Kapitel 1.5 Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 1/30
Syntaktischer Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit Wir stellen nun dem semantischen Folgerungsbegriff einen syntaktischen Folgerungsbegriff, die Beweisbarkeit, gegenüber. Hierzu führen wir zunächst den Begriff eines Kalküls oder Axiomensystems sowie die zugehörigen Beweis- und Beweisbarkeitsbegriffe ein. Wir geben dann einen Kalkül der Aussagenlogik an (den Shoenfield-Kalkül S) und zeigen, dass Beweisbarkeit in diesem Kalkül mit dem semantischen Folgerungsbegriff zusammenfällt. Der Beweis besteht aus zwei Teilen: Korrektheitssatz: nur semantische Folgerungen lassen sich beweisen Vollständigkeitssatz: alle semantischen Folgerungen lassen sich beweisen (Hier beweisen wir zunächst nur den Korrektheitssatz und behandeln den aufwändigeren Beweis des Vollständigkeitssatzes im nächsten Kapitel.) Da der Beweisbegriff rein syntaktisch beschrieben ist, liefert dies die gewünschte syntaktische Charakterisierung des Folgerungsbegriffs. Da Folgerungen aus der leeren Menge mit der Allgemeingültigkeit (al. Wahrheit) zusammenfallen, erhalten wir mit der Beweisbarkeit insbesondere eine rein syntaktische Charakterisierung der aussagenlogischen Wahrheit. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 2/30
Übersicht 1.5.1 Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit 1.5.2 Kalküle der Aussagenlogik: Korrektheit und Vollständigkeit 1.5.3 Der Shoenfield-Kalkül der Aussagenlogik und dessen Korrektheit Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 3/30
1.5.1 Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 4/30
Kalküle (Axiomensysteme) Ein (formaler) Kalkül K wird durch folgende Komponenten bestimmt: 1 die Sprache von K, diedurchdas(i.a.abzählbare) Alphabet von K festgelegt ist 2 die Menge der Formeln von K, wobei diese eine Teilmenge der endlichen Folgen (d.h. der Wörter) über dem Alphabet von K ist 3 die Menge der Axiome von K, wobei diese eine Teilmenge der Menge der Formeln von K ist 4 die Menge der Regeln von K, wobei jede Regel R die Gestalt (R) ϕ 1,...,ϕ n ϕ hat, wobei n 1undϕ 1,...,ϕ n,ϕ Formeln von K sind. ϕ 1,...,ϕ n sind die Prämissen, ϕ die Konklusion von R. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 5/30
Anforderungen an einen Kalkül: Sprache (Alphabet) I.a. wird man bei einem unendlichen Alphabet verlangen, dass man die Zeichen des Alphabets effektiv generieren kann. Im Falle der Aussagenlogik würde man z.b. das Alphabet {A 0, A 1,...,,,,,, (, )} wählen. Wie wir bereits gesehen haben, kann man die Aussagenvariablen A n effektiv generieren, indem man diese als Wörter über dem endlichen Alphabet {A, 1} (nämlich durch A1 n )darstellt. Man könnte statt der Junktoren,,,, auch irgendeinen anderen Satz von Junktoren wählen, so lange die zugehörigen Booleschen Funktionen eine Basis bilden. Konkret werden wir hier einen Kalkül mit Alphabet {A 0, A 1,...,,, (, )} (also mit dem Junktorensatz {, }) betrachten. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 6/30
Anforderungen an einen Kalkül: Formeln Hier erwartet man, dass Formeln durch deren Form bestimmt sind, also syntaktisch charakterisiert sind. Dabei verlangt man i.a., dass insbesondere entscheidbar ist, ob ein Wort über dem Alphabet des Kalküls eine Formel ist oder nicht. Interpretiert werden Formeln als Aussagen (Sätze) oder Aussageformen (Satzformen). Im Falle der Aussagenlogik würde man bei Zugrundelegung des Alphabets {A 0, A 1,...,,,,,, (, )} die al. Formeln als Formelmenge wählen. Legt man einen anderen Junktorensatz zugrunde, sind die Formeln entsprechend definiert. Bei Alphabet {A 0, A 1,...,,, (, )} werden z.b. die Formeln induktiv definiert durch: Jede Aussagenvariable ist eine Formel. Ist ϕ eine Formel, so auch ϕ. Sind ϕ und ψ Formeln, so auch (ϕ ψ). Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 7/30
