nach der Fließgelenktheorie II. Ordnung bekannt. Bild 2.4 zeigt hierzu ein Beispiel aus [58]. Durch sukzessive Einführung der Fließgelenke an den Stellen 1 bis 3 des dargestellten Rahmensystems nimmt der Eigenwert des Systems und damit die kritische Last P Ki stufenweise ab. Im Fall a) liegt die kritische Last bis zur Einführung des dritten und letzten Gelenkes über der aufgebrachten Last. Im Fall b) fällt der Eigenwert des Systems nach Einführung des zweiten Gelenkes unter 1, so dass die aufgebrachte Last über der kritischen Last liegt und kein stabiles Gleichgewicht mehr vorhanden ist. Dieses Versagen des Systems vor Erreichen der plastischen Grenzlast soll als Eigenwertversagen bezeichnet werden. a) b) Bild 2.4 System und Last-Verformungs-Kurven eines Rahmentragwerks [58] Dass der Eigenwert im betrachteten Beispiel stufenweise abnimmt, hängt mit der vereinfachenden Annahme der Fließgelenktheorie zusammen, die auftretenden Plastizierungen konzentriert in Fließgelenken anzunehmen und das restliche System weiter als elastisch zu betrachten. In Wirklichkeit entstehen aber Fließzonen im System, so dass sich der Eigenwert kontinuierlich verändert und nicht sprunghaft. Würde man für das System in Bild 2.4 und Fall b) eine Grenzlastberechnung nach der Fließzonentheorie II. Ordnung durchführen, so ergäbe sich eine kontinuierliche Last-Verformungs-Kurve mit einem Maximalwert, der zwischen den Werten des ersten und zweiten Fließgelenkes liegen würde. Durch die Ausbreitung der Fließzonen wäre der kleinste positive Eigenwert des teilplastizierten Systems bereits vor Erreichen der Last, die zum 2. Fließgelenk gehört, auf 1 gesunken.

2.1 Einleitung 19 Das Eigenwertversagen des teilplastizierten Systems ist ein Versagenszustand, der nicht nur bei statisch unbestimmten Systemen maßgebend werden kann, wie die folgende Untersuchung verdeutlichen soll. Für den Versuch BO-HEB 2-III/4 (s. Bild 2.1) wird überprüft, ob im Traglastzustand an mindestens einer Stelle des Systems die plastische Querschnittstragfähigkeit zu 1 % ausgenutzt ist, wobei es in diesem Fall genügt, die höchst beanspruchte Stelle in Feldmitte zu betrachten. Mit den Schnittgrößen, die sich aus der Fließzonenberechnung mit ABAQUS ergeben (Bild 2.2 rechts), wird die Querschnittsausnutzung im Verlauf der Laststeigerung bestimmt, wozu sowohl das Teilschnittgrößenverfahren (TSV) [46], [48], [47] als auch das Programm QST-FZ [129] verwendet werden (s. a. Abschnitt 3.3.4). Die Ergebnisse sind in Bild 2.5 dargestellt. Weil die Ergebnisse beider Verfahren quasi identisch sind (Unterschied < 1 ), ist nur eine Kurve zu erkennen. N [kn] 8 734,4 7 6 5 4 3 2 TSV und QST-FZ 8,8% 1,% 471,4 1 S d / R d [%] 2 4 6 8 1 12 Bild 2.5 Plastische Ausnutzung des Querschnitts in Feldmitte, ermittelt mit den Schnittgrößen aus ABAQUS (s. Bild 2.2 rechts) Eine wichtige Erkenntnis der Auswertung ist, dass die Querschnittstragfähigkeit bei Erreichen der Maximallast von 734,4 kn lediglich zu 8,8 % ausgenutzt ist. Erst wenn die Last wieder auf 471,4 kn abgefallen ist (= 64 % der Maximallast), wird eine 1 %-ige Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit infolge der auftretenden Schnittgrößen erreicht. Damit ist klar, dass das Querschnittsversagen nicht die maßgebende Versagensursache sein kann, sondern stattdessen das Eigenwertversagen des teilplastizierten Systems eine weitere Laststeigerung verhindert. In den folgenden Abschnitten dieses Kapitels soll das nichtlineare Tragverhalten stabilitätsgefährdeter Stäbe anhand von experimentellen und theoretischen Untersuchungen eingehend analysiert werden. Einen Schwerpunkt bildet dabei die weitere Klärung und Erläuterung der Versagensursachen sowie der Methoden, die zur Feststellung der jeweiligen Ursache verwendet werden können. Tabelle 2.1 gibt einen Überblick über die untersuchten Systeme, Querschnitte und Belastungen.

