Statik I Ergänzungen zum Vorlesungsskript Dr.-Ing. Stephan Salber Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen

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Werkstoffmodelle linear-elastisches Werkstoffverhalten Elasto-plastisches Werkstoffverhalten Linear-elastisches Material- dreidimensionaler Fall: Normalspannungen Schubspannungen

Vereinfachungen und Beschränkungen Werkstoff Idealisierung: 1.) isotropes Verhalten Werkstoffverhalten in alle Richtungen gleich im Gegensatz dazu orthotrop z.b. bei Faserverbundwerkstoffen E 1 E3 in Statik I sind ausschließlich Spannungen und Dehnungen in Längsrichung (eindimensional) E 2 2.) lineares Werkstoff- Zusammenhang zwischen verhalten bzw. Spannung σ und Materialgesetz Dehnung ε σ= ε E E = const σ Gummi Hooksche Gerade Metalle ε

Elementare Theorie der Biegung (ETB) Querschnitte bleiben eben und normal zur verformten Mittellinie Demo Materialgesetz: daraus ergibt sich der Zusammenhang zwischen Verzerrungs- und Kraftgrößen Erläuterung

Zusammenhang: Verzerrungs- und Kraftgrößen Biegung: Verzerrung Kraft Materialgesetz Krümmung verallgem. Spannungsgröße Biegesteifigkeit Zug-Druck: verallgem. Verzerrung verallgem. Spannungsgröße (Längskraft) Längssteifigkeit

Schnittprinzip Anwendung zur Bestimmung von inneren Kraftgrößen für Rahmentragwerke = Stabwerke aus Biegestäben hier: Abzählkriterium für den Grad der statischen Unbestimmtheit für Rahmentragwerke: 2

Schnittprinzip für Fachwerke Abzählkriterium für den Grad der statischen Unbestimmtheit von Fachwerken: = 4 = 2 = 3 im obigen Beispiel: n = (4 + 2) 2 3 = 0 Allgem. Formel für den Grad der statischen Unbestimmtheit:

Arbeit Prinzip der Virtuellen Arbeiten GG-Punkt A a u u A i A a äußere Arbeit P Verschiebung A ges gesamte Arbeit Last A a u A a u Verschiebung Spannung s A i innere Arbeit A i e A i A ges A i A a! 0 Dehnung

Prinzip der Virtuellen Arbeiten Prinzip der Virtuellen Verrückungen PVV (auch Prinzip der Virtuellen Verschiebungen) äußere Arbeit innere Arbeit Das PVV gilt auch bei geometrischer Nichtlinearität und bei nichtlinearem Materialverhalten

P INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Prinzip der Virtuellen Arbeiten Prinzip der Virtuellen Kräfte PVK Last P A a komplementäre Arbeit u A a Verschiebung Spannung s A A i i e Dehnung Bei Beschränkung auf lineare Probleme gilt: u äußere Arbeit innere Arbeit

Prinzip der Virtuellen Arbeiten PVV: Zur Berechnung von Lasten (z.b. Schnittlasten, Auflagerraktionen) PVK: Bei stat. unbest. Systemen werden die virtuellen Größen auf stat. best. Untersysteme aufgebracht Zur Berechnung von Verformungen (PVK gilt nur bei linearen Problemen)

PVV: INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Prinzip der Virtuellen Arbeiten Anwendung auf den Zug-Druckstab (Skipt: Seite 60) (heutige Tutorübungen: Aufgabe 4) =? Zug-Druck-Stab PVV: innere Arbeit N verallgemeinerte wahre Spannung (Belastung) verallgemeinerte virtuelle Verzerrung (Dehnung) analog im PVK: innere Arbeit N verallgemeinerte virtuelle Spannung (Belastung) verallgemeinerte wahre Verzerrung (Dehnung) mit N E A

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Prinzip der Virtuellen Arbeiten Anwendung auf den Biegestab (Skipt: Seite 61) Zusammenhang von Verzerrungs-und Kraftgrößen: M verallgem. Spannungsgröße verallgem. Verzerrungsgröße (Krümmung) I Trägheitsmoment PVV: innere Arbeit M verallgemeinerte wahre Spannung (Belastung) verallgemeinerte virtuelle Verzerrung (Krümmung) Erläuterung Anwendungsbeispiel analog im PVK: innere Arbeit M verallgemeinerte wahre Verzerrung (Dehnung) verallgemeinerte virtuelle Spannung (Belastung) mit M E I

Prinzip der Virtuellen Arbeiten Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit dem Kraftgrößenverfahren Idee: Statisch unbestimmte Tragwerke Superposition aus statisch bestimmten Untersystemen Der Berechnung liegt ein statisch bestimmtes Grundsystem 0 zugrunde Bindungen (Lagerungen) müssen gelöst werden, um ein statisch unbestimmtes System bestimmt zu machen (bewusste Verletzung der Kinematik) Gelöste Bindungen werden als äußere Lasten angesetzt Skalierung, bis Kinematik wieder eingehalten wird