Anforderungen an einen Kalkül: Axiome Auch hier erwartet man, dass die Axiome durch deren Form bestimmt sind, also syntaktisch charakterisiert sind, und dass es entscheidbar ist, ob eine Formel ein Axiom ist. Ist die Axiomenmenge unendlich, so liegen in der Regel endlich viele Axiomenschemata vor, wobei jedes Axiomenschema eine (unendliche) Menge von Formeln mit einer gemeinsamen syntaktischen Eigenschaft ist. Interpretiert werden Axiome als wahre Aussagen (Sätze) oder wahre Aussageformen (Satzformen). Beispiele für mögliche Axiomenschemata im Falle der Aussagenlogik sind (ϕ ϕ) oder (ϕ ϕ) wobei ϕ eine beliebige Formel (bzgl. der zugehörigen Sprache) ist. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 8/30
Anforderungen an einen Kalkül: Regeln Auch hier erwartet man wie bei Formeln und Axiomen, dass die Regeln durch deren Form bestimmt sind, also syntaktisch charakterisiert sind, und dass es entscheidbar ist, ob eine Formelfolge eine Regel ist. Ist die Regelmenge unendlich, so geht man entsprechend wie bei den Axiomen davon aus, dass endlich viele Regelschemata vorliegen, wobei jedes Regelschema eine (unendliche) Menge von Formelfolgen (fester endlicher Länge) mit einer gemeinsamen syntaktischen Eigenschaft ist. Interpretiert werden Regeln als zulässige Folgerungen. Beispiele für mögliche Regelschemata im Falle der Aussagenlogik sind ϕ ϕ oder ϕ, ϕ ψ ψ (modus ponens) Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 9/30
Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit DEFINITION. Sei K ein Kalkül. Ein (K-) Beweis der (K-) Formel ϕ (oder eine (K-) Herleitung von ϕ) ist eine endliche Folge ψ 1,...,ψ n von (K-) Formeln, sodass folgendes gilt: ϕ ψ n Jede Formel ψ m (1 m n) ist ein (K-) Axiom oder die Konklusion einer (K-) Regel R, derenprämisse(n) in {ψ 1,...,ψ m 1 } liegen. n ist die Länge des Beweises ψ 1,...,ψ n. DEFINITION. Eine (K-) Formel ϕ is (K-) beweisbar, wenneseinen(k-) Beweis von ϕ gibt. NB: Jedes (K-) Axiom ϕ ist ein (K-) Beweis (der Länge 1) und damit (K-) beweisbar. Als nächstes relativieren wir den Beweis(barkeits)begriff um so die syntaktische Entsprechung zum semantischen Folgerungsbegriff zu erhalten: Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 10 / 30
Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit aus T DEFINITION. Sei K ein Kalkül und T eine Menge von (K-) Formeln. Ein(K-) Beweis der (K-) Formel ϕ aus T ist eine endliche Folge ψ 1,...,ψ n von (K-) Formeln, sodass folgendes gilt: ϕ ψ n Jede Formel ψ m (1 m n) ist ein (K-) Axiom oder eine Formel aus der Formelmenge T oder die Konklusion einer (K-) Regel R, derenprämisse(n) in {ψ 1,...,ψ m 1 } liegen. n ist die Länge des Beweises ψ 1,...,ψ n. DEFINITION. Eine (K-) Formel ϕ is (K-) beweisbar aus T,wenneseinen(K-) Beweis von ϕ aus T gibt. NB: Jede Formel ϕ T ist ein (K-) Beweis (der Länge 1) aus T und damit (K-) beweisbar aus T. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 11 / 30
Kalküle: Widerspruchsfreiheit Im Folgenden sei K ein Kalkül, T eine Menge von K-Formeln und ϕ eine K-Formel. SCHREIBWEISE: T K ϕ : ϕ is K-beweisbar aus T K ϕ : K ϕ ϕ is K-beweisbar Ist K aus dem Kontext bekannt, so schreiben wir statt K. Entsprechend sagen wir Formel, Beweis, etc. stattk-formel, K-Beweis etc. Weiter sagen wir statt (K-)Beweis aus T auch kurz T -Beweis und entsprechend T -beweisbar statt (K-)beweisbar aus T. DEFINITION. Der Kalkül K is widerspruchsfrei, fallseseinek-formel ψ mit ψ gibt. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 12 / 30