2 2 Experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Tragverhalten Tabelle 2.1 Zusammenstellung der untersuchten Systeme (Versuche aus [52]) Abschnitt Thema und System 2.2 Stäbe mit überwiegender Drucknormalkraft 2.2.1 und Reine Normalkraft Normalkraft und zweiachsige Biegung 2.2.2 Versuchsreihen BO-HEB 2-III 2.3 I-Träger mit überwiegender Biegung 2.3.1 Biegung um die starke Achse BE-IPE 2 u. BE-HEB 2 2.3.2 Zweiachsige Biegung und Torsion BE-IPE 2 u. BE-HEB 2 2.4 U-Träger mit Biegung und Torsion 2.4.1 Querschnittstragfähigkeit für Biegung um die starke Achse AC-UPE 2 2.4.2 Bauteiltragfähigkeit bei Biegung und Torsion BE-UPE 2

2.2 Stäbe mit überwiegender Drucknormalkraft 21 2.2 Stäbe mit überwiegender Drucknormalkraft 2.2.1 Reine Drucknormalkraft Bei Stäben, die planmäßig durch Drucknormalkräfte beansprucht sind, ist das Stabilitätsproblem des Biegeknickens hinlänglich bekannt und bereits häufig untersucht worden. Trotzdem mangelt es an einer klaren und präzisen Darstellung der Effekte und Phänomene, die das Tragverhalten druckbeanspruchter Stäbe kennzeichnen und ausmachen. Aus diesem Grund wird hier das Tragverhalten des Eulerstabes untersucht, der in Bild 2.6 dargestellt ist. Querschnitt ~ HEA 2 f y =24 kn/cm 2 A = 51,7 cm 2 I y = 3555,9 cm 4 I z = 1333,3 cm 4 N pl = 124,8 kn M pl,y = 994 kncm M pl,z = 48 kncm Bild 2.6 Eulerstab Grundlegende Voraussetzung zur Ermittlung einer wirklichkeitsnahen Grenzlast für dieses System ist die Annahme eines imperfekten, vorverformten Stabes, weil infolgedessen Biegemomente entstehen, die das Tragverhalten entscheidend beeinflussen. Bei Ansatz einer Sinushalbwelle als Vorkrümmung des Stabes gilt für das Biegmoment in Feldmitte ein nichtlinearer Zusammenhang mit der Normalkraft, der in Gl. (2.1) angegeben ist. II 1 I M = N f M N = α 1 N Ki (2.1) Daraus erkennt man, dass das Biegemoment nach Theorie II. Ordnung unbegrenzt anwächst, wenn N N Ki geht. Eine Bemessung nach dem Verfahren Elastisch- Plastisch (E-P) wird daher immer zu einer Grenzlast führen, die unterhalb der idealen Verzweigungslast liegt, insofern eine entsprechende Vorkrümmung berücksichtigt wird. Das soll durch die folgende Untersuchung verdeutlicht werden. Für den in Bild 2.6 dargestellten Eulerstab wird das Biegeknicken um die schwache Achse untersucht. Unter Berücksichtigung unterschiedlich großer Vorkrümmungen v werden die Grenzlasten nach dem Verfahren E-P ermittelt. Die Berechnungsergebnisse sind in Tabelle 2.2 zusammengestellt. Selbst eine minimale Vorkrümmung von L/1 führt aufgrund des erläuterten Zusammenhangs bei N/N Ki =,999 zu einer 1 %-igen Ausnutzung des Querschnitts in Feldmitte.

22 2 Experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Tragverhalten Tabelle 2.2 Grenzlasten nach dem Verfahren E-P für unterschiedliche v -Werte v N u N N pl II M z M M pl N-M- Interaktion N N Ki,z L / cm kn - kncm - - - 1,67 619,8,5 421,875 1,,999 1,6674 566,8,457 4374,911 1,,9135 25 2,6696 457,2,368 4638,966 1,,7369 In Bild 2.7 ist die rechnerische Last-Verformungs-Kurve sowie die Entwicklung des Biegemomentes in Feldmitte für v = L/25 dargestellt. Zusätzlich sind auch die Kurven entsprechender Fließzonenberechnungen mit KSTAB-FZ und ABAQUS eingezeichnet. Dabei wird mit der gleichen Vorkrümmung gerechnet, um den traglastmindernden Einfluss der entstehenden Fließzonen zeigen zu können. Für eine Bemessung wären v = L/1 und Eigenspannungen anzusetzen (s. Abschnitt 4.5). Gut zu erkennen ist bei allen Kurven der nichtlineare Zusammenhang zwischen der aufgebrachten Normalkraft und den resultierenden Verformungen und Biegemomenten. Die Nichtlinearität nimmt bei den Fließzonenberechnungen noch zu, sobald die elastische Grenzlast überschritten wird (N el = 357 kn). Durch die Ausbreitung der entstehenden Fließzonen wird das System zunehmend weicher und die Verformungen und Biegemomente nehmen stärker zu. N [kn] 5 45 457,2 E- P 5 45 4 35 357, 387,8 1. Fließen FZT (ABAQUS) 4 35 3 3 25 2 388,1 FZT (KSTAB-FZ) 25 2 15 15 1 1 5 v [cm] 5 1-2 M z [kncm] -4 5-6 Bild 2.7 Zum Einfluss der Fließzonen auf das Tragverhalten und die Tragfähigkeit (alle Berechnungen mit v = L/25!) Das stärkere Anwachsen der Biegemomente ist aber nicht der Grund dafür, dass die Grenzlast nach der Fließzonentheorie über 15 % geringer ist als die nach dem Verfahren E-P. Im Grenzzustand ist M z sogar noch deutlich geringer als beim Verfahren E-P, s. Bild 2.7 rechts. Setzt man die Schnittgrößen N und M z in die Nachweisbedingungen des Teilschnittgrößenverfahrens ein und ermittelt iterativ den

