Musterlösungen zu den Aufgaben aus Statistische Methoden in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften von Prof. Dr. Hans Peter Litz Oldenbourg-Verlag München,.Auflage 1998 Teil II. Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen und statistische Induktion (S. 19-5) bearbeitet von Hauke Hunger, Dubravko Dolic, Martin Wehmeyer, Alexandra Lux u.a. Stand 10.01.00
Aufgabe 1: A B C Legende: A: ein Haus ist aus Ziegeln gebaut B: es ist älter als 0 Jahre C: es wird mit Öl geheizt b1) Ein Haus ist älter als 0 Jahre und wird mit Öl beheizt A B B C b) Ein Haus ist nicht aus Ziegeln gebaut C A B A C b) Ein Haus wird mit Öl beheizt oder ist älter als 0 Jahre A B C B C b4) Ein Haus ist aus Ziegeln gebaut und wird nicht mit Öl beheizt A B A C A - C C
b5) Ein neues, elektrisch beheiztes Holzferienhaus A B A B C A B C (Satz von Morgan) C Aufgabe : Von 5 Wählern wollen blau wählen 1,, gelb wählen 4, 5.1 Es wird eine Person gezogen unabhängige Ereignisse a) Wahrscheinlichkeit, den Gelbwähler mit der Nummer 4 auszuwählen günstige _ E 1 p ( gelb4) 0, mögliche _ E 5 b) Wahrscheinlichkeit, (irgend)einen Blauwähler auszuwählen günstige _ E p ( blau) 0,6 mögliche _ E 5 c) Wahrscheinlichkeit, einen Blauwähler oder einen Gelbwähler auszuwählen p( blau gelb) p( blau) + p( gelb) + 5 5 1 (sicheres Ereignis). Ziehen von Wählern nacheinander, wobei der Erste vor der Ziehung des Zweiten zurückgelegt wird. ( mit Wiederholung ) d) Ereignisraum
G5 G4 B B B1 5 mögliche Ereignisse B1 B B G4 G5 e) Wahrscheinlichkeit, in beliebiger reihenfolge einen Gelbwähler und einen Blauwähler zu ziehen ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) p G B p G p B p B p G 1 p( G B) + 5 5 5 5 5 0, 48 G5 G4 B B B1 BBlau im1. und Gelb im. Zug Gelb im 1.und Blau im. Zug B1 B B G4 G5 günstige _ E mögliche _ E 1 5 Lösung durch Auszählen: P 0, 48 f) Wahrscheinlichkeit, erst einen Gelb- und dann einen Blauwähler zu ziehen (Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse) 5 5 6 5 ( G) P( ) 0, 4 P G günstige _ E mögliche _ E Lösung durch Auszählen: P 0, 4 6 5
G5 G4 B B B1 Gelb im 1. Zug Blau im. Zug B1 B B G4 G5 g) Wahrscheinlichkeit, 5 als Summe der Nummern der beiden Wähler zu erhalten günstige _ E mögliche _ E g1)lösung durch Auszählen: P ( x 5) 0, 16 g) Lösung über Formel: anzuwenden ist der Additionssatz für sich gegenseitig aus schließende Ereignisse in Verbindung mit dem Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse: P( x 5) P( 1 4) P( ) P( ) P( 4 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + 5 5 5 5 5 5 5 5 4 0, 16 5. Es werden nacheinander, ohne Zurücklegen, zwei Personen gezogen ohne Wiederholung. abhängige Ereignisse, h) Ereignisraum 4 5
G5 G4 B B B1 B1 B B G4 G5 0 mögliche Ereignisse i) Wahrscheinlichkeit, einen Gelbwähler und einen Blauwähler zu ziehen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p G B p G p B G p B p G B 1 p( G B) + 5 4 5 4 0 0, 6 G5 G4 B B B1 B1 B B G4 G5 günstige _ E mögliche _ E 1 0 Lösung durch Auszählen: P 0, 6 j) Wahrscheinlichkeit, erst einen Gelb- und dann einen Blauwähler zu ziehen 6 0 abhängige Ereignisse p ( G) p( B G) 0, 5 4
G5 G4 B Gelb im 1. Zug Blau im. Zug B B1 B1 B B G4 G5 günstige _ E mögliche _ E Lösung durch Auszählen: P 0,.4 Jetzt werden nacheinander, mit Wiederholung (Zurücklegen), drei Wähler gezogen k) Wahrscheinlichkeit, auch bei der dritten Ziehung einen Gelbwähler zu ziehen da die Wähler nach den ersten beiden Ziehungen jeweils wieder zurückgelegt worden sind, verändert sich die Wahrscheinlichkeit von Ziehung zu Ziehung nicht. Die Wahrscheinlichkeit beträgt nach dem Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse: 6 0 p G G G P G P G P G 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 064 5 15 Aufgabe : a) Wahrscheinlichkeit, daß keines der Triebwerke ausfällt