Einfache Eigenschaften der Beweisbarkeit Im Folgenden sei K ein Kalkül, T, T Mengen von K-Formeln und ϕ eine K-Formel. Dann gelten: MONOTONIELEMMA FÜR. FallsT T und T ϕ, so gilt auch T ϕ. BEWEIS. Aus T T folgt, dass jeder T -Beweis auch ein T -Beweis ist. TRANSITIVITÄTSLEMMA FÜR. GelteT ϕ und gelte weiter T ψ für alle ψ T. Dann gilt T ϕ. BEWEISIDEE: s. nächste Folie. NB: Man beachte, dass die entsprechenden Aussagen auch für den semantischen Folgerungsbegriff gelten! Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 13 / 30
Beweis des Transitivitätslemmas und das Prinzip der Herleitungsinduktion TRANSITIVITÄTSLEMMA FÜR. GelteT ϕ und gelte weiter T ψ für alle ψ T. Dann gilt T ϕ. BEWEISIDEE: Nach Annahme gibt es einen Beweis ϕ = ϕ 1,...,ϕ n 1,ϕ von ϕ aus T und für jedes ψ T einen Beweis ψ = ψ 1,...,ψ m 1,ψ von ψ aus T. Ersetzt man nun jede Formel ψ T,dieindemBeweisϕ von ϕ aus T vorkommt, durch deren Beweis ψ aus T,soerhält man einen Beweis von ϕ aus T. Formal zeigt man die Behauptung - wie generell Aussagen über (T -)Beweise ϕ bzw. die (T -)Beweisbarkeit von Formeln ϕ -durch Herleitungsinduktion, d.h. durch Induktion nach der Länge n des (T -)Beweises ϕ = ϕ 1,...,ϕ n 1,ϕ n bzw. durch Induktion nach der Länge des kürzesten Beweises von ϕ. Hierbei beachte man, dass jedes nichtleere Anfangsstück ϕ 1,...,ϕ m (1 m n) des (T -)Beweises ϕ = ϕ 1,...,ϕ n 1,ϕ n wiederum ein (T -)Beweis (und zwar von der Formel ϕ m )ist. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 14 / 30
Der Endlichkeitssatz für die T -Beweisbarkeit ENDLICHKEITSSATZ FÜR. FallsT ϕ gilt, so gibt es eine endliche Teilmenge T 0 von T mit T 0 ϕ. BEWEIS. Es gelte T ϕ. Dann gibt es einen Beweis von ϕ aus T. Setze T 0 = T {ϕ 1,...,ϕ n }. ϕ = ϕ 1,...,ϕ n = ϕ 1,...,ϕ n 1,ϕ Offensichtlich ist T 0 eine endliche Teilmenge von T. Weiter ist ϕ ein Beweis von ϕ aus T 0. Also T 0 ϕ. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 15 / 30
1.5.2 Kalküle der Aussagenlogik: Korrektheit und Vollständigkeit Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 16 / 30
Kalküle der Aussagenlogik Im Folgenden nennen wir einen Kalkül K einen Kalkül der Aussagenlogik, wenn die Sprache von K auf dem Alphabet A = {A 0, A 1,...,j 1,...,j k, (, )} basiert, wobei die Junktoren j 1,...,j k eine Basis der Booleschen Funktionen definieren, und die Formeln wie üblich gebildet sind. Also - im Falle, dass nur 1-stellige und 2-stellige Junktoren in A vorkommen - die Formeln induktiv definiert sind durch: (F1) Jede Aussagenvariable A i (i 0) ist eine Formel. (F2) Ist ein 1-st. Junktor und ϕ eine Formel, so ist auch ϕ eine Formel. (F3) Ist ein 2-st. Junktor und ϕ 1 und ϕ 2 Formeln, so ist auch (ϕ 1 ϕ 2 ) eine Formel. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 17 / 30
Korrektheit und Vollständigkeit: Definitionen DEFINITION. Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik. K ist korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit, falls jede K-beweisbare Formel ϕ allgemeingültig ist, also K ϕ ϕ für alle K-Formeln ϕ gilt. K ist korrekt bzgl. Folgerungen, falls jede aus einer Formelmenge T K-beweisbare Formel ϕ aus T (semantisch) folgt, also T K ϕ T ϕ für alle K-Formelmengen T und alle K-Formeln ϕ gilt. K ist vollständig bzgl. der Allgemeingültigkeit, falls jede allgemeingültige Formel ϕ K-beweisbar ist, also ϕ K ϕ für alle K-Formeln ϕ gilt. K ist vollständig bzgl. Folgerungen, falls jede aus einer Formelmenge T folgende Formel ϕ aus T K-beweisbar ist, also T ϕ T K ϕ für alle K-Formelmengen T und alle K-Formeln ϕ gilt. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 18 / 30