2.2 Stäbe mit überwiegender Drucknormalkraft 23 möglichen Steigerungsfaktor, so ergibt sich als Kehrwert die Querschnittsausnutzung. Sie liegt im Grenzzustand lediglich bei 72 %, s. Bild 2.8 rechts. N [kn] 45 4 35 3 m z n,313,673 QST-FZ und TSV 388,1 45 4 35 3 25 25 2 72% 2 15 15 1 1 5 s i = S i / S pl,i m i,2,4,6,8 1 S d / R d [%] 5 2 4 6 8 1 Bild 2.8 Bezogene Schnittgrößen und resultierende Querschnittsausnutzung im Verlauf der Berechnung (KSTAB-FZ) Wie bereits in Abschnitt 2.1 angedeutet, kann durch diese Auswertung festgestellt werden, dass das Querschnittsversagen nicht die maßgebende Versagensursache ist. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass dann das Eigenwertversagen des teilplastizierten Systems zum Versagen geführt haben muss. Mit einer weiteren Untersuchung soll die Richtigkeit dieses Umkehrschlusses belegt werden. Bild 2.9 zeigt den mit KSTAB-FZ ermittelten Plastizierungszustand im Querschnitt in Feldmitte sowie die Ausbreitung der Fließzonen über die Stablänge für den Grenzzustand der Tragfähigkeit. - 24, Obergurt 19,13-8,55 Steg - 24, Untergurt - 8,55 Bild 2.9 19,13 L / 4 L / 4 L / 4 L / 4 Plastizierungen im Querschnitt Feldmitte und Ausbreitung der Fließzonen im System bei Erreichen der Grenzlast (KSTAB-FZ) für v = L/25

24 2 Experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Tragverhalten Um den Einfluss der Fließzonen auf die kritische Last des Systems zu ermitteln, wird das Programm KSTAB-FZ so modifiziert, dass nach jedem Lastinkrement der kleinste positive Eigenwert des folgenden Gleichungssystems bestimmt werden kann. (K + η K G) v = (2.2) Dabei gehen in die elastische Steifigkeitsmatrix K nur noch die wirksamen Steifigkeiten ein (s. Abschnitt 4.2) und in die geometrische Steifigkeitsmatrix G die aufsummierten Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung. Die auf diese Weise ermittelte kritische Last N K = η K N ist in Bild 2.1 über der Belastung N aufgetragen. Bis zum Erreichen der elastischen Grenzlast entspricht die kritische Last der ideellen Verzweigungslast des Systems. Danach sinkt die kritische Last infolge der abnehmenden Steifigkeiten immer weiter ab und begrenzt letzten Endes die Laststeigerung, weil die äußere Last gleich der kritischen Last des Systems ist (N u = N K ). Dadurch ist das Erreichen eines stabilen Gleichgewichtszustandes bei einer größeren Last nicht mehr möglich und die Berechnung wird abgebrochen. N K 7 6 N K = N Ki = 62 kn 5 Bild 2.1 4 N u = N K = 388 kn 3 Beginn des Fließens 2 2 25 3 35 4 45 5 N Zur Begrenzung der Laststeigerung durch die kritische Last des teilplastizierten Systems Aus den beschriebenen Untersuchungen lassen sich 2 Schlüsse zum Tragverhalten druckbeanspruchter Stäbe ziehen: 1. Durch eine imperfekte, vorverformte Stabachse entstehen neben der planmäßigen Normalkraft zusätzliche Biegemomente im System, die die Tragfähigkeit gegenüber der vollplastischen Grenznormalkraft N pl des Querschnitts deutlich reduzieren, s. Tabelle 2.2. 2. Bei der Fließzonenberechnung ist die Versagensursache nicht die volle Ausnutzung der plastischen Querschnittstragfähigkeit durch die Schnittgrößen N und M, sondern das Erreichen der kritischen Last des teilplastizierten Systems, s. Bild 2.8 und Bild 2.1. Dies führt zu einer wesentlichen Reduktion der Grenzlast gegenüber dem Verfahren E-P. Für eine Bemessung sind daher bei letzterem geometrische Ersatzimperfektionen anzusetzen (s. Abschnitt 3.3).