P(T1) 0,001 P(T) 0,001 P(T1 und T) 0,0001 Die Wahrscheinlichkeit, daß keines der Triebwerke ausfällt entspricht der Restfläche. Dabei muß berücksichtigt werden, daß die Schnittfläche nicht zweimal einberechnet wird: ( T1 T ) 1 ( p( T1) + p( T ) p( T1 ) ) P( T1 T ) 1 p T 1 ( 0, 001 + 0, 001 0, 0001) 1 0, 019 0, 9981 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,81% fällt keines der Triebwerke aus. b) Können die beiden Triebwerke als voneinander unabhängig betrachtet werden? Bei Unabhängigkeit der Ereignisse gilt: P( T1 T) P( T1) P( T) 0, 0001 0, 001 0, 001 0, 000001 Die Triebwerke T1 und T können als voneinander abhängig betrachtet werden. c) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für den Ausfall des Resttriebwerkes? P( T1 T ) 0,0001 P ( T T1) 0,1 T1 0,001
Aufgabe 4: a) Was ist Ihre spontane Antwort? b) Wie wird die Aufgabe systematisch gelöst? Ein 15köpfiger Betriebsrat wählt einen köpfigen Sprecherrat in drei Wahlgängen (also immer einen Sprecher/Sprecherin). Wenn die Wahl zufällig, also ohne bestimmte Präferenzen abläuft, sieht es folgendermaßen aus: 15/15 10/15 alle 5/15 M 9/14 5/14 10/14 4/14 F 1.WG 8/1 M F M 5/1 4/1 4/1 9/1 9/1 F 10/1 /1.WG M F M F M F M F.WG b1) P( M M M) P( F F F ) P( F) P( F F ) P( F F F) 5 4 15 14 1 91 0, 0 b) Ein Mann entspricht der Wahrscheinlichkeit P( ein Mann ) P M F F + P F M F + P F F M ( ) ( ) ( ) P( M) P( F M) P( F M F) + P( F) P( M F) P( F F M) + P( F) P( F F) P( M F F) 10 5 4 5 10 4 5 4 10 + + 15 14 1 15 14 1 15 14 1 0 0 0 + + 7 7 7 0, 198 b) Zwei Männer entspricht der Wahrscheinlichkeit P( zwei Männer ) P M M F + P M F M + P F M M ( ) ( ) ( ) P( M ) P( M M ) P( F M M ) + P( M) P( F M) P( M M F) + P( F) P( M F) P( M F M)
b4) drei Männer entsprechen 10 9 5 10 5 9 5 10 9 + + 15 14 1 15 14 1 15 14 1 45 45 45 + + 7 7 7 0, 495 0, 5 10 9 8 4 P( M M M) P( M ) P( M M) P( M M M) 0, 64 15 14 1 91 Aufgabe 5: Die Lösung ergibt sich aus dem Satz von Bayes. Dazu nehmen wir an, daß der Kandidat sich für eine beliebige Tür, z.b. T 1 entscheidet und der Quizmasterdaraufhin Tür T öffnet. Wir definieren nun das Ereignis: A: Auto hinter T 1 B: Der Quizmaster Q öffnet T gesucht ist P A B ( ) P( A) P( B A) P( B) P(A) Ausgangswahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto hinter Tür T 1 steht. P(A B) die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Auto hinter Tür T 1 befindet, unter der Bedingung, daß der Q Tür T öffnet. P(B A) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Tür T geöffnet wird unter der Bedingung, daß das Auto hinter Tür T 1 steht. dabei ist P(A) 1, P(B) 1 und P( B A) 1, weil Q zwei Türen ) ( T, T zur Auswahl hat, wenn das Auto hinter T 1 steht. P( A) P( B A) P( A B) P( B) Machen wir die Gegenprobe mit A: Auto hinter T 1 1 1 Wenn das Auto hinter der Tür T steht, kann nur die Tür T geöffnet werden. D.h. P( B A) 1 1