Korrektheit und Vollständigkeit: Bemerkungen Wegen K ϕ K ϕ und ϕ ϕ impliziert Korrektheit (Vollständigkeit) bzgl. Folgerungen auch Korrektheit (Vollständigkeit) bzgl. der Allgemeingültigkeit. Die Umkehrung gilt i.a. nicht. Im Folgenden sagen wir kurz Korrektheit (Vollständigkeit) anstelle von Korrektheit (Vollständigkeit) bzgl. Folgerungen und wir nennen einen Kalkül K der Aussagenlogik adäquat, wenn K korrekt und vollständig ist, also stets gilt. T K ϕ T ϕ Der syntaktische Beweisbarkeitsbegriff in einem adäquaten Kalkül der Aussagenlogik fällt also gerade mit dem semantischen Folgerungsbegriff zusammen (und die beweisbaren Formeln sind gerade die allgemeingültigen Formeln). Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 19 / 30
Nachweis der Korrektheit eines Kalküls Um zu zeigen, dass ein Kalkül K der Aussagenlogik korrekt (bzgl. Folgerungen) ist, genügt es zu zeigen, dass die Axiome allgemeingültig sind und die Regeln korrekt bzgl. Folgerungen sind. Hierbei heißt eine Regel (R) ϕ 1,...,ϕ n ϕ korrekt (bzgl. Folgerungen), wennϕ 1,...,ϕ n ϕ gilt. Um dies zu zeigen, beweisen wir das folgende Korrektheitslemma. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 20 / 30
Korrektheitslemma KORREKTHEITSLEMMA. Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik, dessen Axiome allgemeingültig sind und dessen Regeln korrekt bzgl. Folgerungen sind. Dann ist K korrekt bzgl. Folgerungen. BEWEIS: Es gelte T ϕ. Zu zeigen: T ϕ. Sei ϕ 0,...,ϕ n ein Beweis von ϕ aus T. Wegen ϕ ϕ n genügt es T ϕ i für i n durch Ind(i) (= Herleitungsinduktion) zu zeigen. Zum Nachweis von T ϕ i unterscheide die folgenden drei möglichen Fälle: ϕi Axiom: Dann ist (nach Annahme) ϕ i allgemeingültig weshalb insbesondere T ϕ i gilt. ϕ i T : Dann gilt trivialerweise T ϕ i. ϕi ist mit Hilfe einer Regel R aus ϕ j0,...,ϕ jk mit j 0,...,j k < i erschlossen. Dann gilt nach I.V. T ϕ jm für m k. Da R nach Annahme korrekt bzgl. Folgerungen ist - also ϕ j0,...,ϕ jk ϕ i gilt - folgt T ϕ i mit der Transitivität von. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 21 / 30
Korrektheitslemma für die Allgemeingültigkeit Entsprechend kann man zeigen, dass ein Kalkül K der AL korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit ist, falls die Axiome allgemeingültig sind und die Regeln korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit sind. Hierbei heißt eine Regel (R) ϕ 1,...,ϕ n ϕ korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit, wenn aus der Allgemeingültigkeit von ϕ 1 ϕ n die Allgemeingültigkeit von ϕ folgt. KORREKTHEITSLEMMA FÜR DIE ALLGEMEINGÜLTIGKEIT. Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik, dessen Axiome allgemeingültig sind und dessen Regeln korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit sind. Dann ist K korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit, d.h. jede beweisbare Formel ist allgemeingültig. Wir verzichten auf den einfachen Beweis, da wir im Folgenden nur an der stärkeren Korrektheit bzgl. Folgerungen interessiert sind. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 22 / 30
Korrektheit von Regeln: Korrektheit bzgl. vs. Korrektheit bzgl. ag Wie sich schon implizit aus den vorhergehenden Korrektheitslemmata ergibt, gilt: LEMMA. Sei R korrekt bzgl. Folgerungen. Dann ist R auch korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit. BEWEIS: R korrekt bzgl. Folgerungen ϕ 1,...,ϕ n ϕ (nach Definition der Korrektheit bzgl. ) B [B(ϕ 1 )= = B(ϕ n )=1 B(ϕ) =1] (nach Definition von ) B [B(ϕ 1 ϕ n )=1 B(ϕ) =1] (nach Definition der Bewertungen) B [B(ϕ 1 ϕ n )=1] B [B(ϕ) =1] (logischer Schluss) ag[ϕ 1 ϕ n ] ag[ϕ] (nach Definition von ag) R korrekt bzgl. Allgemeingültigkeit (nach Definition der Korrektheit bzgl. ag) Die Umkehrung gilt i.a. nicht. Wir betrachten im Folgenden zwei Beispiele zur Korrektheit von Regeln. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 23 / 30
