Kapazität / Kondensator Ein Kondensator dient zur Speicherung elektrischer Ladung Die Speicherkapazität eines Kondensators wird mit der Größe 'Kapazität' bezeichnet Die Kapazität C ist definiert als: Dimension: (Farad) Die einfachste Bauform eines Kondensators ist der Plattenkondensator Bei ihn stehen sich zwei voneinander isolierte Platten der Fläche A aus leitendem Material im Abstand d gegenüber Die untenstehende Skizze zeigt einen Schnitt durch einen Kondensator mit quadratischen Platten die jeweils die Fläche besitzen, die obere Platte sei positiv gegenüber den unteren Platte geladen Um zu berechnen, welche Kapazität eine solche Andordnung besitzt, betrachten wir den elektrischen Fluß durch eine gaußsche (geschlossene) Oberfläche +, die die Unterseite der oberen Platte einschließt und in den Bereich zwischen den Platten hineinreicht Wir betrachten den Kondensator im elektrostatischen Gleichgewicht, dh die Ladungen bewegen sich nicht mehr Durch die Seiten der Fläche geht der elektrische Fluß: Φ, da das Innere eines Leiters feldfrei ist; Φ, denn die Seitenflächen und stehen senkrecht zueinander; Φ, da im homogenen Feld!"# ist und, gleichgerichtet Damit liefert nur die untere Fläche der gaußschen Oberfläche S einen Beitrag zum elektrischen Fluß Nach dem Gaußschen Satz gilt: Φ$ % Damit ist die Ladung innerhalb der geschlossenen Fläche S: % Um eine Probeladung von der unteren Kondensatorplatte zur oberen zu bewegen muß Arbeit zur Überwindung der Potentialdifferenz geleistet werden Wenn das Feld im Inneren des Kondensators homogen ist, beträgt die Potentialdifferenz bzw el Spannung entlang eines beliebigen Weges S zb vom Punkt a auf der unteren zum Punkt b auf der oberen Platte: &' ( )
weil die nur die senkrechten Wegelemente eine Potentialdifferenz besitzen Einsetzten der Ladung und der Potentialdifferenz in die Kapazität ergibt: % % Bringt man feste oder flüssige Stoffe zwischen die Kondensatorplatten, so stellt man bei manchen Stoffen eine Erhöhung der Kapazität fest Diese Stoffe nennt man 'Dielektrika' Sei die Kapazität eines Plattenkondensators ohne Dielektrikum (Vakuum zwischen den Platten) und die Kapazität mit Dielektrikum, dann wird die Kapazität durch das Dielektrikum um den Faktor: % * erhöht % * nennt man die 'relative Dielektrizitätskonstante' % * ist eine dimensionslose Zahl Für einen Plattenkondensator mit Dielektrikum ist die Kapazität durch: % % * gegeben Die folgende Tabelle gibt einen klinen Überblick über % * verschiedener fester und flüssiger Stoffe: Luft: Glas: Glycerin: Wasser: Propanol: Quarz: Barium-Titanat: Polyvinylidenfluorid (PVDF) : ε r 1,00059 6 ε r 8 ε r 42,5 ε r 80 ε r 18,3 ε r 4,5 ε r 1620 ε r 1900
Laden und Entladen von Kondensatoren Beim Laden und Entladen müssen Ladungen bewegt werden Dazu ist Arbeit erforderlich Die Arbeit, die erforderlich ist, um einen Kondensator vollständig zu Laden, beträgt: + ' wobei die Gesamtladung des Kondensators ist Für ein infinitesimal kleines Ladungselement - ergibt sich: + - die Arbeit kann mit der Kapazität ausgrdrückt werden: +( - ( - Diese Arbeit ist gleich der im elektrischen Feld des Kondensators gespeicherten Energie Der Strom durch den Kondensator beträgt: /01 01 Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung ist durch die Kapazität gegeben : 01 01 Da 01 2 01 ist, ergibt sich for den Strom / 01 durch den