Mathematik Matur-Aufgaben 2006 Stefan Dahinden 26. Juni 2007 Rotationskörper Lassen Sie die Kurve mit der Gleichung y = 9 x für 0 x 9 um die x- Achse rotieren und berechnen Sie das exakte Volumen des entstehenden Körpers. Diesem Körper soll ein möglichst grosser Kreiszylinder einbeschrieben werden, der die x-achse als Achse hat. Wie viel Prozent des zuerst berechneten Körpervolumens macht dieses maximale Zylindervolumen aus?
2 Trigonometrie Gegeben ist das Rechteckt ABCD mit der Breite BC= 2cm. Das Dreieck DCE ist gleichseitig. Der Halbkreis berührt die Seite DC des Rechteckts. Berechnen Sie die Fläche des Kreissektors IMK. E A M I K B D C 2
3 Wahrscheinlichkeit Ruth und Susi werfen einen Ball in einen Korb. Beide Spielerinnen haben eine Treffer-Wahrscheinlichkeit von 0.5. Die Regeln eines Spiels lauten: Ruth wirft zuerst. Trifft eine Spielerin, so darf sie noch einmal werfen. andernfalls kommt die andere Spielern an die Reihe. Siegerin ist, wer zuerst zwei Treffer nacheinander erzielt. Das Spiel dauert so lange, bis eine Siegerin ermittelt ist, höchstens aber vier Würfe.. P (Ruth gewinnt) =? 2. Ruth und Susi spielen zehn Spiele. P (Ruth gewinnt genau 5 Mal) =? 3. Wie viele Spiele sind nötig, damit Susi mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99.9% mindestens ein Spiel gewinnt? 3
4 Integral (Flächenberechnung) Die Fläche zwischen der Kurve mit der Gleichung y = 3x 2 + 2x und der x-achse wird durch eine Parallele zur Symmetrieachse der Kurve in zwei Teilflächen zerlegt, einer linken mit dem Flächeninhalt A links, und einer rechten mit dem Inhalt A rechts. Wo schneidet diese Parallele die x-achse, wenn A links : A rechts = 7 : 25 ist? 4
5 Analytische Geometrie im Raum (Pyramide) Das Quadrat ABCD ist Grundfläche einer geraden Pyramide mit dem Volumen V = 324. A = (3/2/) B = ( 3/ / 5) C = (3/y c /z c ). Bestimme die ganzzahligen Koordinaten von C. 2. Bestimme die Koordinaten von D. 3. Bestimme die Koordinaten der Spitze S der Pyramide. 5
6 Analysis (Ue, ganz-rationale Funktion) Gegeben ist der untenstehende punktsymmetrische Graph der Funktion g. (An den Stellen x = 3 und x = 3 besitzt der Graph horizontale Tangenten.) G 3 3 g 3 3 E A B D F C g 3 3 G x x x. Sie finden oben den Graphen der Funktion g. Skizzieren Sie, im unteren leeren Koordinatensystem, den Verlauf der ersten Ableitungsfunktion g im betrachteten Bereich qualitativ richtig. Tragen sie die den Punkten A,B,... entsprechenden Punkte ein. Bezeichnen Sie diese wieder mit A,B,.... 2. Skizzieren Sie, im oberen leeren Koordinatensystem, den Verlauf der Stammfunktion G von g im betrachteten Bereich qualitativ richtig für den Fall, dass G(0) = 0. Tragen sie die entsprechenden Punkte A,B,... ein. 3. Aus den markierten Punkten A,B,... des vorgegebenen Graphen g lassen sich bestimme Aussagen für die Funktion G machen. Welche? 4. Bestimmen sie den kleinsten Grad der Polynomfunktion g, deren Graph der Zeichnung entspricht. geben Sie die Gleichung an, aus denen man die Koeffizienten der Polynomfunktion berechnen kann. Die Koeffizienten selber müssen Sie nicht berechnen. 6
7 Folgen und Reihen (GF/GR, Kurzaufgaben) Die untenstehend gezeichnete Spirale besteht aus lauter Halbkreisen; ihre Durchmesser bilden die unendliche geometrische Folge 6, 4,... P 2 P 4 P 3 P x. Berechnen Sie die Koordinaten des Windungspunktes W. 2. Wie lang ist die Spirale? 3. Für welche reellen Zahlen konvergiert die Reihe (x ) + (x ) +...? 7
8 Analysis (Integralrechnung, graph. Darstellung) Gegeben ist die Funktion x y = f(x) = 4x 3 50x D = R.. Berechnen Sie b f(x)dx mit a < b. a 2. Zeichnen Sie in einem a-b-koordinatensystem die Menge M = {P (a/b) b a f(x)dx = 0} 3. Über welchen Intervallen [a, b] der Länge ist das Integral über y = f(x) gleich Null? 8
9 Wahrscheinlichkeit 2 Aus einem Topf, in dem sich nur weisse und schwarze Kugeln befinden, zieht man mit einem Griff zwei Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen beträgt 8 5 ; die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine schwarze zu ziehen, 3 5. Wie viele weisse und schwarze Kugeln befanden sich im Topf? 9
0 Minimum-Aufgabe Ein rechteckiges Schwimmbecken ABCD hat die Breite AB= 20m und die Länge BC= 40m. Abel steht an der Ecke A und möchte möglichst schnell seinen Bruder Kain retten, der beim Punkt Z ins Wasser gefallen ist. Z liegt auf der kürzeren Gegenseite, 5m von der Ecke C entfernt. Abel schwimmt mit der Geschwindigkeit m s und rennt auf dem Bassinrand mit 4 m s. Welchen Weg muss Abel einschlagen, wenn die Ränder AD und DC nicht begehbar sind? D Z 5 C 40 A 20 B 0
Analysis, Funktionsbestimmung Gegeben ist die Funktion y = ax2 + bx + c x n Bestimme die Werte der Parameter a, b, c und n so, dass die Kurve die horizontale Asymptote y = und das Extremum E = (3/ 3 ) hat.
2 "Bürgerliches Rechnen". Man gewährte bei einem Kauf 25% Rabatt, was CHF 00.- ausmachte. Trotzdem gewann der Verkäufer 20%. Wieviel hat dieser selbst bezahlt? 2. Man gewährte CHF 80.- = 0% Rabatt. Wieviel Prozent wurden dennoch gewonnen, wenn die Selbstkosten CHF 600.- gewesen waren? 3. Auf CHF 5400.- gab es 5% Rabatt. Berechne den Verlust von 0%, den der Verkäufer erlitt, in CHF. 2
Repetition Potenzrechnung ax b. Bennenen Sie die einzelnen Teile des Terms: a=basis x=exponent b=potenz 2. Notieren sie die Potenzgesetze: a x a y = a x+y () a x : a x = a x x = a 0 = (2) (a x ) y = a xy (3) a z = a z (4) a x b x = (ab) x (5) 3. Schreiben Sie als Potenz mit nur einer Basis: 2 2 2 = (2 2 )(2 4 )(2 8 ) = 2 2 + 4 + 7 8 = 2 8 3 = 3 2 2 2 = 3 2 2 = (2 2 ) 3 = 2 6 4. Lösen Sie die folgenden Gleichungen ohne TI: (a) x 0. = 00 (b) 0.5 2x+2 = 2 (c) 4 2 x + 32 = 4 x (d) 3 x + 729 3 x = 90 3