Beispiele zur Korrektheit von Regeln: Einsetzungsregel BEISPIEL 1. Wie wir bereits in Kapitel 1.2.2 gezeigt haben (s. Lemma 8 dort), ist die Einsetzungsregel (Ein) korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit. ϕ ϕ[ψ/x ] Die Einsetzungsregel ist aber nicht korrekt bzgl. Folgerungen. Hierzu kann man folgendes Gegenbeispiel betrachten: ϕ : X ψ : X Also: ϕ[ψ/x ] X Wegen X X gilt also ϕ ϕ[ψ/x ]. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 24 / 30
Beispiele zur Korrektheit von Regeln: Ersetzungsregel BEISPIEL 2. Wie wir bereits in Kapitel 1.2.2 gezeigt haben (s. Lemma 9 dort), ist die Ersetzungsregel (Ers) χ χ(ϕ/ψ) falls ϕ äq ψ korrekt bzgl. Folgerungen (also insbesondere korrekt bzgl. Allgemeingültigkeit). (Dies folgt aus der Formulierung von Lemma 9 unter Verwendung von Lemma 4 in Kapitel 1.2.2, wobei letzteres gerade besagt, dass eine Formel ψ 1 genau dann zu einer Formel ψ 2 äquivalent ist, wenn die Äquivalenzformel ψ 1 ψ 2 allgemeingültig ist.) Im Folgenden werden wir einen Kalkül der Aussagenlogik angeben und von diesem zeigen, dass er adäquat ist. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 25 / 30
1.5.3 Der Shoenfield-Kalkül der Aussagenlogik und dessen Korrektheit Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 26 / 30
Shoenfields Kalkül S der Aussagenlogik: Sprache und Formeln Der Shoenfield-Kalkül S basiert auf der Basis {, }. Die Sprache von S ist also durch das Alphabet {A 0, A 1,...,,, (, )} gegeben. Wie bereits oben ausgeführt führt dies zu folgender induktiver Definition der (S-)Formeln: Jede Aussagenvariable ist eine Formel. Ist ϕ eine Formel, so auch ϕ. Sind ϕ1 und ϕ 2 Formeln, so auch (ϕ ϕ 2 ). Aussagenlogische Formeln, die nicht von diesem Typ sind, fassen wir als Abkürzungen von S-Formeln auf, wobei wir folgende Identitäten verwenden: (i) (ϕ ψ) : ( ϕ ψ) (ii) (ϕ ψ) : ( ϕ ψ) (iii) (ϕ ψ) : ((ϕ ψ) (ψ ϕ)) wobei hier und noch wie in (i) und (ii) zu ersetzen sind. Zur Erhöhung der Lesbarkeit verwenden wir wie bei den al. Formeln die früher eingeführten Regeln zur Klammerersparnis. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 27 / 30
Shoenfields Kalkül S der Aussagenlogik: Axiome und Regeln Der Schoenfield-Kalkül besitzt ein Axiomenschema und vier Regelschemata: AXIOME ϕ ϕ ( ϕ ϕ) tertium non datur (Ax) REGELN ψ ϕ ψ Expansion (E) ϕ (ψ δ) (ϕ ψ) δ Assoziativität (A) ϕ ϕ ϕ Kürzung (Kü) ϕ ψ, ϕ δ ψ δ Schnitt (S) Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 28 / 30
Korrektheit des Shoenfield-Kalküls S KORREKTHEITSSATZ. Der Schoenfield-Kalkül S ist korrekt (bzgl. Folgerungen): T S ϕ T ϕ Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 29 / 30
Beweis des Korrektheitssatzes Nach dem Korrektheitslemma genügt es zu zeigen, dass die Axiome von S allgemeingültig und die Regeln korrekt bzgl. Folgerungen sind. Dies lässt sich aber leicht nachweisen (und wurde zum großen Teil bereits in Kapitel 1.2.2 gezeigt). Wir zeigen hier nur die Korrektheit der Schnittregel: Wegen der Ersetzungsregel genügt es A B, A C B C zu zeigen, wozu es wiederum genügt zu zeigen, dass für jede Belegung B : {A, B, C} {0, 1} B(A B) =1undB( A C) =1 B(B C) =1 gilt. Gelte also B(A B) =B( A C) = 1. Dann gilt: B(A) =0 B(B) = 1 (wegen B(A B) = 1) B(B C) =1 B(A) =1 B( A) =0 B(C) = 1 (wegen B( A C) = 1) B(B C) =1 Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1.5: Kalküle 30 / 30