Kondensator: / 2 01 3 014 0 2011 Mit der gleichen Beziehung kann die Spannung am Kondensator berechnet werden: 2 01 / 01 01 ( / 01 Mit Hilfe dieser Gleichungen und der Maschen- und Knotenregel können Lade- und Entladevorgänge an Kodensatoren beschrieben werden Die folgenden Skizze zeigt einen Stromkreis zum Laden und Entladen eines Kondensators mit einem Lastwiderstand 5, einem Schalter, einer Gleichspannungsquelle - und einem Spannungsmeßgerät, welches die Spannung über dem Kondensator mißt Die zwei möglichen Schalterstellungen bedeuten: 1: Kondensator laden; Strom fließt von Gleichspannungsquelle über 5 und
2: Kondenstaor entladen; Strom fließt von über 5 Die Knotenregel für den Netzknoten b ergibt, da das Meßgerät als ideal angesehen wird und deshalb kein Strom durch das Meßgerät fließt, daß der Strom durch 5, 5 gleich dem Strom durch, sein muß: 5 Der linke Anschluß des Widerstands 5 befindet sich auf dem gleichen Potential wie der obere Anschluß der Gleichspannungsquelle, dh die Spannung am linken Anschluß des Widerstands beträgt - Der rechte Anschluß des Widerstands 5 befindet sich auf dem gleichen Potential wie der obere Anschluß des Kondensators, dh die Spannung am linken Anschluß des Widerstands beträgt 2 Damit ergibt sich als Spannung über dem Widerstand - Der Strom durch den Widerstand ist also: 5-7 5 Setzt man beide Ströme in die Knotengleichung für Knoten b ein, so ergibt sich: - 5-5 - +5 Diese Gleichung ist eine lineare, inhomogene Differentialgleichung 1Ordnung mit konstanten Koeffizienten Für Gleichungen der Form 8 9 +9 : findet man eine allgemeine Lösung 1) 1) zb Bronstein, Handbuch der Mathematik: 8 9 +9 : hat für : 2; die allgemeine Lösung: 901 <90 1 :0 1 :>? 7 8 @+:
Beim Aufladen ist der Kondensator zum Zeitpunkt ungeladen, dh 0 1 Wendet man die allgemeine Lösung auf den Fall des Aufladens an, dann ergibt sich mit: 85;: - ;9 als Lösung: 2 01 - - :>B 5 C -D :>B 5 CE Die Spannung am Kondensator beim Laden/Einschalten hat den zeitlichen Verlauf: Die Größe 5 wird Zeitkonstante genannt und mit F5 abgekürzt Nach Ablauf einer Zeitkonstante beträgt die Spannung am Kondensator 63% von - Beim Entladen in Schalterstellung 2 ergibt sich: : - ; 0 1 - und als Lösung: 2 01 - :>B 5 C Nach einer Zeitkonstanten ist die Spannung am Kondensator auf 63% des Ausgangswertes abgesunken Der Strom beim Laden ist: / 2 01 0 2011 D - - :>B 5 CE D+ - 5 :>B 5 CE / 2 01-5 :>B 5 C Der Strom springt beim Laden bei auf den Wert + - 5 und sinkt dann exponentiell ab
Beim Entladen ergibt sich: / 2 01 D - :>B6 5 CE6-5 :>B6 5 C Der Strom springt beim Entladenn bei auf den Wert 6 - und strebt dann exponentiell gegen Null 5 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren Parallelschaltung: an allen Kondensatoren liegt die gleiche Spannung U, also: ; ; J J damit ist die Gesamtladung und die Gesamtkapazität K J K J M Allgemein gilt für n parallel geschaltete Kondensatoren: K
Reihenschaltung von Kondensatoren: da K J K O O J K O O J K Damit ist die Gesamtkapazität der Reihenschaltung: allgemein K P K O O J M Typische Awendungen der Parallel-/Reihenschaltung von Kondensatoren: Parallelschaltung: Reihenschaltung: Umschaltung von Parallel- in Reihenschaltung: Erhöhen der Gesamtkapazität Verwendung von Kondensatoren mit geringerer Spannungsfestigkeit Spannungserhöhung durch paralleles Laden und serielles Entladen