2.2 Stäbe mit überwiegender Drucknormalkraft 25 Nachdem das grundsätzliche Tragverhalten analysiert und die wichtigsten Tragphänomene ermittelt werden konnten, sollen die Untersuchungen durch Berechnungen mit Variation der folgenden Parameter ergänzt werden: - Biegeknicken starke und schwache Achse - mittlere und große Schlankheiten - Ansatz verschiedener Eigenspannungsverteilungen Dazu wird weiter das System in Bild 2.6 betrachtet, wobei die Länge entsprechend der jeweiligen Schlankheit und der Knickachse angepasst wird. Als Vorverformung werden parabelförmige Vorkrümmungen mit einem Stich von L/1 angesetzt. Daraus resultierende Unterschiede im Vergleich zu Berechnungen mit einer Sinushalbwelle sind vernachlässigbar. Die Eigenspannungsverteilungen und -ordinaten richten sich nach Tabelle 4.3, wobei sowohl die linearen als auch die parabolischen Verteilungen untersucht werden. In Tabelle 2.3 sind die Ergebnisse der Grenzlastberechnungen zusammengestellt. Tabelle 2.3 Grenzlasten nach FZ-Theorie für unterschiedliche Schlankheiten, Ausweichrichtungen und Eigenspannungsverteilungen, ermittelt jeweils mit f = L/1 Eigenspann. N u,y [kn] starke Achse % N u N pl S d / R d TSV [%] N u,z [kn] schwache Achse % N u N pl S d / R d TSV [%] N u,z N u,y mittlere Schlankheit ( λ K =,866 Npl NKi =, 75) keine 17,2 1,81 97,3 96,8 1,77 87,2,954 parabol. 933, 92,6,75 97,8 86,9 84,,65 78,2,865 linear 89,5 88,4,72 96, 755,5 78,6,61 72,3,848 große Schlankheit ( λ K = 1,414 Npl NKi = 2) keine 546,1 1,44 91,6 517,3 1,42 65,3,947 parabol. 513,4 94,,41 84,6 455,1 88,,37 51,4,886 linear 51,2 91,8,4 81,8 44,7 85,2,36 48,3,879 Aus dem Verhältnis der Grenzlasten für die starke und schwache Achse erkennt man, dass sich für die schwache Achse zum Teil deutlich geringere Grenzlasten bei gleicher bezogener Schlankheit ergeben (s. letzte Spalte in Tabelle 2.3). Ohne Ansatz von Eigenspannungen resultiert der Unterschied vornehmlich aus der größeren Querschnittstragfähigkeit der starken Achse (W y /W z = 2,9, M pl,y /M pl,z = 2,1), weil im elastischen Bereich die Biegemomente nach Theorie II. Ordnung für die starke und schwache Achse gleich groß sind (s. M II nach Gl. (2.1) mit N Ki,y = N Ki,z ). Durch den Ansatz von Eigenspannungen vergrößert sich der Unterschied zwischen N u,y und N u,z

26 2 Experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Tragverhalten noch einmal erheblich. Betrachtet man zur Erläuterung die Ausbreitung der Fließzonen, die sich mit und ohne Eigenspannungen für die beiden Achsen ergeben (s. Bild 2.11 und Bild 2.12), so wird dieser Unterschied verständlich. Für die schwache Achse entstehen mit und ohne Eigenspannungen sehr ähnliche Ausbreitungen der Fließzonen im System, was bedeutet, dass sich die Eigenspannungen besonders ungünstig auswirken, weil die Lastspannungen aus N und M z durch die Eigenspannungen wesentlich vergrößert werden. a) ohne Eigenspannungen - 24, - 9, - 19,1 Obergurt Steg - 9, - 24, Untergurt - 19,1 L / 4 L / 4 L / 4 L / 4 b) mit parabolisch verteilten Eigenspannungen - 11,63-24, Obergurt - 11, Steg -24, - 11,63-24, Untergurt - 11, L / 4 L / 4 L / 4 L / 4 Bild 2.11 Spannungszustand in Feldmitte und Ausbreitung der Fließzonen im System bei Erreichen der Grenzlast für Biegeknicken schwache Achse und λ = K,866