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren-Reduktionssatz M, M,Q,N=? P P v =? n=1 = P + X 1 Kraftgrößenverfahren dm 1, dq 1, dn 1 1 Ergebnis: tatsächliche M-, Q-, N-Verlauf des stat. unbest. Systems M,Q,N im stat. unbest. System nun bekannt M 0, Q 0, N 0 M, P =? l 1 M, l 1 l1 M M P v dx...... =1 E I 0 P=1 P im stat. best. Untersystem am Ort der gesuchten Verschiebung aufbringen M, l l 1 M=1 l1 M M M dx...... =1 E I 0 M im stat. best. Untersystem am Ort der gesuchten Verdrehung aufbringen

Prinzip der Virtuellen Arbeiten Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit dem Kraftgrößenverfahren Allgemeine Vorgehensweise

Prinzip der Virtuellen Arbeiten Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit dem Kraftgrößenverfahren Allgemeine Vorgehensweise

Kraftgrößenverfahren für mehrfach statisch unbestimmte Systeme

Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: 2-fach statisch unbestimmtes System belastet mit der äußeren Punktlast P P Idee hinter dem Kraftkrößenverfahren: Aufteilen in stat. best. Untersysteme und anschließende Superposition! statisch bestîmmtes Untersystem wird durch Schneiden erzeugt Hinweis: Das rechte Lager zwar nur 1 mal weggeschnitten. Dadurch entstehen jedoch 2 Reaktionen

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: 2-fach statisch unbestimmtes System stat. unbest. Gesamtsystem P stat. best. Grundsystem 0 -System (nur äußere Lasten) P erstes Einheitslastsystem 1 -System (Schnitt 1 bzw. Richtung 1 ) 1 X 1 zweites Einheitslastsystem 2 -System (Schnitt 2 bzw. Richtung 2 ) X 2 1 =0 20 21 11 22 12 = 10 + X 1 + X 2

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: 2-fach statisch unbestimmtes System Wie werden die Verschiebungen ij berechnet? am Beispiel von Einheitslastsystem 1 1 Verschiebung aufgrund von Last 1 in Richtung bzw. an der Stelle 2 11 =? Ausgangssystem 1 Hier ist das Ausgangs- System zugleich mit der Einheitslast beaufschlagt Virtuelles Lastsystem 11 =? P=1 am Ort der gesuchten Verschiebung Einheitslast P=1 aufbringen (Einheitslastgestz) 21 M=M 1 N=N 1 M 1 N 1 11 Verschiebung aufgrund von Last 1 in Richtung bzw. an der Stelle 1 Prinzip der virtuellen Arbeit (hier PVK): Zusammenhang von Verformung 11 und der im Gesamttragwerk gespeicherten Energie. Abhängig von Normalkräften, Momenten (Querkräften)

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: 2-fach statisch unbestimmtes System Wie werden die Verschiebungen d ij berechnet? analog für weitere ij =? =0 20 = 10 + 21 X 1 + X 2 11 22 12 s. Skipt S. 69-71 Verträglichkeitsbedingung Forderung : =0 X 1, X 2, bestimmen (lin. Gl.-System)

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Belastungen des statisch unbestimmten Tragwerks? stat. unbest. Gesamtsystem M Verformung ~ Belastung X 1, X 2, auch auf Belastung anwendbar = - stat. best. Grundsystem 0 -System (nur äußere Lasten) - M 0 P + erstes Einheitslastsystem 1 -System (Schnitt 1 bzw. Richtung 1 ) + 1 + M 1 + X 1 X 2 + zweites Einheitslastsystem 2 -System (Schnitt 2 bzw. Richtung 2 ) M 2 1 P - 1 N = - N 0 1 + + N 1 + X 1 X 2 N 2

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: Ringspant E, I, A F R 3 3 1 a + z - 3b = n 6 + 0-31 = 3 Das Gesamtsystem ist 3-fach statisch unbestimmt. F/2 ausnutzen der Symmetrie 1 2 a + z - 3b = n 5 + 0-31 = 2 symmetriesches Halbmodell 3 Das reduzierte System ist 2-fach statisch unbestimmt.

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: Ringspant Zustandslinien ermitteln 0-System 0 F/2 1-System 0 0 1 F/2 statisch bestimmtes Grundsystem erzeugen durch Entfernen des 2-wertigen Lagers 1 - - - 0 2-System 1-1 + 0 1R

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: Ringspant Verträglichkeitsbedingung formulieren Verschiebung aufgrund von Last 1 in Richtung bzw. an der Stelle 1 Verschiebung aufgrund von Last 1 in Richtung bzw. an der Stelle 2 Skalierfaktor für Einheits - Lastrichtung 2

/ INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: Ringspant Koeffizienten bestimmen / / / =0 / / / / 1cos /

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: Ringspant Koeffizienten bestimmen / / / / / =0 1cos / / / / 1 1 =0 / 1 1

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: Ringspant Skalierfaktoren bestimmen Verträglichkeitsbedingung: = Gleichungssystem nach X 1 und X 2 auflösen

INSTITUT FÜR STATIK UND DYNAMIK DER Kraftgrößenverfahren - mehrfach stat. unbest. Systeme Beispiel: Ringspant Endsystem berechnen und darstellen + - + + + -