P( A) P( B A) > P( A B) P( B) 1 1 1 Es lohnt sich also für den Kandidaten von T 1 nach T zu wechseln. PS: Man kann sich das Ergebnis auch folgendermaßen plausibel machen: Der Kandidat wählt T 1. Die Wahrscheinlichkeit, daß dahinter das Auto steht ist 1. Daraus folgt, daß die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto hinter einer der beiden anderen Türen steht ist. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht, wenn eine der Türen geöffnet wird, weil wir davon ausgehen, daß der Q imme nur die Tüt öffnet, hinter welcher das Auto nicht steht. Sie bezieht sich dann jedoch nur auf die dritte, nicht geöffnete Tür. Lit.: Gero von Randow Das Ziegenproblem. Denken in Wahrscheinlichkeiten rororo 199, 176 S., 10.90 DM (1998). Aufgabe 6: Es gibt zwei mögliche Kombinationen: V,M,V und M,V,M Der Ereignisraum umfaßt i 8 Ereignisse mit S Sieg und N Niederlage, von denen die Folgen SSN, NSS sowie SSS relevant sind und p i Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Folge. Die Ergebnisse (der Spiele) sind voneinander unabhängig Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse für die Wahrscheinlichkeit einer Spielfolge Wahrscheinlichkeit der günstigen Spielfolgen über Additionssatz verknüpfen. i Vater Mutte r Vater p i Mutte r Vater Mutte r p i 1 S 0,5 S 0,8 S 0,5 0, S 0,8 S 0,5 S 0,8 0, S 0,5 S 0,8 N 0,5 0, S 0,8 S 0,5 N 0, 0,08 N 0,5 S 0,8 S 0,5 0, N 0, S 0,5 S 0,8 0,08
Wenn man die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Spielfolgen, also der Spielfolgen mit zwei Siegen in Folge addiert, ergibt sich für die Kombination V,M,V eine Wahrscheinlichkeit von 0,6 für eine Taschengelderhöhung, während bei der Kombination M,V,M nur eine Wahrscheinlichkeit von 0,48 herauskommt. Der Sohn sollte also zuerst gegen den Vater spielen. Es ist also durchaus plausibel gegen den stärkeren Gegner zweimal anzutreten. Aufgabe 7: a) A 50% der Produktion davon % Ausschuß ( ) p A 0 5, p ( D A) 0, 0 B 0% der Produktion davon 4% Ausschuß ( ) p B 0, p ( D B) 0, 04 C 0% der Produktion davon 5% Ausschuß ( ) p C 0, p ( DC) 0, 05 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p D p A p D A + p B p D B + p C p DC p( D) 0, 5 0, 0+ 0, 0, 04 + 0, 0, 05 p( D) 0, 015+ 0, 01 + 0, 01 p( D) 0, 07,7% der Produktion sind Ausschuß! b) Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig ausgewähltes, defektes Stück von A stammt. Die Lösung erhält man durch die Anwendung des Satzes von Bayes: p( D A) p( A) 0, 015 P( A D) 0, 405 p( D) 0, 07 Hier wird aus der Menge aller defekten Stücke ausgewählt und nach der Wahrscheinlichkeit gesucht, daß eines von diesen Stücken von einer bestimmten Maschine kommt. Aufgabe 8: A: Arbeiterhaushalt B: Angestelltenhaushalt C: Beamtenhaushalt D: Selbständigenhaushalt
G: Kind geht zum Gymnasium P(A)0,8 P(B)0,44 P(C)0,09 P(D)0,09 P(G A)0,09 P(G B)0,5 P(G C)0,45 P(G D)0, Wahrscheinlichkeit für Kind geht zum Gymnasium : P(G)P(A) P(G A) P(B) P(G B) P(C) P(G C) P(D) P(G D) P(G)0,8 0,09+0,44 0,5+0,09 0,45+0,09 0,0,575 Wahrscheinlichkeit für Gymnasiast kommt aus Arbeiterhaushalt : ( ) P AG ( ) P( G A) P A P( G) 0, 8 0, 09 0, 575 0, 1 Aufgabe 9: a) Wieviel Arbeitsgruppen à 5 Personen können aus 8 Mitarbeitern gebildet werden? Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ohne Zurücklegen. n 8 k 5 n n k 8 8! 5 ( n k!! ) k! ( 8 5)! 5! 8 7 6 5 4 1 1 5 4 1 56Möglichkeiten b) Wieviel Möglichkeiten gibt es, 1 Personen auf Gruppen à,4 und 5 Personen aufzuteilen n 1 k, 4, 5 n! 1! 1 11 10 9 8 7 6 5 4 1 k! k! k!! 4! 5! 1 4 1 5 4 1 1 770Möglichkeiten Aufgabe 10: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Sowi in der Kommission zu haben? Wiwis und Politologen sind keine Sowis, also sind die 16 Wissenschaftler in 8 Sowis und 8 Nicht-Sowis aufzuteilen.
8 günstige 4 p möglichen 16 4 8! ( 8 4)! 4! 70 0, 0846 16! 180 ( 16 4)! 4! wobei im Zähler 4 Wissenschaftler aus den 8 Nicht-Sowis gezogen werden.